4.2一次函数与正比例函数同步练习 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

北师大版2024-2025学年八年级数学上册4.2一次函数与正比例函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．根据变量x、y的关系式，属于y是x的一次函数的是（    ） ①；②；③；④． A．① B．①②③ C．①③ D．全部都是 2．若是正比例函数，则b的值是（    ） A．0 B．-2 C．2 D．0.5 3．已知函数是正比例函数，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 4．下列各点不在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 5．若是直线上一点，则的值是（  ） A． B． C． D． 6．已知函数关系式，当自变量x增加1时，函数值（    ） A．增加2 B．减少2 C．增加3 D．减少3 7．已知一次函数（k为常数，且），无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．在下列函数中，是自变量，是因变量，则一次函数有 ，正比例函数有 ．（将代号填上即可）①；②；③；④；⑤． 9．若函数是关于的一次函数，则常数的值是 ． 10．若点P（a，b）在一次函数y＝3x＋4的图像上，则代数式5－6a＋2b＝ ． 11．已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是 ； 12．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，那么称点M是点A，B的“双减点”． （i）若点，的“双减点”M的坐标是，则点B的坐标是 ； （ii）若点，的“双减点”是点F，当点F在直线的上方时，则m的取值范围是 ． 三、解答题 13．商店要出售一种商品，出售时要在进价的基础上加上一定的利润，其销售量（千克）与售价（元）之间的关系如下表. 销量/千克 售价/元 1 1+0.3+0.05 2 2+0.6+0.05 3 3+0.9+0.05 4 4+1.2+0.05 ... ... （1）写出用含的式子表示售价的计算公式。 （2）此商品的销售量为10千克时，售价为多少？ （3）当售价为26.05元时，商品的销售量为多少千克？ 14．某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 15．（1）已知等腰三角形的周长为30，底边长为y，腰长为x，试写出y与x之间的函数关系式； （2）已知一根蜡烛长20厘米，点燃后匀速燃烧，每分钟燃烧0.2厘米，燃烧x分钟后剩下的蜡烛长y厘米，试写出y与x之间的函数关系式； （3）已知某种商品每件进价为100元，售出1件获利20%，若售出x件的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C B A D B B 1．B 【分析】根据一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的函数，叫做一次函数可得答案． 【详解】解：①y=k(x−1)=kx-k(k≠0)是一次函数； ②y=1−xk(k≠0)是一次函数； ③x−y=2(k≠0)，即y=2kx-4k( k≠0)是一次函数； ④y=kx+(k≠0)，右边是分式，不是一次函数； 故选：B. 【点睛】本题考查了一次函数的定义，利用一次函数的定义是解题关键，注意正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数． 2．C 【分析】一次函数，当时，此时称为正比例函数． 【详解】解：若是正比例函数，则， 故选：C． 【点睛】本题考查正比例函数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 3．B 【分析】根据正比例函数的定义，可得，，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，理解正比例函数的定义是解题的关键． 4．A 【分析】根据直线y=x+1上任意一点的坐标都满足函数关系式进行分析． 【详解】A选项：y=1+1=2，故点不在函数y=x+1的图象上，符合题意； B选项：y=-1+1=0，故点在函数y=x+1的图象上，不符合题意； C选项：y=0+1=1，故点在函数y=x+1的图象上，不符合题意； D选项：y=1+1=2，故点在函数y=x+1的图象上，不符合题意； 故选：A． 【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特点，解题关键是抓住凡是函数图象上的点必能满足解析式． 5．D 【分析】将点A坐标代入直线解析式即可求出. 【详解】解：将A(1,a) 代入解析式 a=-2+1   解得a=-1 故选 D 【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，已知一次函数解析式求线上点的坐标，熟记概念是解题的关键. 6．B 【分析】本题中可令x分别等于a，，求出相应的函数值，再求差即可解决问题． 【详解】解：令，则； 令，则， ∵ ∴当自变量x增加1时，函数值减少2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数，解决本题的关键是理解自变量x和因变量之间的关系，确定函数值． 7．B 【分析】先将一次函数解析式变形为，即可确定定点坐标． 【详解】解：∵， 当时，， ∴无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，将一次函数变形为是解题的关键． 8． ①③④ ③ 【分析】根据一次函数及正比例函数的定义，即可一一判定． 【详解】解：①是一次函数，不是正比例函数； ②不是一次函数； ③是正比例函数，因为正比例函数一定是一次函数，所以还是一次函数； ④是一次函数； ⑤既不是正比例函数也不是一次函数． 故答案为：①③④，③． 【点睛】本题考查了一次函数及正比例函数的定义，熟知正比例函数是一次函数的特例是解决本题的关键． 9．2 【分析】根据一次函数的定义进行解答即可． 【详解】解：是关于的一次函数 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 10．13 【分析】先把点（a，b）代入一次函数求出的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点（a，b）在一次函数上， ∴，即， ∴， 故答案为：13． 【点睛】此题主要考查了一次函数图像上点的坐标特点以及代数式求值的问题，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 11．Q=50-0.10s． 【分析】根据题意，每千米需耗油=0.10升，根据题意可得，汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q （L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是Q=50-0.10s即可． 【详解】解：∵每行驶耗油， ∴每千米需耗油=0.10升， ∴s（km）耗油=0.10s升， ∴油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是Q=50-0.10s． 故答案为：Q=50-0.10s． 【点睛】本题考查一次函数在生活中应用，掌握列一次函数的方法是解题关键． 12． 【分析】（1）根据点是点、的“双减点”的定义可求点坐标； （2）点，的“双减点”是点，可表示出点的坐标，根据点在直线下方可得出关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）点， “双减点” M的坐标是， ，， ，， 点M坐标， 故答案为：； （2）点，的“双减点”是点， ，，即，， 点在直线上方， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，能够利用新定义表示出点的坐标是解题的关键． 13．（1）；（2）售价为13.05元；（3）商品的销售量为20千克. 【分析】（1）从图中的x与y的关系：当x=1时，y=1+0.3+0.05，当x=2时，y=2+0.3×2+0.05，……，可以看出y=x+0.3x+0.05=1.3x+0.05； （2）把x=10代入（1）中关系式即可求出y的值； （3）把y=26.05代入（1）中关系式，可以得到x的值． 【详解】解：（1）； （2）把代入可得，， 答：售价为13.05元； （3）把代入， 可得：， 解得：， 答：商品的销售量为20千克． 【点睛】考查数字的变化规律，观察表格得到销量的每一项与相应售价之间的关系是解决本题的关键． 14．(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜． 15．（l） （2） （3）（，且x为整数） 【分析】（1）根据等腰三角形的周长为30列方程，化为函数关系式，再根据三角形三边的关系确定x的取值范围即可． （2）根据剩余的长度=总长度-燃烧的长度就可以表示出剩下的长度y（厘米）与点燃时间x（分）之间的函数关系式， （3）根据利润等于每件商品的利润乘以商品的件数列式整理即可． 【详解】（1）∵2x+y=30， ∴y=30-2x，即x＜15， ∵两边之和大于第三边，即2x＞y， ∴2x＞（30-2x）. ∴x＞7.5， 综上可得； （2）由题意，得y=20-0.2x． ∵， ∴20-0.2x≥0， ∴x≤100， ∴综上可得：． （3）由题意得，每一件商品的利润为：， 所以，利润y=20x． ∴（，且x为整数） 【点睛】本题考查了函数关系式：根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系.列一次函数关系式的步骤（1）寻找等量关系，可以直接将公式当作等量关系；（2）用字母表示自变量及函数，根据等量关系列出等式；（3）将等式变形，写成函数的一般形式．注意，对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义．本题表示出△ACD的面积，关键是要确定底和高． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$