专题2.1 不等式（考点精讲）-【中职专用】2025年河北省高职单招数学备考复习讲练测

专题2.1 不等式 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：比较实数的大小 5 考点二：不等式性质的应用 5 考点三：区间的应用 6 考点四：一元一次不等式（组）的解法 7 考点五：一元二次不等式的解法 7 考点六：绝对值不等式的解法 8 考点七：不等式的应用 8 【考纲要求】 （1）不等式的基本性质：了解不等式的基本性质；掌握判断两个数（式）大小的“作差比较法”. （2）区间：理解区间的概念. （3）一元二次不等式：了解一元二次不等式的概念；理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系；掌握一元二次不等式的解法. （4）含绝对值的不等式：了解含绝对值不等式和的含义；掌握形如和的不等式的解法. （5）不等式应用举例：掌握从实际问题中抽象出一元二次不等式模型解决简单实际问题的方法. 【考向预测】 1. 不等式性质的应用 2.集合的区间表示 4. 一元一次不等式（组）的解法 5. 一元二次不等式的解法 6. 绝对值不等式(如：|ax+b|<c)的解法 7.含有绝对值的其它不等式的解法 8. 不等式的应用 【知识导图】 【知识清单】 1. 实数的大小与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2. 比较大小的常用方法 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 3. 不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒_a>c__； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>__b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<__bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an_>__bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 4. 区间及有关概念 (1)一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 __[a，b)__ {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 __(a，b]__ (2)特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞)__ [a，＋∞)__ (a，＋∞)__ (－∞，a]__ (－∞，a)__ 5. 一元一次不等式的解法一般步骤 （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）将未知项的系数化为1. 6. 一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 7. 一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的_判别式__. (3)当_Δ≥0__时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的_交点__确定一元二次不等式的解集． 8. 三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有_两相异__实根x1，x2(x1<x2) 有_两相等__实根x1＝x2＝－ _没有__实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|_x>x2或x<x1__} {x|x∈R且_x≠x1__} _R__ ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|_x1<x<x2__} _∅__ _∅__ 9. 绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a (－a，a) ∅ ∅ |x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 【考点分类剖析】 考点一：比较实数的大小 例1．和中较大的为 . 例2．已知，则（    ） A． B． C． D．与的大小无法判断 【变式探究】1. 设，，则与的大小关系是 ． 2. 若，则与的大小关系是 ． 考点二：不等式性质的应用 例1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例2．“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【方法规律】判断关于不等式的命题真假的两种方法 (1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断． (2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断． 【变式探究】1．已知，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 考点三：区间的应用 例1．用区间表示下列数集： （1）；            （2）； （3）；        （4）R； （5）；        （6）． 例2．已知集合，，则（       ）． A． B． C． D． 【变式探究】1. 用区间表示不等式的解集，该集合为______. 2. 已知全集,集合,则（   ） A． B． C． D． 考点四：一元一次不等式（组）的解法 例1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 例2．不等式组的整数解有 个． 【变式探究】1．点在第四象限，则m的取值范围是 ． 2．不等式组的解集为 ． 考点五：一元二次不等式的解法 例1．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式探究】解下列不等式： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2) 考点六：绝对值不等式的解法 例1．求绝对值不等式的解集． 例2．解不等式 2. 解不等式. 考点七：不等式的应用 例1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．有一人患了流感，经过两轮传染后超过100人患了流感，若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的不等关系为（    ） A．x（1+x）≥100 B．1+x（1+x）＞100 C．x+x（1+x）≥100 D．1+x+x（1+x）＞100 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 不等式 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：比较实数的大小 5 考点二：不等式性质的应用 6 考点三：区间的应用 8 考点四：一元一次不等式（组）的解法 9 考点五：一元二次不等式的解法 11 考点六：绝对值不等式的解法 12 考点七：不等式的应用 13 【考纲要求】 （1）不等式的基本性质：了解不等式的基本性质；掌握判断两个数（式）大小的“作差比较法”. （2）区间：理解区间的概念. （3）一元二次不等式：了解一元二次不等式的概念；理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系；掌握一元二次不等式的解法. （4）含绝对值的不等式：了解含绝对值不等式和的含义；掌握形如和的不等式的解法. （5）不等式应用举例：掌握从实际问题中抽象出一元二次不等式模型解决简单实际问题的方法. 【考向预测】 1. 不等式性质的应用 2.集合的区间表示 4. 一元一次不等式（组）的解法 5. 一元二次不等式的解法 6. 绝对值不等式(如：|ax+b|<c)的解法 7.含有绝对值的其它不等式的解法 8. 不等式的应用 【知识导图】 【知识清单】 1. 实数的大小与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2. 比较大小的常用方法 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 3. 不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒_a>c__； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>__b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<__bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an_>__bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 4. 区间及有关概念 (1)一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 __[a，b)__ {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 __(a，b]__ (2)特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞)__ [a，＋∞)__ (a，＋∞)__ (－∞，a]__ (－∞，a)__ 5. 一元一次不等式的解法一般步骤 （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）将未知项的系数化为1. 6. 一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 7. 一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的_判别式__. (3)当_Δ≥0__时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的_交点__确定一元二次不等式的解集． 8. 三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有_两相异__实根x1，x2(x1<x2) 有_两相等__实根x1＝x2＝－ _没有__实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|_x>x2或x<x1__} {x|x∈R且_x≠x1__} _R__ ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|_x1<x<x2__} _∅__ _∅__ 9. 绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a (－a，a) ∅ ∅ |x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 【考点分类剖析】 考点一：比较实数的大小 例1．和中较大的为 . 【答案】 【分析】对每个数平方，再比较即可. 【详解】，， ∴， ∴， 故答案为：. 例2．已知，则（    ） A． B． C． D．与的大小无法判断 【答案】A 【分析】根据作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以，故. 故选：A. 【变式探究】1. 设，，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】首先分别求出和平方各是多少，然后判断出和的平方的大小关系，即可判断出和的大小关系. 【详解】， ， ， ，且，， . 故答案为. 2. 若，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用作差法可得与的大小. 【详解】，故， 故答案为：. 考点二：不等式性质的应用 例1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举反例判断AB；利用不等式的性质可判断C；做差可判断D. 【详解】对于A，当时，则，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，，则，所以，故C错误； 对于D，若，，则，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 例2．“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】ABD可以举出反例，C选项可以利用不等式的基本性质进行证明出是的充分不必要条件. 【详解】A选项，若，，满足，但，故推导不出，A错误； B选项，也是如此，若，，满足，但，B错误； C选项，因为，故，，不等式两边同乘以（），不等号方向不改变，故，是的充分条件，当时，令，，推导不出；综上：是的充分不必要条件，C选项正确； D选项，若，，满足，但，D选项错误 故选：C. 【方法规律】判断关于不等式的命题真假的两种方法 (1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断． (2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断． 【变式探究】1．已知，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，即可判断A、B、C项；作差法可判断D项. 【详解】对于A项，因为，根据不等式的性质，有，故A项错误； 对于B项，因为，根据不等式的性质，有，故B项错误； 对于C项，因为，根据不等式的性质，有，故C项错误； 对于D项，. 因为，所以，，所以，故D项正确. 故选：D. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 对A利用作差法即可证明，对BCD举反例即可. 【详解】对A，，因为，所以， 所以，则，故A正确； 对B，举例，则，，则，故B错误； 对C，举例，则，故C错误； 对D，举例，则，故D错误； 故选：A. 考点三：区间的应用 例1．用区间表示下列数集： （1）；            （2）； （3）；        （4）R； （5）；        （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】按照区间的定义以及书写方式进行转换即可,注意区间的开闭和集合中的不等号和等号相对应. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）R=； （5）； （6）． 例2．已知集合，，则（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以． 故选：A． 【变式探究】1. 用区间表示不等式的解集，该集合为______. 【答案】 【分析】根据一元一次不等式以及区间的知识求得正确答案. 【详解】由，得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 2. 已知全集,集合,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合补集的运算性质,求出即可. 【详解】解:由题知, , 故或. 故选:B 考点四：一元一次不等式（组）的解法 例1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组并找出在数轴上的解集，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， 则不等式组的解集为， 故选：B 例2．不等式组的整数解有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴整数解有，，，共4个， 故答案为：． 【变式探究】1．点在第四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查象限点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数． 【详解】解：点在第四象限， ， 解得， 故答案为：． 2．不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，根据解不等式组的方法进行计算即可得；掌握解不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 考点五：一元二次不等式的解法 例1．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】利用一元二次不等式的解法来求解即可. 【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是． （2）不等式可化为，∴不等式的解集是． （3）不等式可化为，∴不等式的解集是． （4）不等式可化为，∴不等式的解集是或． 【变式探究】解下列不等式： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可求解. 【详解】（1）由，即， 故或， 故不等式的解集为或； （2）由， 即， 故， 故不等式的解集为. 考点六：绝对值不等式的解法 例1．求绝对值不等式的解集． 解：由可得：， 令，解得：或 ∴绝对值不等式的解集是： 例2．解不等式 【解析】 所以原不等式的解集为 【变式探究】1．解不等式 【解析】∵， 移项得：， 系数化为得：， ∴的解集表示为：或， ∴的解集为：或． 2. 解不等式. 【详解】由可得或，解得或， 即解集为：. 考点七：不等式的应用 例1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，列出一元二次不等式，结合实际意义求出范围即可. 【详解】依题意，，即，解得， 因为，则，所以这批台灯的销售单价x的取值范围是. 故选：A 【变式探究】1．有一人患了流感，经过两轮传染后超过100人患了流感，若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的不等关系为（    ） A．x（1+x）≥100 B．1+x（1+x）＞100 C．x+x（1+x）≥100 D．1+x+x（1+x）＞100 【答案】D 【分析】先求出第一轮后患了流感的人数，进一步求出经过第二轮后患了流感的人数. 【详解】若每轮传染中平均一个人传染了x个人， 则经过第一轮后有（1+x）个人患了流感， 经过第二轮后有[（1+x）+x（1+x）]个人患了流感， ∴x满足的不等关系为（1+x）+x（1+x）＞100. 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$