专题07 平面向量（5大考点）-【中职专用】2025年技能高考数学二轮复习专项突破（湖北专用）

专题07 平面向量 考纲解析 · 平面向量的概念（向量的模、单位向量、相等向量等） · 平面向量的加、减、数乘运算 · 平面向量的坐标表示 · 平面向量的内积 · 平面向量共线、垂直的条件 考点预测 · 平面向量的线性运算 · 平面向量的坐标表示 · 平面向量的内积 · 平面向量共线、垂直的运用 要点自测 考点01向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点突破 1．如图，在正方形中，与的夹角为（    ）    A．30° B．90° C．120° D．180°     ） A．若与都是单位向量，则． B．若与是平行向量，则． C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 3．关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 考点02 向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 考点突破 4．化简等于（    ） A． B． C． D． 5．等于（    ） A． B． C． D． 6．向量与不共线，， ()，若与共线，则应满足（   ） A． B． C． D． 考点03 平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 考点突破 7．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．与 B．与， C．与 D．与 8．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 考点04 平面向量的坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ， 考点突破 10．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 11．若向量，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 12．已知向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 考点05 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量，θ为向量的夹角. 数量积 模 夹角 两非零向量的充要条件 考点突破 13．已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 14．设，向量，，则是的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 模拟演练 一、单选题 1．在矩形ABCD中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．下列结论正确的是（    ） A．平行向量的方向都相同 B．零向量与任意向量都不平行 C．单位向量都相等 D．两个单位向量之和可能仍然是单位向量 3．在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．在平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，若A，B，C三点共线，则m=（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 6．已知向量，且，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 7．已知平面向量，则（    ） A．2 B．10 C． D． 8．已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D． 二、填空题 9．向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 ． 10．已知＝，＝，那么＝ （用向量、的式子表示） 11．已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为 ． 12．已知向量，且与共线，则实数 ． 三、解答题 13．已知向量，，且．求实数的值 14．化简下列向量运算； (1)， (2)， (3)． 15．已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平面向量 考纲解析 · 平面向量的概念（向量的模、单位向量、相等向量等） · 平面向量的加、减、数乘运算 · 平面向量的坐标表示 · 平面向量的内积 · 平面向量共线、垂直的条件 考点预测 · 平面向量的线性运算 · 平面向量的坐标表示 · 平面向量的内积 · 平面向量共线、垂直的运用 要点自测 考点01向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点突破 1．如图，在正方形中，与的夹角为（    ）    A．30° B．90° C．120° D．180° 【答案】B 【分析】根据向量夹角定义结合图形特征判断. 【详解】是正方形，所以向量夹角是. 故选：B. 2．下列结论正确的是：（    ） A．若与都是单位向量，则． B．若与是平行向量，则． C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 【答案】C 【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A、B，只有当与的方向相同且模长相等时才有，故A、B均错误； 对于C，若向量，又因为A是公共点，所以M与N重合，故正确； 对于D，因为轴与轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故D错误； 故选：C. 3．关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【答案】B 【分析】根据向量的相关概念直接判断即可. 【详解】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确； 速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误； 零向量方向任意，D错误. 故选：B 考点02 向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 考点突破 4．化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算计算即可． 【详解】， 故选：D． 5．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果. 【详解】, 故选：C 6．向量与不共线，， ()，若与共线，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的结论可以直接得到答案. 【详解】因为与不共线，且与共线，则， 即，即. 故选：C 考点03 平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 考点突破 7．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．与 B．与， C．与 D．与 【答案】C 【分析】判断向量是否共线，即可判断向量是否作为基底． 【详解】、是平面内所有向量的一组基底， 与，不共线，可以作为基底， 与，不共线，可以作为基底， ，故与共线，不可以作为基底， 与，不共线，可以作为基底， 故选：C． 8．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用平面向量基底的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，由，得不共线，B是； 对于C，，向量共线，C不是； 对于D，，向量共线，D不是. 故选：B 9．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性表示可得，即可求解. 【详解】由图可知，所以， 故选：C 考点04 平面向量的坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ， 考点突破 10．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用向量的坐标运算计算即可. 【详解】已知向量，则. 故选：D. 11．若向量，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算得坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 12．已知向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共线向量的坐标表示即可求解 【详解】因为共线， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：B 考点05 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量，θ为向量的夹角. 数量积 模 夹角 两非零向量的充要条件 考点突破 13．已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】将分别进行平方，借助的值联系起它们的关系，从而求解. 【详解】由题知，， 则， ， 则. 故选：A 14．设，向量，，则是的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用是否推出关系来判断充要关系即可. 【详解】当时，向量，， 此时有，所以，故是充分条件； 当时，，解得，故不是必要条件； 所以是的充分不必要条件， 故选：B. 15．若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直列方程，结合向量数量积的运算以及向量夹角的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以， 由于，所以， 由于，所以. 故选：B 模拟演练 一、单选题 1．在矩形ABCD中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用平行四边形法则化简为，然后可得. 【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知， 所以. 故选：C    2．下列结论正确的是（    ） A．平行向量的方向都相同 B．零向量与任意向量都不平行 C．单位向量都相等 D．两个单位向量之和可能仍然是单位向量 【答案】D 【分析】借助平行向量、单位向量、零向量的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，平行向量的方向可以相反，A错误； 对于B，零向量与任意向量都平行，B错误； 对于C，单位向量的模都相等，但方向可以不同，因此单位向量不一定相等，C错误； 对于D，共起点，夹角为的两个单位向量的和是单位向量，D正确. 故选：D 3．在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法和减法公式，即可求解. 【详解】. 故选：D 4．在平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据平行四边形的性质分解向量即可. 【详解】 . 故选：C 5．已知，，，若A，B，C三点共线，则m=（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】A 【分析】由三点共线转换为向量共线，由向量共线的充要条件即可求解. 【详解】由题意与共线，所以，解得． 故选：A. 6．已知向量，且，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直坐标公式可得答案 【详解】由得. 故选：B. 7．已知平面向量，则（    ） A．2 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积的坐标运算公式求解即可. 【详解】， . 故选：A. 8．已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的坐标运算计算可得结果. 【详解】由可得，即， 也即，解得. 故选：D 二、填空题 9．向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 ． 【答案】 【分析】根据向量共线定理填空即可. 【详解】由向量共线定理知：与共线的充分必要条件是，存在唯一实数使得， 故答案为：. 10．已知＝，＝，那么＝ （用向量、的式子表示） 【答案】 【分析】根据，即可解决问题． 【详解】因为，所以． 故答案为：. 11．已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据共线向量满足的性质求解即可. 【详解】由题意若与共线，则， 则，因为为两个不共线的非零向量，故， 解得. 故答案为： 12．已知向量，且与共线，则实数 ． 【答案】或 【分析】根据向量共线列方程，化简求得的值. 【详解】， 由于与共线，所以， 即，解得或. 故答案为：或 三、解答题 13．已知向量，，且．求实数的值 【答案】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 14．化简下列向量运算； (1)， (2)， (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 15．已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算求得正确答案. （2）先求得，然后求得的模. 【详解】（1）依题意，向量， ， . （2）由于， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$