专题04 图形的位似重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题04 图形的位似重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 位似图形的识别 题型二 判断位似中心 题型三 位似图形相关概念辨析 题型四 求两个位似图形的相似比 题型五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型六 求位似图形的对应坐标 题型七 求两个位似图形的周长比 题型八 求两个位似图形的面积比 题型九 在坐标系中画位似图形 题型十 位似图形中的相关规律问题 题型十一 位似图形中的多结论问题 知识点：图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； b．两个位似图形的位似中心只有一个； c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【经典例题一 位似图形的识别】 【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23九年级上·河南平顶山·期中）在如图所示的网格中，的位似图形是 ． 3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 【经典例题二 判断位似中心】 【例2】（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正方形与正方形是位似图形，已知，，，，求位似中心的坐标． 【经典例题三 位似图形相关概念辨析】 【例3】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，与是位似图形，点是位似中心，若位似比，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·二模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为 ． 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点和的顶点均为小正方形的顶点．    (1)在图中的内部作，使和位似，且位似中心为点，位似比为； (2)连接（1）中的，则线段的长度是________． 【经典例题四 求两个位似图形的相似比】 【例4】（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，与是位似图形，点为位似中心，且，，则位似比为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，已知和是位似图形，其中点为位似中心，且，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如果方格中，三角形的顶点和的位置用数对表示分别为、．    (1)在方格中过点画出边的平行线． (2)画出三角形绕点顺时针方向旋转后的图形，并涂上阴影． (3)用数对分别表示新三角形中的位置分别是：（_____，_____）、（_____，_____） (4)①以点为位似中心，在位似中心的同侧画出的位似图形，使它与的位似比为，并涂上阴影． ②缩小后的面积是原来面积的___________． 【经典例题五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 【例5】（2024·重庆·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为1：3，则（    ）    A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9 1．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，在直角坐标系中，先以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到，再将绕着原点逆时针旋转，得到的，若点是对应点，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·天津津南·阶段练习）已知的三个顶点坐标为、、，将以坐标原点为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点所对应的点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点的坐标分别为． (1)以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为； (2)在（）的条件下，求的面积． 【经典例题六 求位似图形的对应坐标】 【例6】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知是坐标原点，点、两点的坐标分别为、. (1)以点为位似中心在轴的左侧将放大到原来的倍得到； (2)填空： ①如果周长为，则的周长为____________； ②若线段上有一点，请直接写出点的对应点的坐标____________. 【经典例题七 求两个位似图形的周长比】 【例7】（2024·湖南衡阳·二模）如图，与是位似图形，位似中心为点O．若，的周长为9，则的周长为（    ） A．18 B．27 C．32 D．36 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 2．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为 ． 3．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点为位似中心，在第四象限画一个，使与的相似比为；点的坐标为_______； (2)若的周长是，则的周长为______． 【经典例题八 求两个位似图形的面积比】 【例8】（23-24八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O．若对应点坐标分别为，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ） A．3 B．6 C．9 D．18 2．（23-24九年级上·四川·阶段练习）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是 ． 3．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上，请完成下列问题： (1)画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，为位似比，在网格中画出放大后的对应图形，； (3)求（2）中的面积． 【经典例题九 在坐标系中画位似图形】 【例9】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 1（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁丹东·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形． (1)请写出点P的坐标是___________； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出，的位似图形，使相似比为； (3)若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________． (4)计算的面积．（写出计算过程） 【经典例题十 位似图形中的相关规律问题】 【例10】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形…．”请利用这一规律解答下面问题：已知，，且，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 2．（22-23九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为 ． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）已知如下图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位． （1）将图1中的格点，按照的规律变换得到，请你在图1中画出． （2）在图2中画出一个与格点相似但相似比不等于1的格点． （说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形．） 【经典例题十一 位似图形中的多结论问题】 【例11】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法错误的是（  ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南郴州·二模）按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得到，则下列说法错误的是（　　） A．与位似 B．与相似 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在外任取一点，连接、、，并取它们的中点、、，连接、、得到，则下列说法错误的是（ ） A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的周长比是 D．与的面积比是 1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，将缩小，则点A的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，以点 O 为位似中心，作四边形的位似图形 ，已知若四边形的周长是2，则四边形的周长是（      ） A．4 B．6 C．16 D．18 3．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的2倍的位似图形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在坐标原点，边在轴上，已知点的坐标为，如果与关于点成位似图形，且的面积等于的面积的倍，则点的坐标可能是（   ） A． B． C．或 D．或 6．（23-24九年级上·江西·期末）如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 7．（24-25九年级上·吉林长春·期中）按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有 ． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，以为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为，连接，，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为 9．（2023九年级下·重庆北碚·学业考试）如图，与位似，点为位似中心，相似比为：若的面积为，则的面积为 ． 10．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点B的对应点的坐标为 ．    11．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知，在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，，(正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度)． (1)画出向下平移个单位得到的； (2)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为3：1； 12．（2024九年级上·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，作出按放大后的位似图形； (3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________． 13．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，网格中每个小正方形的边长是1，在网格中的位置如图所示．    (1)请在网格中画出关于点D位似的，点A与点E，点B与点F，点C与点G分别是对应点，且与的位似比是． (2)在（1）的条件下，已知点在的边上，求点P的对应点Q的坐标． 14．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）一天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图) ．已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米． 请根据以上数据求出城楼的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 图形的位似重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 位似图形的识别 题型二 判断位似中心 题型三 位似图形相关概念辨析 题型四 求两个位似图形的相似比 题型五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型六 求位似图形的对应坐标 题型七 求两个位似图形的周长比 题型八 求两个位似图形的面积比 题型九 在坐标系中画位似图形 题型十 位似图形中的相关规律问题 题型十一 位似图形中的多结论问题 知识点：图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； b．两个位似图形的位似中心只有一个； c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【经典例题一 位似图形的识别】 【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键． 根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案． 【详解】解：A、与是位似关系，故此选项不合题意； B、与是位似关系，故此选项不合题意； C、与是位似关系，故此选项不合题意； D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意； 故选：D． 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形. 根据位似的定义判断即可得出答案． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 2．（22-23九年级上·河南平顶山·期中）在如图所示的网格中，的位似图形是 ． 【答案】 【分析】根据位似图形的对应点连线，经过位似中心，由图可知，线段经过点，确定位似中心为点，进而求解即可． 【详解】如图，线段经过点，并且，则位似中心为点， 连接并延长到点，连接并延长到点， 连接、、， 由图可知：， ， ∴， ∴的位似图形是，位似中心为点； 故答案为：． 【点睛】本题考查位似图形．熟练掌握位似图形的性质，确定位似中心，是解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 【答案】(1)，与不是位似图形； (2)6 【分析】本题主要考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明即可；再根据位似图形的概念判断即可； （2）根据相似三角形对应边成比例推出，进而证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； ∵如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．与的对应点的连线不交于一个点， ∴与不是位似图形； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 【经典例题二 判断位似中心】 【例2】（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似中心、坐标与图形等知识． 根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．据此进行解答即可． 【详解】解：如下图， 点即为所求的位似中心． 故选：D． 1．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，连接，交轴于点，则点为位似中心，先根据题意证明，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到，求出点的坐标即可．解决本题的关键是借助相似比求出线段长度． 【详解】解：连接，交轴于点，则点为位似中心， 矩形与矩形是位似图形，，， ，，，，， ， ， ， 即， ， 故位似中心的坐标为． 故选：A． 2．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】（9，0） 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下： 点D的坐标为（9，0）， 即位似中心的坐标为（9，0）， 故答案为：（9，0）． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正方形与正方形是位似图形，已知，，，，求位似中心的坐标． 【答案】或 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确分类讨论是解题的关键； 当B与F是对应点时，利用待定系数法求出直线的解析式，再求得直线与y轴的交点，即可求出位似中心的坐标； 当C与E是对应点时，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】解：①若B和F是对应点，点A与点E是对应点，则位似中心在y轴上， 由题意可得，， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 当时，， 即位似中心是：； ②若点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 则， 解得：， 即位似中心是：， 综上所述：所述位似中心为：或． 【经典例题三 位似图形相关概念辨析】 【例3】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题考查位似三角形的性质，根据位似图形的性质得到，从而得到，继而得解．掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：OD=18， 故选：B． 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，与是位似图形，点是位似中心，若位似比，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，由与是位似图形可得，进而得到相似比为，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：与是位似图形，点是位似中心， ∴， ∵位似比为， ∴相似比为， ∴， 即， ∴， 故选：． 2．（2024·广东广州·二模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∵， ∴的周长：的周长， ∵的周长为4， ∴的周长为8， 故答案为：8． 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点和的顶点均为小正方形的顶点．    (1)在图中的内部作，使和位似，且位似中心为点，位似比为； (2)连接（1）中的，则线段的长度是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用格点图的特点分别取的中点得到，然后顺次连接即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而利用位似比求出，由此即可求出的长． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，连接，由位似图形的性质可知三点共线， 由勾股定理得， ∵和位似，且位似中心为点，位似比为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质和勾股定理，熟练掌握位似图形的画法和性质是解题的关键． 【经典例题四 求两个位似图形的相似比】 【例4】（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，与是位似图形，点为位似中心，且，，则位似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，先根据与是位似图形，得出，相似比为，据此即可作答． 【详解】解：∵与是位似图形，点为位似中心， ∴， ∵，， ∴相似比为， 即位似比为． 故选：B． 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，已知和是位似图形，其中点为位似中心，且，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，根据位似和相似三角形的性质即可求解，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质． 【详解】解：∵和是位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    【答案】①② 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，位似图形的性质．由斜边中线的性质，可判断①；由斜边中线的性质，求得，得到，证明，可判断②；利用勾股定理求得斜边的长，证明和，利用相似三角形的性质求得的长，推出，可判断③；求得的值，据此可判断③④． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，故①说法正确； ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②说法正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和不是以点为位似中心的位似图形，故③说法错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④说法错误， 综上，正确的有①②． 故答案为：①②． 3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如果方格中，三角形的顶点和的位置用数对表示分别为、．    (1)在方格中过点画出边的平行线． (2)画出三角形绕点顺时针方向旋转后的图形，并涂上阴影． (3)用数对分别表示新三角形中的位置分别是：（_____，_____）、（_____，_____） (4)①以点为位似中心，在位似中心的同侧画出的位似图形，使它与的位似比为，并涂上阴影． ②缩小后的面积是原来面积的___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)13，8；9，8 (4)①见解析；② 【分析】本题考查作图位似变换、平行线的判定和性质，利用旋转设计图案，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据旋转的性质画出图形即可； （3）根据、的位置即可得到结论； （4）①根据位似图形的性质，画图即可； ②结合相似图形的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；    （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：、， 故答案为：13，8；9，8； （4）解：①如图所示； ②缩小后的面积是原来面积的． 【经典例题五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 【例5】（2024·重庆·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为1：3，则（    ）    A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的周长比等于相似比求出，进而求出． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 和的周长之比为， ， ， 故选：B． 1．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，在直角坐标系中，先以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到，再将绕着原点逆时针旋转，得到的，若点是对应点，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键．根据位似，旋转变换的性质画出图象即可解决问题； 【详解】解：如图，即为所求． 观察图象可知： 故选D． 2．（23-24九年级下·天津津南·阶段练习）已知的三个顶点坐标为、、，将以坐标原点为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点所对应的点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答． 【详解】解：∵点的坐标为，以原点为位似中心将缩小，位似比为2：1， ∴点的对应点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点的坐标分别为． (1)以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为； (2)在（）的条件下，求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（）根据位似图形的性质找到对应点位置，再连线即可； （）根据图形利用割补法计算即可求解； 本题考查了作位似图形，三角形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：的面积． 【经典例题六 求位似图形的对应坐标】 【例6】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．由题意可得，又由点A的坐标为，即可求得的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标． 【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为， ∴， ∵点A的坐标为， 即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． ∴E点的坐标为：． 故选：B． 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：当位似图形与在y轴同侧时， ∵，相似比为2， ∴； 当位似图形与在y轴两侧时， ∵，相似比为2， ∴； 故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了位似变换及坐标与图形，关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以计算即可． 【详解】解：将放大倍，点， 点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知是坐标原点，点、两点的坐标分别为、. (1)以点为位似中心在轴的左侧将放大到原来的倍得到； (2)填空： ①如果周长为，则的周长为____________； ②若线段上有一点，请直接写出点的对应点的坐标____________. 【答案】(1)图形见解析 (2)①；② 【分析】本题考查位似图形的知识，解题的关键是掌握位似图形的定义和性质，进行解答，即可． （1）根据位似图形的性质，画出位似图形，即可； （2）根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，进行解答，即可； （3）根据以原点为位似中心的图形上的点的坐标规律，写出点的坐标，即可． 【详解】（1）解：图形如下： （2）解：①以点为位似中心在轴的左侧将放大到原来的倍得到 ∴，相似比为：， ∴ ∵周长为， ∴的周长； ②如图可知，两个相似三角形的位置对应点的坐标正好是原坐标乘以， ∵， ∴点； 故答案为：①；②． 【经典例题七 求两个位似图形的周长比】 【例7】（2024·湖南衡阳·二模）如图，与是位似图形，位似中心为点O．若，的周长为9，则的周长为（    ） A．18 B．27 C．32 D．36 【答案】D 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．利用位似图形，相似三角形的性质求解． 【详解】解：与是位似图形，点是位似中心， ，， ， ， ， ， 的周长为9， 的周长为36． 故选：D 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长9， 故选：C． 2．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查坐标与位似．根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴和的相似比为：， ∴和的周长比为：， ∵的周长为3， ∴的周长为6； 故答案为：6． 3．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点为位似中心，在第四象限画一个，使与的相似比为；点的坐标为_______； (2)若的周长是，则的周长为______． 【答案】(1)画图见解析， (2) 【分析】本题主要考查了在坐标系中画位似图形，求位似图形对应点坐标，位似图形的性质，正确找到对应点位置从而画出对应的位似图形是解题的关键． （1）把A、B、C的横纵坐标都分别乘以得到的横纵坐标，再描出，并顺次连接即可； （2）根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∴点的坐标为 （2）解：∵与关于原点位似，且相似比为，的周长是， ∴的周长为， 故答案为：． 【经典例题八 求两个位似图形的面积比】 【例8】（23-24八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O．若对应点坐标分别为，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的定义，勾股定理，相似三角形的性质，由勾股定理得，，由位似的定义得，由相似三角形的性质，即可求解；理解位似的定义，掌握勾股定理，相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 与位似， ， ； 故选：C． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案，正确得出面积比是解决此题的关键． 【详解】解：以点为位似中心，作四边形的位似图形，， ， 四边形的面积是2， 四边形的面积是18， 故选：D． 2．（23-24九年级上·四川·阶段练习）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的性质，由题意得出和的位似比，从而得出和的面积的比是，即可得解． 【详解】解：点与点是对应点，原点是位似中心， 和的位似比， 和的面积的比是， 又的面积是3， 的面积是12． 故答案为：12． 3．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上，请完成下列问题： (1)画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，为位似比，在网格中画出放大后的对应图形，； (3)求（2）中的面积． 【答案】(1)，图见解析； (2)图见解析； (3)30. 【分析】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形及作位似图形．掌握轴对称和位似图形的性质，是解题的关键 （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据位似图形的性质，画出即可； （3）用割补法求出面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作三角形，     点的坐标为； （2）如图所示，即为所求作三角形，     （3）由题图，知， 与的位似比为， 面积比为． 【经典例题九 在坐标系中画位似图形】 【例9】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似的性质，根据，位似比为画出图形，得出点坐标即可． 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，如图所示：    根据作图可知：点的坐标为． 故选：B． 1（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解 【详解】解：连接，，，并延长如图所示， ， ∴的位似图形是， 故选：C． 2．（2023·辽宁丹东·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】 本题考查位似变换，坐标与图形性质等知识，利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可（注意有两种情形）．解题的关键是掌握位似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】 解：如图所示： 或即为所求， 的坐标为或， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形． (1)请写出点P的坐标是___________； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出，的位似图形，使相似比为； (3)若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________． (4)计算的面积．（写出计算过程） 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形，三角形的面积． （1）利用位似图形的性质得到位似中心的位置即可求解； （2）根据点O为位似中心，相似比为作图即可； （3）利用位似图形的性质求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，并延长相交于点P， ∴； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由题意得，点M在内的对应点的坐标为； （4）解：． 【经典例题十 位似图形中的相关规律问题】 【例10】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换、点的变化规律．根据当、、的坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：，，，，， ， ， 的坐标为，即， 故选：A． 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形…．”请利用这一规律解答下面问题：已知，，且，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】 本题考查的是位似变换，解题的关键是理解将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘（或，，所得图形的形状不变，各边扩大到原来的 倍（或缩小为原来，且连接各对应顶点的直线相交于一点．根据题意求出线段与线段的相似比，计算即可． 【详解】 解：，，， 线段与线段的相似比为， ， ， 故选：A． 2．（22-23九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】先根据位似比求出，再证明，得到，，，，同理证明，得到，从而得到正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，……，据此发现规律即可得到答案． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， 正方形的边长为， ， ， 正方形的边长为， ， ， 同理可得， ， ， 正方形的边长为， 正方形的面积为， 正方形的面积为， 正方形的面积为， …… ∴正方形的面积是． 故答案为：． 【点睛】本题为位似的实际应用，考查了位似比，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，理解题意，根据相似三角形和正方形的知识分别求出正方形的边长，从而表示出正方形的面积并发现规律是解题关键． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）已知如下图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位． （1）将图1中的格点，按照的规律变换得到，请你在图1中画出． （2）在图2中画出一个与格点相似但相似比不等于1的格点． （说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形．） 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【分析】（1）按题中要求，把图形上的每个关键点图1中的格点△ABC，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A1B1C1单位后，依次连接各个关键点，即可得出要画的图形； （2）根据平移作图的规律作图即可做个位似图形即可，相似比可以是1：2． 【详解】（1）如图1．（2）如图2． （答案不唯一） 【点睛】本题考查了作图-平移变换、作图-位似图形，根据要求作图是解题的关键． 【经典例题十一 位似图形中的多结论问题】 【例11】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法错误的是（  ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了位似变换的性质．直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案． 【详解】解：∵以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点，，三点在同一直线上，， ， ∴， ∴A选项错误，符合题意． 故选:A． 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质．根据位似图形的概念、相似三角形的性质“对应点的连线都经过同一点；对应边平行”进行判断即可． 【详解】解：A、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，原说法正确，本选项不符合题意； B、与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则．所以，原说法错误，本选项符合题意； C、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确，本选项不符合题意； D、与是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确，本选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024·湖南郴州·二模）按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得到，则下列说法错误的是（　　） A．与位似 B．与相似 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出与是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，故本选项正确，不符合题意； B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意； ∵将的三边缩小为原来的， 与的相似比为， C、∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为，故C选项正确，不符合题意； D∴与的周长之比为，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在外任取一点，连接、、，并取它们的中点、、，连接、、得到，则下列说法错误的是（ ） A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的周长比是 D．与的面积比是 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定、三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，，，，，进而证明，根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：、、的中点分别为、、， ∴，，，，，， ∴， 与是位似图形，位似中心为点，A选项不符合题意； 与是相似图形，B选项不符合题意； 与的周长比是，C选项不符合题意； 与的面积比是，D选项符合题意； 故选：D． 1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，将缩小，则点A的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查位似坐标变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形点对应点坐标为或，据此求解，即可解题． 【详解】解：根据题意可知，点A的对应点的坐标为或， 整理得对应点的坐标为或， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，以点 O 为位似中心，作四边形的位似图形 ，已知若四边形的周长是2，则四边形的周长是（      ） A．4 B．6 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到四边形四边形，，得到，根据相似三角形的性质得到，再根据相似图形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形， 四边形四边形，， ∴， 又∵， ， 四边形与四边形相似比为3， 四边形的周长是2， 四边形的周长为6， 故选：B． 3．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的2倍的位似图形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的位似三角形，解题关键是掌握位似三角形的性质和坐标规律． 根据平面直角坐标系内位似图形的性质和坐标规律即可求解． 【详解】解：由题意可得：，且相似比为， ， ， ， ， 故选：B． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比． 【详解】解：延长交于点E，如图．    ∵在正方形中，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长． 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在坐标原点，边在轴上，已知点的坐标为，如果与关于点成位似图形，且的面积等于的面积的倍，则点的坐标可能是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查主要考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据题意可得，过A作轴于C，再根据等边三角形的性质可得，，即可确定点，再根据题意可得与位似为2比1，然后根据位似变换的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵等边三角形的顶点， ∴， 过A作轴于C，    ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍， ∴与位似比为2比1， ∴点A的对应点的坐标是或． 故选：C． 6．（23-24九年级上·江西·期末）如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 7．（24-25九年级上·吉林长春·期中）按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有 ． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了位似变换的相关知识，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方，对应的周长的比等于相似比． 【详解】解：如图符合位似图形的定义， ∴①与是位似图形， 正确； ∵位似是相似的特殊形式， ∴②与是相似图形， 正确； ∴③与周长之比等于相似比为，正确； ∴④与的面积之比等于相似比的平方为， 错误； ∴正确的为：①②③． 故答案为：①②③． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，以为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为，连接，，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题关键．连接，根据平行四边形的性质先求出，由证得，求出，据此求解即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形，面积为20， ∴， ∵和是以为位似中心的位似图形，且与原图形的位似比为， ∴点在同一条直线上，，， ∴，， ∴， ∴， 同理， ∴与的面积之和为． 故答案为：． 9．（2023九年级下·重庆北碚·学业考试）如图，与位似，点为位似中心，相似比为：若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点B的对应点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查的是位似变换的概念和性质、一次函数图象上点的坐标特征，掌握位似图形的概念是解题的关键. 根据一次函数图象上点的坐标特征分别求出点和点的坐标，根据位似图形的概念、相似三角形的性质解答即可. 【详解】对于直线当时， 当时， ∴点和点的坐标分别为, 与，是以点为位似中心的位似图形，且相似比为， 即 解得 ∴点的坐标为或 故答案为:或 11．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知，在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，，(正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度)． (1)画出向下平移个单位得到的； (2)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为3：1； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图－位似变换与平移变换， （1）分别作出点、B、C向下平移4个单位后的点、、，顺次连接即可得到即可； （2）根据位似的性质得出、、的坐标，顺次连接、、，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图：即为所求； 12．（2024九年级上·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，作出按放大后的位似图形； (3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；； 【分析】本题考查了作图−位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．也考查了轴对称变换． （1）利用关于轴对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点即可； （2）延长到使，延长到使，延长到使，从而得到； （3）先利用轴对称的性质得到，再根据位似的性质得到与的相似比为，所以与的相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：点的坐标为， ∵沿x轴翻折后的， ∴， ∵按放大后的位似图形， ∴与的相似比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长的比为，与的面积的比为． 故答案为：；；． 13．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，网格中每个小正方形的边长是1，在网格中的位置如图所示．    (1)请在网格中画出关于点D位似的，点A与点E，点B与点F，点C与点G分别是对应点，且与的位似比是． (2)在（1）的条件下，已知点在的边上，求点P的对应点Q的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了位似作图、位似的性质、求对应点坐标等知识点，理解位似的性质成为解题的关键． （1）如图，连接并延长到长度找到各点的对应点E、D、F，然后顺次连接E、D、F即可解答； （2）先确定点P的位置，再连接并延长至Q，使得，然后读出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求．    （2）解：如图：点P的对应点Q的坐标为． 14．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 【答案】(1) (2)①一定是，不一定是；②C (3)图见解析 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的定义，是解题的关键： （1）根据位似图形的定义，进行判断即可； （2）①根据位似图形和相似图形之间的关系作答即可；②根据位似图形和位似比的定义进行判断即可； （3）连接，交于点，作线段的中垂线，交于点，以为圆心，的长为半径，画弧，分别交于点，则矩形即为所求． 【详解】（1）解：由题意，可知：为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：； （2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ②∵， ∴， 又∵对应点和对应点的连线交于点， ∴两个三角形是位似图形，点为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为； 综上，只有选项C的说法不正确，符合题意， 故选：C； （3）如图，矩形即为所求 由作图可知：， ∴矩形与矩形位似，位似中心为，且相似比为． 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）一天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图) ．已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米． 请根据以上数据求出城楼的高度． 【答案】城楼的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，构造直角三角形，利用相似三角形的判定证出是解题的关键．过点作于点，交于点，由题意得：米，米，米，米，进而得到米，米，米，证明得到，求出米，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：过点作于点，交于点， 由题意得：米，米，米，米， ， 四边形是矩形， 又， 米， （米），（米）， ， ， ，即， 米， 城楼的高度为：（米）． 学科网（北京）股份有限公司 $$