第23章 旋转-【锦上添花】2024-2025学年九年级数学全一册直击考点与单元双测（人教版2012 河南专版）

5　 　 　 　 第二十三章　 旋转 题　 号 一 二 三 总　 分 得　 分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分. 下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的) 1. 新能源汽车是指使用除汽油、柴油等传统能源的汽车,被认为能减少空气污染和缓解能源短缺. 近 几年,新能源汽车如雨后春笋,发展迅速. 以下几个新能源车标中既是轴对称图形又是中心对称图 形的是 (　 　 ) A 　 　 　 　 　 B 　 　 　 　 　 C 　 　 　 　 　 D 2. 如果一个四边形绕对角线交点旋转 90°,所得图形与原来的图形重合,那么这个四边形是 (　 　 ) A. 平行四边形　 B. 矩形　 C. 菱形　 D. 正方形 3. 已知点 P(m+2,2m-4)与点 P′(n,m+1)关于原点对称,则点 P 的坐标是 (　 　 ) A. (7,6) B. ( -3,-14) C. (1,-6) D. (3,-2) 4. 如图,△ABC 与△A′B′C′关于点 O 对称,则下列结论不成立的是 (　 　 ) A. 点 A 与点 A′是对称点　 B. BO=B′O C. ∠ACB= ∠C′A′B′　 D. ∠AOB= ∠A′OB′ 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 　 第 6 题图 5. 如图,在正方形网格中,△ABC 绕某点旋转一定的角度得到△A1B1C1,则旋转中心是 (　 　 ) A. 点 M　 　 B. 点 N　 C. 点 P　 D. 点 Q 6. 如图,在△ABC 中,∠CAB= 65°,将△ABC 在平面内绕点 A 旋转到△AB′C′的位置. 若∠CAB′= 25°, 则∠CAC′的度数为 (　 　 ) A. 25°　 B. 40°　 　 C. 65°　 D. 70° 7. 如图,Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,BC= 4,AC = 3,将△ABC 绕点 B 逆时针旋转得△A′BC′,若点 C′在 AB 上,则 AA′的长为 (　 　 ) A. 10 　 B. 4　 C. 2 5 　 D. 5 第 7 题图 　 　 　 　 第 8 题图 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 8. 如图,在平面直角坐标系中,将△ABC 绕点 C(0,-2)旋转 180°得到△A1B1C,设点 A1 的坐标为(a, b),则点 A 的坐标为 (　 　 ) A. ( -a,-b+4) B. ( -a+4,-b) C. ( -a-4,-b) D. ( -a,-b-4) 9. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 在 y 轴上,点 B 的坐标为(6,0),将△ABO 绕着点 B 顺时针旋转 60°,得到△DBC,则点 C 的坐标是 (　 　 ) A. (3 3 ,3)　 B. (3,3 3 )　 C. (6,3) D. (3,6) 10. 如图,点 E 为正方形 ABCD 内一点,∠AEB= 90°,将 Rt△ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90°,得到 △CBG. 延长 AE 交 CG 于点 F,连接 DE. 下列结论:① AF⊥CG,② 四边形 BEFG 是正方形,③ 若 DA=DE,则 CF=FG;其中正确的结论是 (　 　 ) A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 在平面直角坐标系中,点 A( -3,5)与点 B 关于原点对称,则点 B 的坐标是　 　 　 　 . 12. 如图是中国共产主义青年团团旗上的图案,该图案绕中心至少旋转　 　 　 　 度后能与原图案 重合. 第 12 题图 　 　 　 　 第 13 题图 　 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 13. 如图,为一副三角板的两块,在△BAD 中,∠BAD= 90°,∠ABD= 30°,在△ABC 中,∠BCA = 45°,将 △BAD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△CAE,连接 CE,则∠BCE 的大小为　 　 　 　 . 14. 如图,直线 a、b 垂直相交于点 O,曲线 C 关于点 O 成中心对称,点 A 的对称点是点 A′,AB⊥a 于点 B,A′D⊥b 于点 D. 若 OB= 4,OD= 3,则阴影部分的面积之和为　 　 　 　 . 15. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,∠A= 30°,将△ABC 绕点 C 逆时针旋转得到△A1B1C,M 是 BC 的中点,N 是 A1B1 的中点,连接 MN,若 AB= 12,则线段 MN 的最小值是　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)如图,△ABO 与△CDO 关于 O 点中心对称,点 E,F 在线段 AC 上,且 AF=CE.求证:FD=BE. 17. (9 分)如图,在△ABC 中,点 D 是 AB 边上的中点,已知 AC= 4,BC= 6. (1)画出△BCD 关于点 D 的中心对称图形; (2)根据图形说明线段 CD 长的取值范围. 18. (9 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A( -1,0),B( -2,-2), C( -4,-1) . (1)请画出△ABC 关于原点对称的△A1B1C1; (2)将△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2; (3)若在△ABC 内有一点 P(a,b),将△ABC 按照(2)的方式旋转之后的对应点为 P2,则 P2 的坐 标为　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6　 19. (9 分)如图,在等边△ABC 中,点 D 是边 AC 上一点,连接 BD,将线段 BD 绕点 B 按逆时针方向旋 转 60°后得到 BE,连接 AE. 求证: (1)△ABE≌△CBD; (2)AE∥BC. 20. (9 分)如图,点 E 是正方形 ABCD 内一点,将△ADE 绕点 A 顺时针旋转至△ABF,点 E 的对应点 为点 F. (1)若∠ADE= 35°,∠DAE= 50°,求∠AFB 的度数; (2)连接 EF,若 AE= 2,求线段 EF 的长. 21. (10 分)【探究发现】 (1)下面是一道例题及解答过程,请补充完整:如图 1 在等边△ABC 内部,有一点 P,若∠APB = 150°,求证:AP2 +BP2 =CP2 . 证明:将△APC 绕 A 点逆时针旋转 60°,得到△AP′B,连接 PP′,则△APP′为等边三角形, ∴ ∠APP′= 60°,PA=PP′,PC= 　 　 　 　 , ∵ ∠APB= 150°,∴ ∠BPP′= 90°, ∴ P′P2 +BP2 = 　 　 　 　 ,即 PA2 +PB2 =PC2; 【类比延伸】 (2)如图 2 在等腰 ABC 中,∠BAC = 90°,内部有一点 P,若∠APB = 135°,试判断线段 PA、PB、PC 之间的数量关系,并证明. 图 1 　 　 　 　 　 图 2 22. (10 分)如图,点M,N 分别在正方形 ABCD 的边 BC,CD 上,且∠MAN= 45°,把△ADN 顺时针旋转 一定角度后得到△ABE. (1)填空:△ADN 绕旋转中心 点,按顺时针方向旋转 度得到△ABE; (2)求证:△AEM≌△ANM; (3)若 BM= 3,DN= 2,求正方形 ABCD 的边长. 23. (11 分)下面是某数学兴趣小组对一个数学问题进行的探究活动: 问题: 如图 1,已知∠DAC= 90°,△ABC 是等边三角形,点 P 为射线 AD 上任意一点(点 P 不与点 A 重 合),连接 CP,将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CQ,连接 QB 并延长交直线 AD 于点 E,交直线 CP 于点 F. (1)如图 1,小明同学得出△APC≌△BQC,他的判断理由是　 　 　 　 ; A. SSS　 B. SAS　 C. AAS　 D. ASA (2)如图 2,当∠DAC 为锐角时,其他条件不变,请你猜想∠QEP 的度数,并加以证明; (3)如图 3,若∠DAC= 135°,∠ACP= 15°,且 AC= 8,请直接写出 BQ 的长度. 图 1 　 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 　 图 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 39　 参 考 答 案 　 九年级数学(上) RJ　 第二十一章　 一元二次方程 1. C　 2. A　 3. A　 4. C　 5. C　 6. D　 7. A　 8. B　 9. B 10. A　 【解析】设 t 秒后,△PCQ 的面积等于 4,由题意得 BP = t,CQ= 2t,则 CP= 5-t,∵ S△PCQ = 1 2 CQ·CP,∴ 4 = 1 2 ×2t×(5 -t),整理得 t2 - 5t+ 4 = 0,解得 t1 = 1, t2 = 4(不合题意,舍 去),即 1 秒后,△PCQ 的面积等于 4. 故选:A. 11. x2 -4 = 0(答案不唯一)　 12. -5　 13. -2 14. (40-2x)(30-x)= 1 008 15. ②④　 【解析】①(x-2)(x-3)= m 化为一般形式为 x2 -5x+ 6-m= 0,∵ 原方程有实数根 x1,x2,且 x1 ≠x2,∴ Δ = b 2 -4ac = (-5) 2 -4(6-m) >0,解得 m>- 1 4 ,故①错误;②∵ 关于 x 的一元二次方程(x-2) ( x-3)= m 有实数根 x1、x2,当 x1 = 1,则 m= 2,∴ 方程为 x2 -5x+4 = 0,解得 x1 = 1,x2 = 4,故② 正确;③∵ 关于 x 的一元二次方程(x-2)(x-3)= m 有实数 根 x1,x2,且 x1≠x2,而(x-3) ( x-4)= m 可化为:[( x-1) - 2][(x-1)-3] =m,∴ x-1 = x1,x-1 = x2,∴ x = x1 +1 或 x = x2 +1,故③错误;④∵ (x-2) ( x-3)= m 化为一般形式为 x2 - 5x+6-m= 0,∵ 原方程有实数根 x1、x2,且 x1 ≠x2,∴ x1 +x2 = 5,x1x2 = 6-m,∵ (x-x1)(x-x2)+m= x 2 -(x1 +x2)x+m+x1x2 = x2 -5x+m+6-m= x2 -5x+6,∴ x2 -5x+6 = 0,解得 x = 2 或 x = 3,故④正确. 故答案为:②④. 16. 解:(1)3(x-1) 2 -12 = 0,(x-1) 2 = 4,x-1 = ±2,所以 x1 = 3, x2 = -1; (2)2x2 -4x-7 = 0,x2 -2x= 7 2 ,x2 -2x+1 = 9 2 ,(x-1) 2 = 9 2 ,x- 1 = ± 3 2 2 ,所以 x1 = 1+ 3 2 2 ,x2 = 1- 3 2 2 . 17. 解:(1)B,等式的基本性质; (2)①x2 +2x-3 = 0,a = 1,b = 2,c = -3,Δ = 22 -4×1×( -3) = 16>0,x= -b± b2 -4ac 2a = -2±4 2×1 = -1±2,所以 x1 = 1,x2 = -3; ②3(x-2) 2 = x2 -4,3(x-2) 2 -(x+2) (x-2)= 0,(x-2) (3x- 6-x-2)= 0,(x-2)(x-4)= 0,x-2 = 0 或 x-4 = 0,所以 x1 = 2,x2 = 4. 18. 解:(1) - 7 8 ; (2)证明:∵ a= 1,b= -2m,c= 2m-2,∴ Δ = b2 -4ac= ( -2m) 2 -4(2m-2) = 4(m-1) 2 +4. ∴ 对于任何实数 m,总有 Δ>0, ∴ 方程总有两个不相等的实数根. 19. 解:设游客人数为 x 人,依题意,得 1 2 x(x-1)= 45,x2 -x-90 = 0,解得 x1 = -9(舍去),x2 = 10. 答:这次旅游的游客人数是 10 人. 20. 解:(1)设进馆人次的月平均增长率为 x,则由题意,得 128 +128(1+x) + 128 ( 1 +x) 2 = 608. 化简,得 4x2 + 12x- 7 = 0. ∴ (2x-1)(2x+7)= 0,∴ x= 0. 5 = 50%或 x= -3. 5(舍) . 答:进馆人次的月平均增长率为 50%; (2)校图书馆能接纳第四个月的进馆人次. 理由:∵ 进馆人 次的月平均增长率为 50%, ∴ 第四个月的进馆人次为: 128(1+50%) 3 = 128× 27 8 = 432<500. 答:校图书馆能接纳第四个月的进馆人次. 21. 解:(1)(40-2x); (2)由(1)可得养猪场的面积为 x(40-2x),又∵ 养猪场的 面积为 150 平方米,∴ x(40-2x)= 150,解得 x1 = 15,x2 = 5. ∵ 0<BC= 40-2x≤25,∴ 15 2 ≤x<20,∴ x = 15. 即 AB 长为 15 米时,养猪场的面积为 150 平方米; (3)养猪场的面积不能为 240 平方米. 理由如下:由(1)可 得养猪场的面积为 x(40-2x),又∵ 养猪场的面积为 240 平 方米,∴ x(40-2x)= 240,∴ x2 -20x+120 = 0,∵ Δ = ( -20) 2 - 4×1×120 = -80<0,∴ 原方程没有实数根. 即养猪场的面积 不能为 240 平方米. 22. 解:(1)x2 -3x+2 = 0,(x-2)(x-1)= 0,x-2 = 0 或 x-1 = 0,所 以 x1 = 2,x2 = 1,则方程 x 2 -3x+2 = 0 是“倍根方程”; (2)(x-2) (x-m) = 0,x-2 = 0 或 x-m = 0,解得 x1 = 2,x2 = m,∵ (x-2)(x-m)= 0 是“倍根方程”,∴ m = 4 或 m= 1,当 m= 4 时,m2 +2m+2 = 16+8+2 = 26;当 m= 1 时,m2 +2m+2 = 1 +2+2 = 5,综上所述,代数式 m2 +2m+2 的值为 26 或 5; (3)13 或-11. 23. 解:(1)设 y 与 x 的函数关系式为 y = kx+b (k≠0),由图可 知其函数图象经过点(0,200)和(10,300),将其代入 y = kx +b 得 300 = 10k+b, 200 = b,{ 解得 k= 10, b= 200,{ ∴ y 与 x 的函数关系式为 y= 10x+200; (2)由题意,得 (10x+200) (100-x-60) = 8 910,整理,得 x2 -20x+91 = 0,解得 x1 = 7,x2 = 13;当 x = 7 时,售价为 100- 7 = 93(元),当 x= 13 时,售价为 100-13 = 87(元),∵ 优惠 力度最大,∴ 取 x= 13; 答:当每双运动鞋的售价为 87 元时,企业每天获得的销售 利润达到 8 910 元,并且优惠力度最大; (3)公司每天能获得 9 000 元的利润. 理由如下:∵ 要保证 每双运动鞋的利润率不低于成本价的 50%,∴ 100-60-x≥ 60×50%,解得 x≤10;依题意,得 (100-60-x)(10x+200)= 9 000,整理得 x2 -20x+100 = 0,解得 x1 = x2 = 10;∴ 售价为 90 元时,公司每天能获得 9 000 元的利润,且每双运动鞋 的利润不低于成本价的 50%. 第二十二章　 二次函数 1. B　 2. C　 3. A　 4. A　 5. D　 6. B　 7. D　 8. D　 9. B 10. D　 【解析】①由函数图象可知,a<0,b<0,c>0,所以 abc>0, 故①正确;②因为抛物线的对称轴为直线 x = -1,所以- b 2a = -1,即 2a-b = 0,故②正确;③因为抛物线的对称轴为直 线 x= -1,且 x= 1 时,函数值小于零,所以 x= -3 时,函数值 小于零,即 9a-3b+c<0,故③正确;④因为抛物线的对称轴 为直线 x= -1,且开口向下,所以当 x =m 时,am2 +bm+c≤a -b+c,即 am2 -a+bm+b≤0,所以 a(m2 -1)+b(m+1)≤0,故 ④正确;⑤由函数图象可知,当 x = 1 时,函数值小于零,则 a+b+c<0,又因为 b= 2a,所以 3a+c<0,故⑤正确. 故选:D. 11. y= x2 -2(答案不唯一)　 12. 2　 13. -1　 14. 24 m 15. 8　 【解析】∵ y= x2 -2x+6 = ( x-1) 2 +5,∴ 将抛物线 y = x2 - 2x+6 向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,所得平移 后的抛物线 y= (x-3) 2 +8,∴ 抛物线的顶点坐标为(3,8), ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ BD = AC,而 AC⊥x 轴,∴ AC 的 长等于点 A 的纵坐标,当点 A 在抛物线的顶点时,点 A 到 x 轴的距离最小,最小值为 8,∴ 对角线 BD 的最小值为 8. 故 答案为:8. 16. 解:(1)y= -2x2 +4x+3 = -2(x-1) 2 +5,∵ -2<0,∴ 抛物线的 开口向下,对称轴为直线 x= 1,顶点坐标为(1,5); (2)∵ 抛物线的开口向下,∴ x>1 时,y 随 x 增大而减小,x< 1 时,y 随 x 增大而增大. 17. 解:(1)证明:Δ= b2 -4ac= a2 -8(a-3)= a2 -8a+24 = a2 -8a+ 16+8 = (a-4) 2 +8>0,∴ 不论 a 为何实数,这个抛物线与 x 轴总有两个交点; (2)把(3,0)代入抛物线得 9-3a+2(a-3)= 0,解得 a= 3. 18. 解:(1)将点 A(-1,0)、B(2,n)代入 y1 = -x+m,∴ 1+m= 0,-2 +m=n,∴ m= -1,n= -3,将点 A(-1,0)、B(2,-3)代入 y2 =ax 2 +bx-3 得, a-b-3= 0, 4a+2b-3= -3,{ ∴ a= 1, b= -2,{ ∴ y2 = x 2 -2x-3; (2)x≤-1 或 x≥2. 19. 解:(1)设抛物线解析式为 y = a(x+1) (x-5),把 C(0,-5) 代入得-5 = a×(0+1) ×(0-5),解得 a = 1,∴ 抛物线解析式 为 y= (x+1)(x-5),即 y= x2 -4x-5;∵ y= x2 -4x-5 = (x-2) 2 -9,∴ D(2,-9); (2)设直线 BC 的解析式为 y =mx+n,把 B(5,0),C(0,-5) 分别代入,得 5m+n= 0, n= -5,{ 解得 m= 1, n= -5,{ ∴ 直线 BC 的解析式 为 y= x-5,当 x = 2 时,y = x-5 = -3,∴ E(2,-3),∴ S△CDE = 1 2 ×( -3+9) ×2 = 6. 20. 解:(1)依题意,得(x-20)( -2x+80) = 150,解得 x1 = 25,x2 = 35,∴ 每本纪念册的销售单价为 25 元或 35 元; (2)由题意,得 w= (x-20) ( -2x+80)= -2x2 +120x-1 600 = -2(x-30) 2 +200,∵ a = -2<0,∴ 当 x = 30 时,w 有最大值, 最大值为 200,∴ 当该纪念册销售单价定为 30 元时,才能 使该纪念册所获利润最大,最大利润为 200 元. 21. 解:(1)2t cm,(12-2t)cm,4t cm; (2) ∵ BQ = 4t cm,BP = ( 12 - 2t) cm,∠B = 90°,∴ S△PBQ = 1 2 BP·BQ= 1 2 ×(12-2t) ·4t = ( -4t2 +24t) cm2,即 S△PBQ = -4t2 +24t,由题意,得-4t2 +24t= 32,整理,得 t2 -6t+8 = 0,解 得 t1 = 2,t2 = 4. 答:当运动时间是 2 s 或 4 s 时△PBQ 的面积为 32 cm2; (3)由(2)可知,S△PBQ = -4t 2 +24t= -4( t-3) 2 +36,∵ a= -4< 0,∴ 当 t= 3 时,△PBQ 的面积有最大值为 36. 答:当 t 为 3 s 时,△PBQ 的面积有最大值. 22. 解:(1)由题意可得,顶点 P 为(5,10),∴ 可设抛物线解析 式为 y= a(x-5) 2 +10. 又过点 B(10,1),∴ 1 = a×52 +10,∴ a = - 9 25 ,∴ 抛物线的解析式为 y= - 9 25 (x-5) 2 +10; (2)由题意可知平行线段 EF 与 BC 之间的距离为 8 米,AB = 1 米,∴ E,F 的纵坐标为 9. ∵ 抛物线为 y = - 9 25 ( x-5) 2 + 10,∴ 令 y= 9,可得 9 = - 9 25 ( x-5) 2 +10. ∴ x = 10 3 或 x= 20 3 . ∴ 点 E 与隧道左壁 OC 之间的距离为 10 3 米. 23. 解:(1)∵ 直线 l2 的解析式为 y = kx-5,∴ M(0,-5),把 M 点的坐标代入 y = a( x-1) ( x-5)得,5a = -5,解得 a = -1, ∴ 抛物线 l1 的解析式为 y= -(x-1) (x-5),即 y = -x 2 +6x- 5; (2)设直线 l2 与 x 轴的交点为 C,∵ y = -( x- 1) ( x- 5), ∴ 点 A(1,0)和点 B(5,0),∴ AB = 4,∵ 直线 l2 将线段 AB 分成 1􀏑3 两部分,∴ AC= 1 或 AC = 3,∴ C(2,0)或(4,0), 代入 y= kx-5,得 k= 5 2 或 5 4 ; (3)2 10 -6<k<1. 　 【解析】如图所示,当直线 y = kx-5 夹 在两条虚线之间时直线 l2 与图象 l3 有四个交点,把 B(5, 0)代入 y= kx-5 得 k = 1;∵ y = -x2 +6x-5 的顶点是(3,4), ∴ 将抛物线 l1 在 x 轴上方的部分沿 x 轴折叠到 x 轴下方 后,顶点变为(3,-4),∴ 折叠后的抛物线表达式为 y = (x- 3) 2 - 4 = x2 - 6x + 5,联 立 y = kx - 5 和 y = x2 - 6x + 5,得 y= kx-5, y= x2 -6x+5,{ ∴ x2 -6x+5 = kx-5,即 x2 -(6+k)x+10 = 0,∴ Δ = (6+k) 2 -40 = 0,∴ k = 2 10 -6 或 k = -2 10 -6,∵ k>0, ∴ k= 2 10 -6,∴ 2 10 -6<k<1. 第二十三章　 旋转 1. A　 2. D　 3. D　 4. C　 5. B　 6. B　 7. A　 8. D　 9. B 10. A　 【解析】①设 AF 交 BC 于 K,∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠ABK= 90°,∴ ∠KAB+∠AKB = 90°,∵ 将Rt△ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90°,得到△CBG,∴ ∠KAB = ∠BCG, ∵ ∠AKB= ∠CKF,∴ ∠BCG+∠CKF = 90°,∴ ∠KFC = 90°, ∴ AF⊥CG,故①正确;②∵ 将Rt△ABE 绕点 B 按顺时针方 向旋转 90°,∴ ∠AEB= ∠CGB = 90°,BE =BG,∠EBG = 90°, ∴ 四边形 BEFG 是矩形,又∵ BE = BG,∴ 四边形 BEFG 是 正方形,故②正确;③如图,过点 D 作 DH⊥AE 于 H,∵ DA =DE,DH⊥AE,∴ AH = 1 2 AE,∴ ∠ADH+∠DAH = 90°,∵ 四 边形 ABCD 是正方形,∴ AD = AB,∠DAB = 90°,∴ ∠DAH+ ∠EAB = 90°, ∴ ∠ADH = ∠EAB,又 ∵ AD = BA, ∠AHD = ∠BEA= 90°,∴ △ADH≌△BAE(AAS),∴ AH = BE = 1 2 AE, ∵ 将Rt△ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90°,∴ AE = CG, ∵ 四边形 BEFG 是正方形,∴ BE = GF,∴ GF = 1 2 CG,∴ CF =FG,故③正确. ∴ 正确的有:①②③. 故选:A. 11. (3,-5)　 12. 72　 13. 15°　 14. 12 15. 3　 【解析】 连接 CN,∵ ∠ACB = 90°,∠A = 30°,AB = 12, ∴ BC= 1 2 AB= 6,∵ 点 M 是 BC 的中点,∴ CM= 1 2 CB= 3,由 旋转可知∠ACB = ∠A1CB1 = 90°,AB = A1B1 = 12,∵ 点 N 是 A1B1 的中点,∴ CN= 1 2 A1B1 = 6,∵ MN≥CN-CM = 6-3 = 3. ∴ MN≥3,∴ 线段 MN 的最小值是 3. 故答案为:3. 16. 证明:∵ △ABO 与△CDO 关于 O 点中心对称,∴ BO = DO, AO= CO, ∵ AF = CE, ∴ AO -AF = CO -CE, ∴ FO = EO,在 △FOD 和△EOB 中, FO=EO, ∠FOD= ∠EOB, DO=BO, ì î í ï ï ïï ∴ △FOD≌△EOB (SAS),∴ FD=BE. 17. 解:(1)如图所示,△AED 即为所求; (2)由(1)知:△ADE≌△BDC,则 CD =DE,AE = BC,∴ AE- AC<2CD<AE+AC,即 BC-AC<2CD<BC+AC,∴ 2<2CD<10, 解得 1<CD<5. 18. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求; (2)如图所示,△A2B2C2 即为所求; (3)( -b,a) . 19. 证明:(1)由旋转可知,∠EBD = 60°,BE = BD,∵ △ABC 是 等边三角形,∴ ∠ABC = ∠DCB = 60°,AB = BC,∵ ∠EBD = ∠ABC= 60°,∴ ∠EBD-∠ABD= ∠ABC-∠ABD,即∠EBA = ∠DBC,在△ABE 和△CBD 中, BE=BD, ∠EBA= ∠DBC, BA=BC, ì î í ïï ïï ∴ △ABE ≌△CBD(SAS); (2)由(1)知,△ABE≌△CBD,∴ ∠EAB = ∠DCB,∵ ∠ABC= ∠DCB= 60°,∴ ∠EAB= ∠ABC,∴ AE∥BC. 20. 解: ( 1) ∵ ∠ADE = 35°, ∠DAE = 50°, ∴ ∠AED = 180° - ∠ADE - ∠DAE = 95°, ∵ △ADE 绕点 A 顺时针旋转至 △ABF,∴ △ADE≌△ABF,∴ ∠AFB= ∠AED= 95°; (2)∵ △ADE 绕点 A 顺时针旋转至△ABF,点 E 的对应点 为点 F,∴ AE = AF,AD 旋转至 AB 的位置,旋转角为 90°, ∴ ∠EAF= 90°,∴ EF= 2AE= 2 ×2 = 2 2 . 21. 解:(1)P′B,P′B2; (2)关系式为:2PA2 +PB2 =PC2 . 证明:如图将△APC 绕 A 点 逆时针旋转 90°,得到△AP′B,连接 PP′,则△APP′为等腰 直角三角形, ∴ ∠APP′ = 45°, PP′ = 2 PA, PC = P′ B, ∵ ∠APB = 135°, ∴ ∠BPP′ = 90°, ∴ P′ P2 + BP2 = P′ B2, ∴ 2PA2 +PB2 =PC2 . 　 　 　 　 　 　 　 22. 解:(1)A,90; (2)证明:由旋转的性质,得 AE = AN,∠BAE = ∠DAN,∵ 四 40　 边形 ABCD 是正方形,∴ ∠BAD = 90°,即∠BAN+∠DAN = 90°,∴ ∠BAN + ∠BAE = 90°,即∠EAN = 90°, ∵ ∠MAN = 45°,∴ ∠MAE = ∠EAN-∠MAN = 90°- 45° = 45°,在△AEM 和△ANM 中, AE=AN, ∠MAE= ∠MAN= 45°, AM=AM, ì î í ïï ïï ∴ △AEM≌ △ANM (SAS); (3)设正方形 ABCD 的边长为 x,则 BC = CD = x,∵ BM = 3, DN= 2,∴ CM=BC-BM= x-3,CN=CD-DN = x-2,由旋转的 性质,得 BE=DN= 2,∴ ME=BE+BM= 2+3 = 5,由(2)已证: △AEM≌△ANM,∴ MN=ME= 5,又∵ 四边形 ABCD 是正方 形,∴ ∠C= 90°,则在 Rt△CMN 中,CM2 +CN2 =MN2,即(x- 3) 2 +(x-2) 2 = 52,解得 x= 6 或 x = -1(不符题意,舍去) . 故 正方形 ABCD 的边长为 6. 23. 解:(1)B; (2) ∠QEP = 60°. 证明: ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AC = BC,∠ACB= 60°,∵ 线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线 段 CQ,∴ CP=CQ,∠PCQ= 60°,∴ ∠ACB+∠BCP = ∠BCP+ ∠PCQ, 即 ∠ACP = ∠BCQ, 在 △ACP 和 △BCQ 中, CA=CB, ∠ACP= ∠BCQ, CP=CQ, ì î í ïï ïï ∴ △ACP ≌ △BCQ ( SAS ), ∴ ∠APC = ∠Q,∵ ∠BFP= ∠CFQ,∴ ∠QEP= ∠PCQ= 60°; (3)BQ= 4 6 -4 2 . 　 【解析】作 CH⊥AD 于 H,如图 3,同理 可得:△ACP≌△BCQ,∴ AP = BQ,∵ ∠DAC = 135°,∠ACP = 15°,∴ ∠APC = 30°,∠PCB = 45°,∠HAC = 45°,∴ △ACH 为等腰直角三角形,∵ AC = 8,∴ AH = CH = 2 2 AC = 4 2,在 Rt△PHC 中,PC = 2CH,PH= PC2 -CH2 = 3CH= 4 6,∴ PA =PH-AH= 4 6 -4 2,∴ BQ= 4 6 -4 2 . 图 3 第一学期期中综合质量检测卷(一) 1. D　 2. C　 3. C　 4. B　 5. D　 6. B　 7. A　 8. B　 9. B 10. B　 【解析】①由图象可得,该抛物线与 x 轴有两个交点,则 b2 -4ac>0,故①正确;②∵ 抛物线 y = ax2 +bx+c 与 x 轴相交 于点 A(-2,0)、B(6,0),∴ 该抛物线的对称轴是直线 x = -2+6 2 = 2,∴ - b 2a = 2,∴ 4a+b = 0,故②正确;③由图象可得, 当 y>0 时,x<-2 或 x>6,故③错误;④当 x = 1 时,y = a+b+c <0,故④正确. 故选:B. 11. 0　 12. 40°　 13. 18　 14. x1 = -1,x2 = 5 15. 5+5 2 　 【解析】∵ 将△BCD 绕点 B 逆时针旋转 90°得到 △BAE,∴ AE= CD,BE = BD,∠DBE = 90°,∴ AE+AD = AD+ CD=AC,△DBE 是等腰直角三角形,∴ DE= 2BD,∴ 当 BD 取最小值时,DE 的值最小,则△AED 周长的值最小,当 BD ⊥AC 时,BD 的值最小,∵ △ABC 是等腰直角三角形,BC = 5,∴ AC = 2 BC = 5 2 ,∴ BD = 1 2 AC = 5 2 2 ,∴ DE = 5, ∴ △AED 周长最小值是 AC +DE = 5 2 + 5. 故答案为:5 + 5 2 . 16. 解:(1)方程整理,得 x2 -4x = 1,配方,得 x2 -4x+4 = 5,( x- 2) 2 = 5,开方,得 x-2 = ± 5 ,解得 x1 = 2+ 5 ,x2 = 2- 5 ; (2)方程整理,得(x-1) 2 = 8,开方,得 x-1 = ±2 2 ,解得 x1 = 1+2 2 ,x2 = 1-2 2 . 17. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求; (2)如图所示,△D1EF1 即为所求; (3)(0,1) . 18. 解:(1)证明:∵ a = 1,b = -( k+1),c = 2k- 3,∴ Δ = [ -( k+ 1)] 2 -4(2k-3)= k2 -6k+13 = (k-3) 2 +4,而(k-3) 2 ≥0,∴ Δ >0. ∴ 对任意实数 k,方程有两个不相等的实数根; (2)∵ 方程的一个根是 3,∴ 32 -3(k+1) +2k-3 = 0,解得 k = 3,∴ 原方程为 x2 -4x+3 = 0,解得 x1 = 1,x2 = 3. 即 k 的值为 3,方程的另一个根是 1. 19. 解:(1)证明:∵ ∠CAF = ∠BAE,∴ ∠BAC = ∠EAF. ∵ 将线 段 AC 绕 A 点旋转到 AF 的位置,∴ AC = AF. 在△ABC 和 △AEF 中, AB=AE, ∠BAC= ∠EAF, AC=AF, ì î í ïï ïï ∴ △ABC≌△AEF(SAS),∴ EF =BC; (2)∵ AB= AE,∠ABC = 62°,∴ ∠BAE = 180°-62°×2 = 56°, ∴ ∠FAG= ∠BAE = 56°. ∵ △ABC≌△AEF,∴ ∠F = ∠C = 29°,∴ ∠FGC= ∠FAG+∠F= 56°+29° = 85°. 20. 解:(1)∵ 抛物线与 x 轴交于点 A(1,0),B(3,0),可设抛物 线解析式为 y= a(x-1)(x-3),把 C(0,-3)代入得 3a= -3, 解得 a= -1,故抛物线解析式为 y = -( x-1) ( x-3),即 y = -x2 +4x- 3, ∵ y = - x2 + 4x - 3 = - ( x - 2) 2 + 1, ∴ 顶点坐标 (2,1); (2)先向左平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位,得到的抛 物线的解析式为 y = -x2,平移后抛物线的顶点为(0,0)落 在直线 y= -x 上(答案不唯一) . 21. 解:(1)3t cm, 2t cm; (2)依题意,得 1 2 [(16-3t) +2t] ×6 = 33,整理,得 16-t= 11, 解得 t= 5. 答:当 t 为 5 时,四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2; (3) 过点 Q 作 QE⊥AB 于点 E,则 PE = (16-3t) -2t = 16-5t ,图略. 依题意,得 16-5t 2 +62 = 102,即(16-5t) 2 = 82,解得 t1 = 8 5 ,t2 = 24 5 . 答:当 t 为 8 5 秒或 24 5 秒时,点 P 和点 Q 的距离为 10 cm. 22. 解:(1)由题意,得 y= (x+60-40)(300-10x)= -10x2 +100x +6 000; (2)y= -10x2 +100x+6 000 = -10(x-5) 2 +6 250,∵ -10<0, 故抛物线开口向下,当 x = 5 时,y 取得最大值为 6 250 元. ∴ 销售该商品第 5 天时,日销售利润最大,最大日销售利 润为 6 250 元; (3)14 天. 　 【解析】令 y= -10x2 +100x+6 000 = 5 440,解得 x=-4 或 x=14,故当月有 14 天的日销售利润不低于 5 440 元. 23. 解:(1)BE = AD. 证明:∵ △C′DE 绕点 C 按顺时针方向旋 转 30°,∴ ∠BCE= ∠ACD= 30°,∵ △ABC 与△C′DE 是等边 三角形, ∴ CA = CB,CE = CD, ∴ △BCE≌ △ACD ( SAS), ∴ BE=AD; (2)BE=AD. 证明:∵ △C′DE 绕点 C 按顺时针方向旋转的 角度为 α,∴ ∠BCE = ∠ACD = α,∵ △ABC 与△C′DE 是等 边三角形,∴ CA = CB,CE = CD,∴ △BCE≌△ACD( SAS), ∴ BE=AD; (3)当 α 为 180°时,线段 AD 的长度最大,等于 a+b;当 α 为 0°(或 360°)时,线段 AD 的长度最小,等于 a-b. 第一学期期中综合质量检测卷(二) 1. D　 2. B　 3. B　 4. A　 5. D　 6. B　 7. B　 8. C　 9. A 10. D　 【解析】如图,连接 AE,过点 A 作 AG⊥AE,截取 AG = AE,连接 PG,GE,∵ 将线段 AF 绕着点 A 顺时针旋转 90°得 到 AP,∴ AF = AP,∠PAF = 90°,∴ ∠FAE+∠PAE = ∠PAE+ ∠PAG= 90°,∴ ∠FAE = ∠PAG. 又∵ AG = AE,∴ △AEF≌ △AGP(SAS),∴ PG=EF= 2. ∵ BC = 3,CE = 2BE,∴ BE = 1. ∴ 在 Rt △ABE 中, AE = AB2 +BE2 = 17 . ∵ AG = AE, ∠GAE= 90°,∴ GE = 2 AE = 34 . ∵ PE≥GE-PG,且当点 G,P,E 三点共线时取等号,∴ PE 的最小值为 GE -PG = 34 -2. 故选:D. 11. y= x2(答案不唯一)　 12. m>2　 13. 21　 14. 9 4 15. 75°或 120°或 165°　 【解析】∵ ∠DAC = ∠D= 60°,∴ △ADC 是等边三角形,∴ ∠DCA = 60°. ∵ ∠B = 90°,∠BAC = 45°, ∴ ∠ACB= 45°. 当旋转后的 CD 边与 BC 平行时,如图 1,令 AD′与 BC 的交点为 M,由旋转可知,∠D′= ∠D= 60°. ∵ BC ∥C′D′,∴ ∠AMB = ∠D′ = 60°,∴ ∠CAM = 60° - 45° = 15°, ∴ ∠DAD′= 60°+15° = 75°,即 α = 75°. 当旋转后的 CD 边与 AC 平行时,如图 2,∵ AC∥C′D′,∴ ∠CAD′ = ∠D′ = 60°, ∴ ∠DAD′= 60°+60° = 120°,即 α= 120°. 当旋转后的 CD 边 与 AB 平行时,如图 3,∵ C′D′∥AB,∴ ∠BAD′ = ∠D′ = 60°, ∴ ∠DAD′= 60°+45°+60° = 165°,即 α= 165°. 综上所述,α = 75°或 120°或 165°. 故答案为:75°或 120°或 165°. 图 1 　 图 2 　 图 3 16. 解:(1)配方法,二; (2)∵ x2 +2x-3 = 0,∴ (x+3)(x-1)= 0,则 x+3 = 0 或 x-1 = 0,解得 x1 = -3,x2 = 1. 17. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求;点 C1 的坐标(4,1); (2)如图所示,△A2B2C2 即为所求;点 B2 的坐标( -3,-3); (3)△A1B1C1 绕点 O 顺时针旋转 90°后得到△A2B2C2 . 18. 解:(1)△ABC 是等腰三角形. 理由如下:∵ x= -1 是方程的 根,∴ (a+c) ×( -1) 2 -2b+(a-c)= 0,∴ a+c-2b+a-c= 0,∴ a -b= 0,∴ a= b,∴ △ABC 是等腰三角形; (2)△ABC 是直角三角形. 理由如下:∵ 方程有两个相等的 实数根,∴ Δ= (2b) 2 -4(a+c)(a-c)= 0,∴ 4b2 -4a2 +4c2 = 0, ∴ a2 = b2 +c2,∴ △ABC 是直角三角形. 19. 解:(1)设平均每次降价的百分率为 x,根据题意,得 30(1- x) 2 = 19. 2,解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = 1. 8(不符合题意,舍 去) . 答:平均每次降价的百分率为 20%; (2)根据题意,得 19. 2×(1-20%)= 15. 36(元 /千克) . 答:再次降价后的售价为 15. 36 元 /千克. 20. 解:(1) 设 y 与 x 的函数解析式为 y = kx+b,将( 10,30)、 (16,24)代入,得 10k+b= 30, 16k+b= 24,{ 解得 k= -1, b= 40,{ 所以 y 与 x 的 函数解析式为 y= -x+40(10≤x≤16); (2)根据题意知,W= (x-10)y= (x-10)( -x+40)= -x2 +50x -400 = -(x-25) 2 +225,∵ a= -1<0,∴ 当 x<25 时,W 随 x 的 增大而增大,∵ 10≤x≤16,∴ 当 x = 16 时,W 取得最大值, 最大值为 144. 答:每件销售价为 16 元时,每天的销售利润最大,最大利 润是 144 元. 21. 解:(1)设 y 关于 x 的函数表达式为 y = a( x- 3) 2 + 3,把 0, 5 3( ) 代入上式得,a(0-3) 2 +3 = 5 3 ,解得 a = - 4 27 . ∴ y 关 于 x 的函数表达式为 y= - 4 27 (x-3) 2 +3; (2)该女生在此项考试中没有得满分. 理由如下:当 y = 0 时,即- 4 27 (x-3) 2 +3 = 0,解得 x1 = 7. 5,x2 = -1. 5 (舍去), ∵ 7. 5<7. 80,∴ 该女生在此项考试中没有得满分. 22. 解:(1)① 60°;② 4; ③ ∵ △BAO 绕 点 B 顺 时 针 旋 转 60° 后 得 到 △BCD, ∴ ∠OBD= 60°,OB = DB = 4,CD = AO = 3,∴ △BOD 为等边 三角形,∴ OD = 4,∠BDO = 60°,在△OCD 中,CD = 3,OD = 4,OC= 5,∵ 32 +42 = 52,∴ CD2 +OD2 =OC2,∴ △OCD 为直角 三角形,∠ODC= 90°,∴ ∠BDC = ∠BDO+∠ODC = 60°+90° = 150°; (2)OA2 +2OB2 = OC2 时,∠ODC = 90°. 证明:∵ △BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD,∴ ∠OBD = ∠ABC = 90°,BO = BD,CD=AO,∴ △OBD 为等腰直角三角形,∴ OD = 2 OB, ∵ 当 CD2 +OD2 = OC2 时,△OCD 为直角三角形,∠ODC = 90°,∴ OA2 +2OB2 =OC2,∴ 当 OA、OB、OC 满足 OA2 +2OB2 = OC2 时,∠ODC= 90°. 23. 解:(1)依题意,得 - b 2a = -1, a+b+c= 0, c= 3, ì î í ï ï ï ï 解得 a= -1, b= -2, c= 3, ì î í ïï ïï ∴ 抛物线解析 式为 y= -x2 -2x+3,∵ 对称轴为 x= -1,且抛物线经过 A(1, 0),∴ B( - 3,0),设直线 BC 的解析式为 y = mx +n,把 B ( -3,0)、C( 0,3) 分别代入直线 y = mx+n,得 -3m+n= 0, n= 3,{ 解得 m= 1, n= 3,{ ∴ 直线 BC 的解析式为 y= x+3; (2)设直线 BC 与对称轴 x = -1 的交点为 M,则此时 MA+ MC 的值最小. 把 x = - 1 代入直线 y = x+ 3 得,y = 2,∴ M ( -1,2),即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最 小时,M 的坐标为( -1,2); (3)设 P( -1,t),又∵ B( -3,0),C(0,3),∴ BC2 = 18,PB2 = ( -1+3) 2 +t2 = 4+t2,PC2 = ( -1) 2 +( t-3) 2 = t2 -6t+10,①若 点 B 为直角顶点,则 BC2 +PB2 = PC2,即:18+4+ t2 = t2 -6t+ 10,解得 t = -2;②若点 C 为直角顶点,则 BC2 +PC2 = PB2, 即:18+t2 -6t+10 = 4+t2,解得 t= 4;③若点 P 为直角顶点,则 PB2 +PC2 =BC2,即:4+t2 +t2 -6t+10 = 18,解得 t1 = 3+ 17 2 ,t2 = 3 - 17 2 . 综上所述 P 点的坐标为( -1,-2)或( -1,4)或 -1, 3+ 17 2( ) 或 -1, 3- 17 2( ) . 第二十四章　 圆 1. B　 2. C　 3. D　 4. D　 5. D　 6. C　 7. D　 8. B　 9. A 10. B　 【解析】连接 OE,延长 EO 交 BF 于点 M,∵ C′D′与☉O 相切,∴ ∠OEC′ = 90°,又∵ 矩形 A′BC′D′中,A′B∥C′D′, ∴ ∠EMB= 90°,∴ BM=FM,∵ 矩形 ABCD 绕点 B 旋转所得 矩形为 A′BC′D′,∴ ∠C′= ∠C = 90°,AB =CD,BC = BC′ = 8, ∴ 四边形 EMBC′为矩形,∴ ME= 8,设 OB =OE = x,则 OM = 8-x,∵ OM2 +BM2 =OB2,∴ (8-x) 2 +42 = x2,解得 x = 5,∴ AB =CD= 10. 故选:B. 11. 点 P 在圆外　 12. 31　 13. 13　 14. 6 15. ( -14,0) 　 【解析】连接 PO,∵ PA⊥PB,∴ ∠APB = 90°, ∵ 点 A、点 B 关于原点 O 对称,∴ AO = BO,∴ AB = 2PO,若 要使 AB 取得最大值,则 PO 需取得最大值,连接 OM,并延 长交☉M 于点 P′,当点 P 位于 P′位置时,OP′取得最大值, 过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q,则 OQ = 6,MQ = 8,∴ OM = 10, 又∵ MP′= r = 4,∴ OP′=MO+MP′= 10+4 = 14,∴ AB = 2OP′ = 2×14 = 28,∴ A 点坐标为(-14,0) . 故答案为:(-14,0) . 16. 证明:∵ AD = CB,∴ AD ( = CB ( ,∴ AD ( +AC ( = CB ( +AC ( ,∴ CAD ( = ACB ( ,∴ AB=CD. 17. 解:(1)∵ OD⊥AB,OE⊥AC,∴ AD= 1 2 AB,AE = 1 2 AC,∵ AB =AC,∴ AD = AE,∵ ∠ADO = ∠A = ∠AEO = 90°,∴ 四边形 ADOE 是正方形,∴ OE = AE,连接 OA,图略. ∵ AC = 4 2 , ∴ AE= 1 2 AC= 2 2 ,在 Rt△AOE 中,OA = 2 AE = 2 2 × 2 =