第05讲 二次函数的图象和性质（4考点11题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（北师大版）

第05讲 二次函数的图象和性质 课程标准 学习目标 会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图;通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(z-h)+k的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值． 1.掌握二函数图象的画法及性质； 2.会计算二次函数图象的顶点坐标，图象的开口方向，图象的对称轴； 3.会用二次函数的图象与性质解决相关的计算题． 知识点一：二次函数的概念 (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 【即学即练】 1．下列函数中，一定为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：、不是二次函数，不符合题意； 、，是二次函数，符合题意； 、，没有说明，不符合题意； 、，是正比例函数，不是二次函数，不符合题意； 故选：． 2．已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数.据此进行解答即可. 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：D 3．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 4．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 5．关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 【详解】解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 知识点二：二次函数的图象和性质 图象 开口 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大. 最值 ， . ，. 【即学即练】 6．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，在中，对称轴为，顶点坐标为，由二次函数解析式即可求得顶点坐标． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为， 故选：D． 7．若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，求得函数图象的开口方向和对称轴，根据各点离对称轴的距离求解即可． 【详解】解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 8．下列各点中，是二次函数图像上的点是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 分别把、0、代入二次函数解析式中计算出对应的函数值，然后进行判断． 【详解】解：A.当时，，故选项不合题意； B.当时，，故选项不合题意； C.当时，，故选项符合题意； D．当时，，故选项不合题意； 故选：C． 9．二次函数 的图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式转化成顶点式，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的顶点坐标为， 故答案为：． 10．已知抛物线经过两点． (1)求抛物线的对称轴； (2)判断点是否在此函数图象上． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)点不在此函数图象上 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，抛物线的性质： （1）根据两点的纵坐标相同即可求出对称轴； （2）根据（1）所求得到抛物线的解析式为：，再求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：两点的纵坐标相同， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：抛物线的对称轴为， 抛物线的解析式为：， 当时，， 点不在此函数图象上． 11．已知二次函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)请你判断点是否在此二次函数的图象上； (3)若点，均在该抛物线上，则______（选填：“”“”或“”） 【答案】(1)抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为： (2)不在 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）将一般式化为顶点式，求解即可； （2）将代入函数解析式，求出值，进行判断即可； （3）根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为：； （2）∵， ∴当时，， ∴点不在此二次函数的图象上； （3）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴； 故答案为：； 12．已知二次函数． (1)求二次函数图象的对称轴； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合图象直接写出函数的最大值和最小值． 【答案】(1)直线 (2)见解析 (3)函数最大值为0，最小值为 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴； （2）写出该函数图象上的五个点，即可画出函数图象； （3）根据（2）中画出的函数图象，即可写出最大值和最小值． 【详解】（1）解：二次函数， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 该函数的顶点坐标为，与轴的交点为，，与轴交于点，过点， 函数图象如图所示； （3）解：观察图象得，当自变量时， 当时，取最小值，此时，当时，取最大值，此时， 当时，． 即：函数最大值为0，最小值为． 知识点三：系数a、b、c的作用 a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. ab 决定对称轴（）的位置 当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边． c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 决定抛物线与x轴的交点个数 时，抛物线与x轴有2个交点; 时，抛物线与x轴有1个交点; 时，抛物线与x轴没有交点 【即学即练】 13．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 14．从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的有（    ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵函数图象与轴的交点在轴的负半轴可知， ∴， 故①正确； 函数图象开口向上， ， ∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴故， 故②正确； 把代入函数解析式，由函数的图象可知，时，即， 故③正确； ∵， ∴， 故④错误； ∵， ∴， 故⑤正确； 其中正确信息的有①②③⑤． 故选：A． 15．二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题．根据二次函数的图像与系数的关键，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数图像与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像对称轴为，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，可有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为， ∴， 又∵当时，可有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴， 而本结论中没有说明，故结论④不正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越大，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤． 故选：C． 16．已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置、抛物线与x轴交点的个数确定，解题关键是熟练运用二次函数的图象和性质． 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上， ∴， ∵对称轴为，得， ，且a、b异号，即， 又∵， ∴， 故①、③错误； 根据图象得，抛物线与x轴有两个交点， ∴即，故②正确； ∵对称轴为，得， ∴， ∵， ∴， 故④正确； ∵抛物线与x轴的交点可以看出， 当时，， ∴， 即， 故⑤正确． 故答案为：②④⑤． 17．如图，抛物线对称轴为直线，与x轴一种交点在和之间，其某些图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④（t为实数）；⑤点，，是该抛物线上点，则，对的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数与系数的关系，以及二次函数的性质，根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②，由时可判断③，由时函数取得最大值可判断④，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线的对称轴为直线， ∴，故①正确； ②∵与x轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， ∴由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即，故②正确； ③∵由②知，时，且， 即，故③正确； ④由函数图象知当时，函数取得最大值， ∴， 即（t为实数），故④错误； ⑤∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大， ∵点，，是该抛物线上点，且， ∴，故⑤错误； 综上，正确的有①②③，共3个， 故答案为：3． 知识点四：二次函数图象的平移 注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分） 【即学即练】 18．把抛物线向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，把抛物线向左平移1个单位， ∴， ∵再向下平移5个单位， ∴， 故选：B 19．抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键，根据图象的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】由抛物线的图象先向左平移2个单位， 得， 由向下平移6个单位， 得， 故选：B． 20．抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题．先整理成顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：， 抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 所得到的抛物线解析式为， 故选：C． 21．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线解析式为． 故答案为： 22．如果我们定义 为二次函数的“有序数集”，如函数的“有序数集”为．若一个二次函数的“有序数集”是 ，则将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数的“有序数集”是 【答案】 【分析】本题考查了新定义问题及二次函数的平移，能够读懂题意得到原函数的解题关键．先根据二次函数的“有序数集”得到这个二次函数，再通过二次函数的平移得到平移后的二次函数，再转化成“有序数集”即可． 【详解】解：∵一个二次函数的“有序数集”是 ， ∴这个二次函数为， 再将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后， 得到的新函数为， 故新函数对应的“有序数集”为． 故答案为： ． 题型01 由二次函数图象判断式子符合 例：如图所示，抛物线与x轴的两个交点坐标分别是，下列说法中正确的有（      ） ①；②；③；④当时， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象判断式子的符号，注意数形结合；由抛物线与x轴的两个交点坐标得，由图象知，，即可判定①②③；观察图象即可判定④． 【详解】解：∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是， ∴， 解得：； 故①正确； 由图象知，抛物线开口向下，则， ∴，， 故②错误，③正确； 观察图象知，当时，函数图象位于x轴上方，即； 故④正确； 综上，正确的有①③④三个； 故选：C． 24．二次函数的对称轴为直线，且经过点，且有最大值．下列结论： ①开口向下； ②； ③关于x的方程的另一个根是； ④点和点在抛物线上时，；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据二次函数有最大值，可判断开口向下，故①正确；根据二次函数的对称轴公式可求得，即可判断②；根据二次函数的对称性结合其对称轴可求出该二次函数还经过点，即可判断③；由两点坐标可判断其关于直线对称，结合二次函数的对称性即可得出，可判断④． 【详解】解：∵该二次函数有最大值， ∴开口向下，故①正确； ∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ∵二次函数的对称轴为直线，且经过点， ∴该二次函数还经过点， ∴关于x的方程的另一个根是，故③正确； ∵， ∴点和点关于直线对称， ∴，故④正确． 综上可知，正确的个数有3个． 故选C． 25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是 （只填写序号）． 【答案】①④ 【分析】观察到抛物线开口向下，则，因为抛物线对称轴是直线，所以当时，随的增大而减小，根据对称性得，所以，因为越靠近对称轴的所对应的函数值越大，所以．本题考查二次函数图与系数的关系，二次函数的性质，关键是利用函数的图象和性质解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 故①正确； 抛物线对称轴是直线，开口向下， 当时，随的增大而减小， 故②错误； ，对称轴是直线， ∴， ， 故③错误； 抛物线开口向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵点在函数的图象上， ， ， 故④正确． 故答案为：①④． 26．已知抛物线（，a、b、c是常数） 开口向上， 过两点 （其中） ． 下列四个结论： ①； ②； ③若 则当 时，y随x的增大而增大； ④ 关于x的不等式 的解集为或． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质等，根据开口方向可得，根据对称性可得对称轴为直线，再求出，得到对称轴在y轴左侧，则可根据对称轴计算公式得到，再求出，据此可判断①；当时，，据此可判判断②；当时，，则，进而得到，再根据增减性即可判断③；由，得到，令，则二次函数和直线都经过点和，则不等式得解集为或，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线（，a、b、c是常数） 开口向上， ∴， ∵抛物线过两点， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴对称轴在y轴左侧， ∴， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴抛物线与y轴的交点在y轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线过，且， ∴当时，，故②正确； ∵当时，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，但是不能得到对称轴在直线左边或者与直线重合，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 令，则二次函数和直线都经过点和， ∴不等式得解集为或，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 27．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论①；②；③；④若，则．其中正确的是： ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等；①由图象得，，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断；能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ， ， ， ， 故①不正确； ②对称轴为直线， 图象与x轴交于点， 图象与x轴交于另一点， ， ， ， ， ， ， 故②正确； ③， ，对称轴为直线， 当时， ， ， ， 故③正确； ④由②得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 故答案：②③④． 28．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，其中点坐标为，顶点的横坐标为1，轴，垂足为，下列结论：①当时，随增大而减小；②；③；④当时，．其中结论正确的有 (填序号)．    【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，由点横坐标可得抛物线对称轴为直线，由点可得，根据二次函数图象的性质和函数与方程的关系逐个判断可以得解． 【详解】解：点横坐标为， 抛物线对称轴为直线， 图象开口向下， 时，随增大而减小， 故①正确，符合题意． 对称轴为直线， ． ， ， 故②错误，不符合题意． 点坐标为，对称轴为直线， 点坐标为， ， ， ， ， ， 故③正确，符合题意． ， ． ， ． ， ， 故④正确，符合题意． 故答案为：①③④． 题型02 一次函数与二次函数的综合判定 例：若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数图象，根据直线判断出函数解析式的系数的符号是解题的关键．根据一次函数的图象经过第二、三、四象限判断出、的符号，从而判断出函数开口方向，对称轴的位置，据此即可判断． 【详解】解：一次函数的图象经过第二、三、四象限， ，， 二次函数的开口向下， ∴对称轴在轴左侧， 故选：C． 30．函数和（a是常数，且），在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项错误； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项正确． 故选：D． 31．已知一次函数（为常数）的图象如图所示，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象的性质，根据一次函数的图象可得，则二次函数的图象开口朝上，与y轴的交点的纵坐标为，对称轴为，以此即可判断． 【详解】解：由一次函数（a为常数）的图象可知， ∴二次函数的图象开口朝上，故A选项不符合题意； ∵二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为， ∴二次函数的图象交于y轴正半轴，故D选项不符合题意； ∵二次函数的图象的对称轴为，， ∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，故B选项不符合题意，C选项符合题意． 故选：C． 32．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项排除即可，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、∵一次函数的图象过一、二、三象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、三、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 故选：． 33．在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为． 【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，称轴为，则对称轴应在轴左侧与图象不符，故B选项错误； C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． 题型03 双二次函数的图象判定问题 例：在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象． 【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标． 35．已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 【答案】B 【分析】分两种情况讨论，通过解不等式和，可对各项进行判断． 【详解】解：当时，， 整理得， ， ，解得或； 当时，， 整理得， ， ，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 36．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 37．抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解． 【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和， 如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3， ∴AM=BM，AN=CN， ∴， ∵BC=10， ∴MN=5， ∴h+3=5， ∴h=2， ∵点B（3，3）， ∴3＝（3-2）2＋k，解得： ， ∴， ∵BC∥x轴， ∴点A、C的纵坐标为3， 令，则， 解得：， ∴点A（1，3）， 把点A（1，3）代入，得： ，解得： ，故①错误； ∵，且对称轴为直线x=2， ∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为， ∴p＜n＜m，故②正确； ∵， ∴， ∵y1≥y2， ∴， 整理得：， 解得：或，故③错误； ∵，， 当x=0时，，， ∴点， ∴，故④正确； ∴正确的有②④． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 38．已知抛物线：与抛物线：中，若满足，则称抛物线，为“比例”抛物线． (1)已知与是“比例”抛物线． ①b的值为______；   ②求出它们的交点坐标． (2)设抛物线，，的顶点分别为D，E，F． ①判断它们是否是______“比例”抛物线？（填“是”或“不是”） ②若EF＝4DE，求a的值． 【答案】(1)①；②它们的交点坐标（0，-6）、（-3,-6） (2)①它们是 “比例”抛物线；②或 【分析】（1）①利用题干所给“比例”抛物线的定义分析列比例式即可求得； ②联立解方程组写出交点坐标即可； （2）①利用题干所给“比例”抛物线的定义列比例式分析即可求得； ②题干告知，要求的值，分别表示D，E，F三点的坐标，并利用距离坐标公式求知答案． 【详解】（1）解：（1）①∵与是“比例”抛物线． 所以即， 解得； ②， 消去y得 ， 整理得， 解得：， ∴， ∴它们的交点坐标（0，-6）、（-3,-6）； （2）①∵，，根据所给“比例”抛物线的定义，满足定义， ∴它们是 “比例”抛物线； ②∵， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴或 ∴或． 【点睛】本题考查二次函数图像，结合二次函数图像的性质和特征以及题干所给的“比例”抛物线的定义综合分析思考是解题关键． 题型04 待定系数法求二次函数解析式 例：抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，故设经过平移后的抛物线为，利用对称轴公式即可求得b的值，从而求解． 【详解】解：∵抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点， ∴设经过平移后的抛物线为， 其对称轴为直线， ， ， 平移后的抛物线为， 故选：C． 40．已知二次函数（其中a，h，k是实数，），当时，；当时，，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，当时，，当时，代入函数式整理得，将的值分别代入即可得出结果，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，；当时，；代入函数式得：， ∴， 整理得：， 若，则，故A不符合题意； 若，则，故B不符合题意； 若，则，故C符合题意； 若，则，故D不符合题意； 故选：C． 41．已知点在二次函数的图像上． (1)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位后图像经过点，求的值． 【答案】(1)对称轴为直线；顶点的坐标为 (2)8 【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． （1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上， ∴把，代入，得． 解得：． ∴二次函数的解析式为． ∴对称轴为直线． 顶点的坐标为． （2）解：二次函数的解析式化为． ∵将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位， ∴平移后新二次函数的解析式为． ∵平移后图像经过点， ∴把，代入，得． 解得：． 42．二次函数的图像与轴交于点，对称轴是直线，函数最大值为3． (1)求顶点坐标； (2)求该二次函数的解析式． 【答案】(1)顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． （1）根据该二次函数图像的对称轴和函数最大值，即可确定顶点坐标； （2）设该二次函数的解析式为，将点代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，对称轴是直线，函数最大值为3， ∴顶点坐标为； （2）设该二次函数的解析式为， 把代入， 可得，解得， ∴该二次函数的解析为． 43．求下列各抛物线的解析式： (1)已知一条抛物线的顶点在轴上，且经过，两点； (2)已知抛物线与轴交于两点，，与轴交于点 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，解题的关键是：． （1）根据抛物线的顶点在轴上，可设抛物线的解析式为，然后把，代入求解即可； （2）根据抛物线与轴交于两点，，可设抛物线的解析式为，然后把代入求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴设抛物线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于两点，， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴． 44．如图，抛物线与x轴交于、，，在x轴负半轴，与y轴交于点，顶点为D． (1)用关于a的式子表示b； (2)联结、，交y轴于点E，若，求B坐标； (3)平移抛物线使新抛物线的顶点在直线上，B的对应点在y轴上，C的对应点为，交直线于H，若为直角三角形，求平移后新抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）将将，，代入，即可求解； （2）过顶点作轴，交轴于，可知点与点关于对称，则，进而可得，再证，则为其相似比，即可求得，进而可求得答案； （3）利用待定系数法求得直线的解析式为，结合题意可知抛物线是沿射线方向平移，联结，，由平移可知，可知当为直角三角形时，，，进而证明，求得，即点的坐标为，由点在上，可知原抛物线向右平移9个单位长度，利用待定系数法求得原抛物线的解析式为，得，则点平移后的对应点的横坐标为5，此时纵坐标为，即，即可求得新抛物线的解析式． 【详解】（1）解：将，，代入， 可得，即， ∴； （2）过顶点作轴，交轴于， ∴点与点关于对称，则， ∴， 又∵， ∴，即：， ∵轴， ∴，则为其相似比， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴， 即点的坐标为； （3）设直线的解析式为， 代入，，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵平移后的对应点在轴上， ∴抛物线是沿射线方向平移， 联结，，由平移可知， ∴， 又∵， ∴当为直角三角形时，， 即， ∴，即， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即点的坐标为， ∵点在上， ∴原抛物线向右平移9个单位长度， 将，，代入， 得：，解得， ∴原抛物线的解析式为， ∴， 则点平移后的对应点的横坐标为5， 此时纵坐标为，即， ∴平移后新抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质、相似三角形的判定及性质，抛物线的平移等知识点，本题综合比较强，需要学生放开思维，灵活运用学过的知识点． 题型05 二次函数对称性的应用 例：若点，在抛物线上，则它的对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，解题关键是明确在抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称．根据两点的纵坐标相同，横坐标的和的一半就是对称轴即可求解． 【详解】解：点，在抛物线上，则它的对称轴是， 故选：D． 46．已知抛物线上三点，，，，且，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，先确定抛物线的对称轴为直线，根据，及推出，根据二次函数的对称性知：当和的函数值都是，当和的函数值都是，结合图像即可得解．根据二次函数的对称性求函数值是解题的关键． 【详解】解：如图， 抛物线的对称轴为直线：， ∵，在抛物线上且，即离对称轴越近的点函数值越大， ∴， ∵，，在抛物线上， ∴点和也在抛物线上， ∵， ∴的取值范围是：或． 故选：B 47．二次函数，自变量x与函数y的对应值如表 x … 1 3 … y … 2 4 2 …      则抛物线的对称轴是 【答案】直线 【分析】本题考查利用对称性求抛物线的对称轴，找到表格中函数值相同的两个自变量的值，求出函数的对称轴即可． 【详解】解：由表格可知：和时的函数值相同， ∴对称轴为直线； 故答案为：． 48．已知二次函数的图象上有两点和，则当时，二次函数的值是 ． 【答案】2022 【分析】本题考查了二次函数的对称性，求函数值等知识，掌握二次函数图象的对称性是关键；由A、B两点坐标知，这两点关于抛物线的对称轴对称，而抛物线的对称轴为y轴，即，得x的值，即可求得此时函数值． 【详解】解：∵点和， ∴A、B关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为y轴， ∴， 即； 当时，； 故答案为：2022． 49．如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线的对称轴结合点的横坐标，即可求出点的横坐标，此题得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点， ∴点与点关于直线对称， 点的横坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 50．已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，由题意得抛物线的对称轴，进而推出，，据此即可求解 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴， 点与点关于该抛物线的对称轴对称， ，， 解得， 故的值等于， 故答案为：． 51．抛物线的图象如图． (1)若抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为，当时，求的取值范围． (2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，，求当时，二次函数的值． (3)若此抛物线图象上有两点，，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 【答案】(1)或； (2)； (3)函数值与解析式中的系数有关，理由见解析． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为，得到点关于直线的对称点为，于是得到当时，的取值范围为或； （2）根据已知条件得到点与点关于直线对称，求得，当时，函数的值； （3）由点，，得到两点，关于对称轴直线对称，从而得，当时，，即函数值与解析式中的系数有关． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为， ∴点关于直线的对称点为． ∴当时，的取值范围为或； （2）解：∵，，抛物线的对称轴为直线， ∴点与点关于直线对称， ∴， ， ∴， ∵点关于直线的对称点为 当时，函数的值，即当时，二次函数的值为； （3）解：函数值与解析式中的系数有关，理由如下： ∵两点，纵坐标相等，且在抛物线上， ∴，关于对称轴直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，即函数值与解析式中的系数有关． 题型06 二次函数的临界点问题 例：将函数的图象向上平移个单位长度后，抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了把化成顶点式，二次函数图象的平移，的图象与性质，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握平移规律并运用数形结合思想是解题的关键． 先将二次函数化成顶点式，然后根据平移规律求出其平移后的函数解析式，再根据二次函数的图象与性质及已知条件得出一元一次不等式，解之，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 将其图象向上平移个单位长度后，函数解析式为： ， 其最小值为， 抛物线与轴没有交点， ， ， 故选：． 53．如图，在正方形中，点，点，则二次函数与正方形有交点时，的最大值是（  ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与性质，掌握抛物线顶点特征及运动轨迹，确定取得最值时的特殊位置是解题关键．根据抛物线顶点坐标可确定其顶点在直线上移动，然后再确定当抛物线左侧经过点时，取得最大值，以此代入坐标求解即可． 【详解】解：由题意，该抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点在直线上移动， ∵四边形为正方形，点，点， ∴点的坐标为， 如图所示，当抛物线左侧经过点时，取得最大值，    将代入得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 故选：B． 54．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，若抛物线与线段没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，分别把点坐标代入函数解析求出的值，再根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，当抛物线过点时，把代入 得，， 解得； 过点时，把代入得，， 解得； ∴当抛物线与线段没有交点时，由的大小与抛物线开口大小关系可知的取值范围为 或， 故答案为：或． 55．在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，． (1)请比较与的大小，并说明理由； (2)记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点）；y轴上一动点，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围； (3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)或 【分析】（1）将一般式转化为顶点式，求出对称轴方程，进而即可得解； （2）将，代入解析式，求出，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即可； （3）分点M在点A的左侧；点A的右侧，对称轴的左侧；以及对称轴的右侧，结合图象进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线对称轴为：直线，开口向上， ∵点，，且， ∴； （2）解：由可知： 抛物线的顶点坐标为：， 当时：， 当时：， ∴， ∵， ∴过点C垂直于y轴的直线l：，如图： 由图象可知：当或时，直线l与F有且仅有一个交点， ∴a的取值范围为：或； （3）解：∵， ∴， 当时，， ∴， ①当M在点A的左侧，即：，时： 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小， ∴， 解得：或（舍掉）； ②当M在点A的右侧，对称轴的左侧时，此时，不符合题意； ③当M对称轴的右侧，即时，当时， 此时A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：不符合题意； ③当M对称轴的右侧，即时，当时， 此时M点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小， ∴， 解得：（舍），或； ∴； 综上： 或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 56．我们定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是函数的“特征数”是，函数的“特征数”是． (1)将“特征数”是的函数图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______． (2)当“特征数”是的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求的值． (3)点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点．当若（2）中的抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出的值（为常数）． 【答案】(1) (2)或 (3)或或1 【分析】（1）根据题意，易得“特征数”是得函数解析式为，将图像向上平移2个单位，根据一次函数图像平移的特征，即可获得答案； （2）“特征数”是的函数解析式为，将其化为顶点式可知该抛物线的顶点为，对称轴是直线，分四种情况讨论：①当时；②当时；③当时；④当时，分别求解可得答案； （3）分四种情况讨论：①当时；②当时； ③当时；④当时，分别求解即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，“特征数”是的函数为， 将其向上平移2个单位， 则得到的新函数的解析式为； （2）解：“特征数”是的函数解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点为，对称轴是直线， 由抛物线的性质可知，当与时，值相等且， ①当，即时，抛物线的最高点在处取得， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②当，即时，抛物线的最高点在处取得， ∴， 解得或（舍去）， ③当，即时，抛物线的最高点在取得， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； ④当，即时，抛物线的最高点在处取得， ∴， 解得， 综上所述，的值为或； （3）解：根据题意，可知，， 由（2）知抛物线的顶点坐标为，且， ①当，即时， 抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ②当，即时， 抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ③当，即时，需要分两种情况讨论： 抛物线与直线有两个交点，如图， 两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， ∴， ∴，， ∴，解得； 抛物线与矩形相邻两边有交点，如图， ∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，到轴距离与到轴距离都为2， ∴到轴距离为1，即， ∴， ∴，解得（舍去）或； ④当时，如图， ∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 综上所述，的取值为或或1． 【点睛】本题考查新定义、二次函数的综合应用、平移变换和对称变换等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 57．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．且对称轴为直线．，点在此抛物线上，点的横坐标为，点不与重合，抛物线上点与点之间的部分（包括端点）记为图象． (1)求此抛物线所对应的函数表达式． (2)当图象的最大值与最小值差为4时，直接写出的取值范围． (3)图象与直线有且只有一个交点时，求的取值范围． (4)已知点，点，以、为邻边作，边与抛物线的交点为，当把的面积分成两部分时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)或，满足图象的最大值与最小值差为4； (3)或或； (4)或． 【分析】（1）由抛物线过点以及对称轴为直线，可求二次函数解析式． （2）分三种情况①，②，③，分别求出每个范围内的函数最大值和函数最大值，再计算即可． （3）分三种情况，，，再计算对应的的值即可． （4）由、、的坐标得面积，当四边形面积面积时，面积，又面积，得为中点，利用中点公式得，代入，再计算即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 对称轴为直线， ， ， ， 答：抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：①时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值： ， （舍去）； ②时， 当时，函数有最小值：， 当时，函数有最大值： ， ； ③时， 当时，函数有最小值：， 函数最大值函数最大值， 函数最大值， ， 或4， 时，满足图象的最大值与最小值差为4； 综上所述：或，满足图象的最大值与最小值差为4； （3）解：设， ， 当与抛物线有交点时， ， ． ①当时，与抛物线只有一个交点， 此时，在对称轴右侧，符合题意； ②当过时， ， ， 当过时， ， ， ， 符合题意． 综上所述，或或； （4）解：如图： ，，， 面积， 当四边形面积面积时， 面积， ， ， 为中点， ， ， 代入得， ， ． 当四边形面积面积时， 面积， ， ， ， 这种情况不存在． 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 58．在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答： (1)作图探究： ①下表是y与x的几组对应值： 0 1 2 3 4 8 3 0 0 0 8 则   ， ；     ②在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象 (2)深入思考：根据所作图象，回答下列问题： ①方程的解是 ； ②如果的图象与直线有4个交点，则k的取值范围是 ； (3)延伸思考： 将函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？请写出平移过程，并直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)①，3；②图见解析： (2)①或或；②：； (3)函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的图象； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，通过数形结合求解是解题的关键； （1）①将和代入解析式求解；②根据函数解析式及表格作图； （2）①根据图象与轴的交点求解；②根据图象求解； （3）由可得新函数图象是由函数的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位所得． 【详解】（1）解：①将代入得， ， 将代入得， ， 故答案为：，3； ②如图，    （2）解：①根据表格及图象可得或或时，， 故答案为：或或； ②由图象可得当直线在轴下方，直线上方时，直线与函数图象有4个交点， 故答案为：； （3）解：函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的图象， 如图，    由图象知当，的范围为：． 题型07 二次解析式中的字母参数问题 例：若抛物线顶点坐标在第一象限，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，求出顶点坐标，再根据顶点坐标在第一象限列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标在第一象限， ∴， 解得， 故选：B． 60．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可，掌握二次函数的性质及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，在， ∴当时函数有最小值， ∴， 解得：, 综上所述：的值为或， 故选：． 61．已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，熟悉掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点和，且， ∴或， 故选：C． 62．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围． 【详解】解：如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点时，则线段恰好经过二次函数的顶点， ∴当时，，即，解得． 如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．    抛物线与轴交点纵坐标为， ，解得：． 当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．    抛物线经过点， ． 如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．    抛物线经过点， ，解得：． 时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点． 综上所述，的取值范围是或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值是解题的关键． 63．已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为 ． 【答案】或7 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分，和三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：或（舍去）， 若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意； 若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：（舍去）或， 综上，h的值为0或， 故答案为：或7． 64．已知抛物线． (1)若抛物线的顶点在轴上，求的值； (2)若时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或； (2)的取值范围是． 【分析】（）根据顶点在轴上，则抛物线与轴只有个交点，然后解一元二次方程即可； （）根据二次函数的性质，对称轴的右侧随的增大而增大，从而求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有个交点， ∴，整理得：， 解得：，， ∴的值为或； （2）解：由抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵时，随的增大而增大， ∴， ∴的取值范围是． 65．在平面直角坐标系中，、是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （）由题意可得点离对称轴更近，点与点的中点在对称轴的右侧，即得，得到，进而由得到或，再分这两种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【详解】（1）解：∵对于，，有， ∴， ∴， ∴， ∴对称轴为直线， ∴； （2）解：∵，， ∴点离对称轴更近，点与点的中点在对称轴的右侧， ∴， ∴， ∵， ∴或， ①当时，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②当时，则， ∵始终要满足， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，或． 题型08 二次函数的旋转变换问题 例：在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)记的图象为，将图象绕坐标原点旋转得到图象，与组合为图形G．点为图形G上任意两点．当时，都有，求a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用顶点公式计算； （2）①分类讨论，两种情况，结合二次函数的增减性代入求a的取值范围． 【详解】（1）解：在抛物线中， ，， ∴抛物线的顶点为：； （2）解：①时，， ∵对任意的a，都有， ∴， 当时，如图（1）可知，函数值y随x的增大而增大， ∵点N在点M的右侧，不符合题意，舍去； 当时，如图（2），此时点N在y轴左侧， ∵， ∴点N不能在图象与x轴交点的左侧， 令， 解得：， ∴与x轴的交点为， ∴与x轴的交点为， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，图象变换和函数的增减性，在本题的解答中，除了必要的理论依据外，还需要学生具有比较强的解不等式的能力，在解分式不等式中，去分母的过程中要注意分母中未知数的正负，才能正确解答． 67.二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质．根据二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，即可得到答案． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数的顶点坐标为， 二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反， 得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 68．定义：如果两个同类函数中对应自变量的系数互为相反数，那么就称这两个函数互为“旋转函数”．例如：一次函数 (，是常数)与 (，是常数)满足，，则这两个函数互为“旋转函数”．再如二次函数（，、、是常数）与（，、、是常数）满足，，，则这两个函数也互为“旋转函数”．求函数的旋转函数，小颖是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出、、就能确定这个函数的旋转函数．则下面结论：①函数与互为“旋转函数”；②“旋转函数”是轴对称图形，其对称轴为x轴；③“旋转函数”是中心对称图形，其对称中心因函数图像的位置变化而变化；④函数的旋转函数为．正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“旋转函数”的定义即可判断①；根据平面内轴对称图形的特征判断②即可；根据中心对称的定义即可判断③；根据题干提供的二次函数的旋转函数特点可以判断④． 【详解】解：①根据旋转函数的定义可知：函数与互为“旋转函数”，故①正确； ②根据题意可知：一次函数与一次函数互为“旋转函数”时，，， ∴，， ∴一次函数的 “旋转函数”为， ∵一次函数与关于x轴对称， ∴此时“旋转函数”是轴对称图形，其对称轴为x轴，而不是中心对称图形； 当二次函数与互为“旋转函数”时，满足，，， ∴，， ∴二次函数的旋转函数为：二次函数， 显然此时函数函数关于原点对称，而不关于x轴对称， ∴此时“旋转函数”不是关于x轴对称的轴对称图形，是关于原点对称的中心对称图形，故②③错误； 根据题意可得：函数的旋转函数为，故④正确； 综上可知：正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义，一次函数、反比例函数及二次函数的图象和性质，轴对称图形和中心对称图形的定义，正确理解“旋转函数”的定义是解题的关键． 69．绕原点旋转，再向右平移3个单位长度，求新函数解析式为： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数的图象旋转和平移变换规律“左加右减、上加下减”是解答的关键． 根据旋转的性质和平移变换规律“左加右减、上加下减”即可得出答案． 【详解】解：把抛物线绕原点旋转，开口方向变为相反数，故变为，对称轴直线变为相反数，故不变，变为，可得：， 再向右平移3个单位长度， 得到抛物线的解析式是， 故答案为：． 70．在平面直角坐标系中，若关于的函数的图像记为，将的图像绕着原点旋转得到图像，我们把和合起来的总图像称为 的“青一对称”图像． (1)若在 的“青一对称”图像上，则 ； (2)若在 的“青一对称”图像上，求的值； (3)当二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点时，请求出的值或取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或或 (3)的值或取值范围是或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解题题意，并掌握相关知识． （1）根据“青一对称”图像的定义求解即可； （2）根据题意可求出的解析式为，根据当时，，当时，，即可求解； （3）先求出的解析式为，分情况讨论：①当直线与：相切时，②当时， 当时，分别求出直线与二次函数的“青一对称”图像的交点情况即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：图像的函数解析式为， 当时，， ， 故答案为：； （2）解：， 顶点坐标为， 图像的顶点坐标为， 的解析式为， 在 的“青一对称”图像上， 当时，， 解得：或（舍去）， 当时，， 解得：或， 的值为或或； （3）解：， 顶点坐标为， 将的图像绕着原点旋转得到图像， 的顶点坐标为， 的解析式为， ①当直线与：相切时，即直线与的图像只有一个交点，则， 整理得：， ， 解得：， 此时的解析式为：， 联立直线与的解析式得：， 整理得：， 此时， 直线与的图像只有两个交点， 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点； ②当时， 的解析式为，的解析式为， 联立直线与的解析式得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 此时直线与的图像只有一个交点， 联立直线与的解析式得：， 解得：或， 当时，的图像与直线有两个交点和， 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线只有三个交点； 当时，的解析式为，的解析式为， 联立直线与的解析式得：， 解得：或， 此时直线与的图像只有两个交点和， 联立直线与的解析式得：， 解得：或， 此时直线与的图像只有两个交点和，， 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线有四个交点； 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点； 综上所述，的值或取值范围是或． 71．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点P的变换点的坐标定义如下：当时，点的坐标为，当时，点的坐标为． (1)①求的变换点坐标________． ②若点的变换点为连接OB，，则________． ③由上面二个问题的解决，请思考： 当点P的变换点为时，点P与是________变换． 当点P的变换点为时，点P与是________变换．（选填“轴对称”或“旋转”或“中心对称”或“平移”） (2)直线上所有点的变换点组成一个新图形记为W，请求出W的解析式． (3)点P在直线上，点是点P的变换点，连接；直接写出的取值范围． 【答案】(1)① ② ③轴对称；旋转 (2) (3) 【分析】（1）①根据变换的定义即可作答； ②采用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可；③根据轴对称的坐标特点和②中的结果即可作答； （2）先判断直线上的点均是进行轴对称变换，再设上有一点，则可知是直线上的点变换而来的，将代入中，有，则问题得解； （3）设点坐标为，且，可得，根据（3）中的计算，可知在，点是进行旋转变换，再根据（1）②的结论可知，此时，且根据旋转的性质可知，即可得是等腰直角三角形，则有，，则问题即可得解． 【详解】（1）解：①， 的变换点的坐标为； ②， 点的变换点坐标为， ， ，，， ， 是直角三角形， ； ③当变为， 可知与关于轴对称， 与是轴对称变换； 当变为， 根据②，可知与夹角， 与是旋转变换； 故答案为：①；②；③轴对称，旋转； （2）解：直线上的点，均是横坐标大于纵坐标， 直线上的点均是进行轴对称变换， 设上有一点， 则可知是直线上的点变换而来的， 将代入中，有， 在上，且满足， 的解析式为， 即：的解析式为； （3）解：根据点在直线上，故设点坐标为，且， 则有， 整理，得：， ， 根据（3）中的计算，可知当时，点是进行旋转变换， 可知在，点是进行旋转变换， 如图， 根据（1）②的结论可知，此时，且根据旋转的性质可知， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， 即当时，有最小值，最小为， 当时，有最大值，最小为40， ， ， 即取值范围为． 【点睛】本题考查了直角坐标系中坐标与图形的知识，涉及轴对称和旋转的对称坐标特点与性质、勾股定理及其逆定理的应用、图象的变换、二次函数的最值等知识，属于中考压轴题．确定不同的自变量范围进行不同的图形变换是解答本题的关键． 题型09 二次函数图象的轴对称变换问题 例：若抛物线与抛物线关于直线对称，则m、n的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先根据二次函数解析式，分别得出对称轴，再根据关于直线对称，求出的值，然后分别求出时，抛物线和抛物线的函数值，进而即可求出的值． 【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，且抛物线和抛物线关于直线对称， ， 解得：， 抛物线， 当时，， 当抛物线中时，， ， ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 73．如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，将第一象限的抛物线沿翻折，翻折后的抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线解析式，求出，，再利用特殊角的正切值，得到，根据轴对称的性质，作点关于的对称点，则点在抛物线上，连接，过点作于点，证明是等边三角形，进而得到，，设，则，利用特殊角的三角函数值，求出，则，根据点的纵坐标；列一元二次方程，求出，从而得到，即可得解． 【详解】解：抛物线， 令，则，解得：，， 点A是抛物线与x轴正半轴交点， ， ， 令，则， ， ， 在中，， ， 由题意可知，第一象限的抛物线沿翻折，翻折后的抛物线与y轴交于点C， 作点关于的对称点，则点在抛物线上，连接，过点作于点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 设，则， ， ， 在中，， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ， ， 点C的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形的应用，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． 74．如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的最值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征；先求得与轴的交点坐标，根据图象求得答案即可． 【详解】解：由题意，将二次函数位于轴的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数， 新函数的解析式为． 当时，， 解得或， 如图， 当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是或． 故答案为：或． 75．把二次函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，若，则最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象关于原点的对称变化规律是解题的关键． 把函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，从而可得，，再代入可得，由此即可得到答案． 【详解】解：把函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为， 则，， 代入得：， ， ， 则最小值是， 故答案为：． 76．如图，小刚利用计算机绘制了一个树叶图案，曲线为抛物线的一部分，顶点为A，曲线与曲线关于直线对称，点B为点A的对称点，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、关于直线对称的点的坐标，如关于直线的对称点为，根据二次函数的性质和关于对称点的特点求解即可． 【详解】抛物线的顶点为A， ， 点B是点A关于直线的对称点， ， 故答案为：． 77．我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，据此及可求解． 【详解】解：由题得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线 两抛物线为“同向共轴抛物线”，且顶点相距3个单位长度， 的顶点为或，且 ∴该抛物线的解析式为或． 故答案为：或 78．如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）． （1）当时，新函数值为 ，当时，新函数值为 ；当 时，新函数有最小值； （2）当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是 ； （3）直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围 ． 【答案】 5 3 2或 或 或 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征； （1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得； （3）根据函数图象即可求得； （4）根据图象求得答案即可． 【详解】解：由题意，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数， 新函数的解析式为． （1）新函数的解析式为， 当时，新函数值为5．当时，新函数值为3． 结合函数图象可得，当或时，新函数有最小值． 故答案为：5；3；2或． （2）如图， 当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是或． 故答案为：或． （3）如图， 直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或． 故答案为：或． 79．我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的二次函数称为“同轴相交二次函数”．例如：的“同轴相交二次函数”为． (1)的“同轴相交二次函数”为 ； (2)证明：二次项系数为的二次函数的“同轴相交二次函数”是它本身； (3)如图，二次函数∶与其“同轴相交二次函数”都与轴交于点，点分别在上，点的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为，连接． ①若，且四边形为正方形，求的值； ②若，且四边形邻边之比为，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②的值为或 【分析】本题主要考查新定义下的二次函数的性质、正方形的性质以及求一个数的绝对值， 根据题意可设其“同轴相交二次函数”为，结合二次项系数之和为1，对称轴相同可解得即可； 根据题意设二次函数解析式为，则其“同轴相交二次函数”对称轴为：，二次项系数为，与轴交点相同，即可求得相等； 二次函数的对称轴为直线，其“同轴相交二次函数”． ①根据题意得二次函数，二次函数，即可求得点B和点C，进一步得到点和点的坐标，则有，，利用正方形的性质得，解得即可； ②有题意得点和点的坐标，进一步得点和点的坐标，则，．结合题意得或，解得的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可设其“同轴相交二次函数”为， ∵二次项系数之和为1，对称轴相同， ∴，，解得， 则的“同轴相交二次函数”为， 故答案为：； （2）证明：设二次函数解析式为：设， ∴对称轴为：， ∴它的“同轴相交二次函数”的二次项系数为：， ∴它的“同轴相交二次函数”的解析式为：， ∵对称轴相同， ∴， ∴， ∵与轴交点相同， ∴“同轴相交二次函数”的解析式为． （3）二次函数的对称轴为直线，其“同轴相交二次函数”． ①∵， ∴二次函数， 二次函数， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，． ∵四边形为正方形， ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴的值为； ②当时，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，． ∵四边形的邻边之比为， ∴或，即或， 解得：，，（舍），（舍）， ∴的值为或． 80．定义；若当点在某一函数图象上时，点也在该函数图象上，则称该函数为“知返函数”，点称为“知返点”． (1)已知一次函数为“知返函数”，求该一次函数的解析式； (2)若反比例函数（为整数）的函数图象上存在“知返点”，求的最大值； (3)函数的图象是由二次函数的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若函数的图象与“知返函数”的图象有四个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或； 【分析】（1）将点、代入即可求解； （2）由题意得：，整理得；根据即可求解； （3）令，整理得：，可得或；结合函数经过点时，此时函数与有三个交点即可求解； 【详解】（1）解：将点、代入得： ， 解得： ∴ （2）解：由题意得：， 即：， ∵反比例函数（为整数）的函数图象上存在“知返点”， ∴ 解得： ∵ ∴整数的最大值为 （3）解：函数的图象中，由二次函数的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方部分对应的函数解析式为： 由（1）得：“知返函数”为， 令，整理得： 令 解得：或； 当函数经过点时，此时函数与有三个交点 有：，解得： ∴ 综上所述：或； 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了一次函数的解析式、反比例函数、二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的函数基础. 81．在平面直角坐标系中，已知抛物线，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点． (1)将该抛物线与直线所围成的封闭区域（不含边界） 记为，求内整点的个数； (2)将抛物线沿x轴翻折得到新的抛物线，将原抛物线与新抛物线围成的封闭区域（包含边界）记为，求内整点的个数； (3)将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到一个新抛物线，将新抛物线，与双曲线，直线围成的封闭区域（不含边界）记为，求内整点的个数． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（）先准确画出函数图象，查出整点的个数即可； （）先准确画出函数图象，查出整点的个数即可； （）先准确画出函数图象，查出整点的个数即可； 本题考查了二次函数，一次函数及反比例函数的图象与性质，熟练掌握图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：画出抛物线与直线如解图所示， 此时， 内(不含边界)的整点有，，，，，，，共个， ∴内整点的个数为：； （2）解：抛物线沿轴翻折得到新的抛物线， 画出抛物线与抛物线，如图所示，两抛物线交点为，， 此时，内(包含边界)的整点有，，，，共个， ∴内整点的个数为：； （3）解：如图示：抛物线向左平移个单位长度，再回下平移个单位长度后得到新抛物线， 画出新抛物线与双曲线及直线，如图所示， 此时，内(不含边界)的整点为，，，，，，，，，，，共个， ∴内整点的个数为：． 题型10 二次函数与几何的综合问题类型举例 例：如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的性质、一次函数；其中熟练运用轴对称的性质转化线段是解题的关键．根据抛物线的对称性可知：，所以当点在线段上时，的值最小，的周长也最小，以此为依据求解即可； 【详解】解：令，则， 解得，， ，， 抛物线的对称轴为： 点的横坐标为： 当 时， ； 设直线解析式为， 则， 解得， 由抛物线的对称性可知： ∴当点在线段上时，有最小值，则的周长最小， 将 代入得： 故此时点的坐标是 故答案为：． 83．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如图，点P是抛物线上位于直线上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，当取最大值时，求点P的坐标； (3)点P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，直接写出P点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)P点坐标为或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式，解一元二次方程， （1）将点，坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出，进而得出，进而判断出，即可得出当的长度最大时，取最大值，设出点坐标，表示出点坐标，建立，即可得出结论； （3）根据，，表示出，，再根据或列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，， 抛物线的解析式为． ， 抛物线的解析式为，顶点坐标为． （2）解：令得，， ， ． ， ， ， ． 平行于轴，平行于轴， ，， ， ， ， ， 当的长度最大时，取最大值． 设直线的函数关系式为， 把，代入，得， 解得，， 直线解析式为， 设，则， ． ， 当时，最大，此时取最大值，， ； （3）解：∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 由（2）可得，，，， ∴，， 当时，， ∴，即 整理得， ∵ ∴，此时； 当时，， ∵， ∴ ∴，此时； 综上所述，是以为腰的等腰三角形时，P点坐标为或． 84．如图，在直角坐标系中，抛物线交轴于，交轴于，． (1)求、的值和抛物线对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)该抛物线有一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在， (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出的值，对称轴公式求出对称轴即可； （2）连接，与对称轴的交点即为点，进行求解即可； （3）根据，得到点的纵坐标为，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得：， ∴， ∴对称轴为直线：； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， 连接， ∵点关于对称轴对称， ∴， ∴当三点共线时，的周长最小， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴； （3）∵，， ∴ ∴， ∴， 当时，点与点关于对称轴对称， ∴， 当时，，此方程无解， ∴． 85．如图，已知抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点N．其顶点为D．直线：与抛物线交于A，两点． (1)求k、m的值； (2)若抛物线的对称轴与直线相交于点B，E为直线上的任意一点，过点E作交抛物线于点F，若，求点E的坐标； (3)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，直接写出的面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为，或； (3)的面积的最大值． 【分析】（1）令，则，求得点，利用待定系数法直线的函数关系式，即可求解； （2）利用配方法及一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，再求出的长，证明以为顶点的四边形为平行四边形，设点的坐标为，分点在线段上及点在线段(或)延长线上两种情况考虑分别求解即可； （3）过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为，设点的坐标为，则点的坐标为，结合点，的坐标及，可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， ∴点， 把代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：； （2）解：， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴以为顶点的四边形为平行四边形， 设点的坐标为，如图1： 分两种情况考虑： ①当点在线段上时，点在点上方， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 解得：，(舍去)， ∴点的坐标为； ②当点在线段(或)延长线上时，点在点下方， ∴点的坐标为 ∵点在抛物线上， ， 解得：，， ∴点的坐标为或 综上：满足条件的点的坐标为，或； （3）解：过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为，如图2所示， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点的坐标为，点的坐标为， ，， ，，， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、一次函数图象与性质、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、梯形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 86．如图，二次函数的图象经过点，点，点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)点是该二次函数图象上位于第一象限内的一点． ①如图1，过点作轴的平行线交于点，求线段的最大值； ②如图2，过点作，交直线于点，若，求点的坐标； (3)点M是抛物线上的一点，且，设点M的横坐标为m，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)①；②或 (3) 【分析】（1）把，点，点，代入二次函数中，可得三元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①设点的横坐标为，则，，，根据二次函数的最值即可求解； ②过点，分别作轴的平行线与直线交于点，，可证，由，可得，设点的横坐标为，则，，得，即可得到，解方程即可得出答案； （3）过作交于，过作轴于，由可证明，得到，联立得抛物线与交点为和点M，即可得到． 【详解】（1）解：把，点，点，代入二次函数中， 得， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：设点的横坐标为，则， ①∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵过点作轴的平行线交于点， ∴，， ∴， 由于， ∴当时，有最大值，最大值为； ②如图，过点作轴的平行线与直线交于点，过点作轴的平行线与直线交于点， ∴， ， ∵， ， ， ∴， ， ∵直线的解析式为， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， 故为或； （3）解：过作交于，过作轴于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∵抛物线与交点为和点M，点M的横坐标为m， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的特征及二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的最值，相似三角形的应用，全等三角形的判定与性质，根据函数图象上坐标点的特征得出的代数表达式是解决本题的关键． 87．如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线上一动点． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①当时，，即，，，待定系数法求直线的解析式为；如图1，设，则，，由，可知当时，有最大值，由轴，轴，可得，，由勾股定理得，，进而可求的最大值；②如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于， 由轴对称的性质可知，，，则，，，由勾股定理得，，如图2，作于，由，即，可求，由勾股定理得，，则，由，即，可求，即，待定系数法求直线的解析式为，联立，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴； （2）①解：当时，，即， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 如图1， 设，则，， ∵， ∴当时，有最大值， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最大值为； ②解：如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于，      由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 如图2，作于， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立，， 解得，或（舍去）， ∴点P的横坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，正切等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，正切是解题的关键． 88．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）令抛物线解析式中，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）假设存在，设点，分、和三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点Q的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点Q坐标中即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； （3）解：假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况： ①当时，设与x轴交于G，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ②当时， 为等腰直角三角形， ， 又， ∴在上， 过F作于F， 则， ， ， ∴， ， ∵点Q在抛物线， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ③当时，， ， ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为，， ∴． 综上可知：在抛物线上存在点Q，使得为等腰直角三角形，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，等腰直角三角形的性质等知识，解题关键是能够熟练运用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题． 89．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点时，的面积取得最大值，最大值为4； (3)或或． 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． （1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，设，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； 综上所述：或或． 90．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b为常数）经过点．点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，将该抛物线上P、A两点之间的部分（包括P、A两点）记为图象G． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当时，求图象G的最大值和最小值； (3)当图象G上只有两个点到x轴的距离为3时，求m的取值范围； (4)连接，以为对角线构造矩形，且矩形的各边与坐标轴垂直，矩形的边与图象交于点D（不同于点A、P），当点D是矩形的边的中点时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为； (3) (4)或 【分析】（1）将代入即可求解； （2）根据可得抛物线的对称轴为直线，求出时函数的最值即可求解； （3）求解由可得，画出函数图象即可求解； （4）分类讨论当边与抛物线相交时和当边与抛物线相交时两种情况，画出大致图象，利用二次函数的对称性即可求解； 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）解：当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，图象G有最小值，且最小值为； 当时，图象G有最大值，且最大值为； （3）解：由可解得：， 如图所示：    即：， 当点位于之间时，图象G上只有两个点到x轴的距离为3， ∴ （4）解：由题意得：， 当边与抛物线相交时，如图所示：    可得：， ∴， ∴，两点关于对称轴直线对称， ∴， 解得：； 当边与抛物线相交时，如图所示：    可得：， ∴， ∴，两点关于对称轴直线对称， ∴， 解得：； 综上所述：或 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了解析式的求解、二次函数的最值、二次函数的对称性等知识点，掌握数形结合的数学思想是解题关键． 题型11 自定义背景下的二次函数综合题举例 例：我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫作“鹊桥”函数．某同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），则下列结论错误的是（   ） A．图象与坐标轴的交点为和 B．图象的对称轴是直线 C．当和时，函数值y随x的增大而增大 D．函数的最小值是0，最大值是4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．求得函数与坐标轴的交点坐标，可判断选项A；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，可判断选项B；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，可判断选项C；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，最小值为，不存在最大值；据此可得出答案． 【详解】解：当时，； 当时，，解得或； ∴图象与坐标轴的交点为和， ∴选项A是正确的，不符合题意； 从图象可知图象具有对称性，对称轴是直线， ∴选项B是正确的，不符合题意； 根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大， ∴选项C是正确的，不符合题意； 根据函数的图象发现，函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，最小值为， 不存在最大值， ∴选项D是错误的，符合题意； 故选：D． 92．设、是任意两个实数，定义符号的含义为：当时，；当时，．例如：． 参照上面的材料，解答下列问题： (1) ． (2)若，求的取值范围． (3)①写出函数与的图像的交点坐标 ． ②根据函数和的图像写出当 时，的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3)①；②1，1 【分析】（1）根据表示a，b中的较小者，即可求出结论； （2）根据得出关于x的一元一次不等式，解之即可得到答案； （3）①联立两函数解析式，解方程组即可求得答案；②画出图像，根据x的范围分三种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为： （2）解：∵， ∴， 解得， ∴的取值范围是． （3）解：①联立函数与得到， ， 解得或， ∴函数与的图像的交点坐标是； 故答案为： ②图像如图所示， 观察函数图像可知，当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，当时，的最大值为1， 故答案为：1，1． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的图像和性质、一元一次不等式的解法，读懂题意，弄清的含义是解题的关键． 93．新定义：对于抛物线，若，则称该抛物线是黄金抛物线，若抛物线是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求：的正切值． ②在射线上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与相似，求：P点坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或． 【分析】（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可； （2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正切的定义，求解即可；②分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线是黄金抛物线， ， 抛物线的表达式为， 配方得：， 点的坐标为； （2）解：①由（1）得：抛物线的对称轴是直线， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线上， ， ， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线的对称轴上， ， ， ， ， ， ， ． ②存在， 过点作，垂足为 抛物线与轴交于点， 点的坐标为， 点的坐标为， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， 要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况 第一种：， ∵， ， ， ， ，， ， 点在射线上， 点的坐标为； 第二种：，则， 又，， ∴与全等，相似比为1， ∴， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 94．定义：如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，我们称抛物线与互为“伴随抛物线”． (1)判断下列抛物线是否为抛物线的“伴随抛物线”，是的打“ √”，不是的打“ ”： ① ___；② ___；③ ___ (2)若抛物线（为实数且）与互为“伴随抛物线”，请问抛物线的图象是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，否则，请说明理由； (3)已知抛物线（为实数且）与轴交于点，抛物线：与轴交于点，若抛物线与互为“伴随抛物线”，且，请问是否为定值，若是，求出这个值； 若不是，请说明理由． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)经过定点 (3)是定值，4 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据题中所给新定义结合二次函数的图象与性质可进行求解； （2）由题意易得的顶点坐标为，则有，然后抛物线化简为：，进而问题可求解； （3）由题意易得抛物线的顶点为，则有，然后可得，进而可得，推出，同理可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标为，则有： ①把点代入明显成立，而二次函数的顶点坐标为，代入明显成立；故与是“伴随抛物线”； ②把点代入明显不成立，故与不是“伴随抛物线”； ③把点代入明显成立，而二次函数的顶点坐标为，代入明显成立；故与是“伴随抛物线”； 故答案为√，×，√； （2）解：∵， 的顶点坐标为， ∵抛物线与互为“伴随抛物线”, 点在抛物线上， ∴，化简得， 抛物线化简为：， 令， 解得或， 抛物线过定点，坐标为、； （3）解：抛物线， ∴抛物线的顶点为， 抛物线与互为“伴随抛物线”， 点在抛物线上， ∴， 化简得①， ∵， ∴， 代入①得：②， 抛物线与轴交于点， ∴是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∵ ， 同理可得， ， 为定值，定值为4． 95．新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）采用待定系数法求出抛物线M的解析式为，根据二次函数的性质得到当时，y随x的增大而增大，由可得当时，随x的增大而增大，即不存在最大值，即可解答； （2）结合图象即可求解； （3）对于直线，有，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线M的解析式为， ∵抛物线M经过和点和， ∴，解得 ∴抛物线M的解析式为， ∴抛物线M的开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， ∵， 由抛物线M的增减性可得，当时，随x的增大而增大， ∴随x的增大而增大，即不存在最大值， ∴抛物线M上不存在最值点． （2）解：∵直线交抛物线M于，两点， ∴由图象可得，直线不低于抛物线时，x的取值范围为． （3）解：对于直线，有 ， ∴当时，有最大值， 此时， ∴直线的最值点为． 【点睛】本题考查新定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点问题等，正确理解函数的“最值点”是解题的关键． 96．定义： 在平面直角坐标系中，若在函数图象上存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点(点与不重合) 仍在此函数图象上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点称为这个函数的“凡尔赛点”，点叫作点的“后凡尔赛点”． (1)函数①，② ，③ ，其中是 “凡尔赛函数”的是 （填序号） (2)若一次函数 是 “凡尔赛函数”，点（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求的值； (3)若点 是二次函数 (其中 为常数， ) 的“凡尔赛点”，点为的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与轴交于 两点，由点、四点构成的四边形面积记为S，求S的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）根据“凡尔赛函数”概念解答即可； （2）根据点是一次函数的“凡尔赛点”，点的“后凡尔赛点”为，列方程解答即可； （3）点是二次函数（其中a，b，c为常数，）的“凡尔赛点”，用a表示出b、c的值，得到，令得，由根与系数的关系得到，令，得到，解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，“凡尔赛函数”必经过两个相邻的象限，且两点与原点所成三角形为等腰直角三角形， ∴①②不符合题意， ∵经过两个相邻的象限，且必然存在等腰直角三角形， ∴③符合题意， 故答案为：③． （2）解：∵点是一次函数的“凡尔赛点”，设的“后凡尔赛点”为，过点作轴的垂线，垂足为， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 得； 当时，，满足条件； 当时， ∵关于k的一元二次方程有实数根， ， 解得 ， 又∵m为整数， ∴或， 当时，，解得 或； 当时，解得（舍去），． 综上：k的值为或1或或． （3）解：∵点是二次函数（其中a，b，c为常数，）的“凡尔赛点”， ∴“后凡尔赛点”B的坐标为． ∴， 解得， ， 令得． ∵，， ∴ ， 令，则． ∵， ∴， 解得． ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数，一次函数，反比例函数的图形与性质，二次函数，一次函数，反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键． 97．定义：在平面直角坐标系中，若在函数图象上存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点（点与不重合）仍在此函数图象上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点称为这个函数的“凡尔赛点”，点叫作点的“后凡尔赛点”． (1)函数①，②，③，其中是“凡尔赛函数”的是___ (2)若一次函数是“凡尔赛函数”，点（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求的值； (3)若点是二次函数（其中为常数，）的“凡尔赛点”，点为的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与轴交于两点，由点四点构成的四边形面积记为，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解新定义是解题关键． （1）根据“凡尔赛函数”概念解答即可； （2）根据点是一次函数的“凡尔赛点”，点的“后凡尔赛点”为，解答即可： （3）点是二次函数（其中为常数，）的“凡尔赛点”，解出b，c的值，代入，令，得，解答即可 【详解】（1）解：在函数的图象上不存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点（点与不重合）仍在此函数图象上， 函数不是“凡尔赛函数”； 在函数和的图象上存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点（点与不重合）仍在此函数图象上， 函数和是“凡尔赛函数”； 故答案为：②③； （2）解：点是一次函数的“凡尔赛点”，点的“后凡尔赛点”为， 得； 当时，，满足条件； 当时， 关于的一元二次方程有实数根， 解得， 又为整数， ， 当时，，解得； 当时，解得（舍去），． 综上:． （3）解：点是二次函数（其中a，b，c为常数,）的“凡尔赛点”， “后凡尔赛点”的坐标为， ， 解得：， ， 令，得， 设两点的横坐标分别为， 令，则， ， ， 解得， ， ， 又 ． 98．如图，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于点，若为等腰直角三角形，我们把抛物线上两点之间的部分与线段围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段称为碟宽，顶点称为碟顶，由定义知，取中点，连结与的关系是______．抛物线对应的准蝶形必经过，则=______，对应的碟宽是______．抛物线对应的碟宽在轴上，且． ①求抛物线的解析式； ②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点，使得为锐角，若有，请求出的取值范围．若没有，请说明理由． 【答案】，，；①；②有，或． 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键． 直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；利用已知点为，代入抛物线解析式进而得出的值，即可得出的值； ①根据题意得出抛物线必过，进而代入求出答案； ②根据的对称轴上时，为直角，进而得出答案． 【详解】解：与的关系是：， 如图， 是等腰直角三角形，且为的中点， ∵抛物线对应的准蝶形必经过， ， 解得：或（不合题意舍去）， 当则， 解得：，则； ①由已知，抛物线对称轴为轴， ∵抛物线对应的碟宽在轴上，且 ∴抛物线必过，代入，得 解得：， ∴抛物线的解析式是：； ②由①知，如图，的对称轴上，点的坐标为或时，为直角 ∴在此抛物线的对称轴上有这样的点，使得为锐角，的取值范围是或． 99．定义：，，以长度为边在轴上方作等边三角形，当函数与在第一象限内有交点，称为“特别函数”． (1)如图，当时，一次函数是“特别函数”，求的取值范围； (2)如图，函数是“特别函数”，求的取值范围； (3)如图，在的条件下，函数与交于点，，求的值； (4)当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) ， 【分析】本题考查了一次函数，二次函数的性质和图像和三角形结合综合问题，熟练掌握二次函数，一次函数的性质和图像是解题的关键； （1）过作轴垂线交于点，根据等边三角形的性质求出点的坐标，代入函数求出的值； （2）根据，点坐标求出直线的解析式，求出顶点坐标；进而求出的取值范围； （3）别过点与作轴垂线，分别交于点，，根据，求出，则，求出的坐标，从而求出的值 （4）分别对，，，，五种情况讨论，求得的值； 【详解】（1）解：过作轴垂线交于点， 等边三角形 （2）解：， 直线的解析式为： 函数的顶点坐标为： 解得： （3）解：分别过点与作轴垂线，分别交于点， ， ，（舍） （4）解：①当时， 最大值为 最小值为 ②当时， 最大值为 最小值为 无解 ③当时， 最大值为 最小值为 无解 ，（舍） ④当时， 最大值为 最小值为 （舍），（舍） ⑤当时， 最大值为 最小值为 （舍） 综上： ， 100．【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    【答案】（1）2；；（2）①；②或 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 试卷第2页，共145页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数的图象和性质 课程标准 学习目标 会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图;通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(z-h)+k的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值． 1.掌握二函数图象的画法及性质； 2.会计算二次函数图象的顶点坐标，图象的开口方向，图象的对称轴； 3.会用二次函数的图象与性质解决相关的计算题． 知识点一：二次函数的概念 (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 【即学即练】 1．下列函数中，一定为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 3．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 4．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 5．关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 知识点二：二次函数的图象和性质 图象 开口 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大. 最值 ， . ，. 【即学即练】 6．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 7．若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．下列各点中，是二次函数图像上的点是（  ） A． B． C． D． 9．二次函数 的图象的顶点坐标为 ． 10．已知抛物线经过两点． (1)求抛物线的对称轴； (2)判断点是否在此函数图象上． 11．已知二次函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)请你判断点是否在此二次函数的图象上； (3)若点，均在该抛物线上，则______（选填：“”“”或“”） 12．已知二次函数． (1)求二次函数图象的对称轴； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合图象直接写出函数的最大值和最小值． 知识点三：系数a、b、c的作用 a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. ab 决定对称轴（）的位置 当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边． c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 决定抛物线与x轴的交点个数 时，抛物线与x轴有2个交点; 时，抛物线与x轴有1个交点; 时，抛物线与x轴没有交点 【即学即练】 13．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的有（    ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 15．二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 16．已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．上述结论中，正确结论的序号有 ． 17．如图，抛物线对称轴为直线，与x轴一种交点在和之间，其某些图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④（t为实数）；⑤点，，是该抛物线上点，则，对的个数有 个． 知识点四：二次函数图象的平移 注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分） 【即学即练】 18．把抛物线向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 19．抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 20．抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 21．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线解析式为 ． 22．如果我们定义 为二次函数的“有序数集”，如函数的“有序数集”为．若一个二次函数的“有序数集”是 ，则将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数的“有序数集”是 题型01 由二次函数图象判断式子符合 例：如图所示，抛物线与x轴的两个交点坐标分别是，下列说法中正确的有（      ） ①；②；③；④当时， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．二次函数的对称轴为直线，且经过点，且有最大值．下列结论： ①开口向下； ②； ③关于x的方程的另一个根是； ④点和点在抛物线上时，；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是 （只填写序号）． 26．已知抛物线（，a、b、c是常数） 开口向上， 过两点 （其中） ． 下列四个结论： ①； ②； ③若 则当 时，y随x的增大而增大； ④ 关于x的不等式 的解集为或． 其中正确的是 （填写序号）． 27．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论①；②；③；④若，则．其中正确的是： ． 28．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，其中点坐标为，顶点的横坐标为1，轴，垂足为，下列结论：①当时，随增大而减小；②；③；④当时，．其中结论正确的有 (填序号)．    题型02 一次函数与二次函数的综合判定 例：若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（   ） A． B． C． D． 30．函数和（a是常数，且），在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 31．已知一次函数（为常数）的图象如图所示，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 32．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   33．在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（   ） A．B．C． D． 题型03 双二次函数的图象判定问题 例：在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 35．已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 36．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 37．抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 38．已知抛物线：与抛物线：中，若满足，则称抛物线，为“比例”抛物线． (1)已知与是“比例”抛物线． ①b的值为______；   ②求出它们的交点坐标． (2)设抛物线，，的顶点分别为D，E，F． ①判断它们是否是______“比例”抛物线？（填“是”或“不是”） ②若EF＝4DE，求a的值． 题型04 待定系数法求二次函数解析式 例：抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 40．已知二次函数（其中a，h，k是实数，），当时，；当时，，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 41．已知点在二次函数的图像上． (1)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位后图像经过点，求的值． 42．二次函数的图像与轴交于点，对称轴是直线，函数最大值为3． (1)求顶点坐标； (2)求该二次函数的解析式． 43．求下列各抛物线的解析式： (1)已知一条抛物线的顶点在轴上，且经过，两点； (2)已知抛物线与轴交于两点，，与轴交于点 44．如图，抛物线与x轴交于、，，在x轴负半轴，与y轴交于点，顶点为D． (1)用关于a的式子表示b； (2)联结、，交y轴于点E，若，求B坐标； (3)平移抛物线使新抛物线的顶点在直线上，B的对应点在y轴上，C的对应点为，交直线于H，若为直角三角形，求平移后新抛物线的解析式． 题型05 二次函数对称性的应用 例：若点，在抛物线上，则它的对称轴是（   ） A． B． C． D． 46．已知抛物线上三点，，，，且，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 47．二次函数，自变量x与函数y的对应值如表 x … 1 3 … y … 2 4 2 …      则抛物线的对称轴是 48．已知二次函数的图象上有两点和，则当时，二次函数的值是 ． 49．如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为 ． 50．已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 51．抛物线的图象如图． (1)若抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为，当时，求的取值范围． (2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，，求当时，二次函数的值． (3)若此抛物线图象上有两点，，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 题型06 二次函数的临界点问题 例：将函数的图象向上平移个单位长度后，抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（　） A． B． C． D． 53．如图，在正方形中，点，点，则二次函数与正方形有交点时，的最大值是（  ） A．4 B． C．5 D． 54．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，若抛物线与线段没有交点，则的取值范围是 ． 55．在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，． (1)请比较与的大小，并说明理由； (2)记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点）；y轴上一动点，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围； (3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若，求m的取值范围． 56．我们定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是函数的“特征数”是，函数的“特征数”是． (1)将“特征数”是的函数图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______． (2)当“特征数”是的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求的值． (3)点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点．当若（2）中的抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出的值（为常数）． 57．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．且对称轴为直线．，点在此抛物线上，点的横坐标为，点不与重合，抛物线上点与点之间的部分（包括端点）记为图象． (1)求此抛物线所对应的函数表达式． (2)当图象的最大值与最小值差为4时，直接写出的取值范围． (3)图象与直线有且只有一个交点时，求的取值范围． (4)已知点，点，以、为邻边作，边与抛物线的交点为，当把的面积分成两部分时，直接写出的值． 58．在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答： (1)作图探究： ①下表是y与x的几组对应值： 0 1 2 3 4 8 3 0 0 0 8 则   ， ；     ②在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象 (2)深入思考：根据所作图象，回答下列问题： ①方程的解是 ； ②如果的图象与直线有4个交点，则k的取值范围是 ； (3)延伸思考： 将函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？请写出平移过程，并直接写出当时，自变量x的取值范围． 题型07 二次解析式中的字母参数问题 例：若抛物线顶点坐标在第一象限，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 60．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 61．已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 62．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 63．已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为 ． 64．已知抛物线． (1)若抛物线的顶点在轴上，求的值； (2)若时，随的增大而增大，求的取值范围． 65．在平面直角坐标系中，、是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 题型08 二次函数的旋转变换问题 例：在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)记的图象为，将图象绕坐标原点旋转得到图象，与组合为图形G．点为图形G上任意两点．当时，都有，求a的取值范围； 67.二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 68．定义：如果两个同类函数中对应自变量的系数互为相反数，那么就称这两个函数互为“旋转函数”．例如：一次函数 (，是常数)与 (，是常数)满足，，则这两个函数互为“旋转函数”．再如二次函数（，、、是常数）与（，、、是常数）满足，，，则这两个函数也互为“旋转函数”．求函数的旋转函数，小颖是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出、、就能确定这个函数的旋转函数．则下面结论：①函数与互为“旋转函数”；②“旋转函数”是轴对称图形，其对称轴为x轴；③“旋转函数”是中心对称图形，其对称中心因函数图像的位置变化而变化；④函数的旋转函数为．正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 69．绕原点旋转，再向右平移3个单位长度，求新函数解析式为： ． 70．在平面直角坐标系中，若关于的函数的图像记为，将的图像绕着原点旋转得到图像，我们把和合起来的总图像称为 的“青一对称”图像． (1)若在 的“青一对称”图像上，则 ； (2)若在 的“青一对称”图像上，求的值； (3)当二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点时，请求出的值或取值范围． 71．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点P的变换点的坐标定义如下：当时，点的坐标为，当时，点的坐标为． (1)①求的变换点坐标________． ②若点的变换点为连接OB，，则________． ③由上面二个问题的解决，请思考： 当点P的变换点为时，点P与是________变换． 当点P的变换点为时，点P与是________变换．（选填“轴对称”或“旋转”或“中心对称”或“平移”） (2)直线上所有点的变换点组成一个新图形记为W，请求出W的解析式． (3)点P在直线上，点是点P的变换点，连接；直接写出的取值范围． 题型09 二次函数图象的轴对称变换问题 例：若抛物线与抛物线关于直线对称，则m、n的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 73．如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，将第一象限的抛物线沿翻折，翻折后的抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 74．如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的最值范围是 ． 75．把二次函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，若，则最小值是 ． 76．如图，小刚利用计算机绘制了一个树叶图案，曲线为抛物线的一部分，顶点为A，曲线与曲线关于直线对称，点B为点A的对称点，则点B的坐标为 ． 77．我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为 ． 78．如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）． （1）当时，新函数值为 ，当时，新函数值为 ；当 时，新函数有最小值； （2）当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是 ； （3）直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围 ． 79．我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的二次函数称为“同轴相交二次函数”．例如：的“同轴相交二次函数”为． (1)的“同轴相交二次函数”为 ； (2)证明：二次项系数为的二次函数的“同轴相交二次函数”是它本身； (3)如图，二次函数∶与其“同轴相交二次函数”都与轴交于点，点分别在上，点的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为，连接． ①若，且四边形为正方形，求的值； ②若，且四边形邻边之比为，直接写出的值． 80．定义；若当点在某一函数图象上时，点也在该函数图象上，则称该函数为“知返函数”，点称为“知返点”． (1)已知一次函数为“知返函数”，求该一次函数的解析式； (2)若反比例函数（为整数）的函数图象上存在“知返点”，求的最大值； (3)函数的图象是由二次函数的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若函数的图象与“知返函数”的图象有四个交点，求m的取值范围． 81．在平面直角坐标系中，已知抛物线，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点． (1)将该抛物线与直线所围成的封闭区域（不含边界） 记为，求内整点的个数； (2)将抛物线沿x轴翻折得到新的抛物线，将原抛物线与新抛物线围成的封闭区域（包含边界）记为，求内整点的个数； (3)将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到一个新抛物线，将新抛物线，与双曲线，直线围成的封闭区域（不含边界）记为，求内整点的个数． 题型10 二次函数与几何的综合问题类型举例 例：如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ． 83．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如图，点P是抛物线上位于直线上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，当取最大值时，求点P的坐标； (3)点P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，直接写出P点坐标． 84．如图，在直角坐标系中，抛物线交轴于，交轴于，． (1)求、的值和抛物线对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)该抛物线有一点，使得，求点的坐标． 85．如图，已知抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点N．其顶点为D．直线：与抛物线交于A，两点． (1)求k、m的值； (2)若抛物线的对称轴与直线相交于点B，E为直线上的任意一点，过点E作交抛物线于点F，若，求点E的坐标； (3)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，直接写出的面积的最大值． 86．如图，二次函数的图象经过点，点，点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)点是该二次函数图象上位于第一象限内的一点． ①如图1，过点作轴的平行线交于点，求线段的最大值； ②如图2，过点作，交直线于点，若，求点的坐标； (3)点M是抛物线上的一点，且，设点M的横坐标为m，直接写出m的值． 87．如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线上一动点． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求点P的横坐标． 88．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 89．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 90．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b为常数）经过点．点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，将该抛物线上P、A两点之间的部分（包括P、A两点）记为图象G． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当时，求图象G的最大值和最小值； (3)当图象G上只有两个点到x轴的距离为3时，求m的取值范围； (4)连接，以为对角线构造矩形，且矩形的各边与坐标轴垂直，矩形的边与图象交于点D（不同于点A、P），当点D是矩形的边的中点时，直接写出m的值． 题型11 自定义背景下的二次函数综合题举例 例：我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫作“鹊桥”函数．某同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），则下列结论错误的是（   ） A．图象与坐标轴的交点为和 B．图象的对称轴是直线 C．当和时，函数值y随x的增大而增大 D．函数的最小值是0，最大值是4 92．设、是任意两个实数，定义符号的含义为：当时，；当时，．例如：． 参照上面的材料，解答下列问题： (1) ． (2)若，求的取值范围． (3)①写出函数与的图像的交点坐标 ． ②根据函数和的图像写出当 时，的最大值为 ． 93．新定义：对于抛物线，若，则称该抛物线是黄金抛物线，若抛物线是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求：的正切值． ②在射线上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与相似，求：P点坐标． 94．定义：如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，我们称抛物线与互为“伴随抛物线”． (1)判断下列抛物线是否为抛物线的“伴随抛物线”，是的打“ √”，不是的打“ ”： ① ___；② ___；③ ___ (2)若抛物线（为实数且）与互为“伴随抛物线”，请问抛物线的图象是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，否则，请说明理由； (3)已知抛物线（为实数且）与轴交于点，抛物线：与轴交于点，若抛物线与互为“伴随抛物线”，且，请问是否为定值，若是，求出这个值； 若不是，请说明理由． 95．新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 96．定义： 在平面直角坐标系中，若在函数图象上存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点(点与不重合) 仍在此函数图象上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点称为这个函数的“凡尔赛点”，点叫作点的“后凡尔赛点”． (1)函数①，② ，③ ，其中是 “凡尔赛函数”的是 （填序号） (2)若一次函数 是 “凡尔赛函数”，点（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求的值； (3)若点 是二次函数 (其中 为常数， ) 的“凡尔赛点”，点为的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与轴交于 两点，由点、四点构成的四边形面积记为S，求S的取值范围． 97．定义：在平面直角坐标系中，若在函数图象上存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点（点与不重合）仍在此函数图象上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点称为这个函数的“凡尔赛点”，点叫作点的“后凡尔赛点”． (1)函数①，②，③，其中是“凡尔赛函数”的是___ (2)若一次函数是“凡尔赛函数”，点（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求的值； (3)若点是二次函数（其中为常数，）的“凡尔赛点”，点为的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与轴交于两点，由点四点构成的四边形面积记为，求的取值范围． 98．如图，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于点，若为等腰直角三角形，我们把抛物线上两点之间的部分与线段围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段称为碟宽，顶点称为碟顶，由定义知，取中点，连结与的关系是______．抛物线对应的准蝶形必经过，则=______，对应的碟宽是______．抛物线对应的碟宽在轴上，且． ①求抛物线的解析式； ②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点，使得为锐角，若有，请求出的取值范围．若没有，请说明理由． 99．定义：，，以长度为边在轴上方作等边三角形，当函数与在第一象限内有交点，称为“特别函数”． (1)如图，当时，一次函数是“特别函数”，求的取值范围； (2)如图，函数是“特别函数”，求的取值范围； (3)如图，在的条件下，函数与交于点，，求的值； (4)当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 100．【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    试卷第2页，共145页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$