第八单元数学广角——数与形（同步练习）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

第八单元数学广角——数与形情境化专练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．观察下列图形：第1个图形有6根小棒，第2个图形有11根小棒，第3个图形有16根小棒……，第10个图形有（    ）根小棒。 A．45 B．51 C．60 2．小军从家出发去书店买书，当他走了大约一半路程时，想起忘记带钱了。于是他回家取钱，然后再去书店，买了几本书回家。下面（    ）幅图比较准确地反映了小军的行动轨迹。 A． B． C． 3．奇奇用大小相同的棋子按如图规律摆放图案。照这样摆下去，第2024个图案中有（    ）个棋子。 A．6072 B．6075 C．6078 4．珊珊用石子摆出了下图中的图案，根据规律判断第6个图案中石子总数为（    ）个。 A．16 B．20 C．24 二、填空题 5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”与“数”联系在一起，下图是用“形”来表示“数”。请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9，依次排下去，第6幅图的点数为( )，第n幅图的点数为( )。 6．古希腊的毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，他们经常研究用多少个点能排列成不同的正多边形，组成美丽的图案。如图是他们研究多少个点可以组成正五边形的研究过程，第5个正五边形是由( )个点组成，第6个正五边形是由( )个点组成。 7．农民伯伯计划将苹果树种在正方形的果园中。为了保护苹果树，他打算在苹果树的周围种针叶树。在下面设计图里，可以看到农民伯伯种苹果树的列数（用表示）和苹果树数量，针叶树数量的规律： 根据上面的规律，完成以下各题。 （1）将表格填写完整。 列数（） 1 2 3 4 5 … 苹果树的数量 1 4 9 ( ) ( ) … 针叶树的数量 8 16 24 ( ) ( ) … （2）当( )时，苹果树和针叶树的数量相等。 （3）在苹果树和针叶树数量相等的基础上，如果继续不断地扩大果园，那么( )树的数量会增加得比较快。（括号里填“苹果”或“针叶”。） 8．如图，—张长桌可坐6人，两张长桌可坐10人，三张长桌可坐14人，如果n张长桌排成一排，可坐( )人。（用含有字母n的式子表示）。 9．用同样边长的正方形和等边三角形按如图的方式拼图，照这样接着拼下去，第10个图形中有( )个正方形，第n个图形中有( )个等边三角形。 10．“成都欢迎你成都欢迎你成都……”按这样的规律排下去，第2016个汉字是( )。 11．如下图所示，按这样的规律摆下去，第5个图中有( )个涂成阴影的小正方形，第n个图中有( )个涂成阴影的小正方形。（用含有n的式子表示） 12．用小棒按下图所示的方法拼成若干个图案，照这样拼下去，第4个图案中有( )根小棒，第( )个图案中有42根小棒，第n个图案中有( )根小棒。 13．用相同长度的小棒摆成一组有规律的图案，如图所示。第1个图案需要4根小棒，第2个图案需要10根小棒……按此规律摆下去，第7个图案需要( )根小棒。 三、解答题 14．八百多年前，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契提出了“斐波拉契数列”，生活中又称“兔子数列”。意思是：假设有一对刚出生的兔子，它们在第一个月长大成年，并在之后的每个月都生出一对幼崽，而这些幼崽在长大后，也都会以同样的周期继续繁殖（如图所示），按照这种规律依此类推，在之后的每个月中各有多少对兔子呢？其结果就会形成这样一组数1、1、2、3、5、8、13、21、34…此时我们便会看到从这组数的第三项开始，每一项都是前两项之和，这便是神奇的“斐波拉契数列”，又因为从第三项起，前一项除以后一项所得商都接近0.618，所以称“黄金分割数列”。 （1）根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、（    ）、（    ）、… （2）这组数的第100个数是奇数还是偶数？请说明理由。    15．“黑洞”是宇宙空间中一种神秘的天体，能把接近它的物质吸引进去。在数学中也有神秘的黑洞现象。四位数的黑洞是6174，即：任意一个四位数，把各个数位上的数按从大到小排列，组成一个新数，再按从小到大排列组成另一个新数，这两个数相减，得到的差再按上面的步骤做，若干次后，得到的差始终是6174，6174就是四位数的黑洞。举例说明，例如3214： 4321－1234＝3087 8730－378＝8352 8532－2358＝6174 7641－1467＝6174 7641－1467＝6174 按此继续思考，你能找出三位数的黑洞吗？任选一个三位数试试吧。 16．材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我国，“数形结合”最早出现在数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的一首词中：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。 （1）如下图，你能利用数形结合的知识发现（a＋b）（a－b）与a2－b2之间的关系吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。 （2） 观察上面的点阵图规律，请问第（5）个有（    ）个点，第（7）个有（    ）个点。 那么：第（n）个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳，并表达你总结的方法。 17．我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。你能发现下面“杨辉三角”图中各数之间的关系吗？你能按照发现的规律把这个三角形图继续写下去吗？试试看。    18．探索与发现。 数形结合思想是数学中最重要的、最基本的思想方法之一。计算2＋4＋6＋8＋10＋12…这样的算式有简便方法吗？聪聪遇到这个问题时，他想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图研究（如图）。 序号 1 2 3 4 … 图形 …… 图片个数 2 2＋4 2＋4＋6 2＋4＋6＋8 … (1)观察表格，请把下面等式补充完整。 2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝( )×( ) (2)若按此规律继续摆，则序号为( )的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有( )个小圆片。 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B A B C 1．B 【分析】观察图形可知，如果以最左边的1根小棒为基础，第1个图形有6根小棒，6＝1＋5；第2个图形有11根小棒，11＝1＋5×2；第3个图形有16根小棒，16＝1＋5×3。由此可知：小棒的根数＝1＋5×图形的序数，据此求出第10个图形有多少根小棒。 【详解】通过分析可得：小棒的根数＝1＋5×图形的序数 1＋5×10 ＝1＋50 ＝51（根） 则第10个图形有51根小棒。 故答案为：B 2．A 【分析】离家的距离是随时间是这样变化的：（1）先离家越来越远，到了最远距离一半的时候；（2）然后越来越近直到为0；（3）到家拿钱有一段时间，所以有一段时间离家的距离为0；（4）然后再离家越来越远，直到书店；（5）在书店买书还要一段时间，所以离家最远的时候也是一条水平线段；（6）然后回家直到离家的距离为0。 【详解】A选项符合要求； B选项，没有从家出发，不符合要求； C选项，在书店买书没有停留，不符合要求。 故答案为：A 3．B 【分析】观察图形可知，第一个图形的棋子数有（3＋3×1）个，第二个图形的棋子数有（3＋3×2）个，第三个图形有（3＋3×3）个，……可发现规律是：第n个图形的棋子数有（3＋3n）个。据此解答。 【详解】3＋2024×3 ＝3＋6072 ＝6075（个） 所以，第2024个图案中有6075个棋子。 故答案为：B。 4．C 【分析】第1个图案需要石子4个，第2个图案需要石子8个，第3个图案需要石子12个，第4个图案需要石子16个，由此可知，下一个图案比上一个图案多4个石子； 第1个图案需要石子4个，可以写成：4×1； 第2个图案需要石子8个，可以写成：4×2； 第3个图案需要石子12个，可以写成：4×3； 第4个图案需要石子16个，可以写成：4×4； …… 由此可知，第n个图案需要石子4n个，当n＝6时，求出石子的数量，据此解答。 【详解】根据分析可知，第n个图案需要石子4n个。 当n＝6时： 4×6＝24（个） 珊珊用石子摆出了下图中的图案，根据规律判断第6个图案中石子总数为24个。 故答案为：C 5． 21 4n－3 【分析】根据题意，第1幅图的点数为1＋4×0，第2幅图的点数为1＋4×1，第3幅图的点数为1＋4×2；第4幅图的点数为1＋4×3，那么第n幅图的点数应为：1＋4（n－1）＝4n－3；将n＝6，代入计算出第6幅图的点数即可；据此解答。 【详解】根据分析，第n幅图的点数应为： 1＋4（n－1）＝4n－3 把n＝6代入4n－3，得： 4×6－3 ＝24－3 ＝21 所以第6幅图的点数为21，第n幅图的点数为（4n－3）。 【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够根据增加数量找出规律再解答。 6． 51 70 【分析】观察图案，可以发现这组数是有规律的，1、5、12、22它们之间的差是每次多3；由此可以根据规律得出第5、第6个正五边形各由多少个点组成，据此解答。 【详解】①0个五边形的点数：1个； ②1个五边形的点数：5个，5＝1＋1＋3×1 ③2个五边形的点数：12个，12＝5＋1＋3×2 ④3个五边形的点数：22个，22＝12＋1＋3×3 ⑤4个五边形的点数：22＋1＋3×4＝35（个） ⑥5个五边形的点数：35＋1＋3×5＝51（个） ⑦6个五边形的点数：51＋1＋3×6＝70（个） 第5个正五边形是由51个点组成，第6个正五边形是由70个点组成。 7． 16 25 32 40 8 苹果 【分析】观察图形发现苹果树的数量规律是；针叶树数量规律： ，据此解答即可。 【详解】（1）第4列苹果树的数量是16棵，针叶树的数量是32棵； 第5列苹果树的数量是25棵，针叶树的数量是40棵。 （2）当 n＝8时，苹果树和针叶树的数量。 （3）在苹果树和针叶树数量相等的基础上，如果继续不断地扩大果园，那么苹果树的数量会增加得比较快。 【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是根据图形找到数的规律。 8．（4n＋2）/（2＋4n） 【分析】观察可知，—张长桌可坐6人，6＝1×4＋2；两张长桌可坐10人，10＝2×4＋2；三张长桌可坐14人，14＝3×4＋2…由此可知，坐的人数＝长桌数量×4＋2，据此分析。 【详解】n×4＋2＝（4n＋2）人 如果n张长桌排成一排，可坐（4n＋2）人。 9． 10 4n－2 【分析】（1）第1、2、3个图形中，正方形的个数分别是1、2、3，发现第几个图形就有几个正方形； （2）第1、2、3个图形中，等边三角形的个数分别是2、6、10，发现每增加一个图形，等边三角形增加4个，据此得出规律，并按此规律解答。 【详解】（1）第1个图形中有1个正方形； 第2个图形中有2个正方形； 第3个图形中有3个正方形； …… 第10个图形中有10个正方形； （2）第1个图形中有2个等边三角形，2＝1×4－2； 第2个图形中有6个等边三角形，6＝2×4－2； 第3个图形中有10个等边三角形，10＝3×4－2； …… 第n个图形中有（4n－2）个等边三角形。 10．成 【分析】由题意可知，每5个字一循环，则5个字一组，可先用除法计算2016个字有几组，如刚好，则是一组中最后一个字，如有余数，则看是一组中的第几个汉字，即可得解。 【详解】 第2016个汉字是成。 11． 9 2n－1 【分析】观察图形可知，第1个图、第2个图、第3个图中分别有涂成阴影的小正方形的个数是：1个、3个、5个，发现：每增加一个图，涂成阴影的小正方形的个数就增加2个，据此找到规律，并解答。 【详解】观察图形可知： 第1个图中有1个涂成阴影的小正方形； 第2个图中有3个涂成阴影的小正方形，3＝2×2－1； 第3个图中有5个涂成阴影的小正方形，5＝2×3－1； …… 第n个图中有（2n－1）个涂成阴影的小正方形。 当n＝5时 2n－1 ＝2×5－1 ＝10－1 ＝9（个） 第5个图中有（9）个涂成阴影的小正方形，第n个图中有（2n－1）个涂成阴影的小正方形。 12． 18 10 4n＋2 【分析】根据图示发现：第1个图案需要小棒：6根；第2个图案需要小棒（6＋4）根；第3个图案需要小棒（6＋4＋4）根；……第n个图案需要小棒的根数是6＋4（n－1）。据此解答。 【详解】根据分析可知，第n个图案需要小棒： 6＋4（n－1） ＝6＋4n－4 ＝（4n＋2）根 当n＝4时， 4n＋2 ＝4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（根） 4n＋2＝42 解：4n＋2－2＝42－2 4n＝40 4n÷4＝40÷4 n＝10 第4个图案中有18根小棒，第10个图案中有42根小棒，第n个图案中有（4n＋2）根小棒。 13．40 【分析】通过观察可知，在原有图形的基础上依次增加两个正方形，每增加两个正方形需要6根小棒，那么第个图案在4根的基础上，需要增加6的倍个小棒，据此解答。 【详解】 根 当时 （根） 第7个图案需要40根小棒。 14．（1）55；89； （2）100÷3＝33（组）……1（个） 这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。 【分析】（1）根据题意可知，从这组数据的第三项开始，每一项都是前两项之和，所以用前两项相加即可求出后一项； （2）根据题意可知，这组数据是按照奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……的规律排列的，找出几个数为一组，求第100个数是奇数还是偶数，用100除以几，如果没有余数，则第100个数是一组规律中的最后一个数，如果有余数，则看其排在一组规律中的第几个数，再看看相应位置是奇数还是偶数；据此解答。 【详解】（1）21＋34＝55 34＋55＝89 根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89… （2）100÷3＝33（组）……1（个） 答：这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。 15．495 【分析】任意写一个三位数，把各个数位上的数按从大到小排列，组成一个新数，再按从小到大排列组成另一个新数，这两个数相减，得到的差再按上面的步骤做，若干次后，得到的差是几，三位数的黑洞就是几。 【详解】例如：576 765－567＝198 981－189＝792 792－279＝513 531－153＝378 873－378＝495 954－459＝495 954－459＝495 答：三位数的黑洞是495。 16．（1）相等；过程见详解 （2）18；24；（3n＋3）个；过程见详解 【分析】 （1）利用长方形和正方形面积公式，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，如图，红色长方形的长（a＋b），宽（a－b），面积（a＋b）（a－b）；，边长a的正方形面积－边长b的正方形面积＝ a2－b2，只要说明两个黄色部分的面积相等即可发现（a＋b）（a－b）与a2－b2是相等的。 （2）观察可知，点的个数＝第几个图形就用几×3＋3，据此分析。 【详解】 （1）如图，①＋②是个长方形，长（a＋b），宽（a－b），面积：（a＋b）（a－b）；①＋③的面积：a2－b2。长方形②的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b；长方形③的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b，即②＝③，所以①＋②＝①＋③，即（a＋b）（a－b）＝a2－b2。 （2）如图将最左侧3个点圈起来，右边斜着每列3个点，第几个图形就有斜着几列。 第（1）个点阵图：1×3＋3＝3＋3＝6（个） 第（2）个点阵图：2×3＋3＝6＋3＝9（个） 第（3）个点阵图：3×3＋3＝9＋3＝12（个） 第（4）个点阵图：4×3＋3＝12＋3＝15（个） 第（5）个点阵图：5×3＋3＝15＋3＝18（个） 第（6）个点阵图：6×3＋3＝18＋3＝21（个） 第（7）个点阵图：7×3＋3＝21＋3＝24（个） …… 第（n）个点阵图：n×3＋3＝（3n＋3）个 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 17．见详解 【分析】观察“杨辉三角”，发现下层中间的数等于上层相邻两个数的和，据此规律解答。 【详解】我发现“杨辉三角”图中各数之间的关系：这些数字组成的三角形是等腰三角形，两条腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它上方相邻的两个数字之和。 按照发现的规律把这个三角形图继续写下去：    【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 18．(1) 4 5 (2) 11 n（n＋1） 【分析】序号1：2，1个偶数； 序号2：2＋4，2个偶数； 序号3：2＋4＋6，3个偶数； …… 序号几就是几个连续偶数相加。 2＝1×2， 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 …… 结果＝序号几就用几×（几＋1）。 因此，此题是求连续偶数的和，其得数是偶数的个数（即序号）与偶数个数加1的积，据此解答。 【详解】（1）2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝4×5 （2）132＝11×12 若按此规律继续摆，则序号为11的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有n（n＋1）个小圆片。 学科网（北京）股份有限公司 $$