第6章几何图形 角度的计算 解答题专训2024-2025学年人教版数学七年级上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第6章几何图形 角度的计算 解答题专训（原卷版） （由浅入深，共23题，涉及分类讨论思想、方程思想） 1．如图，已知，是内的一条射线，且.(1)求的度数；(2)过点作射线，若，求的度数． 2．如图，已知，，求的度数． 3．如图，直线与相交于点，．(1)如果，求的度数；(2)如果，求的度数． 4．点在一条线上，将三角板如图放置，使直角顶点与点重合，边平分，已知．求的度数． 5．如图①，点为直线上一点，，将一直角三角板的角的顶点放在店处，斜边在射线上，直角顶点在直线的下方．(1)在图①中，求和的度数；(2)将图①中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，边恰好平分，第秒时，边在的平分线上，请分别求出的值；(3)将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转至图②，使边在的内部，边在的外部，请研究：与之间的数量关系，并说明理由． 6．如图，已知，且．(1)求的度数；(2)过点引射线，若满足，求的度数． 7．如图，已知内部有三条射线，平分，平分．(1)若，，求的度数；(2)若，求的度数（写出求解过程）；(3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）． 8．如图，直线交于点O，平分平分：，求的度数． 9．（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如，，，．小明利用三角板画出了一个的角．小乐利用三角板画出了一个的角．你还能用三角板画出多少度的角？ （2）如图，李老师将两个三角板放置在一起，于是产生了新的数学问题．，，，在，内作射线，，且，．求的度数． 10．如图，点A，O，B在同一直线上，，是平角的一条靠近边的三等分线．(1)求的度数；(2)是的平分线吗？说明你的理由． 11．如图，已知，与互余，平分．(1)在图1中，若，则_________，_________；(2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系． 12．如图，已知，射线平分，射线平分．若，求的度数． 13．如图所示，已知平分平分． (1)如图， ___________；(2)将绕O点向下旋转，使，其他条件不变，能否求出的度数？若能，求出其值，若不能，请说明理由；(3)若，仍然分别作的平分线，，能否求出的度数？若能，求的度数；若不能，试说明理由． 14．阅读理解： 线段类多解问题：已知，点A、B、C在同一直线上，且，，求的长． 解：①如图1当点C在点B的右侧时 ②如图2当点C在点B的左侧时 综上所述或4．    (1)类比上述过程解决类多解问题：同一平面内，，，求的度数． (2)在（1）的条件下，若是角平分线，是角平分线，求的度数． (3)若同一平面内，，是角平分线，是角平分线，直接用含x的式子表示出． 15．如图，是的平分线，是的平分线．(1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 16．【问题提出】已知与有共同的始边，且满足，若，求的度数． 【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题．在图①中，当射线在的内部时，由题意易得；在图②中，当射线在的外部时，由题意易得．     【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题： (1)如图③，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，请在数轴上标出线段的中点D并写出D所表示的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长． (2)如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于且小于的角）． ①若，求的垂角； ②如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数． 17．已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向．①若，则射线的方向是_________；②与的关系为_________；③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数；(3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 18．如图，两个直角三角形的直角顶点重合 (1)若，求的度数． 解：，，……① _________……② ， _________° 把上面过程补充完整，在上面①到②的推导过程中，理论依据是：_________． (2)写出图中互为补角的角_________． (3)若平分，求的度数． 19．生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型，如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B，C，O为表盘圆心． (1)若为，，B是的中点，则手表全长 ． (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合．① ；②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④，自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时内，经过________分钟，的度数是． 20．直角三角板的一个顶点O在直线上，． (1)如图1，三角板在直线上方．①若，则 ；②若平分，则 ； (2)若三角板在直线下方，．求的度数； (3)类比探究：如图3，在数轴上，点为原点，点表示的数是，，线段在数轴上移动，且（点在点的左侧），当时，求出点表示的数． 21．如图1所示，点在直线上，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边，在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，若与互补，的余角比它的补角的一半少，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按逆时针旋转到如图3，，，平分，求的度数．（用含的代数式表示） 22．数学小组学完4.3角这节后，对角的计算产生了浓厚的兴趣，发现了一些有趣的结论． 如图1，射线固定位置，，平分，平分． 知识再现：（1）_________； 探究升华：（2）将图1中的绕点A旋转，当旋转到图2位置时，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由； （3）将图1中的绕点A旋转一周，当时，求的度数． 23．【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第6章几何图形 角度的计算 解答题专训（解析版） 1．如图，已知，是内的一条射线，且. (1)求的度数； (2)过点作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查几何图形角度的计算： （1）先得出，进而可得出答案； （2）分两种情况：当在内部时，，当在外部时，，进而可得出答案． 【详解】（1）解：（1）， ， 又， ； （2）解：当在内部时，， ， 当在外部时，， ， 或． 2．如图，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】根据，则，推出；根据，求出，根据，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查角的度量，解题的关键是掌握各角之间的等量关系，进行角的计算． 3．如图，直线与相交于点，．      (1)如果，求的度数； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接结合图形，利用角的和差计算即可； （2）根据已知条件，根据对顶角及邻补角的性质计算求解即可； 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵， , 又， ∴， ∵， ∴， 【点睛】本题考查了对顶角，邻补角，以及角的和差计算，解答的关键是熟记对顶角与邻补角的定义的掌握与应用． 4．点在一条线上，将三角板如图放置，使直角顶点与点重合，边平分，已知．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的有关计算，先得出，再得出，求出，得出，求出，进而可得出答案． 【详解】解：如图，平分， ， 又， ， ， ， 又， ， ． 5．如图①，点为直线上一点，，将一直角三角板的角的顶点放在店处，斜边在射线上，直角顶点在直线的下方． (1)在图①中，求和的度数； (2)将图①中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，边恰好平分，第秒时，边在的平分线上，请分别求出的值； (3)将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转至图②，使边在的内部，边在的外部，请研究：与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查角的运算和角平分线的定义： （1）根据，即可求得答案． （2）设当边旋转到时，恰好平分，则，即可求得的值，同理可求得的值． （3）根据，即可求得答案． 【详解】（1）． ． （2） 如图所示，设当边旋转到时，恰好平分，则 旋转的角度为：． ． 如图所示，设当边旋转到时，恰好平分，则 旋转的角度为：． ． （3）由题意可知： ∵， ，得． 6．如图，已知，且． (1)求的度数； (2)过点引射线，若满足，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【分析】本题主要考查几何图形中角度的计算，图形结合，分类讨论是解题的关键． （1）根据角的和差倍分运算即可求解； （2）根据题意可求出的度数，再分类讨论，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 又， ． （2）解：①如图所示，当在的左侧时， ， ； ②如图所述，当在的右侧时， ∴； 综上所述，的度数为或． 7．如图，已知内部有三条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数（写出求解过程）； (3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得的度数，然后，再依据角平分线的定义求得、的度数，最后，再依据求解即可； （2）按照（1）的思路先求得的度数，然后再求得、的度数，最后，再依据求解即可； （3）先求得的度数，然后，依据题意求得、的度数，最后，再依据求解即可． 本题主要考查的是角的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ； 平分，平分， ，， ． （2）解：，平分，平分， ． （3）解：，，， ． 8．如图，直线交于点O，平分平分：，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差运算，方程思想的应用．由角平分线知；设，由建立方程即可求得x的值，从而得；再角平分线的定义及和角关系即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 9．（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如，，，．小明利用三角板画出了一个的角．小乐利用三角板画出了一个的角．你还能用三角板画出多少度的角？ （2）如图，李老师将两个三角板放置在一起，于是产生了新的数学问题．，，，在，内作射线，，且，．求的度数． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2） 【分析】本题考查了角的运算，熟练掌握角的和、差的计算方法是解题的关键． （1）只要，，，的角通过和、差、整数倍运算得出的角都可以画出； （2）先利用周角及，求出，再利用，求出，，可得，结合即可求解． 【详解】解：（1）因为三角板自带，，，的角， 所以只要，，，的角通过和、差、整数倍运算得出的角都可以画出， 如：，，，，等， 所以用三角板除了画出自带的角外，还能作出、、的角等（不唯一）； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 10．如图，点A，O，B在同一直线上，，是平角的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)是的平分线吗？说明你的理由． 【答案】(1) (2)是，见解析 【分析】本题考查角的计算，角的三等分线的定义，角平分线的定义，明确角的和差关系是解题的关键． （1）由题意可得，根据可得答案； （2）由题意可得，得出，则，即可得出结论； 【详解】（1）解：∵是的一条靠近边的三等分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为； （2）是的平分线． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线． 11．如图，已知，与互余，平分． (1)在图1中，若，则_________，_________； (2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了角的计算，余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据余角的定义可得：，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答； （2）利用（1）的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）， 理由：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 12．如图，已知，射线平分，射线平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、一元一次方程的定义等知识点，弄清楚各角之间的关系成为解题的关键． 设，由角平分线的定义可得，进而得到；再运用角平分线的定义可得，最后根据列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设， ∵射线平分， ∴． ∵， ∴． ∵射线平分， ∴． 又∵， ∴，解得，即的度数为． 故答案为：． 13．如图所示，已知平分平分． (1)如图， ___________； (2)将绕O点向下旋转，使，其他条件不变，能否求出的度数？若能，求出其值，若不能，请说明理由； (3)若，仍然分别作的平分线，，能否求出的度数？若能，求的度数；若不能，试说明理由． 【答案】(1)45 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的以求出与的度数，然后相减即可求出的度数； （2）根据（1）的求解思路，先利用角平分线的定义表示出与的度数，然后相减即可得到的度数； （3）根据前两题的求解思路把具体数据换为、，然后整理即可得出规律． 本题考查了角的计算，角平分线的定义，读懂题意，看懂题目图形找准解题思路是解题的关键，此类题目通常都是各小题都用同一个解题思路，所以准确确定思路比较关键． 【详解】（1）解： ，， ， 平分，平分， ， ， ； （2）解：能．过程如下： ，， ， 、分别平分，， ， ， ； （3）解：能．过程如下： ，， ， 、分别平分，， ， ， ， 即 14．阅读理解 线段类多解问题：已知，点A、B、C在同一直线上，且，，求的长． 解：①如图1当点C在点B的右侧时 ②如图2当点C在点B的左侧时 综上所述或4．    (1)类比上述过程解决类多解问题：同一平面内，，，求的度数． (2)在（1）的条件下，若是角平分线，是角平分线，求的度数． (3)若同一平面内，，是角平分线，是角平分线，直接用含x的式子表示出． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）分两种情况讨论：当在的外部时，；当在的内部时，，进行计算即可； （2）分两种情况讨论：当在的外部时，；当在的内部时，，进行计算即可； （3）同第（2）问，分两种情况讨论，分别进行计算即可． 本题考查了角的计算、角的大小比较、角平分线的定义等有关内容，关键在于要分两种情况讨论，不要遗漏． 【详解】（1）解：当在的外部时，如图1，   ； 当在的内部时，如图2， ， 综上所述，的度数为或； （2）解：如图1， 是角平分线，是角平分线， ，， ； 如图2， 是角平分线，是角平分线， ，， ； 综上所述，的度数为； （3）解：如图1，   是角平分线，是角平分线， ，， ； 如图2，是角平分线，是角平分线， ，， ； 综上所述，的度数为． 15．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差运算等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得最后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴ ∴． （2）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵OD是的平分线， ∴， ∴． 16．【问题提出】已知与有共同的始边，且满足，若，求的度数． 【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题． 在图①中，当射线在的内部时，由题意易得； 在图②中，当射线在的外部时，由题意易得．      【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题 (1)如图③，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，请在数轴上标出线段的中点D并写出D所表示的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长． (2)如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于且小于的角）． ①若，求的垂角； ②如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数． 【答案】(1)或 (2)①；②或 【分析】本题考查了互为垂角和补角的定义及运用，数轴，数轴上两点之间的距离，绝对值，解题关键是找准角之间关系． （1）根据中点的定义找到点D，由已知的A、B、C所表示的数求出的长度，就可以求出E点所在的位置，再求出的长度． （2）①根据互为垂角的定义求出即可．②根据已知条件，分类列出方程解之． 【详解】（1）解：∵点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，点D的线段的中点， ∴D所表示的数为，， 如图，点D即为所求；    ∵点E到点C的距离恰好是线段的长， ∴， ∴点C表示的数为7或， ∴的长为：或； （2）解：①设的垂角为， 根据题意得：， ∴或， 解得或230（舍去）， ∴的垂角为； ②设这个角的度数为， 当时，它的垂角为， 根据题意得， 解得：， 当时，它的垂角为， 根据题意得， 解得， 故这个角的度数为或． 17．已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①北偏东；②相等；③互补 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义，余角与补角的性质，对定义的熟练掌握是解题关键． （1）①根据方向角的定义即可求解； ②根据同角的余角相等即可得出结论； ③先根据同角的余角相等得出，再根据两角互补的定义即可得出结果； （2）①根据同角的余角可知，又根据角平分线的定义可得，两式相减即可得出结果； （3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴射线的方向是北偏东； ②∵由题意知，， ∴； ③由题意知，， ∴， 又， ∴． 即与的关系为互补． 故答案为：①北偏东；②相等；③互补； （2）由题意知，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 18．如图，两个直角三角形的直角顶点重合 (1)若，求的度数． 解：，，……① _________……② ， _________° 把上面过程补充完整，在上面①到②的推导过程中，理论依据是：_________． (2)写出图中互为补角的角_________． (3)若平分，求的度数． 【答案】(1)，，等角的余角相等 (2)与，与，与 (3) 【分析】本题考查了余角的性质：同角（或等角）的余角相等，补角的定义及角平分线的定义． （1）由已知进行等量代换可得，根据题意即可得出答案； （2）根据补角的定义：两角和为解答即可； （3）根据角平分线的定义得到，由即可解答． 【详解】（1）解：∵，①， ∴②， ∵， ∴， 在上面①到②的推导过程中，理论依据是：同角的余角相等； （2）解：∵，， ∴，即互为补角， ∵，， ∴互为补角，互为补角， 综上，与，与，与互为补角； （3）解：∵，且平分， ∴， ∴． 19．生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型，如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B，C，O为表盘圆心． (1)若为，，B是的中点，则手表全长 ． (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ① ； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④，自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时内，经过________分钟，的度数是． 【答案】(1)12 (2)① 75；②或 (3)t的值为或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，钟面角的计算，一元一次方程的应用： （1）根据线段的中点，求出的长，比例关系，求出的长，再根据，计算即可； （2）①求出分针每分钟走，时针每分钟走，根据角的和差关系进行求解即可； ②分在的内部和在的外部，两种情况进行求解即可； （3）设经过t分钟，的度数是，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：因为B是的中点．所以． 所以． 因为， 所以． 所以． （2）①分针每分钟走，时针每分钟走． 30分钟时针走过， 即时针从8点到走过，所以． ②当在的内部时，， 所以． 当在的外部时，． 综上，的度数为或． （3）解：设经过t分钟，的度数是． 因为时针与分针每分钟走的度数差为， 所以． 因为平分，所以． 当时，； 当时，． 综上，t的值为或． 20．直角三角板的一个顶点O在直线上，． (1)如图1，三角板在直线上方． ①若，则 ； ②若平分，则 ； (2)若三角板在直线下方，．求的度数； (3)类比探究：如图3，在数轴上，点为原点，点表示的数是，，线段在数轴上移动，且（点在点的左侧），当时，求出点表示的数． 【答案】(1)①；② (2) (3)4或16 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与角平分线有关的计算，线段的和与差． （1）①利用平角的定义，进行计算即可；②根据角平分线平分角，求出的度数，再根据平角的定义，求解即可； （2）根据，结合，得到，求解即可； （3）分线段在线段上，线段在线段右侧与线段在线段左侧，三种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，找准角度之间的和差关系，线段之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； 故答案为：； ②∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由图2可知，， ，， ， ， ； （3）点A表示的数是，， 点B表示的数为10， ①当线段在线段上时，如图， 由图可知，， ，， ， ， ， 点C表示的数为4； ②当线段在线段右侧时，如图， 由图可知，， ，， ， ， ， 点表示的数为16； ③当线段在线段左侧时，此种情况不成立． 综上，点表示的数为4或16． 21．如图1所示，点在直线上，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边，在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，若与互补，的余角比它的补角的一半少，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按逆时针旋转到如图3，，，平分，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考査了一元一次方程的应用，角的动态定义及余角、补角的概念，本题的关键是找准等量关系列方程，并结合数形结合的思想解题． （1）根据题意列出含的方程，先求出的度数进而可求的度数； （2）由，，，得，求出．由平分，得，，进而可求结论． 【详解】（1）解： 根据题意，得， 解得．                          与互补， ， ， ， ．                                （2）解：，，， ， ．                ， ． 平分， ．        ， ， 即．                               22．数学小组学完4.3角这节后，对角的计算产生了浓厚的兴趣，发现了一些有趣的结论． 如图1，射线固定位置，，平分，平分． 知识再现： （1）_________； 探究升华： （2）将图1中的绕点A旋转，当旋转到图2位置时，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由； （3）将图1中的绕点A旋转一周，当时，求的度数． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）由角平分线得到，，结合图形，得到结果； （2）根据图2，同样利用角平分线的关系，得到角的关系，结合图形，得到结果； （3）根据条件，，设，列出方程，求出的度数，根据图1、图2两种情况，分别计算的度数即可， 本题考查了角平分线的定义及应用，以及根据图形，结合角度的计算，得到结果，关键是能要结合图形的变换，分辨出角与角之间的关系． 【详解】解：（1）如图1： ∵平分，平分， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴； 故答案为：； （2）成立，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； 故结论仍成立； （3）设，则， 如图1，， ∴， ∴， ∴， 如图2， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 23．【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、旋转性质以及角的计算等知识点，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键． （1）由已知可求出，再由、平分求出的度数即可； （2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可； （3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得，， ， ． 故答案为：； （3）．理由如下: ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）∵平分， 又∵， ． 故答案为：． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$