第6章 几何图形初步 专题训练 与线段有关的动点问题 （压轴） --2024—2025学年人教版数学七年级上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第6章 几何图形 专题训练 与线段有关的动点问题 （压轴）（原卷版） 1．如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒．(1)当时，①________cm；②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 2．如图1，点C在线段AB上，．P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动，当点P达点A时，两点立即停止运动．（1）的值是______；（2）取PQ中点M，CQ的中点N．求的值． 3．线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 4．如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______．(2)当点P到点C时，求的长．(3)求的长（用含t的代数式表示）．(4)设时，直接写出t的值． 5．如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t．(1)当时，，请求出的长；(2)当时，，请求出的长；(3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长； 6．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm；(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 7．已知：数轴上有点A，表示的数为a，且满足关于x的方程为一元一次方程．数轴上还存在线段和线段（点M始终在点N左边，点P始终在点Q左边）． (1)当三点重合，且，时，求的值及所表示的数． (2)如图，若线段的中点为，线段的中点为，求的值． (3)在（1）的条件下，点M从A点出发，使线段以1个单位每秒的速度向右匀速运动，点P从A点出发，使线段以3个单位每秒的速度向右匀速运动，当点P与点N重合时，线段以原速返回向左运动，当点Q与点M相遇时，线段再次以原速向右运动……当点N所表示的数为时，求点P与点N共相遇了多少次？ 8．在直角三角形中，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．如果点同时出发，用表示移动时间，那么：(1)如图1，请用含t的代数式表示（不用带单位）：①当点在上时，______； ②当点在上时，______；③当点在上时，______；④当点在上时，______； (2)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，试求出的值； (3)点到达点时，，两点都停止运动．请直接写出当时的值． 9．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空）(2)当点C、D运动了，求的值；(3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空）(4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 10．已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）(1)若，当点C、D运动了，求的值．(2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________．(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 11．如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为﹣2和8．（1）线段AB的长为 ；（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，①当0＜t＜10时，PA＝ ，PB＝ ，点P表示的数为 ；②若点M是线段PA的中点，点N是线段PB的中点，试判断线段MN的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段MN的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段MN的长度． 12．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒：（1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）；（2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？（3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 13．如图1，，是直线上的两个点，且．线段（在的左侧）可以在直线上左右移动．已知，点是的中点．（1）如图2，当与重合时， ， ；（2）在图2的基础上，将线段沿直线向左移动个单位长度得到图3．①若，求和的长；②若，则的值是 ． （3）在图2的基础上，将线段沿直线向右移动个单位长度．请直接写出与之间的数量关系 ． 14．如图，在数轴上点A所表示的数是，点B在点A的右侧，．（1）直接写出点B表示的数_________； （2）点C在AB之间，，求点C表示的数，并在数轴上描出点C；（3）已知点P在数轴上①若，直接写出点P所表示的数；②点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，恰好到达点B的位置，请直接写出所有不同移动方法的种数． 15．已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，①求线段AM的值，②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值 16．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 17．如图，已知点、在线段上．(1)图中共有________条线段；(2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）；(3)若，，是的中点，是的中点（如下图）．①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 18．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第6章 几何图形 专题训练 与线段有关的动点问题 （压轴）（解析版） 1．如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①根据速度乘以时间等于路程，可得答案； ②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案； （2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长． 【详解】（1）解：①当时，； 故答案为：4 ②∵，， ∴． ∵C是线段BD的中点， ∴． （2）解：∵B是线段AD上一动点，沿以2m/s的速度往返运动， ∴当点B沿点A→D运动时， 点B沿点D→A运动时， ∴综上所述，（）或（） 【点睛】本题考查两点间的距离，利用线段中点的性质及线段的和差得出AB与BD的关系是解题关键． 2．如图1，点C在线段AB上，．P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动，当点P达点A时，两点立即停止运动． （1）的值是______； （2）取PQ中点M，CQ的中点N．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别表示出AP，CQ，故可求解； （2）根据中点的性质表示出MN，再根据线段的关系得到，故可得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动， 设运动时间为t ∴CP=t，BQ=2t ∴ ∵ ∴设BC=2a，AC=a ∴AP=AC-CP=a-t，CQ=BC-BQ=2a-2t=2（a-t） ∴AP=CQ ∴= 故答案为：； （2）如图，∵M是PQ中点，N是CQ的中点 ∴MQ=，NQ= ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查线段的和差问题，解题的关键是根据中点的性质表示出线段的长． 3．线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长； （2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长． 【详解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4， ∴，, ∵E为BC的中点， ∴， ∴； （2）线段EF的长度不会发生变化，， ∵AB＝16，CD＝2， ∴， ∵F为AD的中点，E为BC的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 4．如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)6 (3)当时，；当时，；当时，； (4)或 【分析】（1）设点的中点为M，的中点为N，分别求出和的长，再求和即可； （2）先求出当P到点C时t的值，再根据路程时间速度可求出； （3）先找到何时P、Q相遇，再分段讨论，当时，当时，当时，分别求出的长即可； （4）根据（3）中求出的长，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设点的中点为M，的中点为N， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动 ∴当P到点C时，， ∴； （3）解：当点P、Q相遇时，． 当时，； 当时，； 当时，； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得． 当时，，（舍）． ∴或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 5．如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t． (1)当时，，请求出的长； (2)当时，，请求出的长； (3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长； 【答案】(1)4cm (2)4cm (3)4cm 【分析】（1））根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值； （2）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值； （3）结合（1）、（2）进行解答； 【详解】（1）解：依题意知，当时，， ∴   ∵， ∴ 即， ∴ 又， ∴； （2）解：当时，， ∴ 又， ∴， 即， ∴ 又， ∴ （3）解：当运动时间为t时，， ∴ 又， ∴， 即 ∴ 又， ∴ 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 6．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)3.5 (2)t为2或时，点C为线段PQ的中点 (3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析 【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长； （2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可． （3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴， ∴． 故答案为：3.5． （2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动， ∴． ∵ ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，， ∴， ∵点C为线段PQ的中点， ∴，即， 解得：； ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， 解得：，不符合题意舍； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， 解得：； 综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点； （3）根据（2）可知． ∵点M是线段CQ的中点， ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，． ∵， ∴， ∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意． ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意． 综上可知PM的长度为3cm或1cm． 【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 7．已知：数轴上有点A，表示的数为a，且满足关于x的方程为一元一次方程．数轴上还存在线段和线段（点M始终在点N左边，点P始终在点Q左边）． (1)当三点重合，且，时，求的值及所表示的数． (2)如图，若线段的中点为，线段的中点为，求的值． (3)在（1）的条件下，点M从A点出发，使线段以1个单位每秒的速度向右匀速运动，点P从A点出发，使线段以3个单位每秒的速度向右匀速运动，当点P与点N重合时，线段以原速返回向左运动，当点Q与点M相遇时，线段再次以原速向右运动……当点N所表示的数为时，求点P与点N共相遇了多少次？ 【答案】(1)；点表示的数为；点表示的数为 (2) (3) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可求出的值，由三点重合，，可得，，进而可求出点所表示的数； （2）由线段的中点为，线段的中点为可得：，；再通过线段的和差关系可得，即可得出结果； （3）计算出从点与点第一次重合到点与点第二次重合所需时间为秒；即从点与点第一次重合后的每秒，点与点相遇一次；依次计算即可； 【详解】（1）解：∵关于x的方程为一元一次方程 ∴ 解得： ∵三点重合 ∴， ∴点表示的数为：；点表示的数为： （2）解：∵线段的中点为，线段的中点为 ∴， ∴ ∴ （3）解：在（1）的条件下表示的数为，当点所表示的数为时； ∴线段的总运动时间为：（秒） 点与点第一次重合所用时间为：（秒） 从点与点第一次重合到点与点第二次重合所需时间为： （秒） 即从点与点第一次重合后的每秒，点与点相遇一次； 故点与点共相遇：（次） 答：当点所表示的数为时，求点与点共相遇了次． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、线段的和差关系、图形运动中的周期规律；熟练掌握上述基础知识是解题的关键． 8．在直角三角形中，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．如果点同时出发，用表示移动时间，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示（不用带单位）： ①当点在上时，______； ②当点在上时，______； ③当点在上时，______； ④当点在上时，______； (2)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，试求出的值； (3)点到达点时，，两点都停止运动．请直接写出当时的值． 【答案】(1)；；； (2)2 (3)或 【分析】（1）根据三角形的边长，点的运动速度解答即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）分点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动三种情况列出方程，解方程即可． 【详解】（1）①当点在上时，； ②当点在上时，； ③当点在上时，； ④当点在上时，； （2）解：由题意得，， 解得 （3）解：∵ ∴当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得； 当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得； 当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得（不合题意）； 综上：或时． 【点睛】此题主要考查了三角形的有关知识，解题关键是掌握点在三角形的各边上的运动情况． 9．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 10．已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】（1）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据题意算出，，再由，即可解题． （2）本题考查线段的和与差，以及动点问题，设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：（1）当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：． （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 11．如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为﹣2和8． （1）线段AB的长为 ； （2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒， ①当0＜t＜10时，PA＝ ，PB＝ ，点P表示的数为 ； ②若点M是线段PA的中点，点N是线段PB的中点，试判断线段MN的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段MN的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段MN的长度． 【答案】（1）10；（2）①t ，10－t，﹣2+t ；②MN的长与点P的运动时间t无关，MN的长度为5． 【分析】(1)用右边的数减去左边的数，化简即可； (2)①利用路程=速度×时间计算PA，根据线段和的意义，计算PB；利用x-(-2)=t计算；②根据线段中点的意义，线段和的意义，化简计算即可. 【详解】解：（1）AB=8-（-2）=10，故应填10； （2）①0＜t＜10时， ∵速度为每秒1个单位， ∴t秒时运动路程为PA=t； ∵PA+PB=AB=10， ∴PB= 10－t， 设点P表示的数为x, 则x+2=t， ∴x=t-2, ∴点P表示的数为﹣2+t ； 故依次填t，10-t，-2+t； ②MN的长与点P的运动时间t无关． 当0＜t≤10时，PA=t，PB= 10－t ， 又∵点M、N分别是PA、PB的中点， ∴PM=，PN=， ∴MN=PM+PN= 当t＞10时，PA=t，PB=t－ 10 ， 又∵点M、N分别是PA、PB的中点， ∴PM=，PN=， ∴MN=PM－PN= 综上所述，MN的长与点P的运动时间t无关，MN的长度为5． 【点睛】本题考查了数轴上动点问题，熟练运用两点间距离公式，线段和的意义，线段中点的意义是解题的关键. 12．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒： （1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】（1）-6，；（2）点运动7秒时追上点；（3）线段的长度不发生变化，其值为7 【分析】（1）根据点表示的数和AB的长度即可求解； （2）根据题意列出方程，求解即可； （3）分类讨论即可：①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，根据中点的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为8，且， ∴点表示的数为， 点P表示的数为， 故答案为：-6，； （2）设点、同时出发，点运动时间秒追上，依题意得， ， 解得， ∴点运动7秒时追上点； （3）线段的长度没有发生变化都等于7；理由如下： ①当点在点、两点之间运动时： ， ②当点运动到点的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为7． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键． 13．如图1，，是直线上的两个点，且．线段（在的左侧）可以在直线上左右移动．已知，点是的中点． （1）如图2，当与重合时， ， ； （2）在图2的基础上，将线段沿直线向左移动个单位长度得到图3． ①若，求和的长； ②若，则的值是 ． （3）在图2的基础上，将线段沿直线向右移动个单位长度．请直接写出与之间的数量关系 ． 【答案】（1）5，2.5；（2）①=2，=1；②1；（3）AM=2BC． 【分析】（1）当与重合时，AM=MN-NA=5,由点是的中点．由，可得AC=BC=； （2）①由线段沿直线向左移动个单位长度,可得BN=可求=MN-AN =2，由点是的中点．NC=AC=，可求；②由，解方程即可； （3）又线段沿直线向由移动个单位长度,BN=，可得AN= 5-b，可求=MN-AN=5+b，由点是的中点．可求NC=AC=，可求=CN+BN=即可． 【详解】解：（1）当与重合时，AM=MN-NA=MN-BA=10-5=5， ∵点是的中点． ∴点是的中点， ∵， ∴AC=BC=， 故答案为：5，2.5； （2）①∵线段沿直线向左移动个单位长度， ∵， ∴BN=， ∴AN=AB+BN=5+=8， ∴=MN-AN=MN-（AB+BN）=10-（5+3）=2， ∵点是的中点． ∴NC=AC=， =CN-BN=4-3=1； ②∵， ， 即， ， =1， 故答案为：１； （3）∵线段沿直线向由移动个单位长度， ∴BN=， ∴AN=AB-BN=5-b， ∴=MN-AN= 10-（5-b）=5+b， ∵点是的中点． ∴NC=AC=， ∴=CN+BN=， ∴AM=2BC． 故答案为：AM=2BC． 【点睛】本题考查与线段有关的动点与动线问题，掌握线段的中点定义，会根据线段和差列方程，理解线段和差是解题关键． 14．如图，在数轴上点A所表示的数是，点B在点A的右侧，． （1）直接写出点B表示的数_________； （2）点C在AB之间，，求点C表示的数，并在数轴上描出点C； （3）已知点P在数轴上 ①若，直接写出点P所表示的数； ②点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，恰好到达点B的位置，请直接写出所有不同移动方法的种数． 【答案】（1）1；（2）图见解析，点C表示的数为-0.5；（3）①、；②21 【分析】（1）按照点B的位置和AB两点之间的距离，得出B的表示的数， （2）点C在AB之间， AC=3BC ，得出点C表示的数，在数轴上描出点C即可， （3）①设点P表示的数为a，分三种情况讨论，当a＜-5时，当-5＜a＜1时，当a≥1时，结合两点之间的距离，分别求出a的值即可，②这小题比较繁琐，抽象，属难题，先求出AB的中点表示的数P，点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，7次P恰好到达点B的位置，可得7次移动中有2次向左，5次向右，可以求解． 【详解】（1）点B在点A的右侧，AB=6 ， 所以点B表示的数-5+6=1 即点B表示的数为：1． （2）点C在AB之间，， ∴， ∴， ∴点C表示的数为-0.5 在数轴上正确描出点C， （3）①设点P表示的数为a ∵PA+3PB=｜a-(-5)｜+3｜a-1｜=｜a+5｜+3｜a-1｜=12 当a＜-5时，即（-a-5)+3(1-a)=12，解得a=-3.5，不在范围内， 当-5＜a＜1时，即a+5+3(1-a)=12，解得a=-2， 当a≥1时，即(a+5)+3(a-1)=12，解得：a=2.5， ∴点P表示的数为、 ②21种 ∵AB的中点表示的数为，， ∴点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位， 共移动了7次， 7次P恰好到达点B的位置 这7个单位，正负相消后，的1-(-2)=3且共移动了7个单位， 又∵3=5+(-2)=(-2)+5 由题意可得： 7次移动中有2次向左，5次向右. 设第1次和第2次向左其它都向右记为，则移动方法有，，，，，，，…，共21种移动方法. 【点睛】本题考查了，线段的中点的定义，以及两点之间的距离，解题的关键是画出图形，利用中点的定义和两点之间的距离，确定点的坐标． 15．已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空） （2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC， ①求线段AM的值， ②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值 【答案】（1），；（2）①；②或1 【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算可得； （2）①根据、的运动速度知，再由已知条件求得，所以； （3）分点在线段上时和点在线段的延长线上时分别求解可得． 【详解】解：（1）根据题意知，，， ，， ， ，， 故答案为：，； （2）①根据、的运动速度知：， ， ，即， ， ， ； ②当点在线段上时，如图， ， 又， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ， 又， ， ； 综上所述：或1． 【点睛】本题考查求线段的长短的知识，数轴上的动点问题，解题的关键是细心阅读题目，理清题意，利用数形结合及分类讨论的思想求解． 16．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案； （2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答； （3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解； 【详解】（1）解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm． （2）解：设运动时间为t， 则CM＝t，BD＝3t， ∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t， 又MD＝3AC， ∴BM﹣3t＝3AM﹣3t， 即BM＝3AM， ∴AM=BM 故答案为：． （3）解：由（2）可得： ∵BM＝AB﹣AM ∴AB﹣AM＝3AM， ∴AM＝AB， ①当点N在线段AB上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝AB， ∴MN＝AB，即=． ②当点N在线段AB的延长线上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB， ∴=1,即=． 综上所述＝或 【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答． 17．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)①；②同意，理由见详解 【分析】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． （1）依据、在线段上，即可得到图中共有线段． （2）依据，即可得到，进而得出． （3）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． ②分为当点在线段上，点在射线上运动时；当点在射线上，点在射线上运动时，两种情况分别求解判断即可； 【详解】（1）解：∵、在线段上， ∴图中共有线段共6条． 故答案为：6； （2）若，则，即． 故答案为：； （3）①∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴．    ②当线段在射线上运动时， 当点在线段上，点在射线上运动时：      ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 当点在射线上，点在射线上运动时：    ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度不变． 18．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$