第六单元除数是两位数的除法·思维素养篇【从课内到奥数】-2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

1 / 11 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9月 12 日 2 / 11 目 录 【课内精选一】口算除法 ........................................................................................................ 3 【课内精选二】笔算除法 ........................................................................................................ 3 【课内精选三】除法算式各部分之间的关系（一） ............................................................ 4 【课内精选四】除法算式各部分之间的关系（二） ............................................................ 5 【课内精选五】商的变化规律 ................................................................................................ 6 【奥数拓展一】除数是整十数的口算除法（一） ................................................................ 7 【奥数拓展二】除数是整十数的口算除法（二） ................................................................ 7 【奥数拓展三】确定被除数的最值 ........................................................................................ 8 【奥数拓展四】确定除数是多少 ............................................................................................ 9 【奥数拓展五】商的变化规律与实际应用 ............................................................................ 9 【奥数拓展六】除法算式谜 .................................................................................................. 10 3 / 11 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第六单元除数是两位数的除法·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】口算除法。 直接写得数。 3200÷400＝ 96÷16＝ 630÷90＝ 160÷80＝ 【专项训练】 1．直接写出得数。 420÷30＝ 640÷40＝ 51÷3＝ 300÷60＝ 810÷90＝ 25×6＝ 480÷60＝ 560÷80＝ 2．直接写出得数。 72÷3＝ 480÷80＝ 300÷50＝ 160÷20＝ 84÷7＝ 270÷30＝ 640÷80＝ 540÷60＝ 3．直接写出得数。 120÷20＝ 160÷80＝ 240÷30＝ 360÷40＝ 180÷90＝ 480÷60＝ 560÷70＝ 200÷50＝ 【课内精选二】笔算除法。 列竖式计算。（打※的要验算） 402÷75＝ 810÷50＝ 975÷36＝ ※2700÷160＝ 4 / 11 【专项训练】 1．用竖式计算，带﹡要验算。 532÷76＝ 320÷14＝ ﹡981÷49＝ ﹡7500÷300＝ 2．用竖式计算，带*的要验算。 621 41  820 40  *727 27  *5700 400  3．用竖式计算。（打“★”要验算） 843÷42＝ 627÷33＝ ★700÷16＝ ★5600÷500＝ 【课内精选三】除法算式各部分之间的关系（一）。 一个数除以一个两位数的商是 42，余数为 98，被除数是多少? 【专项训练】 1.什么数除以 27的商是 63，余数是 17? 5 / 11 2.下面等式中，B是什么数时，才能使 A最大?A最大是多少? A÷14=126……B 3.一个数除以一个两位数的商与余数都是 56，被除数最小是多少? 【课内精选四】除法算式各部分之间的关系（二）。 已知 2010÷( )=30……30，括号中的数是多少? 【专项训练】 1.根据 56×12+8=680，写出两道相应的有余数的除法算式。 2.在括号中填入适当的数。 876÷( )=12 1072÷( )=23……14 3.幼儿园老师取了 235粒水果糖平均分给班级中的小朋友，每人分到的糖果数量 恰好与小朋友的人数相同，结果还剩下 10粒糖果，这个班级中小朋友共有多少 人? 6 / 11 【课内精选五】商的变化规律。 根据 870÷△＝15填一填。 （870÷4）÷（△÷4）＝( ) （870×5）÷△＝( ) 870÷（△×3）＝( ) （870×2）÷（△÷3）＝( ) 【专项训练】 1．如果☐÷△＝13……8，那么（☐×100）÷（△×100）的商是( )，余数 是( )。 2．已知 720÷60＝12，根据商不变的规律，则（720÷10）÷（60÷10）＝( )。 3．已知 A÷B＝3200，那么（A÷5）÷（B÷5）＝( )，（A÷10）÷B＝( )。 7 / 11 【奥数拓展一】除数是整十数的口算除法（一）。 240除以一个两位的整十数，余数为 0，这样的整十数有多少个? 【专项训练】 从 10，20，30，40，…，190，200这些整十数中，选择合适的数填入算式中， 使等式成立，想一想共有多少种不同的填法? ( )÷( )=2 【奥数拓展二】除数是整十数的口算除法（二）。 在 10，20，30，40，…，100，110这十一个数中，选出两个数，使较大数除以 较小数，余数是 20，共有多少种不同的选法? 【专项训练】 1.在 100，101，102，103，…，298，299这些数中，除以 30余数是 6的数有哪 些? 2.在下列算式中，相同的字母表示相同的数，不同的字母表示不同的数，且 b与 c都是整十数，将 a按从小到大的顺序排列，前三个数的和是多少? a÷b=b……c 8 / 11 3.在 100至 1000这些数中，有多少个数除以 20余 10，除以 30也余 10? 【奥数拓展三】确定被除数的最值。 一个三位数除以 60的商是一个两位数，余数是 19，这个三位数最小是多少?最 大是多少? 【专项训练】 1.一个三位数除以 40 的商是一个两位数，余数是 19，这个三位数最小是多少? 最大是多少? 2.一个三位数除以 43，商是 a，余数是 b(a、b 都是大于 0的自然数)，那么 a+b 的最大值是多少? 3.在一道整数除法中，被除数、除数、商这三个数的乘积是 10000，算一算，被 除数、除数、商这三个数的和最小是多少? 9 / 11 【奥数拓展四】确定除数是多少。 已知 144÷( )= ( )……24，写出满足要求的除法算式。 【专项训练】 在一道有余数的除法算式中，被除数比除数的 9倍多 7，已知被除数、除数、商 与余数的和是 543，被除数、除数各是多少? 【奥数拓展五】商的变化规律与实际应用。 小明上学，平均每分钟走 60米，放学回家原路返回，平均每分钟走 90米，小明 上学行走时间是放学行走时间的多少倍? 【专项训练】 1.小明爬山，上山平均每小时行 4千米，下山原路返回，平均每小时行 6千米， 结果上下山共行了 5小时，小明上下山共行了多少千米? 2.小胖准备练习一定字数的毛笔字.若每天练习 12个字，恰好能在计划的天数内 完成；若每天多练 24个字，则可以提前 10天完成，小胖计划练习多少个毛笔字? 10 / 11 【奥数拓展六】除法算式谜。 在下图的空格中填入合适的数字，使除法竖式成立。 【专项训练】 1．在下图的空格中填入合适的数字，使除法竖式成立。 2．下面竖式中有一部分数字被遮挡，请把它补充完整。 11 / 11 3．将竖式补充完整。 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月12日 目 录 【课内精选一】口算除法 3 【课内精选二】笔算除法 4 【课内精选三】除法算式各部分之间的关系（一） 6 【课内精选四】除法算式各部分之间的关系（二） 7 【课内精选五】商的变化规律 7 【奥数拓展一】除数是整十数的口算除法（一） 9 【奥数拓展二】除数是整十数的口算除法（二） 9 【奥数拓展三】确定被除数的最值 10 【奥数拓展四】确定除数是多少 11 【奥数拓展五】商的变化规律与实际应用 11 【奥数拓展六】除法算式谜 12 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第六单元除数是两位数的除法·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】口算除法。 直接写得数。 3200÷400＝        96÷16＝        630÷90＝       160÷80＝ 【答案】8；6；7；2 【解析】略 【专项训练】 1．直接写出得数。 420÷30＝         640÷40＝       51÷3＝      300÷60＝ 810÷90＝         25×6＝        480÷60＝     560÷80＝ 【答案】14；16；17；5 9；150；8；7 【解析】略 2．直接写出得数。 72÷3＝          480÷80＝          300÷50＝         160÷20＝ 84÷7＝          270÷30＝          640÷80＝         540÷60＝ 【答案】24；6；6；8； 12；9；8；9 【详解】略 3．直接写出得数。 120÷20＝    160÷80＝    240÷30＝    360÷40＝ 180÷90＝    480÷60＝    560÷70＝    200÷50＝ 【答案】6；2；8；9； 2；8；8；4 【解析】略 【课内精选二】笔算除法。 列竖式计算。（打※的要验算） 402÷75＝            810÷50＝            975÷36＝            ※2700÷160＝ 【答案】5……27；16……10；27……3；16……140 【分析】三位数除以两位数的竖式计算方法：从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果比除数小，再试除前三位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商；求出每一位商，余数必须比除数小； 有余数除法的验算方法：商×除数＋余数＝被除数；据此计算。 【详解】402÷75＝5……27                 810÷50＝16……10                       975÷36＝27……3                 ※2700÷160＝16……140             验算： 【专项训练】 1．用竖式计算，带﹡要验算。 532÷76＝       320÷14＝      ﹡981÷49＝        ﹡7500÷300＝ 【答案】7；22……12；20……1；25 【分析】根据三位数除以两位数的计算方法，从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果比除数小，再试除前三位数。除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商。求出每一位商，余下的数必须比除数小。注意验算。 【详解】532÷76＝7                                     320÷14＝22……12                                            ﹡981÷49＝20……1                                         ﹡7500÷300＝25 验算：     验算： 2．用竖式计算，带的要验算。                           【答案】15……6；20……20；26……25；14……100 【分析】除数是两位数的除法，从被除数的最高位除起，先试除被除数的前两位，前两位不够除就试除被除数的前三位，除到哪一位就把商写在哪一位，哪一位上不够商1就用0占位，每次除后余下的数要比除数小。有余数的除法验算方法是除数乘商加余数看是否等于被除数。 【详解】621÷41＝15……6                                 820÷40＝20……20                                   727÷27＝26……25                             5700÷400＝14……100 验算：      验算： 3．用竖式计算。（打“★”要验算） 843÷42＝             627÷33＝             ★700÷16＝            ★5600÷500＝ 【答案】20……3；19；43……12；11……100 【分析】三位数除以两位数的竖式计算方法：从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果比除数小，再试除前三位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商；求出每一位商，余数必须比除数小； 有余数除法的验算方法：商×除数＋余数＝被除数；据此计算。 【详解】843÷42＝20……3                              627÷33＝19                              ★700÷16＝43……12                        ★5600÷500＝11……100 验算：        验算： 【点睛】 【课内精选三】除法算式各部分之间的关系（一）。 一个数除以一个两位数的商是42，余数为98，被除数是多少? 解析：被除数=42×99+98=4256。 【专项训练】 1.什么数除以27的商是63，余数是17? 解析：27×63+17=1718 2.下面等式中，B是什么数时，才能使A最大?A最大是多少? A÷14=126……B 解析：B=13时，A最大，最大为14×126+13=1777 3.一个数除以一个两位数的商与余数都是56，被除数最小是多少? 解析：57×56+56=3248 【课内精选四】除法算式各部分之间的关系（二）。 已知2010÷( )=30……30，括号中的数是多少? 解析： 在被除数、商、余数已知的情况下，我们可以根据“被除数=除数×商+余数”这一结论，先计算除数×商的积，这个积=2010—30=1980，因为商是30，所以除数=1980÷30=66 【专项训练】 1.根据56×12+8=680，写出两道相应的有余数的除法算式。 解析：680÷56=12……8，680÷12 =56……8 2.在括号中填入适当的数。 876÷( )=12 1072÷( )=23……14 解析：73；46 3.幼儿园老师取了235粒水果糖平均分给班级中的小朋友，每人分到的糖果数量恰好与小朋友的人数相同，结果还剩下10粒糖果，这个班级中小朋友共有多少人? 解析：235—10=225，225=15×15，故共有15人 【课内精选五】商的变化规律。 根据870÷△＝15填一填。 （870÷4）÷（△÷4）＝( )     （870×5）÷△＝( ) 870÷（△×3）＝( )            （870×2）÷（△÷3）＝( ) 【答案】 15 75 5 90 【分析】根据商的变化规律，被除数和除数同时除以4，商不变； 被除数乘5，除数不变，商也需要乘5； 被除数不变，除数乘3，商需要除以3； 被除数乘2，除数除以3，则商乘2再乘3。 【详解】870÷△＝15 （870÷4）÷（△÷4）＝15；（870×5）÷△＝15×5＝75； 870÷（△×3）＝15÷3＝5；（870×2）÷（△÷3）＝15×2×3＝30×3＝90。 【专项训练】 1．如果☐÷△＝13……8，那么（☐×100）÷（△×100）的商是( )，余数是( )。 【答案】 13 800 【分析】商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外），商不变，余数也同时乘或除以同一个数。 【详解】8×100＝800 如果☐÷△＝13……8，那么（☐×100）÷（△×100）的商是（13），余数是（800）。 2．已知720÷60＝12，根据商不变的规律，则（720÷10）÷（60÷10）＝( )。 【答案】12 【分析】商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外），商不变。据此解答。 【详解】被除数和除数同时除以10，商不变，即（720÷10）÷（60÷10）＝12。 3．已知A÷B＝3200，那么（A÷5）÷（B÷5）＝( )，（A÷10）÷B＝( )。 【详解】3200÷10＝320 已知A÷B＝3200，那么（A÷5）÷（B÷5）＝（3200），（A÷10）÷B＝（320）。 【奥数拓展一】除数是整十数的口算除法（一）。 240除以一个两位的整十数，余数为0，这样的整十数有多少个? 解析： 240除以一个两位的整十数，余数为0，说明被除数240是除数的倍数，在两位整十数10，20，30，40，…，80，90中，满足要求的除数分别是10、20、30、 40、60、80，所以这样的整十数有6个。 【专项训练】 从10，20，30，40，…，190，200这些整十数中，选择合适的数填入算式中，使等式成立，想一想共有多少种不同的填法? ( )÷( )=2 解析：10种 【奥数拓展二】除数是整十数的口算除法（二）。 在10，20，30，40，…，100，110这十一个数中，选出两个数，使较大数除以较小数，余数是20，共有多少种不同的选法? 解析： 先确定除数与商，再确定被除数的大小，根据题意，两数相除余数是20，可以知道除数最小是30，在除数是30的情况下，当商是1时，被除数等于50，当商是2时，被除数等于80，在除数是40的情况下，当商是1时，被除数等于60，当商是 2时，被除数等于100，用同样的方法列举，可以得到以下算式：50÷30、80÷30、110÷30、60÷40、100÷40、70÷50、80÷60、90÷70、100÷80、110÷90，所以共有10种不同的选法。 【专项训练】 1.在100，101，102，103，…，298，299这些数中，除以30余数是6的数有哪些? 解析：126，156，186，216，246，276 2.在下列算式中，相同的字母表示相同的数，不同的字母表示不同的数，且b与c都是整十数，将a按从小到大的顺序排列，前三个数的和是多少? a÷b=b……c 解析： a₁=20×20+10=410， a₂=30×30+10=910， a₃=30×30+20=920， a₁+a₂+a₃=410+910+920=2240 3.在100至1000这些数中，有多少个数除以20余10，除以30也余10? 解析： 一个数除以20余10，除以30也余10，这样的数除以60一定余10，在100至1000这些数中，符合要求的数分别是130，190，250，310，…，970，共15个。 【奥数拓展三】确定被除数的最值。 一个三位数除以60的商是一个两位数，余数是19，这个三位数最小是多少?最大是多少? 解析： 根据题意，已知除数是60，余数是19，当确定了商，就能求出被除数，由于被除数是一个三位数，当商是10的情况下，被除数最小60×10+19=600+19= 619，当商是16时，被除数最大16×60+19=979，如果商是17时，被除数是四位数，不符合题意，所以这个三位数最小是619，最大是979。 【专项训练】 1.一个三位数除以40的商是一个两位数，余数是19，这个三位数最小是多少?最大是多少? 解析：最小：40×10+19=419，最大：40×24+19=979。 2.一个三位数除以43，商是a，余数是b(a、b都是大于0的自然数)，那么a+b的最大值是多少? 解析：当余数b=42，商a=22时，被除数=43×22+ 42 =988，a+b的最大值=42+22=64 3.在一道整数除法中，被除数、除数、商这三个数的乘积是10000，算一算，被除数、除数、商这三个数的和最小是多少? 解析：在三个数乘积一定的情况下，要使这三个数的和最小，这三个应尽可能接近，因为“被除数=除数×商”，10000=100×100，所以被除数为100，当除数与商都为10时，和最小，是100+10×2=120 【奥数拓展四】确定除数是多少。 已知144÷( )= ( )……24，写出满足要求的除法算式. 解析： 在被除数、余数已知的情况下，可以写出商与除数的乘积，它等于144— 24=120，由于余数是24，那么除数一定是大于24的数，我们将120分拆成两数的乘积，120=1×120=2×60=3×40=4×30=5×24=6×20=8×15=10×12，所以满足要求的除法算式分别是：144÷120=1……24，144÷60=2……24， 144÷ 40=3……24，144÷30=4……24。 【专项训练】 在一道有余数的除法算式中，被除数比除数的9倍多7，已知被除数、除数、商与余数的和是543，被除数、除数各是多少? 解析：被除数与除数的和为543-9-7=527，除数为 (527—7)÷(9+1)=52，被除数为52×9+7=475。 【奥数拓展五】商的变化规律与实际应用。 小明上学，平均每分钟走60米，放学回家原路返回，平均每分钟走90米，小明 上学行走时间是放学行走时间的多少倍? 解析： 从已知条件可以计算出放学回家的行走速度是上学行走速度的90÷ 60=1.5倍，因为小明上学行走的路程等于回家行走的路程，所以小明上学行走的时间是放学行走时间的1.5倍。 【专项训练】 1.小明爬山，上山平均每小时行4千米，下山原路返回，平均每小时行6千米，结果上下山共行了5小时，小明上下山共行了多少千米? 解析：6÷4=1.5，5÷(1+1.5)=2(小时)，2×6×2= 24(千米) 2.小胖准备练习一定字数的毛笔字.若每天练习12个字，恰好能在计划的天数内 完成；若每天多练24个字，则可以提前10天完成，小胖计划练习多少个毛笔字? 解析： 现在每天练字的个数是原来的(24+12)÷12 =3倍，所以现在所需的时间就是原来的，即原来需要 3份的时间，现在只需要1份的时间，小胖计划用10÷ (3—1)×3=15(天)写完，他计划练习的字数为 15×12=180(个) 【奥数拓展六】除法算式谜。 在下图的空格中填入合适的数字，使除法竖式成立。 【答案】见详解 【分析】除数乘商的十位2是6□，除数可能是30，31，32，33，34。7□2－6□□是个三位数，一定是100多，最后的结果没有余数，那么7□2－6□□得到的三位数十位是0，个位上2落下来，这个三位数是102。除数如果是30，30乘商的个位，积的个位是0与被除数个位是2不符；除数如果是31，商个位只能是2，积的末位才是2，31×2是个两位数不符；除数如果是32，商个位是6，32×6＝192，与之前推出7□2－6□□得到的三位数十位是0不符；如果除数是33，商个位是4，33×4＝132，与之前推出7□2－6□□得到的三位数十位是0不符；除数是34，商的个位是3，34×3＝102符合，所以除数是34，商是23，即可求出被除数，再填出其余各数。 【详解】竖式如下： 【点睛】本题考查了竖式数字谜，关键从已知数字作为突破口来解答。 【专项训练】 1．在下图的空格中填入合适的数字，使除法竖式成立。 【答案】见详解 【分析】除数乘商的十位2是6□，除数可能是30，31，32，33，34，7□2－6□□是个三位数，一定是100多，最后的结果没有余数，那么7□2－6□□得到的三位数十位是3，个位上2落下来，这个三位数是132。除数30不可能，乘商的个位积个位是0与被除数个位是2不符；除数如果是31，商个位只能是2，积的末位才是2，31×2是个两位数不符；除数如果是32，商个位是6，32×6＝192，与之前推出7□2－6□□得到的三位数十位是3不符；如果除数是33，商个位是4，33×4＝132，与之前推出7□2－6□□得到的三位数十位是3符合；除数是34，商的个位是3，34×3＝102不符合，所以除数是33，商是24，即可求出被除数，再填出其余各数。 【详解】竖式如下： 【点睛】本题考查了竖式数字谜，关键从已知数字作为突破口来解答。 2．下面竖式中有一部分数字被遮挡，请把它补充完整。 【答案】见详解 【分析】竖式的上面部分为□0－4□＝18，满足条件的只有60－42＝18，那么被除数的百位和十位分别为6、0；再根据18后面的0可知被除数的个位为0，即被除数是600；再根据除数□2×□＝42，满足条件的只有42×1＝42，说明除数是42，那么除法算式为：600÷42＝14……12；三位数除以两位数的竖式计算方法：从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果比除数小，再试除前三位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商；求出每一位商，余数必须比除数小；据此解答。 【详解】根据分析如图： 3．将竖式补充完整。 【答案】见详解 【分析】可以把除法竖式拆成几个多位数乘两位数的乘法竖式以及几个减法竖式来分析题目。一般来说，商有几位数，就有几个乘法和几个减法 【详解】 ②处是乘法算式：，满足条件的是，所以得出除数是58； ③处是减法算式：，满足条件的是，所以得出被除数是642；     ①处是减法算式：，由于个位的2落下来和余数6组成62，所以①处的减法算式被减数为62，因为，所以减数为58； ④处是乘法算式：，所以个位上面的商为1。 所以竖式补成完整为： 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 15 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9月 12 日 2 / 15 目 录 【课内精选一】口算除法 ........................................................................................................ 3 【课内精选二】笔算除法 ........................................................................................................ 4 【课内精选三】除法算式各部分之间的关系（一） ............................................................ 6 【课内精选四】除法算式各部分之间的关系（二） ............................................................ 7 【课内精选五】商的变化规律 ................................................................................................ 7 【奥数拓展一】除数是整十数的口算除法（一） ................................................................ 9 【奥数拓展二】除数是整十数的口算除法（二） ................................................................ 9 【奥数拓展三】确定被除数的最值 ...................................................................................... 10 【奥数拓展四】确定除数是多少 .......................................................................................... 11 【奥数拓展五】商的变化规律与实际应用 .......................................................................... 11 【奥数拓展六】除法算式谜 .................................................................................................. 12 3 / 15 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第六单元除数是两位数的除法·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】口算除法。 直接写得数。 3200÷400＝ 96÷16＝ 630÷90＝ 160÷80＝ 【答案】8；6；7；2 【解析】略 【专项训练】 1．直接写出得数。 420÷30＝ 640÷40＝ 51÷3＝ 300÷60＝ 810÷90＝ 25×6＝ 480÷60＝ 560÷80＝ 【答案】14；16；17；5 9；150；8；7 【解析】略 2．直接写出得数。 72÷3＝ 480÷80＝ 300÷50＝ 160÷20＝ 84÷7＝ 270÷30＝ 640÷80＝ 540÷60＝ 【答案】24；6；6；8； 12；9；8；9 【详解】略 3．直接写出得数。 120÷20＝ 160÷80＝ 240÷30＝ 360÷40＝ 180÷90＝ 480÷60＝ 560÷70＝ 200÷50＝ 【答案】6；2；8；9； 4 / 15 2；8；8；4 【解析】略 【课内精选二】笔算除法。 列竖式计算。（打※的要验算） 402÷75＝ 810÷50＝ 975÷36＝ ※2700÷160＝ 【答案】5……27；16……10；27……3；16……140 【分析】三位数除以两位数的竖式计算方法：从被除数的高位除起，先用除数试 除被除数的前两位数，如果比除数小，再试除前三位数；除到被除数的哪一位， 就在那一位上面写商；求出每一位商，余数必须比除数小； 有余数除法的验算方法：商×除数＋余数＝被除数；据此计算。 【详解】402÷75＝5……27 810÷50＝16……10 975÷36＝27……3 ※2700÷160＝16……140 验算： 【专项训练】 1．用竖式计算，带﹡要验算。 532÷76＝ 320÷14＝ ﹡981÷49＝ ﹡7500÷300＝ 【答案】7；22……12；20……1；25 【分析】根据三位数除以两位数的计算方法，从被除数的高位除起，先用除数试 除被除数的前两位数，如果比除数小，再试除前三位数。除到被除数的哪一位， 5 / 15 就在那一位上面写商。求出每一位商，余下的数必须比除数小。注意验算。 【详解】532÷76＝7 320÷14＝22……12 ﹡981÷49＝20……1 ﹡7500÷300＝25 验算： 验算： 2．用竖式计算，带*的要验算。 621 41  820 40  *727 27  *5700 400  【答案】15……6；20……20；26……25；14……100 【分析】除数是两位数的除法，从被除数的最高位除起，先试除被除数的前两位， 前两位不够除就试除被除数的前三位，除到哪一位就把商写在哪一位，哪一位上 不够商 1就用 0占位，每次除后余下的数要比除数小。有余数的除法验算方法是 除数乘商加余数看是否等于被除数。 【详解】621÷41＝15……6 820÷40＝20……20 727÷27＝26……25 5700÷400＝14……100 6 / 15 验算： 验算： 3．用竖式计算。（打“★”要验算） 843÷42＝ 627÷33＝ ★700÷16＝ ★5600÷500＝ 【答案】20……3；19；43……12；11……100 【分析】三位数除以两位数的竖式计算方法：从被除数的高位除起，先用除数试 除被除数的前两位数，如果比除数小，再试除前三位数；除到被除数的哪一位， 就在那一位上面写商；求出每一位商，余数必须比除数小； 有余数除法的验算方法：商×除数＋余数＝被除数；据此计算。 【详解】843÷42＝20……3 627÷33＝19 ★700÷16＝43……12 ★5600÷500＝11……100 验算： 验算： 【点睛】 【课内精选三】除法算式各部分之间的关系（一）。 一个数除以一个两位数的商是 42，余数为 98，被除数是多少? 7 / 15 解析：被除数=42×99+98=4256。 【专项训练】 1.什么数除以 27的商是 63，余数是 17? 解析：27×63+17=1718 2.下面等式中，B是什么数时，才能使 A最大?A最大是多少? A÷14=126……B 解析：B=13时，A最大，最大为 14×126+13=1777 3.一个数除以一个两位数的商与余数都是 56，被除数最小是多少? 解析：57×56+56=3248 【课内精选四】除法算式各部分之间的关系（二）。 已知 2010÷( )=30……30，括号中的数是多少? 解析： 在被除数、商、余数已知的情况下，我们可以根据“被除数=除数×商+余数”这一 结论，先计算除数×商的积，这个积=2010—30=1980，因为商是 30，所以除数 =1980÷30=66 【专项训练】 1.根据 56×12+8=680，写出两道相应的有余数的除法算式。 解析：680÷56=12……8，680÷12 =56……8 2.在括号中填入适当的数。 876÷( )=12 1072÷( )=23……14 解析：73；46 3.幼儿园老师取了 235粒水果糖平均分给班级中的小朋友，每人分到的糖果数量 恰好与小朋友的人数相同，结果还剩下 10粒糖果，这个班级中小朋友共有多少 人? 解析：235—10=225，225=15×15，故共有 15人 【课内精选五】商的变化规律。 根据 870÷△＝15填一填。 8 / 15 （870÷4）÷（△÷4）＝( ) （870×5）÷△＝( ) 870÷（△×3）＝( ) （870×2）÷（△÷3）＝( ) 【答案】 15 75 5 90 【分析】根据商的变化规律，被除数和除数同时除以 4，商不变； 被除数乘 5，除数不变，商也需要乘 5； 被除数不变，除数乘 3，商需要除以 3； 被除数乘 2，除数除以 3，则商乘 2再乘 3。 【详解】870÷△＝15 （870÷4）÷（△÷4）＝15；（870×5）÷△＝15×5＝75； 870÷（△×3）＝15÷3＝5；（870×2）÷（△÷3）＝15×2×3＝30×3＝90。 【专项训练】 1．如果☐÷△＝13……8，那么（☐×100）÷（△×100）的商是( )，余数 是( )。 【答案】 13 800 【分析】商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外），商不变， 余数也同时乘或除以同一个数。 【详解】8×100＝800 如果☐÷△＝13……8，那么（☐×100）÷（△×100）的商是（13），余数是（800）。 2．已知 720÷60＝12，根据商不变的规律，则（720÷10）÷（60÷10）＝( )。 【答案】12 【分析】商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外），商不变。 据此解答。 【详解】被除数和除数同时除以 10，商不变，即（720÷10）÷（60÷10）＝12。 3．已知 A÷B＝3200，那么（A÷5）÷（B÷5）＝( )，（A÷10）÷B＝( )。 【详解】3200÷10＝320 已知 A÷B＝3200，那么（A÷5）÷（B÷5）＝（3200），（A÷10）÷B＝（320）。 9 / 15 【奥数拓展一】除数是整十数的口算除法（一）。 240除以一个两位的整十数，余数为 0，这样的整十数有多少个? 解析： 240除以一个两位的整十数，余数为 0，说明被除数 240是除数的倍数，在两位 整十数 10，20，30，40，…，80，90中，满足要求的除数分别是 10、20、30、 40、60、80，所以这样的整十数有 6个。 【专项训练】 从 10，20，30，40，…，190，200这些整十数中，选择合适的数填入算式中， 使等式成立，想一想共有多少种不同的填法? ( )÷( )=2 解析：10种 【奥数拓展二】除数是整十数的口算除法（二）。 在 10，20，30，40，…，100，110这十一个数中，选出两个数，使较大数除以 较小数，余数是 20，共有多少种不同的选法? 解析： 先确定除数与商，再确定被除数的大小，根据题意，两数相除余数是 20，可以 知道除数最小是 30，在除数是 30的情况下，当商是 1时，被除数等于 50，当商 是 2时，被除数等于 80，在除数是 40的情况下，当商是 1时，被除数等于 60， 当商是 2时，被除数等于 100，用同样的方法列举，可以得到以下算式：50÷30、 80÷30、110÷30、60÷40、100÷40、70÷50、80÷60、90÷70、100÷80、110÷90，所 以共有 10种不同的选法。 【专项训练】 1.在 100，101，102，103，…，298，299这些数中，除以 30余数是 6的数有哪 些? 解析：126，156，186，216，246，276 10 / 15 2.在下列算式中，相同的字母表示相同的数，不同的字母表示不同的数，且 b与 c都是整十数，将 a按从小到大的顺序排列，前三个数的和是多少? a÷b=b……c 解析： a₁=20×20+10=410， a₂=30×30+10=910， a₃=30×30+20=920， a₁+a₂+a₃=410+910+920=2240 3.在 100至 1000这些数中，有多少个数除以 20余 10，除以 30也余 10? 解析： 一个数除以 20余 10，除以 30也余 10，这样的数除以 60一定余 10，在 100至 1000这些数中，符合要求的数分别是 130，190，250，310，…，970，共 15个。 【奥数拓展三】确定被除数的最值。 一个三位数除以 60的商是一个两位数，余数是 19，这个三位数最小是多少?最 大是多少? 解析： 根据题意，已知除数是 60，余数是 19，当确定了商，就能求出被除数，由于被 除数是一个三位数，当商是 10的情况下，被除数最小 60×10+19=600+19= 619， 当商是 16时，被除数最大 16×60+19=979，如果商是 17时，被除数是四位数， 不符合题意，所以这个三位数最小是 619，最大是 979。 【专项训练】 1.一个三位数除以 40 的商是一个两位数，余数是 19，这个三位数最小是多少? 最大是多少? 解析：最小：40×10+19=419，最大：40×24+19=979。 2.一个三位数除以 43，商是 a，余数是 b(a、b 都是大于 0的自然数)，那么 a+b 的最大值是多少? 解析：当余数 b=42，商 a=22时，被除数=43×22+ 42 =988，a+b的最大值=42+22=64 3.在一道整数除法中，被除数、除数、商这三个数的乘积是 10000，算一算，被 除数、除数、商这三个数的和最小是多少? 11 / 15 解析：在三个数乘积一定的情况下，要使这三个数的和最小，这三个应尽可能接 近，因为“被除数=除数×商”，10000=100×100，所以被除数为 100，当除数与商 都为 10时，和最小，是 100+10×2=120 【奥数拓展四】确定除数是多少。 已知 144÷( )= ( )……24，写出满足要求的除法算式. 解析： 在被除数、余数已知的情况下，可以写出商与除数的乘积，它等于 144— 24=120， 由于余数是 24，那么除数一定是大于 24的数，我们将 120分拆成两数的乘积， 120=1×120=2×60=3×40=4×30=5×24=6×20=8×15=10×12，所以满足要求的除法算 式分别是：144÷120=1……24，144÷60=2……24， 144÷ 40=3……24，144÷30=4……24。 【专项训练】 在一道有余数的除法算式中，被除数比除数的 9倍多 7，已知被除数、除数、商 与余数的和是 543，被除数、除数各是多少? 解析：被除数与除数的和为 543-9-7=527，除数为 (527—7)÷(9+1)=52，被除数为 52×9+7=475。 【奥数拓展五】商的变化规律与实际应用。 小明上学，平均每分钟走 60米，放学回家原路返回，平均每分钟走 90米，小明 上学行走时间是放学行走时间的多少倍? 解析： 从已知条件可以计算出放学回家的行走速度是上学行走速度的 90÷ 60=1.5倍， 因为小明上学行走的路程等于回家行走的路程，所以小明上学行走的时间是放学 行走时间的 1.5倍。 【专项训练】 1.小明爬山，上山平均每小时行 4千米，下山原路返回，平均每小时行 6千米， 结果上下山共行了 5小时，小明上下山共行了多少千米? 解析：6÷4=1.5，5÷(1+1.5)=2(小时)，2×6×2= 24(千米) 2.小胖准备练习一定字数的毛笔字.若每天练习 12个字，恰好能在计划的天数内 12 / 15 完成；若每天多练 24个字，则可以提前 10天完成，小胖计划练习多少个毛笔字? 解析： 现在每天练字的个数是原来的(24+12)÷12 =3 倍，所以现在所需的时间就是原来 的 3 1 ，即原来需要 3 份的时间，现在只需要 1 份的时间，小胖计划用 10÷ (3—1)×3=15(天)写完，他计划练习的字数为 15×12=180(个) 【奥数拓展六】除法算式谜。 在下图的空格中填入合适的数字，使除法竖式成立。 【答案】见详解 【分析】除数乘商的十位 2是 6□，除数可能是 30，31，32，33，34。7□2－6□□ 是个三位数，一定是 100多，最后的结果没有余数，那么 7□2－6□□得到的三位 数十位是 0，个位上 2落下来，这个三位数是 102。除数如果是 30，30乘商的个 位，积的个位是 0与被除数个位是 2不符；除数如果是 31，商个位只能是 2，积 的末位才是 2，31×2是个两位数不符；除数如果是 32，商个位是 6，32×6＝192， 与之前推出 7□2－6□□得到的三位数十位是 0不符；如果除数是 33，商个位是 4， 33×4＝132，与之前推出 7□2－6□□得到的三位数十位是 0不符；除数是 34，商 的个位是 3，34×3＝102符合，所以除数是 34，商是 23，即可求出被除数，再填 出其余各数。 【详解】竖式如下： 13 / 15 【点睛】本题考查了竖式数字谜，关键从已知数字作为突破口来解答。 【专项训练】 1．在下图的空格中填入合适的数字，使除法竖式成立。 【答案】见详解 【分析】除数乘商的十位 2是 6□，除数可能是 30，31，32，33，34，7□2－6□□ 是个三位数，一定是 100多，最后的结果没有余数，那么 7□2－6□□得到的三位 数十位是 3，个位上 2落下来，这个三位数是 132。除数 30不可能，乘商的个位 积个位是 0与被除数个位是 2不符；除数如果是 31，商个位只能是 2，积的末位 才是 2，31×2是个两位数不符；除数如果是 32，商个位是 6，32×6＝192，与之 前推出 7□2－6□□得到的三位数十位是 3不符；如果除数是 33，商个位是 4，33×4 ＝132，与之前推出 7□2－6□□得到的三位数十位是 3符合；除数是 34，商的个 位是 3，34×3＝102不符合，所以除数是 33，商是 24，即可求出被除数，再填出 其余各数。 【详解】竖式如下： 14 / 15 【点睛】本题考查了竖式数字谜，关键从已知数字作为突破口来解答。 2．下面竖式中有一部分数字被遮挡，请把它补充完整。 【答案】见详解 【分析】竖式的上面部分为□0－4□＝18，满足条件的只有 60－42＝18，那么被 除数的百位和十位分别为 6、0；再根据 18后面的 0可知被除数的个位为 0，即 被除数是 600；再根据除数□2×□＝42，满足条件的只有 42×1＝42，说明除数是 42，那么除法算式为：600÷42＝14……12；三位数除以两位数的竖式计算方法： 从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果比除数小，再试除 前三位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商；求出每一位商，余数必 须比除数小；据此解答。 【详解】根据分析如图： 3．将竖式补充完整。 15 / 15 【答案】见详解 【分析】可以把除法竖式拆成几个多位数乘两位数的乘法竖式以及几个减法竖式 来分析题目。一般来说，商有几位数，就有几个乘法和几个减法 【详解】 ②处是乘法算式：1 8 5 □ □，满足条件的是1 8 5 5 8，所以得出除数是 58； ③处是减法算式：6 58 6 □ ，满足条件的是64 58 6  ，所以得出被除数是 642； ①处是减法算式：6 4 □ □□ ，由于个位的 2落下来和余数 6组成 62，所以① 处的减法算式被减数为 62，因为62 4 □□ ，所以减数为 58； ④处是乘法算式： 8 □ 5 58，所以个位上面的商为 1。 所以竖式补成完整为： 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月12日 目 录 【课内精选一】口算除法 3 【课内精选二】笔算除法 3 【课内精选三】除法算式各部分之间的关系（一） 4 【课内精选四】除法算式各部分之间的关系（二） 5 【课内精选五】商的变化规律 6 【奥数拓展一】除数是整十数的口算除法（一） 7 【奥数拓展二】除数是整十数的口算除法（二） 7 【奥数拓展三】确定被除数的最值 8 【奥数拓展四】确定除数是多少 9 【奥数拓展五】商的变化规律与实际应用 9 【奥数拓展六】除法算式谜 10 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第六单元除数是两位数的除法·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】口算除法。 直接写得数。 3200÷400＝        96÷16＝        630÷90＝       160÷80＝ 【专项训练】 1．直接写出得数。 420÷30＝         640÷40＝        51÷3＝       300÷60＝ 810÷90＝         25×6＝         480÷60＝      560÷80＝ 2．直接写出得数。 72÷3＝          480÷80＝          300÷50＝         160÷20＝ 84÷7＝          270÷30＝          640÷80＝         540÷60＝ 3．直接写出得数。 120÷20＝    160÷80＝     240÷30＝    360÷40＝ 180÷90＝    480÷60＝     560÷70＝     200÷50＝ 【课内精选二】笔算除法。 列竖式计算。（打※的要验算） 402÷75＝            810÷50＝            975÷36＝            ※2700÷160＝ 【专项训练】 1．用竖式计算，带﹡要验算。 532÷76＝        320÷14＝       ﹡981÷49＝         ﹡7500÷300＝ 2．用竖式计算，带的要验算。                             3．用竖式计算。（打“★”要验算） 843÷42＝             627÷33＝             ★700÷16＝            ★5600÷500＝ 【课内精选三】除法算式各部分之间的关系（一）。 一个数除以一个两位数的商是42，余数为98，被除数是多少? 【专项训练】 1.什么数除以27的商是63，余数是17? 2.下面等式中，B是什么数时，才能使A最大?A最大是多少? A÷14=126……B 3.一个数除以一个两位数的商与余数都是56，被除数最小是多少? 【课内精选四】除法算式各部分之间的关系（二）。 已知2010÷( )=30……30，括号中的数是多少? 【专项训练】 1.根据56×12+8=680，写出两道相应的有余数的除法算式。 2.在括号中填入适当的数。 876÷( )=12 1072÷( )=23……14 3.幼儿园老师取了235粒水果糖平均分给班级中的小朋友，每人分到的糖果数量恰好与小朋友的人数相同，结果还剩下10粒糖果，这个班级中小朋友共有多少人? 【课内精选五】商的变化规律。 根据870÷△＝15填一填。 （870÷4）÷（△÷4）＝( )     （870×5）÷△＝( ) 870÷（△×3）＝( )            （870×2）÷（△÷3）＝( ) 【专项训练】 1．如果☐÷△＝13……8，那么（☐×100）÷（△×100）的商是( )，余数是( )。 2．已知720÷60＝12，根据商不变的规律，则（720÷10）÷（60÷10）＝( )。 3．已知A÷B＝3200，那么（A÷5）÷（B÷5）＝( )，（A÷10）÷B＝( )。 【奥数拓展一】除数是整十数的口算除法（一）。 240除以一个两位的整十数，余数为0，这样的整十数有多少个? 【专项训练】 从10，20，30，40，…，190，200这些整十数中，选择合适的数填入算式中，使等式成立，想一想共有多少种不同的填法? ( )÷( )=2 【奥数拓展二】除数是整十数的口算除法（二）。 在10，20，30，40，…，100，110这十一个数中，选出两个数，使较大数除以较小数，余数是20，共有多少种不同的选法? 【专项训练】 1.在100，101，102，103，…，298，299这些数中，除以30余数是6的数有哪些? 2.在下列算式中，相同的字母表示相同的数，不同的字母表示不同的数，且b与c都是整十数，将a按从小到大的顺序排列，前三个数的和是多少? a÷b=b……c 3.在100至1000这些数中，有多少个数除以20余10，除以30也余10? 【奥数拓展三】确定被除数的最值。 一个三位数除以60的商是一个两位数，余数是19，这个三位数最小是多少?最大是多少? 【专项训练】 1.一个三位数除以40的商是一个两位数，余数是19，这个三位数最小是多少?最大是多少? 2.一个三位数除以43，商是a，余数是b(a、b都是大于0的自然数)，那么a+b的最大值是多少? 3.在一道整数除法中，被除数、除数、商这三个数的乘积是10000，算一算，被除数、除数、商这三个数的和最小是多少? 【奥数拓展四】确定除数是多少。 已知144÷( )= ( )……24，写出满足要求的除法算式。 【专项训练】 在一道有余数的除法算式中，被除数比除数的9倍多7，已知被除数、除数、商与余数的和是543，被除数、除数各是多少? 【奥数拓展五】商的变化规律与实际应用。 小明上学，平均每分钟走60米，放学回家原路返回，平均每分钟走90米，小明 上学行走时间是放学行走时间的多少倍? 【专项训练】 1.小明爬山，上山平均每小时行4千米，下山原路返回，平均每小时行6千米，结果上下山共行了5小时，小明上下山共行了多少千米? 2.小胖准备练习一定字数的毛笔字.若每天练习12个字，恰好能在计划的天数内 完成；若每天多练24个字，则可以提前10天完成，小胖计划练习多少个毛笔字? 【奥数拓展六】除法算式谜。 在下图的空格中填入合适的数字，使除法竖式成立。 【专项训练】 1．在下图的空格中填入合适的数字，使除法竖式成立。 2．下面竖式中有一部分数字被遮挡，请把它补充完整。 3．将竖式补充完整。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$