专题03与扇形面积有关的计算-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（沪科版）

专题03 与扇形面积有关的计算 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、公式法 2 类型二、和差法 3 类型三、构造和差法 5 压轴能力测评 6 1. 公式法 所求阴影部分的面积是规则图形，直接用几何图形的面积公式求解 2. 和差法 将不规则阴影部分的面积看成是以规则图形为载体的一部分，其他部分空白且为规则图形，此时采用整体作差法求解。 3. 构造和差法 先将不规则阴影部分面积与空白部分面积组合，构造规则图形或者分割后为规则图形，在进行面积和差计算。 类型一、公式法 所求阴影部分的面积是规则图形，直接用几何图形的面积公式求解 【例】．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，长为半径画圆弧，交边于点，若，则图中阴影部分图形的面积和为 （结果保留）． 【变式训练1】．某种商品的商标图案如图（图中的阴影部分），已知的直径，且，弧是以D为圆心，为半径的弧，则商标图案的面积为 ． 【变式训练2】．边长均为5的正五边形与正六边形按如图的方式拼接在一起，连结，则以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和为 ． 【变式训练3】．如图，，是边长为2的正六边形的对角线，以为圆心，的长为半径画弧，得，则图中阴影部分的面积为 ．（用含的式子表示） 类型二、和差法 将不规则阴影部分的面积看成是以规则图形为载体的一部分，其他部分空白且为规则图形，此时采用整体作差法求解。 【例】．如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（   ）    A． B． C． D． 【变式训练1】．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】．如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 类型三、构造和差法 先将不规则阴影部分面积与空白部分面积组合，构造规则图形或者分割后为规则图形，在进行面积和差计算。 【例】如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 【变式训练1】．如图，的三边长为5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，求阴影部分的面积． 【变式训练2】．如图，射线，O是上的一点，以O为圆心，长为半径，在上方作半圆，与半圆O相切于点D，交于点E，于点F． (1)求证：； (2)若， ①判断点F与半圆O所在圆的位置关系：点F在______；（圆内，圆上，圆外） ②，求阴影部分的面积． 【变式训练3】．如图所示，以的边为直径作，点C在上，是的弦，，过点C作于点F，交于点G，过C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求阴影部分的面积． 1．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝，则图中阴影部分的面积为(   ) A．π－8 B．16π－8 C．4π－8 D．16π－4 2．如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，被折叠后的一段弧正好经过圆心 O ，若 AB＝4，则图中阴影 部分的面积为(   ) A． π－4 B． π＋8 C． π＋4 D．8π－8 3．如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC是圆O的直径，DB平分，AC长6cm，求阴影部分的面积（    ） A． B． C． D． 4．如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形的面积等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，以点B为圆心，的长为半径作弧，交于点D，则阴影部分的面积是 ． 6．如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 7．如图，已知六边形 是的内接正六边形，的半径为，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 8．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，点为上一点，以点为圆心，的长为半径作圆与边相切于点，已知为该圆的一部分，则图中由线段及所围成的阴影部分的面积为 ．    9．如图，为的直径，，点是上一点，直线垂直平分，交于，延长交的延长线于点．    (1)求证：是的切线； (2)作的平分线交于点．若，，求阴影部分的面积和的长． 10．已知是的直径，C为上一点，连接，过点O作于D，交弧于点E，连接，交于F． (1)如图1，求证：为的角平分线； (2)如图2，连接，若，①求的长；②求图中阴影部分的面积． 11．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN． (1)EM与BE的数量关系是 ； (2)求证：； (3)若AM＝，MB＝2，求阴影部分图形的面积． 12．如图，是的直径，是的弦，直线与相切于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 与扇形面积有关的计算 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、公式法 2 类型二、和差法 5 类型三、构造和差法 9 压轴能力测评 15 1. 公式法 所求阴影部分的面积是规则图形，直接用几何图形的面积公式求解 2. 和差法 将不规则阴影部分的面积看成是以规则图形为载体的一部分，其他部分空白且为规则图形，此时采用整体作差法求解。 3. 构造和差法 先将不规则阴影部分面积与空白部分面积组合，构造规则图形或者分割后为规则图形，在进行面积和差计算。 类型一、公式法 所求阴影部分的面积是规则图形，直接用几何图形的面积公式求解 【例】．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，长为半径画圆弧，交边于点，若，则图中阴影部分图形的面积和为 （结果保留）． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、求扇形面积 【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积．本题考查扇形面积的计算、含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：在，，，， ，， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【变式训练1】．某种商品的商标图案如图（图中的阴影部分），已知的直径，且，弧是以D为圆心，为半径的弧，则商标图案的面积为 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查圆周角定理的推论，扇形的面积公式，关键是掌握直径所对的圆周角等于90°， 先求出，，再利用扇形面积公式求解即可 【详解】解：∵，是的直径， ∴， ∵弧是以D为圆心，为半径的弧， ∴， ∴商标图案的面积为：（） 故答案为： 【变式训练2】．边长均为5的正五边形与正六边形按如图的方式拼接在一起，连结，则以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和为 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形与圆，扇形的面积，求出扇形圆心角，利用扇形的面积公式求解 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和=扇形的面积， 故答案为： 【变式训练3】．如图，，是边长为2的正六边形的对角线，以为圆心，的长为半径画弧，得，则图中阴影部分的面积为 ．（用含的式子表示） 【答案】 【知识点】求扇形面积、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． 由正六边形的边长为2，可得，进而求出，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得的长，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵正六边形的边长为2， ， ， ， 过作于， ， 在中，， ， 同理可证，， ， ， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 类型二、和差法 将不规则阴影部分的面积看成是以规则图形为载体的一部分，其他部分空白且为规则图形，此时采用整体作差法求解。 【例】．如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求其他不规则图形的面积、求扇形面积、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握扇形面积公式是解题的关键． 在中，根据直角三角形的性质可得、，再根据勾股定理可得，最后根据计算即可解答． 【详解】解：∵中，，，， ∴，， ∴, ． 故选：D． 【变式训练1】．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求扇形面积、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，由是等边三角形，得，，过作于点，然后由勾股定理得，求出，，然后代入求值即可，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 设， 如图，过作于点， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∴，即， 则， ∴， 故选：． 【变式训练2】．如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】折叠问题、求其他不规则图形的面积、求扇形面积、等边三角形的判定和性质 【分析】连接，，，，与交于，由折叠的性质可证，是等边三角形，由扇形面积公式可计算出扇形的面积，再求出的面积，由可求出阴影面积．本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握分割法求阴影面积． 【详解】解：连接，，，，与交于， 由折叠性质可得，，，， ， ，， ∴，是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 故选：D． 【变式训练3】．如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求其他不规则图形的面积、求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积=弓形的面积， ∴阴影部分的面积 =扇形的面积的面积 ， 故选：C． 类型三、构造和差法 先将不规则阴影部分面积与空白部分面积组合，构造规则图形或者分割后为规则图形，在进行面积和差计算。 【例】如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】等边对等角、求弧长、求扇形面积、求弓形面积 【分析】本题考查扇形的面积、等腰三角形的性质、弧长的计算，掌握扇形的面积和弧长的计算公式及等腰三角形的性质、平行线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，利用等腰三角形的性质和平行线的判定与性质求出，再由弧长公式计算弧的长； （2）利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积的面积”计算即可． 【详解】（1）解： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长， 弧的长是． （2）解： ， 阴影部分的面积是． 【变式训练1】．如图，的三边长为5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，求阴影部分的面积． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积、求扇形面积、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，扇形的面积，观察图形，表示出阴影部分的面积是解题的关键．先利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再根据图形，阴影部分的面积等于两个小扇形的面积加上的面积减去大扇形的面积，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，， 由图可知，阴影部分的面积． 即阴影部分的面积为． 【变式训练2】．如图，射线，O是上的一点，以O为圆心，长为半径，在上方作半圆，与半圆O相切于点D，交于点E，于点F． (1)求证：； (2)若， ①判断点F与半圆O所在圆的位置关系：点F在______；（圆内，圆上，圆外） ②，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①圆上；② 【知识点】已知正切值求边长、求扇形面积、应用切线长定理求证、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）证明是半圆O的切线，切点为A，由切线长定理可得． （2）①由，可得．由，是圆O的切线．可得．则．证明．则．进而可得点F在半圆O所在的圆上； ②如图，连接，由与半圆相切于点D，可得，进而可得，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是半径， ∴是半圆O的切线，切点为A． 又∵与半圆O相切于点D， ∴． （2）①解：∵， ∴． ∵，是圆O的切线． ∴． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴点F在半圆O所在的圆上， 故答案为：圆上． ②解：如图，连接， ∵与半圆相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，点与圆的位置关系，扇形面积，正切，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，点与圆的位置关系，扇形面积，正切，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式训练3】．如图所示，以的边为直径作，点C在上，是的弦，，过点C作于点F，交于点G，过C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、求扇形面积、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）连接，根据可得，从而证明，再根据可得，即可得出结论； （2）根据为直径可知，然后进一步利用进行等量代换，从而得出，据此进一步即可证明结论； （3）连接，根据圆周角定理得出，即可求得，根据圆周角定理得出，解直角三角形求得=，然后根据三角形相似和等腰三角形的性质即可求得的值，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ∵是的半径， ， 是的切线． （2）∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴，， ∴， ∴=， ∵， ∴， ∴， ∴=， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴==， ∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定和性质以及三角形相似的判定和性质，锐角三角函数的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 1．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝，则图中阴影部分的面积为(   ) A．π－8 B．16π－8 C．4π－8 D．16π－4 【答案】C 【知识点】求弓形面积、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以得到∠BOC的值，然后根据勾股定理可以得到OB的长，由图可知S阴影＝S扇形BOC−S△BOC，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∵OB＝OC，OB2＋OC2＝BC2，BC＝4， ∴2OB2＝()2， 解得OB＝4， ∴S阴影＝S扇形BOC−S△BOC ＝ ＝4π−8． 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、勾股定理、圆周角定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 2．如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，被折叠后的一段弧正好经过圆心 O ，若 AB＝4，则图中阴影 部分的面积为(   ) A． π－4 B． π＋8 C． π＋4 D．8π－8 【答案】B 【知识点】求扇形面积、求弓形面积、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】过O作OC⊥AB于C，连结AO，BO，根据被折叠后的一段弧正好经过圆心 O，得出OC=，根据垂径定理得出AC=BC=，根据锐角三角函数得出sin∠CAO=，求出∠CAO=30°，可确∠AOB=2∠AOC=120°，AO=2OC=4，先求△AOB面积，再求弓形AOB面积，然后利用圆的面积-2个弓形面积即可． 【详解】解：过O作OC⊥AB于C，连结AO，BO， ∵被折叠后的一段弧正好经过圆心 O， ∴OC=， ∵CO⊥AB，AB为弦， ∴AC=BC=，sin∠CAO=， ∴∠CAO=30°，   ∴∠AOC=90°-∠OAC=60°，OC=tan30°×AC=， ∴∠AOB=2∠AOC=120°，AO=2OC=4， ∴S△AOB=， ∴弓形AOB=， ∴S阴影=S圆-2S弓形AOB=． 故选择B． 【点睛】本题考查折叠问题，锐角三角函数，三角形面积，弓形面积，圆心角的度数，阴影面积，掌握折叠问题，锐角三角函数，三角形面积，弓形面积，圆心角的度数，阴影面积是解题关键． 3．如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC是圆O的直径，DB平分，AC长6cm，求阴影部分的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、求扇形面积、求弓形面积 【分析】连接OD，求出，求出扇形ODC的面积，的面积，两者相减即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接OD， ∵直径AC长6cm， ∴半径为3cm，， ∵DB平分， ∴， ∴， ∴扇形ODC的面积为， 的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查求弓形的面积，扇形面积，圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，解题的关键是求出，扇形ODC的面积，的面积． 4．如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求弓形面积 【分析】根据弓形面积等于扇形面积减去三角形面积求解即可． 【详解】由题意得，， 弓形的面积=扇形OAB的面积-的面积 故选：A． 【点睛】本题考查弓形的面积，牢记弓形的面积等于扇形面积减去三角形面积是解题的关键． 5．如图，在中，，，以点B为圆心，的长为半径作弧，交于点D，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、求其他不规则图形的面积、求扇形面积 【分析】此题考查扇形面积公式、解直角三角形等知识．求出，，则，利用即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以点B为圆心，的长为半径作弧，交于点D， ∴， ∴阴影部分的面积是, 故答案为： 6．如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解、求扇形面积、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据题意求出圆的半径和的度数，再计算出与的差，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴分别与相切于点， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，解得：， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 7．如图，已知六边形 是的内接正六边形，的半径为，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了圆内接多边形的性质，扇形的面积，如图，连接，，证明即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接，， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∴， ∴，，三点共线， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，点为上一点，以点为圆心，的长为半径作圆与边相切于点，已知为该圆的一部分，则图中由线段及所围成的阴影部分的面积为 ．    【答案】 【知识点】求扇形面积、切线的性质定理、勾股定理与网格问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，切线的性质，扇形面积，等腰直角三角形的判定与性质，利用网格线及勾股定理逆定理求得是等腰直角三角形，再利用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接， 根据网格线，可得，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵的长为半径作圆与边相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．如图，为的直径，，点是上一点，直线垂直平分，交于，延长交的延长线于点．    (1)求证：是的切线； (2)作的平分线交于点．若，，求阴影部分的面积和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求弓形面积、证明某直线是圆的切线、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】（1）连接，先证明，得出，进而得出结论； （2）连接，先求出的度数与，再求出扇形的面积及三角形的面积，进而求出阴影部分的面积；先证明得出，再根据，得出，接着根据得出，进而得出的长度． 【详解】（1）证明：连接，   垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， ， ， 即，又是的半径， 是的切线． （2）解：连接，   为的直径， ， 平分， ， ， ，， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、扇形的面积等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 10．已知是的直径，C为上一点，连接，过点O作于D，交弧于点E，连接，交于F． (1)如图1，求证：为的角平分线； (2)如图2，连接，若，①求的长；②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①AE= 6；② 【知识点】求弓形面积、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、根据等边对等角证明 【分析】（1）首先由圆周角定理得到，推出，得到，等边对等角，得到，即可得证； （2）①，推出，进一步得到，求出，进而推出，等边对等角以及含30度角的之间三角形的性质，求出的长，即可得解； ②首先求出，证明出为等边三角形，然后利用代数求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，    ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故为的角平分线； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②由①，得：， 又 ∴为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 11．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN． (1)EM与BE的数量关系是 ； (2)求证：； (3)若AM＝，MB＝2，求阴影部分图形的面积． 【答案】(1)BE＝EM (2)见解析 (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、求弓形面积、圆周角定理、利用垂径定理求值 【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论； （2）根据点E是的中点，得出∠AOE＝90°，由∠EMB＝90°，证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到，根据题意得到，进一步得到； （3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝2，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点， ∴∠ABE＝45°， ∵AB⊥EN， ∴△BME是等腰直角三角形， ∴BE＝EM， 故答案为：BE＝EM； （2）连接EO， ∵AC是⊙O的直径，E是的中点， ∴∠AOE＝90°， ∴∠ABE＝∠AOE＝45°， ∵EN⊥AB，垂足为点M， ∴∠EMB＝90° ∴∠ABE＝∠BEN＝45°， ∴＝， ∵点E是的中点， ∴＝， ∴＝， ∴﹣＝﹣， ∴＝； （3）（3）连接AE，OB，ON，如图所示， ∵EN⊥AB，垂足为点M， ∴∠AME＝∠EMB＝90°， ∵BM＝2，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°， ∴EM＝BM＝2， 又∵BE＝EM， ∴BE＝， ∵在Rt△AEM中，EM＝2，AM＝， ∴tan∠EAB＝＝， ∴∠EAB＝30°， ∵∠EAB＝∠EOB， ∴∠EOB＝60°， 又∵OE＝OB，   ∴△EOB是等边三角形， ∴OE＝BE＝， 又∵＝， ∴BE＝CN， ∴△OEB≌△OCN（SSS）， ∴CN＝BE＝ 又∵S扇形OCN＝，S△OCN＝CN•CN＝×＝， ∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝． 【点睛】本题考查了扇形的面积，全等三角形的判定化为性质，圆周角定理，解直角三角形以及等边三角形的判定和性质，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键． 12．如图，是的直径，是的弦，直线与相切于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求弓形面积、切线的性质定理 【分析】（1）连接AC，OC，由切线的性质可得OC⊥MN，即可证得OC∥BD，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠CBD=∠BCO=∠ABC，从而可判定△ABC∽△CBD，即可得证； （2）结合（1）可求得AB=8，从而得到BO=CO=BC=4，则△BCO是等边三角形，则∠BOC=60°，结合S阴影=S扇形OBC-S△BCO，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，，如图， 为的切线， ， ， ，， ． 又， ， ， 是的直径， ， ∽， ， 即：； （2）由得：， ，， ， 是直径， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， 即与的距离为， ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，切线的性质，扇形的面积，解答的关键是求得△BCO是等边三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$