4.1 几何图形（4个知识点+6个题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

4.1 几何图形 课程标准 学习目标 通过实物和模型，了解小物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念 1.在具体情境中认识常见的几何体； 2.了解体、面、线、点以及平面图形、立体图形等概念； 3.通过对几何体的识别，认识并理解点、线、面、体之间的关系. 知识点01 图形的概念 ·图形：从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 ·立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 常见的立体图形：圆柱、棱柱、圆锥、棱柱、棱锥、球、长方体、正方体等 ·平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 【即学即练1】下列物体中，类似于圆锥的是（   ） A．水杯 B．漏斗 C．铅笔盒 D．足球 【即学即练2】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）写出下面几何体的名称 ( ) ( ) ( )   ( )    ( ) ( ) 【即学即练3】下列几何体中，是棱锥的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 点、线、面、体的认识 ·几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线 面：包围着体的是面，分为平面和曲面 体：几何体也简称体 ·点、线、面、体的关系：点动成线，线动成面，面动成体 【即学即练4】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）在朱自清的《春》中有描写春雨的语句“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”，这里把雨滴看成了点，用数学知识解释这一现象（     ）． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【即学即练5】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）下列选项中的几何体，没有曲面的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 几何体的特征 ·n棱柱的几何特征 顶点数 2n 棱数 3n 面数 n+2 体积=底面积×高 【即学即练6】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）九棱柱有 个顶点，有 条棱，有 个面． 【即学即练7】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，线段是正方体的一条棱，则与在同一平面内且与垂直的棱有 条． ·旋转体:常见平面图形的旋转体 正方形、长方形：圆柱； 三角形：一般是圆锥的组合体；圆：一般是球体；直角梯形：一般是圆台 【即学即练8】（24-25七年级上·全国·阶段练习）如图，将长方形绕着虚线旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【即学即练9】（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，正方形的边长为，以所在的直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积是 ．（用含的式子表示） ·截一个几何体：常见几何体的截面 球：圆；棱柱：三角形、四边形、五边形等；圆柱：长方形、圆、椭圆； 【即学即练10】（23-24七年级上·安徽宿州·期中）用一个平面去截一个圆柱体，不可能的截面是（    ）    A．   B．   C．   D．   【即学即练11】下列说法不正确的是（    ） A．正方体有六个面，这六个面都是平的 B．圆柱有三个面，这三个面都是平的 C．圆锥有两个面，这两个面中一个是平的，一个是曲的 D．球由一个面围成，这个面是曲的 知识点04 从不同方向看几何体与几何体的展开图 ·常见几何体的三视图 ①看的见得棱画实线，看不见的棱画虚线； ②圆锥从上面看不要丢了圆心点. ·常见几何体的展开图：有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。 ①圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。 ②圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面） ③棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面） 注意：球没有展开图 【即学即练12】（2024·安徽蚌埠·二模）将一个三棱柱展开，其展开图是（    ） A． B． C． D． ·组合小正方体的三视图 【即学即练13】如图所示的几何体是由一些小正方体组成的，那么从左边看它的图形是（    ） A． B． C． D． 【即学即练14】正方体的平面展开图如图，将它折成正方体后“建”字对面是（   ） A．和 B．谐 C．阳 D．设 ·分类讨论——正方体的表面展开图（按排列方式） 141型：有6种。特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形. 132型：有3种。特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形 222型：仅有一种。特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形 33型：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形 注：正方体展开图中不能出现“7”字、“田”字、“凹”字形，如下图： 【题型一：点、线、面、体四者之间的关系】 例1．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 变式1-1. （24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图是一种折叠灯笼，压扁的时候，它看起来是平面的，提起来却变成了美丽的圆柱形灯笼．这个过程中蕴含的数学原理是 ． 变式1-2. （24-25七年级上·河南焦作·阶段练习）我们已经认识了“点动成线，线动成面，面动成体”的数学事实，则“汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹”这一现象说明了 的数学事实 【题型二：常见几何体的三视图】 例2．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）分别观察下列几何体，其中从正面看、从左面看完全相同的有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型三：正方体的展开图】 例3．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，是一个正方体的展开图，其中相对面上的数字互为倒数，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 变式3．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（　　）      A． B．10 C． D． 例4．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“扬”字所在面相对面上的汉字是（    ） 弘 扬 传 统 文 化 A．传 B．统 C．文 D．化 变式4-1．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，与“梦”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．你 B．想 C．成 D．真 变式4-2.（23-24七年级上·安徽宿州·期中）如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    例5.（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）如图①是一个正方体，图②的阴影部分是这个正方体展开图的一部分，请你在图②中再涂黑两个正方形后成图①的表面展开图，请涂2种不同的情况． 【方法技巧与总结】正方体展开图找相对面的方法： ①中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面； ②“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面； ③中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。 【题型四：棱柱的特征与表面积、体积】 例6．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）观察如图所示的直四棱柱． (1)它有几个面？底面与侧面分别是什么图形？ (2)若底面的周长为，侧棱长为，则它的侧面积为多少？ 例7.某一长方体纸盒的表面展开图如图所示，根据图中数据可得该长方体纸盒的容积为：（　　） A． B． C． D． 【技巧方法与总结】n棱柱的顶点数、面数、棱数之间的关系：顶点数+面数-棱数=2 【题型五：组合小正方体的三视图】 例8．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）如图，一个几何体是由几个大小相同的小立方块搭成的．请你分别从左面、上面观察该几何体，并在下面相应的网格中画出你所看到的几何体的形状图．    【题型六：图形类规律探索——几何体中的点、棱、面的数量关系】 例9．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图所示，是我们熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱． (1)填写下表： 顶点数 面数 棱数 三棱柱 __________ __________ 五棱柱      __________ __________ 六棱柱 __________ __________ (2)设棱柱（为正整数，且）的顶点数为、棱数为、面数为，根据表中数据猜想____________． 变式9．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 ①________ 6 长方体 8 6 ②________ 正八面体 ③________ 8 12 正十二面体 ④________ 12 30 (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是________； (3)一个多面体的面数比顶点数小12，且有42条棱，则这个多面体的顶点数是________． 【方法技巧与总结】①n棱柱的顶点数、面数、棱数之间的关系：顶点数+面数-棱数=2； ②多面体的面数、顶点数、棱数之间的关系：顶点数+面数-棱数=2 一、选择题 1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）与实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是 （   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．棱锥、圆锥、棱柱、长方体 C．棱柱、球、正方体、棱柱 D．圆柱、球、正方体、长方体 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（    ） A．B． C． D． 3．（24-25六年级上·山东济南·阶段练习）下列说法：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面一定是四边形；④棱柱的侧面展开图是一个长方形；⑤若棱柱的底面为5边形，则该棱柱为五棱柱．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）下列立体图形中，由五个面围成的是（   ） A．三棱柱 B．圆柱 C．四棱柱 D．五棱柱 5．（2024·安徽合肥·一模）如图，将一个正方体沿上底的对角线（虚线）切开分成①，②两部分，再把①移到②的右边拼成一个新几何体，若主视方向不变，这个新几何体的三视图是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）用一个平面去截一个圆柱体，不可能的截面是（    ） A．  B．   C．   D．   7．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）老师在黑板上写出了以下四个结论：①的相反数为；②一个数的绝对值一定是正数；③若一件衣服的售价先降价，再提价，其售价不变；④把一个正方体截去一个角，剩下的几何体可能有7个面；你认为老师所写结论正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 8.某立体图形如图所示，则下列选项中是其展开图的是(   )    A．   B．   C．   D．   二、填空题 9．（24-25七年级上·全国·单元测试）给出以下几何体，其中是柱体的有 ．（填序号） 10．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）薄薄的硬币在桌面上转动时，看上去像球，这用我们学过的几何知识可解释为 ． 11．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“你”字一面相对的面上的字是 ． 12．（24-25七年级上·宁夏银川·阶段练习）将下图中的立体图形分类． 柱体________________；锥体______________；球体______________． 13．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）请写出图中的平面图形绕其所画虚线旋转一周之后形成的立体图形的名称． ①___________；    ②___________；    ③___________． 三、解答题 14．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知一个直棱柱，它有21条棱，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是______棱柱，它有______个面，______个顶点． (2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 15．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在长方形中，，现将这个长方形绕所在的直线旋转一周，得到一个几何体． (1)该几何体是______，用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是______；（填一种即可） (2)求该几何体的体积．（结果保留） 16．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）赵新在掌握了长方体盒子的制作方法后，制作的一个半成品的平面图如图所示．    (1)在图中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子； (2)已知赵新制作的长方体盒子的长是，宽是，高是，求这个长方体盒子的体积． 17．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）请补全某立体图形从上面看到的视图（至少画出三种），并选其中一种计算出该立体图形的体积．    19．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，每个小正方形的面积均为1．认真研读图形及对应的等式，寻找规律，完成下列问题： (1)请写出第5个等式； (2)猜想第n个等式，用含n的等式表示这个等式； (3)一个用形状大小一样的无数个小正方体搭成的几何体，若从其正面看到的形状图是上面规律图的左图，从其上面看到的形状图是由400个小正方形组成的大正方形，则这个几何体最多共有多少个小正方体？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 几何图形 课程标准 学习目标 通过实物和模型，了解小物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念 1.在具体情境中认识常见的几何体； 2.了解体、面、线、点以及平面图形、立体图形等概念； 3.通过对几何体的识别，认识并理解点、线、面、体之间的关系. 知识点01 图形的概念 ·图形：从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 ·立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 常见的立体图形：圆柱、棱柱、圆锥、棱柱、棱锥、球、长方体、正方体等 ·平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 【即学即练1】下列物体中，类似于圆锥的是（   ） A．水杯 B．漏斗 C．铅笔盒 D．足球 【答案】B 【知识点】常见的几何体 【分析】本题主要考查了常见几何体的形状，熟知常见几何体的形状是解题的关键． 【详解】解：A、水杯类似于圆柱，不符合题意； B、漏斗类似于圆锥，符合题意； C、铅笔盒类似于长方体，不符合题意； D、足球类似于球体，不符合题意； 故选：B． 【即学即练2】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）写出下面几何体的名称 ( ) ( ) ( )  ( )   ( ) ( ) 【答案】 圆柱 长方体 正方体 球 五棱柱 圆锥 【知识点】常见的几何体 【分析】本题主要考查了常见几何体的识别，根据立体图形的特征逐个判断即可． 【详解】①是圆柱；②是长方体；③是正方体；④是球体；⑤五棱柱；⑥是圆锥． 故答案为：圆柱；长方体；正方体；球体；五棱柱；圆锥． 【即学即练3】下列几何体中，是棱锥的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据所给几何体逐个分析判断即可． 【详解】解：A．是圆柱体，故不符合题意； B．是圆锥，故不符合题意； C．是棱锥，故符合题意； D．是圆台，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查立体图形问题，关键是根据棱锥的概念判断．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥． 知识点02 点、线、面、体的认识 ·几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线 面：包围着体的是面，分为平面和曲面 体：几何体也简称体 ·点、线、面、体的关系：点动成线，线动成面，面动成体 【即学即练4】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）在朱自清的《春》中有描写春雨的语句“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”，这里把雨滴看成了点，用数学知识解释这一现象（     ）． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体．根据点动成线可得答案． 【详解】解：“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明点动成线． 故选：A． 【即学即练5】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）下列选项中的几何体，没有曲面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了认识立体图形，熟记立体图形的特征，根据立体图形的特征． 【详解】解：A、球的表面是曲面，故本选项不符合题意； B、圆锥的侧面是曲面，故本选项不符合题意； C、圆柱的侧面是曲面，故本选项不符合题意； D、棱柱的底面是平面，侧面是平面，故本选项符合题意； 故选：D． 知识点03 几何体的特征 ·n棱柱的几何特征 顶点数 2n 棱数 3n 面数 n+2 体积=底面积×高 【即学即练6】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）九棱柱有 个顶点，有 条棱，有 个面． 【答案】 18 27 11 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查认识立体图形．根据九棱柱的特征进行解答即可． 【详解】解：根据九棱柱的特征可知： 九棱柱有18个顶点，27条棱，11个面， 故答案为：18，27，11． 【即学即练7】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，线段是正方体的一条棱，则与在同一平面内且与垂直的棱有 条． 【答案】4 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题主要考查点，线，面，先确定所在的平面，再确定与垂直的棱即可． 【详解】解：如图， 线段所在的平面为， 所以，与在同一平面内且与垂直的棱有：，共4条， 故答案为：4． ·旋转体:常见平面图形的旋转体 正方形、长方形：圆柱； 三角形：一般是圆锥的组合体；圆：一般是球体；直角梯形：一般是圆台 【即学即练8】（24-25七年级上·全国·阶段练习）如图，将长方形绕着虚线旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】此题考查点，线，面，体，掌握立体图形的展开图的特点是解题的关键，根据平面图形的旋转与立体图形的展开图的关系即可求解． 【详解】 解：将长方形绕着虚线旋转一周，可以得到的立体图形是， 故选：D． 【即学即练9】（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，正方形的边长为，以所在的直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积是 ．（用含的式子表示） 【答案】 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了平面图形旋转后的立体图形，求体积；正方形绕所在的直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体是圆柱，底面半径与高均为，根据圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：由题意知，旋转后的几何体是圆柱，底面半径与高均为， 则圆柱的体积为：； 故答案为：． ·截一个几何体：常见几何体的截面 球：圆；棱柱：三角形、四边形、五边形等；圆柱：长方形、圆、椭圆； 【即学即练10】（23-24七年级上·安徽宿州·期中）用一个平面去截一个圆柱体，不可能的截面是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】截一个几何体 【分析】用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，从中学会分析和归纳的思想方法． 【详解】解：用一个平面去截一个圆柱体，轴截面是矩形；过平行于上下底面的面去截可得到圆；过侧面且不平行于上下底面的面去截可得到椭圆；不可能的截面是等腰梯形． 故选：D． 【即学即练11】下列说法不正确的是（    ） A．正方体有六个面，这六个面都是平的 B．圆柱有三个面，这三个面都是平的 C．圆锥有两个面，这两个面中一个是平的，一个是曲的 D．球由一个面围成，这个面是曲的 【答案】B 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题考查认识立体图形，掌握每一个立体图形的形状是解本题的关键．根据平面与曲面的区别进行分析即可． 【详解】解：A．正方体有六个面，这六个面都是平的，正确，故该选项不符合题意； B．圆柱有三个面，上底和下底是平的，侧面是曲的，故原说法错误，该选项符合题意； C. 圆锥有两个面，这两个面中一个是平的，一个是曲的，正确，故该选项不符合题意； D. 球由一个面围成，这个面是曲的，正确，故该选项不符合题意． 故选B． 知识点04 从不同方向看几何体与几何体的展开图 ·常见几何体的三视图 ①看的见得棱画实线，看不见的棱画虚线； ②圆锥从上面看不要丢了圆心点. ·常见几何体的展开图：有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。 ①圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。 ②圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面） ③棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面） 注意：球没有展开图 【即学即练12】（2024·安徽蚌埠·二模）将一个三棱柱展开，其展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查的是三棱柱的展开图，利用三棱柱的展开图的特点可得答案． 【详解】解：因为个三棱柱展开图有5个面，两个底面为三角形，且展开后不能在同一侧， 所以B，C，D不符合题意， 故选：A． ·组合小正方体的三视图 【即学即练13】如图所示的几何体是由一些小正方体组成的，那么从左边看它的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同角度看几何体，得出从左面看几何体得到的图形即可解题． 【详解】解：从左边看它的图形是 ， 故选B． 【即学即练14】正方体的平面展开图如图，将它折成正方体后“建”字对面是（   ） A．和 B．谐 C．阳 D．设 【答案】C 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “和”与“襄”是相对面， “谐”与“设”是相对面， “建”与“阳”是相对面． 故选：C． ·分类讨论——正方体的表面展开图（按排列方式） 141型：有6种。特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形. 132型：有3种。特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形 222型：仅有一种。特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形 33型：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形 注：正方体展开图中不能出现“7”字、“田”字、“凹”字形，如下图： 【题型一：点、线、面、体四者之间的关系】 例1．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B 变式1-1. （24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图是一种折叠灯笼，压扁的时候，它看起来是平面的，提起来却变成了美丽的圆柱形灯笼．这个过程中蕴含的数学原理是 ． 【答案】面动成体 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面的相关知识，由平面图形变成立体图形的过程是面动成体，据此可得答案． 【详解】解：如图是一种折叠灯笼，压扁的时候，它看起来是平面的，提起来却变成了美丽的圆柱形灯笼．这个过程中蕴含的数学原理是面动成体， 故答案为：面动成体． 变式1-2. （24-25七年级上·河南焦作·阶段练习）我们已经认识了“点动成线，线动成面，面动成体”的数学事实，则“汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹”这一现象说明了 的数学事实 【答案】线动成面 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，从运动角度得出是解题关键． 从运动的观点来看，线动成面，进而得出答案． 【详解】解：“汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹”这一现象说明了线动成面的数学事实．  故答案为：线动成面． 【题型二：常见几何体的三视图】 例2．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）分别观察下列几何体，其中从正面看、从左面看完全相同的有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．分别判断出几何体的正面和左面即可得到答案． 【详解】解：正方体从正面看是一个正方形，左面看是正方形，完全相同，符合题意； 球体从正面看是一个圆形，左面看是一个圆形，完全相同，符合题意； 圆锥从正面看是一个三角形，左面看是一个三角形，完全相同，符合题意； 圆柱从正面看是一个矩形，左面看是一个矩形，完全相同，符合题意； 三棱锥从正面看是一个中间有一条棱线的矩形，左面看是一个矩形，不相同，不符合题意． 故有4个符合题意． 故选C． 【题型三：正方体的展开图】 例3．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，是一个正方体的展开图，其中相对面上的数字互为倒数，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．先根据相对面的文字求出a，b，c的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵a与1相对，b与3相对，c与2相对，且中相对面上的数字互为倒数， ∴， ∴． 故选B． 变式3．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（　　）      A． B．10 C． D． 【答案】C 【分析】先根据正方体的表面展开图，找出相对的面，然后根据正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，列出方程求出、的值，即可得出的值． 【详解】由正方体的表面展开图，可知： 与相对，与相对，与相对， ∵正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数， ∴，． 解得：，． ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方体的表面展开图及相反数的概念，准确找出正方体中相对的面上的数字或代数式，再根据相反数的概念列出方程是解题的关键． 例4．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“扬”字所在面相对面上的汉字是（    ） 弘 扬 传 统 文 化 A．传 B．统 C．文 D．化 【答案】C 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形是解题的关键．根据正方体的表面展开图解答即可． 【详解】解：根据题意与“扬”字所在面相对面上的汉字是“文”． 故选C． 变式4-1．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，与“梦”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．你 B．想 C．成 D．真 【答案】D 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体的展开图中相对两个面上的文字，此类型的展开图为“Z”形，根据“Z”形两端是对面即可解题． 【详解】解：梦为“Z”的一端，则另一端为真． 故选：D． 变式4-2.（23-24七年级上·安徽宿州·期中）如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    【答案】我 【知识点】含图案的正方体的展开图、正方体相对两面上的字 【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形的展开图的认识，在解决本题的过程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，根据“立方体中相对面之间，相隔一个正方形”即可解答此题． 【详解】解：由图1可得，“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图2可得，小正方体从图2的位置依次翻到第5格时，“国”在下面， 此时小正方体朝上面的字是“我”， 故答案为：我． 例5.（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）如图①是一个正方体，图②的阴影部分是这个正方体展开图的一部分，请你在图②中再涂黑两个正方形后成图①的表面展开图，请涂2种不同的情况． 【答案】见详解 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了正方体的展开图，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握正方体的展开图的各种形．根据正方体的展开图（如：一四一结构），将所给图形填涂完整即可． 【详解】解：如下图， 【方法技巧与总结】正方体展开图找相对面的方法： ①中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面； ②“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面； ③中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。 【题型四：棱柱的特征与表面积、体积】 例6．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）观察如图所示的直四棱柱． (1)它有几个面？底面与侧面分别是什么图形？ (2)若底面的周长为，侧棱长为，则它的侧面积为多少？ 【答案】(1)6个面，底面为梯形，侧面为长方形； (2)． 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查棱柱的特征，棱柱的侧面积： （1）根据直四棱柱的特征直接解答即可； （2）根据棱柱的侧面积公式：底面周长高，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：直四棱柱有6个面，底面为梯形，侧面为长方形； （2）它的侧面积为． 例7.某一长方体纸盒的表面展开图如图所示，根据图中数据可得该长方体纸盒的容积为：（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出长方体的长，宽和高，然后根据长方体体积公式即可得答案． 【详解】由表面展开图可得，宽+2高=，宽+高=， ∴高为，宽为， ∵长+高=， ∴长为， ∴该长方体纸盒的容积为． 故选：A． 【点睛】本题考查立方体的展开图，求立方体的容积，根据展开图求出长宽高是解题关键． 【技巧方法与总结】n棱柱的顶点数、面数、棱数之间的关系：顶点数+面数-棱数=2 【题型五：组合小正方体的三视图】 例8．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）如图，一个几何体是由几个大小相同的小立方块搭成的．请你分别从左面、上面观察该几何体，并在下面相应的网格中画出你所看到的几何体的形状图．    【答案】见解析 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据几何体的形状，画出从左面看和从上面看看到的图形即可． 【详解】解：从左面看，看到的图形分为上中下三层，共2列，左边一列上中下三层各有一个小正方形，右边一列下面一层有一个小正方形； 从上面看，看到的图形分为上下两层，共五列，从左边数，第一列上面一层有一个小正方形，第二列上下两层各有一个小正方形，第三列下面一层有一个小正方形，第四列下面一层有一个小正方形，第五列，上下两层各有一个小正方形， 即看到的图形如下：    【题型六：图形类规律探索——几何体中的点、棱、面的数量关系】 例9．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图所示，是我们熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱． (1)填写下表： 顶点数 面数 棱数 三棱柱 __________ __________ 五棱柱      __________ __________ 六棱柱 __________ __________ (2)设棱柱（为正整数，且）的顶点数为、棱数为、面数为，根据表中数据猜想____________． 【答案】(1)填写表格见解析； (2)． 【知识点】图形类规律探索、几何体中的点、棱、面 【分析】（）结合三棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，即可填表； （）根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知棱柱一定有个面，个顶点和条棱，根据这个规律得出，，之间的关系； 此题主要考查了棱柱的面，顶点和棱之间的数量关系，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：棱柱有个面，个顶点和条棱是解题的关键． 【详解】（1）解：根据三棱柱、五棱柱和六棱柱得： 三棱柱：个顶点，个面，条棱； 五棱柱：个顶点，个面，条棱； 六棱柱：个顶点，个面，条棱； 故填写表格如下： 顶点数 面数 棱数 三棱柱 五棱柱 六棱柱 （2）由（）得知棱柱一定有个面，个顶点和条棱， ∴， 故答案为：． 变式9．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 ①________ 6 长方体 8 6 ②________ 正八面体 ③________ 8 12 正十二面体 ④________ 12 30 (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是________； (3)一个多面体的面数比顶点数小12，且有42条棱，则这个多面体的顶点数是________． 【答案】(1)4，12，6，20 (2) (3)28 【知识点】几何体中的点、棱、面、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用． （1）观察图形即可得出结论； （2）观察可得：顶点数+面数-棱数=2； （3）设多面体的顶点数为x，则多面体的面数为，代入（2）中的式子即可求解． 【详解】（1）解：观察图形，四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）解：观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2， 关系式为：； 故答案为：； （3）解：设多面体的顶点数为x，则多面体的面数为， 由题意得：， 解得． 故答案为：28． 【方法技巧与总结】①n棱柱的顶点数、面数、棱数之间的关系：顶点数+面数-棱数=2； ②多面体的面数、顶点数、棱数之间的关系：顶点数+面数-棱数=2 一、选择题 1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）与实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是 （   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．棱锥、圆锥、棱柱、长方体 C．棱柱、球、正方体、棱柱 D．圆柱、球、正方体、长方体 【答案】D 【知识点】常见的几何体 【分析】根据常见实物与几何体的关系解答即可． 本题考查了立体图形的识别，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识． 【详解】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体． 故选：D． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查点、线、面、体．根据立体图形的形状，平面图形旋转的性质即可求解． 【详解】解：所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是D； 故选：D． 3．（24-25六年级上·山东济南·阶段练习）下列说法：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面一定是四边形；④棱柱的侧面展开图是一个长方形；⑤若棱柱的底面为5边形，则该棱柱为五棱柱．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了认识立体图形，注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是四边形是解题的关键．根据柱体，锥体的定义及组成，即可求解． 【详解】解：①柱体包括圆柱、棱柱，柱体的两个底面一样大，故该说法正确； ②圆柱、圆锥的底面都是圆，故该说法正确； ③棱柱的底面可以是任意多边形，故原说法错误； ④棱柱的侧面展开图可能是一个长方形，也可能是平行四边形，故原说法错误； ⑤棱柱的底面为5边形，则该棱柱为五棱柱，故该说法正确， 综上所述，正确的为：①②⑤，共有3个． 故选：B 4．（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）下列立体图形中，由五个面围成的是（   ） A．三棱柱 B．圆柱 C．四棱柱 D．五棱柱 【答案】A 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了对立体图形构成的面数的理解，特别是柱和棱柱的面数．柱和棱柱由侧面和底面构成，其中棱柱的侧面数等于其底面边数，而柱的底面为圆形，只有两个底面和侧面数．据此即可求解． 【详解】解：A：三棱柱有5个面：3个侧面和2个底面，符合题意； B：圆柱有3个面：1个侧面和2个底面，不符合题意； C：四棱柱有6个面：4个侧面和2个底面，不符合题意； D：五棱柱有7个面：5个侧面和2个底面，不符合题意； 故选：A ． 5．（2024·安徽合肥·一模）如图，将一个正方体沿上底的对角线（虚线）切开分成①，②两部分，再把①移到②的右边拼成一个新几何体，若主视方向不变，这个新几何体的三视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常见的几何体 【分析】本题主要考查了三视图，从三个不同方向观察几何体得出平面图形即可． 【详解】主视图是两个正方形，左视图是一个正方形，俯视图是一个平行四边形，如图所示． 故选：A． 6．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）用一个平面去截一个圆柱体，不可能的截面是（    ）    A．  B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】截一个几何体 【分析】用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，从中学会分析和归纳的思想方法． 【详解】解：用一个平面去截一个圆柱体，轴截面是矩形；过平行于上下底面的面去截可得到圆；过侧面且不平行于上下底面的面去截可得到椭圆；不可能的截面是等腰梯形． 故选：D． 7．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）老师在黑板上写出了以下四个结论：①的相反数为；②一个数的绝对值一定是正数；③若一件衣服的售价先降价，再提价，其售价不变；④把一个正方体截去一个角，剩下的几何体可能有7个面；你认为老师所写结论正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【知识点】截一个几何体、用代数式表示式、绝对值的意义、相反数的定义 【分析】本题考查绝对值，相反数，代数式，几何体的面，掌握绝对值，相反数，几何体的面的定义和代数式表示数是解题的关键． 【详解】①的相反数为，说法正确； ②一个数的绝对值一定是非负数，原说法错误； ③若一件衣服的售价先降价，再提价，其售价为原价的，发生改变，原说法错误； ④把一个正方体截去一个角，剩下的几何体可能有7个面，原说法正确； ∴结论正确的有①④， 故选C． 8.某立体图形如图所示，则下列选项中是其展开图的是(   )    A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】根据几何体为三棱锥，进行判断即可． 【详解】解：∵立体图形的四个面均为三角形， ∴展开图中没有四边形， 只有A选项符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查立方体的展开图．解题的关键是熟记常见图形的展开图． 二、填空题 9．（24-25七年级上·全国·单元测试）给出以下几何体，其中是柱体的有 ．（填序号） 【答案】①③④⑥ 【知识点】常见的几何体、立体图形的分类 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握柱体、锥体和球体的概念并结合实物进行区分． 【详解】解：柱体的序号为：①③④⑥， ②是球体，⑤是锥体， 故答案为：①③④⑥． 10．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）薄薄的硬币在桌面上转动时，看上去像球，这用我们学过的几何知识可解释为 ． 【答案】面动成体 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体，关键是掌握面动成体．根据面动成体的原理在现实中的具体表现，即可得到答案． 【详解】解：硬币在桌面上转动时，看上去像球，这说明了面动成体， 故答案为：面动成体． 11．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“你”字一面相对的面上的字是 ． 【答案】清 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可得，和“你”字一面相对的面上的字是“清”， 故答案为：清． 12．（24-25七年级上·宁夏银川·阶段练习）将下图中的立体图形分类． 柱体________________；锥体______________；球体______________． 【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③ 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题考查立体图形的分类，解题的关键掌握立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③． 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 13．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）请写出图中的平面图形绕其所画虚线旋转一周之后形成的立体图形的名称． ①___________；    ②___________；    ③___________． 【答案】①圆锥；②球体；③圆柱 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查了面动成体，熟记各种图形旋转得出的立体图形是解题关键．直角三角形绕直角边旋转一周得到的立体图形是圆锥，长方形绕一边旋转一周得到的立体图形是圆柱，半圆绕直径旋转一周得到的立体图形是球，据此可得答案． 【详解】解：直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周得到的图形为圆锥； 半圆沿着它的直径旋转一周得到的图形为球体； 长方形绕着它的一边旋转一周得到的图形为圆柱； 故答案为：①圆锥；②球体；③圆柱． 三、解答题 14．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知一个直棱柱，它有21条棱，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是______棱柱，它有______个面，______个顶点． (2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)，， (2) 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键掌握棱柱有条棱，个顶点，个面． （1）由棱柱有条棱，个顶点，个面求解即可； （2）将侧面长方形的面积乘以长方形的个数即可得解 【详解】（1）解：∵一个直棱柱，它有21条棱， ∴这个直棱柱是棱柱，它有个面，个顶点； （2）解：这个棱柱的所有侧面的面积之和． 15．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在长方形中，，现将这个长方形绕所在的直线旋转一周，得到一个几何体． (1)该几何体是______，用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是______；（填一种即可） (2)求该几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱； 圆（或矩形或椭圆，答案不唯一） (2) 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查了点、线、面、体和截几何体及圆柱体体积，解题的关键是掌握圆柱的特征． （1）旋转得到的几何体为圆柱；截面有圆，矩形，椭圆等形状； （2）以长方形的长所在的直线旋转一周得到圆柱，底面半径为，高为，然后根据圆柱的体积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：长方形绕一边旋转后形成的几何体为圆柱；用一个平面去截圆柱，那么截面有圆、长方形、椭圆等形状； 故答案为：圆柱；圆（或矩形或椭圆，答案不唯一） （2）解： 圆柱的体积为． 答：该几何体的体积为． 16．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）赵新在掌握了长方体盒子的制作方法后，制作的一个半成品的平面图如图所示．    (1)在图中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子； (2)已知赵新制作的长方体盒子的长是，宽是，高是，求这个长方体盒子的体积． 【答案】(1)见解析 (2)这个长方体盒子的体积是 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查了长方体的展开图，长方体的体积的计算， （1）根据长方体的展开图补充图形即可求解； （2）根据体积公式即可求解． 【详解】（1）解：因为长方体相对的面是全等的长方形，如图所示；    （2）解：， 答：这个长方体盒子的体积是． 17．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）请补全某立体图形从上面看到的视图（至少画出三种），并选其中一种计算出该立体图形的体积．    【答案】见解析 【知识点】已知三视图求体积、从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，结合从正面、左面看到的视图，可知该几何体可能为长方体、三棱柱、半圆柱等，画出从上面看到的视图，再计算体积即可，具备一定的空间想象能力是解题的关键． 【详解】解：从上面看到的视图如下图所示：    左边几何体为长方体，长为10，宽为5，高为10， 体积为：； 中间几何体为三棱柱，底面三角形底边为10，高为5，三棱柱的高为10， 体积为：； 右边几何体为半圆柱，高为10，底面半圆的半径为5， 体积为：． 19．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，每个小正方形的面积均为1．认真研读图形及对应的等式，寻找规律，完成下列问题： (1)请写出第5个等式； (2)猜想第n个等式，用含n的等式表示这个等式； (3)一个用形状大小一样的无数个小正方体搭成的几何体，若从其正面看到的形状图是上面规律图的左图，从其上面看到的形状图是由400个小正方形组成的大正方形，则这个几何体最多共有多少个小正方体？ 【答案】(1)； (2)； (3)这个几何体最多共有2200小正方体． 【知识点】图形类规律探索、从不同方向看几何体 【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． （1）根据规律解答即可； （2）利用规律可得第个等式：； （3）根据从不同方向看到的几何体以及题目要求计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ， ∴第5个等式：； （2）解：猜想第个等式：； （3）解：这个几何体最多共有：（个）． 答：这个几何体最多共有2200小正方体． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$