第五单元简易方程·思维素养篇·第一部分【从课内到奥数】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年11月1日 目 录 【课内精选一】用字母表示数（一）。 3 【课内精选二】用字母表示数（二）。 3 【课内精选三】解方程。 4 【奥数拓展一】用字母表示数（一）。 6 【奥数拓展二】用字母表示数（二）。 6 【奥数拓展三】解方程（一）。 7 【奥数拓展四】解方程（二）。 8 【奥数拓展五】解方程（三）。 9 【奥数拓展六】解方程（四）。 9 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元简易方程·思维素养篇·第一部分【从课内到奥数】 【课内精选一】用字母表示数（一）。 工程队修一条a米长的公路，已经修了8天，每天修b米，还剩下( )米没有修；当a＝500，b＝40时，还剩下( )米没有修。 【专项训练】 1．有三个相邻的自然数，如果正中间的那个数用字母a表示，那么另外两个数分别记作( )和( )。 2．比的5倍少3的数用含有字母的式子表示是( )。 3．水果店有苹果a千克，每天卖出15千克，b天后还剩( )千克。 【课内精选二】用字母表示数（二）。 在“迎接国庆、诗歌颂祖国”系列活动中，实验小学准备购买笔袋和笔记本各个，作为获胜同学的奖品。已知笔袋的单价是11.5元/个，笔记本的单价是4.2元/本。 （1）用含有字母的式子表示购买笔袋和笔记本的总价。 （2）当＝60时，购买笔袋和笔记本一共花了多少钱？ 【专项训练】 1．一个文具盒的单价是元，李老师买了8个，王阿姨买了5个。 （1）用含有字母的式子表示李老师比王阿姨多用了多少元。 （2）当＝15时，李老师比王阿姨多用了多少元？ 2．学校演播厅楼下有a排座位，每排有20个位置；楼上有b个位置。 （1）用含有字母的式子表示演播厅的座位数。 （2）当a＝15，b＝110时，演播厅共有多少个座位？ 3．爸爸带了100元去买菜，买了3千克肉，每千克y元。 （1）用式子表示爸爸还剩多少元。 （2）当y＝25.6时，求爸爸还剩多少元？ 【课内精选三】解方程。 解方程。 13x－7.5x＝22             x÷2.05＝20             2（x＋6.8）＝32.6 【专项训练】 1．解方程。 x＋68＝92.5                                   1.5x－x＝2.5 6（x＋1.5）＝13.2                            45.6÷x＝4.8 2．解方程。 x－54.3＝100                               x×9＝4.5 12x－9x＝8.7                                  x÷6＝4.5 3．解方程。 99－x＝61.9                                x－6×5＝42 2x－3.7＝24.8                            （x－14）×5＝20 【奥数拓展一】用字母表示数（一）。 五一期间新平举办了“腌菜长街宴”，吸引了不少游客。长街宴就是将若干张桌子拼成长长的宴席（如下图）。如果每张桌子每边坐2人，那么摆一张桌子可以坐8人，摆2张桌子可以坐12人，摆3张桌子可以坐16人，摆6张桌子可以坐( )人，摆n张桌子可以坐( )人。 【专项训练】 1．如表所示，若干张相同的长方形桌子摆在一起。按此规律摆下去，4张这样的桌子可以坐( )人；那么n张这样的桌子可以坐( )人（用含有n的代数式表示）。 （1） （2） （3） … …… 2．如图所示，已知每个三角形都有一条带三个点的边，观察规律，最后一个算式的结果为( )。 3．白色与黑色棋子按照下图的规律一层层叠放排成等边三角形。 当某个等边三角形中白棋子比黑棋子多m颗时，这个等边三角形一共排了( )层。 【奥数拓展二】用字母表示数（二）。 找出下面算式的规律：22－12＝2＋1；42－32＝4＋3；62－52＝6＋5； (1)请你再写个这样的算式： 。 (2)运用规律计算：502－492＋482－472＋462－452＋……＋22－12＝( )。 【专项训练】 1．观察下面各式： （2＋1）2＝22＋2×2×1＋12，（3＋2）2＝32＋2×3×2＋22，… (1)请你根据其中的规律再写一道这样的算式：( )。 (2)运用这个规律计算：13892＋2×1389×611＋6112＝( )。 2．观察算式的结果，并运用你发现的规律解决问题。 ；；；；；；；；… (1)的最后一位数是( )。 (2)的最后一位数是( )。 3．观察算式的规律：22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，…… (1)用含有字母N的式子表示规律： ； (2)用规律进行计算：202－192＋182－172＋162－152＋……＋22－12＝ 。 【奥数拓展三】解方程（一）。 解方程：10x－7=4.5x +20.5 【专项训练】 1. 解方程：4x +8=6x－4 2. 解方程：7.4x－3.9=4.8x +11.7 3. 解方程：9－5x=15－10x 【奥数拓展四】解方程（二）。 解方程：4(4x－11)=3(22－2x) 【专项训练】 1. 解方程：6(3x－2)－4(4x－3)=1 2. 解方程：9(2x－3)－2=5(2x－1) 3. 解方程：4(6x－3)－3(3x+2)=30－x 【奥数拓展五】解方程（三）。 解方程：x÷3=(2x－11)÷5 【专项训练】 1. 解方程：2x÷3=(2x－5)÷2 2. 解方程：(3x－0.5)÷2=2x÷3 3. 解方程：x÷4－0.3=x÷6 【奥数拓展六】解方程（四）。 解方程：10÷x－10÷2x=10 【专项训练】 1. 解方程：5÷2x +0.5=1.5 2. 解方程：10÷2x－6÷3x=1 3. 解方程：36÷3x－2=36÷5x 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 10 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 11 月 1 日 2 / 10 目 录 【课内精选一】用字母表示数（一）。 ................................................................................ 3 【课内精选二】用字母表示数（二）。 ................................................................................ 3 【课内精选三】解方程。 ........................................................................................................ 4 【奥数拓展一】用字母表示数（一）。 ................................................................................ 6 【奥数拓展二】用字母表示数（二）。 ................................................................................ 6 【奥数拓展三】解方程（一）。 ............................................................................................ 7 【奥数拓展四】解方程（二）。 ............................................................................................ 8 【奥数拓展五】解方程（三）。 ............................................................................................ 9 【奥数拓展六】解方程（四）。 ............................................................................................ 9 3 / 10 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元简易方程·思维素养篇·第一部分【从课内到奥数】 【课内精选一】用字母表示数（一）。 工程队修一条 a米长的公路，已经修了 8天，每天修 b米，还剩下( )米 没有修；当 a＝500，b＝40时，还剩下( )米没有修。 【专项训练】 1．有三个相邻的自然数，如果正中间的那个数用字母 a表示，那么另外两个数 分别记作( )和( )。 2．比 x的 5倍少 3的数用含有字母的式子表示是( )。 3．水果店有苹果 a千克，每天卖出 15千克，b天后还剩( )千克。 【课内精选二】用字母表示数（二）。 在“迎接国庆、诗歌颂祖国”系列活动中，实验小学准备购买笔袋和笔记本各 x个， 作为获胜同学的奖品。已知笔袋的单价是 11.5元/个，笔记本的单价是 4.2元/本。 （1）用含有字母的式子表示购买笔袋和笔记本的总价。 （2）当 x＝60时，购买笔袋和笔记本一共花了多少钱？ 【专项训练】 1．一个文具盒的单价是 x元，李老师买了 8个，王阿姨买了 5个。 （1）用含有字母的式子表示李老师比王阿姨多用了多少元。 （2）当 x＝15时，李老师比王阿姨多用了多少元？ 4 / 10 2．学校演播厅楼下有 a排座位，每排有 20个位置；楼上有 b个位置。 （1）用含有字母的式子表示演播厅的座位数。 （2）当 a＝15，b＝110时，演播厅共有多少个座位？ 3．爸爸带了 100元去买菜，买了 3千克肉，每千克 y元。 （1）用式子表示爸爸还剩多少元。 （2）当 y＝25.6时，求爸爸还剩多少元？ 【课内精选三】解方程。 解方程。 13x－7.5x＝22 x÷2.05＝20 2（x＋6.8）＝32.6 【专项训练】 1．解方程。 x＋68＝92.5 1.5x－x＝2.5 6（x＋1.5）＝13.2 45.6÷x＝4.8 5 / 10 2．解方程。 x－54.3＝100 x×9＝4.5 12x－9x＝8.7 x÷6＝4.5 3．解方程。 99－x＝61.9 x－6×5＝42 2x－3.7＝24.8 （x－14）×5＝20 6 / 10 【奥数拓展一】用字母表示数（一）。 五一期间新平举办了“腌菜长街宴”，吸引了不少游客。长街宴就是将若干张桌子 拼成长长的宴席（如下图）。如果每张桌子每边坐 2人，那么摆一张桌子可以坐 8人，摆 2张桌子可以坐 12人，摆 3张桌子可以坐 16人，摆 6张桌子可以坐 ( )人，摆 n张桌子可以坐( )人。 【专项训练】 1．如表所示，若干张相同的长方形桌子摆在一起。按此规律摆下去，4张这样 的桌子可以坐( )人；那么 n张这样的桌子可以坐( )人（用含有 n 的代数式表示）。 （1） （2） （3） … …… 2．如图所示，已知每个三角形都有一条带三个点的边，观察规律，最后一个算 式的结果为( )。 3．白色与黑色棋子按照下图的规律一层层叠放排成等边三角形。 当某个等边三角形中白棋子比黑棋子多 m颗时，这个等边三角形一共排了 ( )层。 【奥数拓展二】用字母表示数（二）。 找出下面算式的规律：22－12＝2＋1；42－32＝4＋3；62－52＝6＋5； 7 / 10 (1)请你再写个这样的算式： 。 (2)运用规律计算：502－492＋482－472＋462－452＋……＋22－12＝( )。 【专项训练】 1．观察下面各式： （2＋1）2＝22＋2×2×1＋12，（3＋2）2＝32＋2×3×2＋22，… (1)请你根据其中的规律再写一道这样的算式：( )。 (2)运用这个规律计算：13892＋2×1389×611＋6112＝( )。 2．观察算式的结果，并运用你发现的规律解决问题。 13 3 ； 23 3 3 9   ；33 3 3 3 27    ； 4 3 3 3 813 3     ；53 3 3 3 3 3 243      ； 63 729 ； 73 2187 ； 83 6561 ； 93 19683 … (1) 103 的最后一位数是( )。 (2) 20233 的最后一位数是( )。 3．观察算式的规律：22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋ 4，…… (1)用含有字母 N的式子表示规律： ； (2)用规律进行计算：202－192＋182－172＋162－152＋……＋22－12＝ 。 【奥数拓展三】解方程（一）。 解方程：10x－7=4.5x +20.5 【专项训练】 1. 解方程：4x +8=6x－4 8 / 10 2. 解方程：7.4x－3.9=4.8x +11.7 3. 解方程：9－5x=15－10x 【奥数拓展四】解方程（二）。 解方程：4(4x－11)=3(22－2x) 【专项训练】 1. 解方程：6(3x－2)－4(4x－3)=1 2. 解方程：9(2x－3)－2=5(2x－1) 3. 解方程：4(6x－3)－3(3x+2)=30－x 9 / 10 【奥数拓展五】解方程（三）。 解方程：x÷3=(2x－11)÷5 【专项训练】 1. 解方程：2x÷3=(2x－5)÷2 2. 解方程：(3x－0.5)÷2=2x÷3 3. 解方程：x÷4－0.3=x÷6 【奥数拓展六】解方程（四）。 解方程：10÷x－10÷2x=10 10 / 10 【专项训练】 1. 解方程：5÷2x +0.5=1.5 2. 解方程：10÷2x－6÷3x=1 3. 解方程：36÷3x－2=36÷5x 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年11月1日 目 录 【课内精选一】用字母表示数（一）。 3 【课内精选二】用字母表示数（二）。 4 【课内精选三】解方程。 6 【奥数拓展一】用字母表示数（一）。 11 【奥数拓展二】用字母表示数（二）。 14 【奥数拓展三】解方程（一）。 16 【奥数拓展四】解方程（二）。 16 【奥数拓展五】解方程（三）。 17 【奥数拓展六】解方程（四）。 17 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元简易方程·思维素养篇·第一部分【从课内到奥数】 【课内精选一】用字母表示数（一）。 工程队修一条a米长的公路，已经修了8天，每天修b米，还剩下( )米没有修；当a＝500，b＝40时，还剩下( )米没有修。 【答案】 a－8b 180 【分析】根据每天修的长度×修的天数＝已经修的长度，将数据代入，可以求出已经修的米数，用总长度减去已经修的长度，即可用字母表示出还剩下的没有修的米数； 当a＝500，b＝40时，将数据代入上一问中求出的用字母表示的式子即可。 【详解】由分析可得： a－8×b＝（a－8b）米 当a＝500，b＝40时，代入a－8b中， a－8b ＝500－8×40 ＝500－320 ＝180（米） 【专项训练】 1．有三个相邻的自然数，如果正中间的那个数用字母a表示，那么另外两个数分别记作( )和( )。 【答案】 a－1 a＋1 【分析】相邻的两个自然数之间的差为1，用a加上1，a减去1即可得到这两个数。 【详解】有三个相邻的自然数，如果正中间的那个数用字母a表示，那么另外两个数分别记作a－1和a＋1。 2．比的5倍少3的数用含有字母的式子表示是( )。 【答案】5x－3 【分析】由题意可知，用x乘5再减去3即可求解。 【详解】x×5－3＝5x－3 比的5倍少3的数用含有字母的式子表示是5x－3。 3．水果店有苹果a千克，每天卖出15千克，b天后还剩( )千克。 【答案】a－15b 【分析】根据题意分析，每天卖出15千克，b天卖了b×15＝15b千克，用总量减去卖出的苹果重量就是剩下的苹果重量。据此解答。 【详解】由分析可得； a－15×b＝（a－15b）千克 即，b天后还剩（a－15b）千克。 【课内精选二】用字母表示数（二）。 在“迎接国庆、诗歌颂祖国”系列活动中，实验小学准备购买笔袋和笔记本各个，作为获胜同学的奖品。已知笔袋的单价是11.5元/个，笔记本的单价是4.2元/本。 （1）用含有字母的式子表示购买笔袋和笔记本的总价。 （2）当＝60时，购买笔袋和笔记本一共花了多少钱？ 【答案】（1）15.7元 （2）942元 【分析】（1）根据“总价＝单价×数量”分别求出买笔袋、笔记本的钱数，再把二者相加。 （2）把＝60代入含有字母式子中，计算出结果即可。 【详解】（1）11.5×＋4.2× ＝11.5＋4.2 ＝15.7（元） 购买笔袋和笔记本的总价是15.7元。 （2）当＝60时 15.7 ＝15.7×60 ＝942（元） 答：购买笔袋和笔记本一共花了942元钱。 【点睛】本题考查用字母表示式子以及含有字母式子的求值，从题目中找到数量关系式，按数量关系式写出含字母的式子，把未知数的值代入式子中，求出得数。 【专项训练】 1．一个文具盒的单价是元，李老师买了8个，王阿姨买了5个。 （1）用含有字母的式子表示李老师比王阿姨多用了多少元。 （2）当＝15时，李老师比王阿姨多用了多少元？ 【答案】（1）3元 （2）45元 【分析】（1）根据“单价×数量＝总价”，先分别求出李老师和王阿姨买文具盒的花费，再相减，即是李老师比王阿姨多用的钱数。 （2）把＝15代入式子中，计算出结果即可。 【详解】（1）8－5＝3（元） 答：李老师比王阿姨多用了3元。 （2））当＝15时，3＝3×15＝45（元） 答：当＝15时，李老师比王阿姨多用了45元。 【点睛】本题考查用字母表示式子以及含有字母式子的求值，从题目中找到数量关系式，按数量关系式写出含字母的式子，把未知数的值代入式子中，求出得数。 2．学校演播厅楼下有a排座位，每排有20个位置；楼上有b个位置。 （1）用含有字母的式子表示演播厅的座位数。 （2）当a＝15，b＝110时，演播厅共有多少个座位？ 【答案】（1）（20a＋b）个； （2）410个 【分析】（1）用每排有座位的个数乘排数，求出楼下共有座位的个数，再加上楼上有座位的个数即可。 （2）当a＝15，b＝110时，把数据代入式子计算即可解题。 【详解】（1）a×20＋b＝（20a＋b）个 答：用含有字母的式子表示演播厅的座位数是：（20a＋b）个。 （2）当a＝15，b＝110时，可得： 20×15＋110 ＝300＋110 ＝410（个） 答：当a＝15，b＝110时，演播厅共有410个座位。 【点睛】熟练掌握用字母表示数的意义及化简、求值的方法，是解答此题的关键。 3．爸爸带了100元去买菜，买了3千克肉，每千克y元。 （1）用式子表示爸爸还剩多少元。 （2）当y＝25.6时，求爸爸还剩多少元？ 【答案】（1）（100－3y）元； （2）23.2元 【分析】（1）根据单价×质量＝总价，已知买了3千克肉，每千克y元，代入表示出买肉花了多少元，再用买菜的总钱数100元减去买肉花的钱，即可表示还剩多少元。 （2）当y的数值确定时，把它代入含有字母的式子中进行计算，所得的结果就是含有字母的式子的值。 【详解】（1）100－3×y ＝（100－3y）元 答：爸爸还剩（100－3y）元。 （2）当y＝25.6时， 100－3×25.6 ＝100－76.8 ＝23.2（元） 答：爸爸还剩23.2元。 【点睛】此题主要考查用字母表示数以及含有字母式子的求值，求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【课内精选三】解方程。 解方程。 13x－7.5x＝22             x÷2.05＝20             2（x＋6.8）＝32.6 【答案】x＝4；x＝41；x＝9.5 【分析】方程左边先化简为5.5x，然后两边同时除以5.5即可求解； 方程两边同时乘2.05即可求解； 方程两边先同时除以2，再同时减去6.8即可求解。 【详解】13x－7.5x＝22 解：5.5x＝22 5.5x÷5.5＝22÷5.5 x＝4 x÷2.05＝20 解：x÷2.05×2.05＝20×2.05 x＝41 2（x＋6.8）＝32.6 解：2（x＋6.8）÷2＝32.6÷2 x＋6.8＝16.3 x＋6.8－6.8＝16.3－6.8 x＝9.5 【专项训练】 1．解方程。 x＋68＝92.5                                  1.5x－x＝2.5 6（x＋1.5）＝13.2                            45.6÷x＝4.8 【答案】x＝24.5；x＝5； x＝0.7；x＝9.5 【分析】x＋68＝92.5，根据等式的性质1，将方程左右两边同时减去68即可； 1.5x－x＝2.5，先将左边合并为0.5x，然后根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以0.5即可； 6（x＋1.5）＝13.2，根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时除以6，再同时减去1.5即可； 45.6÷x＝4.8，根据除法各部分的关系，将算式变为x＝45.6÷4.8，然后计算出右边的结果即可。 【详解】x＋68＝92.5 解：x＋68－68＝92.5－68 x＝24.5 1.5x－x＝2.5 解：0.5x＝2.5 0.5x÷0.5＝2.5÷0.5 x＝5 6（x＋1.5）＝13.2 解：6（x＋1.5）÷6＝13.2÷6 x＋1.5＝2.2 x＋1.5－1.5＝2.2－1.5 x＝0.7 45.6÷x＝4.8 解： x＝45.6÷4.8 x＝9.5 2．解方程。 x－54.3＝100                              x×9＝4.5 12x－9x＝8.7                                 x÷6＝4.5 【答案】154.3；0.5；2.9；27 【分析】（1）利用等式的性质1，在等式的左右两边同时加上54.3即可； （2）利用等式的性质2，在等式的左右两边同时除以9即可； （3）先将等式的左边化简为3x，再利用等式的性质2，在等式的左右两边同时除以3即可； （4）利用等式的性质2，在等式的左右两边同时乘6即可。 【详解】x－54.3＝100 解：x－54.3＋54.3＝100＋54.3 x＝154.3 x×9＝4.5 解：x×9÷9＝4.5÷9 x＝0.5 12x－9x＝8.7 解：3x＝8.7 3x÷3＝8.7÷3 x＝2.9 x÷6＝4.5 解：x÷6×6＝4.5×6 x＝27 3．解方程。 99－x＝61.9                               x－6×5＝42 2x－3.7＝24.8                           （x－14）×5＝20 【答案】x＝37.1；x＝72； x＝14.25；x＝18 【分析】根据减数＝被减数－差，求解即可； 先将方程化简为x－30＝42，方程两边同时加上30即可求解； 方程两边先同时加上3.7，再同时除以2即可求解； 方程两边先同时除以5，再同时加上14即可求解。 【详解】99－x＝61.9 解：x＝99－61.9 x＝37.1 x－6×5＝42 解：x－30＝42 x－30＋30＝42＋30 x＝72 2x－3.7＝24.8 解：2x－3.7＋3.7＝24.8＋3.7 2x＝28.5 2x÷2＝28.5÷2 x＝14.25 （x－14）×5＝20 解：（x－14）×5÷5＝20÷5 x－14＝4 x－14＋14＝4＋14 x＝18 【奥数拓展一】用字母表示数（一）。 五一期间新平举办了“腌菜长街宴”，吸引了不少游客。长街宴就是将若干张桌子拼成长长的宴席（如下图）。如果每张桌子每边坐2人，那么摆一张桌子可以坐8人，摆2张桌子可以坐12人，摆3张桌子可以坐16人，摆6张桌子可以坐( )人，摆n张桌子可以坐( )人。 【答案】 28 4n＋4/4＋4n 【分析】通过观察图形可知，1张桌子可以坐8人，2张桌子可以坐（8＋4）人，3张桌子可以坐（8＋4＋4）人，……多一张桌子多坐4人，以此类推，n张桌子可以坐[8＋4（n－1）]人；问摆6张桌子可以坐几人，先化简8＋4（n－1），再把n＝6代入化简后的式子即可求出6张桌子可以坐的人数。 【详解】n张桌子可以坐： 8＋4（n－1） ＝8＋4n－4 ＝（4n＋4）人 当n＝6时 4×6＋4 ＝24＋4 ＝28（人） 所以6张桌子可以坐28人，n张桌子可以坐（4n＋4）人。 【专项训练】 1．如表所示，若干张相同的长方形桌子摆在一起。按此规律摆下去，4张这样的桌子可以坐( )人；那么n张这样的桌子可以坐( )人（用含有n的代数式表示）。 （1） （2） （3） … …… 【答案】 18 （4n＋2）/（2＋4n） 【分析】1张桌子可以坐6人，即4×1＋2； 2张桌子可以坐10人，即4×2＋2； 3张桌子可以坐14人，即4×3＋2； n张这样的桌子可以坐的人数为：（4n＋2），据此解答。 【详解】4张桌子可以坐的人数： 4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（人） n张这样的桌子可以坐（4n＋2）人 【点睛】本题考查数与形结合的规律，发现每多1张桌子就多坐4人是解本题的关键。 2．如图所示，已知每个三角形都有一条带三个点的边，观察规律，最后一个算式的结果为( )。 【答案】456 【分析】 可以用a、b、c分别代替、、，把算式改写成由a、b、c组成的式子，然后把已知得数的三个式子两两相加或相差，分别求出三个三角形表示的数，再代入最后一个式子中计算出结果即可。 【详解】 设为a，为b，为c。 ①a＋b＋c＝1368 ②a＋b－c＝1122 ③a－b－c＝210 ①－②，可得： （a＋b＋c）－（a＋b－c）＝1368－1122 a＋b＋c－a－b＋c＝246 2c＝246 c＝246÷2 c＝123 ①＋③，可得： （a＋b＋c）＋（a－b－c）＝1368＋210 a＋b＋c＋a－b－c＝1578 2a＝1578 a＝1578÷2 a＝789 把a＝789，c＝123代入①中，可得： 789＋b＋123＝1368 912＋b＝1368 b＝1368－912 b＝456 把a＝789，b＝456，c＝123代入第四个式子中，可得： a－b＋c＝789－456＋123＝456 即＝456。 所以，最后一个算式的结果为456。 3．白色与黑色棋子按照下图的规律一层层叠放排成等边三角形。 当某个等边三角形中白棋子比黑棋子多m颗时，这个等边三角形一共排了( )层。 【答案】2m 【分析】通过观察可以发现：排2层时，白棋子比黑棋子多1颗；排4层时，白棋子比黑棋子多2颗；排6层时，白棋子比黑棋子多3颗……当白棋子比黑棋子多1颗时，一共排了2层。也可以把每2层当作一组，每组中白棋子会比黑棋子多1颗，要想白棋子比黑棋子多m颗，就需要摆放这样的m组，每组中有2层，因此一共排了（2m）层。 【详解】按照图中的排列规律，当某个等边三角形中白棋子比黑棋子多m颗时，这个等边三角形一共排了（2m）层。 【奥数拓展二】用字母表示数（二）。 找出下面算式的规律：22－12＝2＋1；42－32＝4＋3；62－52＝6＋5； (1)请你再写个这样的算式： 。 (2)运用规律计算：502－492＋482－472＋462－452＋……＋22－12＝( )。 【答案】(1)72－62＝7＋6 (2)1275 【分析】（1）观察算式，找出规律：相邻两个数的平方差，等于这两个数的和；可以表示为（n＋1）2－n2＝n＋1＋n，据此规律再写出一个算式即可。 （2）运用规律，将算式改写成50＋49＋48＋47＋46＋45＋……＋2＋1，再计算出结果即可。 【详解】（1）72－62＝7＋6 （答案不唯一） （2）502－492＋482－472＋462－452＋……＋22－12 ＝50＋49＋48＋47＋46＋45＋……＋2＋1 ＝51×50÷2 ＝2550÷2 ＝1275 【点睛】本题考查找规律，从已知的算式中找到规律，并按规律解题。 【专项训练】 1．观察下面各式： （2＋1）2＝22＋2×2×1＋12，（3＋2）2＝32＋2×3×2＋22，… (1)请你根据其中的规律再写一道这样的算式：( )。 (2)运用这个规律计算：13892＋2×1389×611＋6112＝( )。 【答案】(1)（5＋4）2＝52＋2×5×4＋42 (2)4000000 【分析】（1）观察已知的两个式子，发现规律：等号左边是两个连续自然数和的平方，等号右边是较大自然数的平方加上这两个连续自然数的积的2倍，再加上较小自然数的平方；据此规律再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律把13892＋2×1389×611＋6112改写成（1389＋611）2，计算出结果即可。 【详解】（1）（5＋4）2＝52＋2×5×4＋42。（答案不唯一） （2）13892＋2×1389×611＋6112 ＝（1389＋611）2 ＝20002 ＝4000000 2．观察算式的结果，并运用你发现的规律解决问题。 ；；；；；；；；… (1)的最后一位数是( )。 (2)的最后一位数是( )。 【答案】(1)9 (2)7 【分析】观察可知，积的个位数依次是3、9、7、1，4个数进行循环，3、9、7、1是一个周期，确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数格周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个。 【详解】（1）10÷4＝2（组）……2（个） 的最后一位数是9。 （2）2023÷4＝505（组）……3（个） 的最后一位数是7。 3．观察算式的规律：22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，…… (1)用含有字母N的式子表示规律： ； (2)用规律进行计算：202－192＋182－172＋162－152＋……＋22－12＝ 。 【答案】(1) N2－（N－1）2＝N＋（N－1） (2)210 【分析】通过观察，两个连续自然数的平方差等于这两个自然数的和，据此解答。 【详解】（1）N2－（N－1）2＝N＋（N－1） （2）202－192＋182－172＋162－152＋……＋22－12 ＝20＋19＋18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝（20＋1）×10 ＝21×10 ＝210 【点睛】本题主要考查“式”的规律，发现两个连续自然数的平方差等于这两个自然数的和是解题的关键。 【奥数拓展三】解方程（一）。 解方程：10x－7=4.5x +20.5 解析：x=5 【专项训练】 1. 解方程：4x +8=6x－4 解析：x=6 2. 解方程：7.4x－3.9=4.8x +11.7 解析：x=6 3. 解方程：9－5x=15－10x 解析：x=1.2 【奥数拓展四】解方程（二）。 解方程：4(4x－11)=3(22－2x) 解析：x=5 【专项训练】 1. 解方程：6(3x－2)－4(4x－3)=1 解析：x=0.5 2. 解方程：9(2x－3)－2=5(2x－1) 解析：x=3 3. 解方程：4(6x－3)－3(3x+2)=30－x 解析：x=3 【奥数拓展五】解方程（三）。 解方程：x÷3=(2x－11)÷5 解析：x=33 【专项训练】 1. 解方程：2x÷3=(2x－5)÷2 解析：x=7.5 2. 解方程：(3x－0.5)÷2=2x÷3 解析：x=0.3 3. 解方程：x÷4－0.3=x÷6 解析：x=3.6 【奥数拓展六】解方程（四）。 解方程：10÷x－10÷2x=10 解析：x=0.5 【专项训练】 1. 解方程：5÷2x +0.5=1.5 解析：x=2.5 2. 解方程：10÷2x－6÷3x=1 解析：x=3 3. 解方程：36÷3x－2=36÷5x 解析：x=2.4 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 17 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 11 月 1 日 2 / 17 目 录 【课内精选一】用字母表示数（一）。 ................................................................................ 3 【课内精选二】用字母表示数（二）。 ................................................................................ 4 【课内精选三】解方程。 ........................................................................................................ 6 【奥数拓展一】用字母表示数（一）。 .............................................................................. 11 【奥数拓展二】用字母表示数（二）。 .............................................................................. 14 【奥数拓展三】解方程（一）。 .......................................................................................... 16 【奥数拓展四】解方程（二）。 .......................................................................................... 16 【奥数拓展五】解方程（三）。 .......................................................................................... 17 【奥数拓展六】解方程（四）。 .......................................................................................... 17 3 / 17 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元简易方程·思维素养篇·第一部分【从课内到奥数】 【课内精选一】用字母表示数（一）。 工程队修一条 a米长的公路，已经修了 8天，每天修 b米，还剩下( )米 没有修；当 a＝500，b＝40时，还剩下( )米没有修。 【答案】 a－8b 180 【分析】根据每天修的长度×修的天数＝已经修的长度，将数据代入，可以求出 已经修的米数，用总长度减去已经修的长度，即可用字母表示出还剩下的没有修 的米数； 当 a＝500，b＝40时，将数据代入上一问中求出的用字母表示的式子即可。 【详解】由分析可得： a－8×b＝（a－8b）米 当 a＝500，b＝40时，代入 a－8b中， a－8b ＝500－8×40 ＝500－320 ＝180（米） 【专项训练】 1．有三个相邻的自然数，如果正中间的那个数用字母 a表示，那么另外两个数 分别记作( )和( )。 【答案】 a－1 a＋1 【分析】相邻的两个自然数之间的差为 1，用 a加上 1，a减去 1即可得到这两 个数。 【详解】有三个相邻的自然数，如果正中间的那个数用字母 a表示，那么另外两 4 / 17 个数分别记作 a－1和 a＋1。 2．比 x的 5倍少 3的数用含有字母的式子表示是( )。 【答案】5x－3 【分析】由题意可知，用 x乘 5再减去 3即可求解。 【详解】x×5－3＝5x－3 比 x的 5倍少 3的数用含有字母的式子表示是 5x－3。 3．水果店有苹果 a千克，每天卖出 15千克，b天后还剩( )千克。 【答案】a－15b 【分析】根据题意分析，每天卖出 15千克，b天卖了 b×15＝15b千克，用总量 减去卖出的苹果重量就是剩下的苹果重量。据此解答。 【详解】由分析可得； a－15×b＝（a－15b）千克 即，b天后还剩（a－15b）千克。 【课内精选二】用字母表示数（二）。 在“迎接国庆、诗歌颂祖国”系列活动中，实验小学准备购买笔袋和笔记本各 x个， 作为获胜同学的奖品。已知笔袋的单价是 11.5元/个，笔记本的单价是 4.2元/本。 （1）用含有字母的式子表示购买笔袋和笔记本的总价。 （2）当 x＝60时，购买笔袋和笔记本一共花了多少钱？ 【答案】（1）15.7 x元 （2）942元 【分析】（1）根据“总价＝单价×数量”分别求出买笔袋、笔记本的钱数，再把二 者相加。 （2）把 x＝60代入含有字母式子中，计算出结果即可。 【详解】（1）11.5× x＋4.2× x ＝11.5 x＋4.2 x ＝15.7 x（元） 购买笔袋和笔记本的总价是 15.7 x元。 （2）当 x＝60时 15.7 x 5 / 17 ＝15.7×60 ＝942（元） 答：购买笔袋和笔记本一共花了 942元钱。 【点睛】本题考查用字母表示式子以及含有字母式子的求值，从题目中找到数量 关系式，按数量关系式写出含字母的式子，把未知数的值代入式子中，求出得数。 【专项训练】 1．一个文具盒的单价是 x元，李老师买了 8个，王阿姨买了 5个。 （1）用含有字母的式子表示李老师比王阿姨多用了多少元。 （2）当 x＝15时，李老师比王阿姨多用了多少元？ 【答案】（1）3 x元 （2）45元 【分析】（1）根据“单价×数量＝总价”，先分别求出李老师和王阿姨买文具盒的 花费，再相减，即是李老师比王阿姨多用的钱数。 （2）把 x＝15代入式子中，计算出结果即可。 【详解】（1）8 x－5 x＝3 x（元） 答：李老师比王阿姨多用了 3 x元。 （2））当 x＝15时，3 x＝3×15＝45（元） 答：当 x＝15时，李老师比王阿姨多用了 45元。 【点睛】本题考查用字母表示式子以及含有字母式子的求值，从题目中找到数量 关系式，按数量关系式写出含字母的式子，把未知数的值代入式子中，求出得数。 2．学校演播厅楼下有 a排座位，每排有 20个位置；楼上有 b个位置。 （1）用含有字母的式子表示演播厅的座位数。 （2）当 a＝15，b＝110时，演播厅共有多少个座位？ 【答案】（1）（20a＋b）个； （2）410个 【分析】（1）用每排有座位的个数乘排数，求出楼下共有座位的个数，再加上 楼上有座位的个数即可。 （2）当 a＝15，b＝110时，把数据代入式子计算即可解题。 【详解】（1）a×20＋b＝（20a＋b）个 6 / 17 答：用含有字母的式子表示演播厅的座位数是：（20a＋b）个。 （2）当 a＝15，b＝110时，可得： 20×15＋110 ＝300＋110 ＝410（个） 答：当 a＝15，b＝110时，演播厅共有 410个座位。 【点睛】熟练掌握用字母表示数的意义及化简、求值的方法，是解答此题的关键。 3．爸爸带了 100元去买菜，买了 3千克肉，每千克 y元。 （1）用式子表示爸爸还剩多少元。 （2）当 y＝25.6时，求爸爸还剩多少元？ 【答案】（1）（100－3y）元； （2）23.2元 【分析】（1）根据单价×质量＝总价，已知买了 3千克肉，每千克 y元，代入表 示出买肉花了多少元，再用买菜的总钱数 100元减去买肉花的钱，即可表示还剩 多少元。 （2）当 y的数值确定时，把它代入含有字母的式子中进行计算，所得的结果就 是含有字母的式子的值。 【详解】（1）100－3×y ＝（100－3y）元 答：爸爸还剩（100－3y）元。 （2）当 y＝25.6时， 100－3×25.6 ＝100－76.8 ＝23.2（元） 答：爸爸还剩 23.2元。 【点睛】此题主要考查用字母表示数以及含有字母式子的求值，求值时，要先看 字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【课内精选三】解方程。 解方程。 7 / 17 13x－7.5x＝22 x÷2.05＝20 2（x＋6.8）＝32.6 【答案】x＝4；x＝41；x＝9.5 【分析】方程左边先化简为 5.5x，然后两边同时除以 5.5即可求解； 方程两边同时乘 2.05即可求解； 方程两边先同时除以 2，再同时减去 6.8即可求解。 【详解】13x－7.5x＝22 解：5.5x＝22 5.5x÷5.5＝22÷5.5 x＝4 x÷2.05＝20 解：x÷2.05×2.05＝20×2.05 x＝41 2（x＋6.8）＝32.6 解：2（x＋6.8）÷2＝32.6÷2 x＋6.8＝16.3 x＋6.8－6.8＝16.3－6.8 x＝9.5 【专项训练】 1．解方程。 x＋68＝92.5 1.5x－x＝2.5 6（x＋1.5）＝13.2 45.6÷x＝4.8 【答案】x＝24.5；x＝5； x＝0.7；x＝9.5 【分析】x＋68＝92.5，根据等式的性质 1，将方程左右两边同时减去 68即可； 1.5x－x＝2.5，先将左边合并为 0.5x，然后根据等式的性质 2，将方程左右两边 同时除以 0.5即可； 6（x＋1.5）＝13.2，根据等式的性质 1和 2，将方程左右两边同时除以 6，再同 时减去 1.5即可； 45.6÷x＝4.8，根据除法各部分的关系，将算式变为 x＝45.6÷4.8，然后计算出右 8 / 17 边的结果即可。 【详解】x＋68＝92.5 解：x＋68－68＝92.5－68 x＝24.5 1.5x－x＝2.5 解：0.5x＝2.5 0.5x÷0.5＝2.5÷0.5 x＝5 6（x＋1.5）＝13.2 解：6（x＋1.5）÷6＝13.2÷6 x＋1.5＝2.2 x＋1.5－1.5＝2.2－1.5 x＝0.7 45.6÷x＝4.8 解： x＝45.6÷4.8 x＝9.5 2．解方程。 x－54.3＝100 x×9＝4.5 12x－9x＝8.7 x÷6＝4.5 【答案】154.3；0.5；2.9；27 【分析】（1）利用等式的性质 1，在等式的左右两边同时加上 54.3即可； （2）利用等式的性质 2，在等式的左右两边同时除以 9即可； （3）先将等式的左边化简为 3x，再利用等式的性质 2，在等式的左右两边同时 除以 3即可； （4）利用等式的性质 2，在等式的左右两边同时乘 6即可。 【详解】x－54.3＝100 解：x－54.3＋54.3＝100＋54.3 x＝154.3 x×9＝4.5 9 / 17 解：x×9÷9＝4.5÷9 x＝0.5 12x－9x＝8.7 解：3x＝8.7 3x÷3＝8.7÷3 x＝2.9 x÷6＝4.5 解：x÷6×6＝4.5×6 x＝27 3．解方程。 99－x＝61.9 x－6×5＝42 2x－3.7＝24.8 （x－14）×5＝20 【答案】x＝37.1；x＝72； x＝14.25；x＝18 【分析】根据减数＝被减数－差，求解即可； 先将方程化简为 x－30＝42，方程两边同时加上 30即可求解； 方程两边先同时加上 3.7，再同时除以 2即可求解； 方程两边先同时除以 5，再同时加上 14即可求解。 【详解】99－x＝61.9 解：x＝99－61.9 x＝37.1 x－6×5＝42 解：x－30＝42 x－30＋30＝42＋30 x＝72 2x－3.7＝24.8 解：2x－3.7＋3.7＝24.8＋3.7 2x＝28.5 2x÷2＝28.5÷2 10 / 17 x＝14.25 （x－14）×5＝20 解：（x－14）×5÷5＝20÷5 x－14＝4 x－14＋14＝4＋14 x＝18 11 / 17 【奥数拓展一】用字母表示数（一）。 五一期间新平举办了“腌菜长街宴”，吸引了不少游客。长街宴就是将若干张桌子 拼成长长的宴席（如下图）。如果每张桌子每边坐 2人，那么摆一张桌子可以坐 8人，摆 2张桌子可以坐 12人，摆 3张桌子可以坐 16人，摆 6张桌子可以坐 ( )人，摆 n张桌子可以坐( )人。 【答案】 28 4n＋4/4＋4n 【分析】通过观察图形可知，1张桌子可以坐 8人，2张桌子可以坐（8＋4）人， 3张桌子可以坐（8＋4＋4）人，……多一张桌子多坐 4人，以此类推，n张桌子 可以坐[8＋4（n－1）]人；问摆 6张桌子可以坐几人，先化简 8＋4（n－1），再 把 n＝6代入化简后的式子即可求出 6张桌子可以坐的人数。 【详解】n张桌子可以坐： 8＋4（n－1） ＝8＋4n－4 ＝（4n＋4）人 当 n＝6时 4×6＋4 ＝24＋4 ＝28（人） 所以 6张桌子可以坐 28人，n张桌子可以坐（4n＋4）人。 【专项训练】 1．如表所示，若干张相同的长方形桌子摆在一起。按此规律摆下去，4张这样 的桌子可以坐( )人；那么 n张这样的桌子可以坐( )人（用含有 n 的代数式表示）。 12 / 17 （1） （2） （3） … …… 【答案】 18 （4n＋2）/（2＋4n） 【分析】1张桌子可以坐 6人，即 4×1＋2； 2张桌子可以坐 10人，即 4×2＋2； 3张桌子可以坐 14人，即 4×3＋2； n张这样的桌子可以坐的人数为：（4n＋2），据此解答。 【详解】4张桌子可以坐的人数： 4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（人） n张这样的桌子可以坐（4n＋2）人 【点睛】本题考查数与形结合的规律，发现每多 1张桌子就多坐 4人是解本题的 关键。 2．如图所示，已知每个三角形都有一条带三个点的边，观察规律，最后一个算 式的结果为( )。 【答案】456 【分析】 可以用 a、b、c分别代替 、 、 ，把算式改写成由 a、b、c 组成的式子， 然后把已知得数的三个式子两两相加或相差，分别求出三个三角形表示的数，再 代入最后一个式子中计算出结果即可。 【详解】 设 为 a， 为 b， 为 c。 ①a＋b＋c＝1368 ②a＋b－c＝1122 13 / 17 ③a－b－c＝210 ①－②，可得： （a＋b＋c）－（a＋b－c）＝1368－1122 a＋b＋c－a－b＋c＝246 2c＝246 c＝246÷2 c＝123 ①＋③，可得： （a＋b＋c）＋（a－b－c）＝1368＋210 a＋b＋c＋a－b－c＝1578 2a＝1578 a＝1578÷2 a＝789 把 a＝789，c＝123代入①中，可得： 789＋b＋123＝1368 912＋b＝1368 b＝1368－912 b＝456 把 a＝789，b＝456，c＝123代入第四个式子中，可得： a－b＋c＝789－456＋123＝456 即 ＝456。 所以，最后一个算式的结果为 456。 3．白色与黑色棋子按照下图的规律一层层叠放排成等边三角形。 当某个等边三角形中白棋子比黑棋子多 m颗时，这个等边三角形一共排了 ( )层。 【答案】2m 【分析】通过观察可以发现：排 2层时，白棋子比黑棋子多 1颗；排 4层时，白 14 / 17 棋子比黑棋子多 2颗；排 6层时，白棋子比黑棋子多 3颗……当白棋子比黑棋子 多 1颗时，一共排了 2层。也可以把每 2层当作一组，每组中白棋子会比黑棋子 多 1颗，要想白棋子比黑棋子多 m颗，就需要摆放这样的 m组，每组中有 2层， 因此一共排了（2m）层。 【详解】按照图中的排列规律，当某个等边三角形中白棋子比黑棋子多 m颗时， 这个等边三角形一共排了（2m）层。 【奥数拓展二】用字母表示数（二）。 找出下面算式的规律：22－12＝2＋1；42－32＝4＋3；62－52＝6＋5； (1)请你再写个这样的算式： 。 (2)运用规律计算：502－492＋482－472＋462－452＋……＋22－12＝( )。 【答案】(1)72－62＝7＋6 (2)1275 【分析】（1）观察算式，找出规律：相邻两个数的平方差，等于这两个数的和； 可以表示为（n＋1）2－n2＝n＋1＋n，据此规律再写出一个算式即可。 （2）运用规律，将算式改写成 50＋49＋48＋47＋46＋45＋……＋2＋1，再计算 出结果即可。 【详解】（1）72－62＝7＋6 （答案不唯一） （2）502－492＋482－472＋462－452＋……＋22－12 ＝50＋49＋48＋47＋46＋45＋……＋2＋1 ＝51×50÷2 ＝2550÷2 ＝1275 【点睛】本题考查找规律，从已知的算式中找到规律，并按规律解题。 【专项训练】 1．观察下面各式： （2＋1）2＝22＋2×2×1＋12，（3＋2）2＝32＋2×3×2＋22，… (1)请你根据其中的规律再写一道这样的算式：( )。 (2)运用这个规律计算：13892＋2×1389×611＋6112＝( )。 15 / 17 【答案】(1)（5＋4）2＝52＋2×5×4＋42 (2)4000000 【分析】（1）观察已知的两个式子，发现规律：等号左边是两个连续自然数和 的平方，等号右边是较大自然数的平方加上这两个连续自然数的积的 2倍，再加 上较小自然数的平方；据此规律再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律把 13892＋2×1389×611＋6112改写成（1389＋611）2，计算出 结果即可。 【详解】（1）（5＋4）2＝52＋2×5×4＋42。（答案不唯一） （2）13892＋2×1389×611＋6112 ＝（1389＋611）2 ＝20002 ＝4000000 2．观察算式的结果，并运用你发现的规律解决问题。 13 3 ； 23 3 3 9   ；33 3 3 3 27    ； 4 3 3 3 813 3     ；53 3 3 3 3 3 243      ； 63 729 ； 73 2187 ； 83 6561 ； 93 19683 … (1) 103 的最后一位数是( )。 (2) 20233 的最后一位数是( )。 【答案】(1)9 (2)7 【分析】观察可知，积的个位数依次是 3、9、7、1，4个数进行循环，3、9、7、 1是一个周期，确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为 周期的最后一个；如果比整数格周期多 n个，也就是余数是 n，那么结果为下一 个周期里的第 n个。 【详解】（1）10÷4＝2（组）……2（个） 103 的最后一位数是 9。 （2）2023÷4＝505（组）……3（个） 20233 的最后一位数是 7。 3．观察算式的规律：22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋ 4，…… 16 / 17 (1)用含有字母 N的式子表示规律： ； (2)用规律进行计算：202－192＋182－172＋162－152＋……＋22－12＝ 。 【答案】(1) N2－（N－1）2＝N＋（N－1） (2)210 【分析】通过观察，两个连续自然数的平方差等于这两个自然数的和，据此解答。 【详解】（1）N2－（N－1）2＝N＋（N－1） （2）202－192＋182－172＋162－152＋……＋22－12 ＝20＋19＋18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2 ＋1 ＝（20＋1）×10 ＝21×10 ＝210 【点睛】本题主要考查“式”的规律，发现两个连续自然数的平方差等于这两个自 然数的和是解题的关键。 【奥数拓展三】解方程（一）。 解方程：10x－7=4.5x +20.5 解析：x=5 【专项训练】 1. 解方程：4x +8=6x－4 解析：x=6 2. 解方程：7.4x－3.9=4.8x +11.7 解析：x=6 3. 解方程：9－5x=15－10x 解析：x=1.2 【奥数拓展四】解方程（二）。 解方程：4(4x－11)=3(22－2x) 解析：x=5 【专项训练】 17 / 17 1. 解方程：6(3x－2)－4(4x－3)=1 解析：x=0.5 2. 解方程：9(2x－3)－2=5(2x－1) 解析：x=3 3. 解方程：4(6x－3)－3(3x+2)=30－x 解析：x=3 【奥数拓展五】解方程（三）。 解方程：x÷3=(2x－11)÷5 解析：x=33 【专项训练】 1. 解方程：2x÷3=(2x－5)÷2 解析：x=7.5 2. 解方程：(3x－0.5)÷2=2x÷3 解析：x=0.3 3. 解方程：x÷4－0.3=x÷6 解析：x=3.6 【奥数拓展六】解方程（四）。 解方程：10÷x－10÷2x=10 解析：x=0.5 【专项训练】 1. 解方程：5÷2x +0.5=1.5 解析：x=2.5 2. 解方程：10÷2x－6÷3x=1 解析：x=3 3. 解方程：36÷3x－2=36÷5x 解析：x=2.4