5.4.1正弦函数、余弦函数的图像教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 5.4.1正弦函数、余弦函数的图像 教学目标 1. 经历绘制正弦函数图象的过程，掌握描点法，掌握绘制正弦函数图象的“五点法” 2. 经历绘制余弦函数图象的过程，理解其中运用的图象变换的思想 教学重难点 教学重点： 正弦、余弦函数的图像；研究函数图像与性质的一般思路和方法 教学难点： 掌握准确绘制函数图像一个点的方法，并由此绘制出正弦函数的图像 教学过程 (一)规划研究方案，形成研究思路 问题1:三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题?怎样研究? 追问:(1)研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的? 研究的线路图:函数的定义——函数的图象——函数的性质 (2)绘制一个新函数图象的基本方法是什么? 描点法 (3) 根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗?选择哪一个区间即可? 对于三角函数，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性已经用公式一表示，据此，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程，比如可以先画函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象，再画正弦函数y=sinx，x∈R的图象. 设计意图:规划研究方案，构建本单元的研究路径，以便从整体上掌握整个单元的学习进程，形成整体观念 (二)正弦函数的图象 问题2:绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点。对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值，如何借助单位圆确定正弦函数值，并画出点? 追问:(1)根据正弦函数的定义思考，一个点的横坐标x。在单位圆上表示哪个几何量? 的几何意义又是什么? 预设答案：在平面直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，单位圆与x轴正半轴的交点为A(1，0)，在单位圆上，将点A绕着点O旋转孤度至点B，根据度制的定义，x既是∠AOB的大小，也是孤AB的长度;根据正孩函数的定义，点B的纵坐标 师生活动:教师引导学生，根据定义分析确定对应的几何量,对应的几何量。 (2):根据上述分析，如何具体地作出点? 预设答案：以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点 师生活动:教师和学生讨论后，共同通过提前准备的工具尝试绘制这个点 具体的操作:方法1:“手工细线缠绕”法 方法2:利用信息技术 设计意图:教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定义的理解，通过分析点的坐标的几何意义，准确描点 问题3:我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，类比指数函数、对数函数图象的画法，接下来，如何画出函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象?你能想到什么办法？ 师生活动:学生给出设想，师生讨论后选择一种或者多种适合的方法实施 预设的答案: 方案1:在区间[0，2π]内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接. 方案2:为方便操作，可以在区间[0，2π]内取等分点，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接 追问:这两种绘制方法的异同是什么?(两种方法本质相同，在信息技术条件支持下都容易实现，在手工操作的条件下，用方案2比较可行.) 师生活动:学生用方案2绘制函数图象.教师借助信息技术，用方案1绘制函数图象 设计意图:确定画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施，同时体会信息技术给数学研究带来的便捷 问题4:根据函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象，你能想象正弦函数y=sinx，x∈R的图象吗?依据是什么?画出该函数的图象。 师生活动:学生画图，教师予以指导。 预设的答案:根据公式一，可知函数y=sinx，x∈[2kπ，2(k+1)π]，k∈Z且k≠0的图象与y=sinx，，x∈[0，2π]的图象形状完全一致。因此将函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象。如图2所示 教师指出，正弦函数的图象叫做正弦曲线( sine curve)，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。 设计意图:绘制函数y=sinx，x∈R的图象，并培养说理的习惯 问题5:如何画出函数y=sinx，x∈[0，2π]图象的简图？ 追问：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？ 师生活动:教师提出问题，引导学生观察图2，并说出他们的想法。 预设的答案:观察图2，在函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象上，五个点(0，0），（，0），（π，0），，-1），（2π，0）在确定图象形状时起关健作用.因此只要描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，称为“五点法” 设计意图:观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便画法 (三)余弦函数的图象 问题6：如何画出余弦函数y=cosx的图象? 师生活动:学生可能会类比正弦函数图象的画法，提出用类似的方法画余弦函数的图象.对此教师应予以肯定，并进一步提出追问的问题 追问(1):由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数.诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化.相应地，能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象? 师生活动:学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系研究的依据.教师引导学生通过比较进行选择.从数的角度看，可以选择关系.记f(x)=sinx，则).因此函数y=cosx的图象，可以看作将函数y=sinx的图象上的点向左平移 个单位得到. 追问(2):你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗? 师生活动:这是教学的难点，教师要首先进行示范.教师可以先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析.得到图象之后还可以再利用图象进行验证. 预设的答案:设是函数y=cosx图象上任意一点，则有 令,即在函数y=sinx图象上有对应点. 比较两个点:与.因为=.所以点可以看做是点向左平移个单位可得到函数y=cosx的图象，如图3所示: 教师指出，余弦函数y=csx，x∈R的图象叫做余弦曲线( cosine curve).它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”曲线. 设计意图:利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象;增强对两个函数图象之间的联系性的认识 问题7:类似于用“五点法”作正弦函数图象，如何作出余弦函数的简图? 追问:余弦函数在区间上相应的五个关键点是哪些?请将它们的坐标填入下表,然后作出y=cosx，x∈的简图 x cosx 设计意图:观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法” (四)学以致用 先用“五点法”画出下列函数的图象，然后再说明如何经过图象变换得到下列面数的图象: (1) y=1+sinx，x∈[0，2π] ; (2)y=-cosx，x∈[0，2π] 师生活动:学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答. 设计意图:巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法”画图，掌握画图的基本技能.通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫. （五）总结拓展 你能利用函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象，通过图象变换得到y=1+sinx，x∈[0，2π]的图象吗?同样地，利用函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y=-cosx，x∈[0，2π]的图象? 教师活动：布置课后探究问题，引导学生根据已有的知识经验设计探究活动 学生活动：思考如何进行问题的探究，能否借用已有的知识。 设计意图：通过课前（导学案）和课后（探究问题）两方面的作业，使学生养成先思考，后听讲，再反思的习惯.使学生在完成基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实际的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦。 本节课你学到了什么？ √一个思路：定义——图像——性质 √两个图像：y=sinx与y=cosx √三类素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理 √四种方法：等分法、五点法、图像变换、代数说理 教师活动：引导学生从以上四个方面总结本节课的内容 学生活动：思考通过这节课自己获得了哪些知识与哪些技能 设计意图：通过比较条例的总结，让学生清楚认识到自己的收获，并且明白自己的不足之处，课后继续完善。 (六）目标检测设计 教科书第200页练习第2题 设计意图:考查学生对正弦函数、余弦函数图象的基本特征的掌握程度，是否会利用“五点 学科网（北京）股份有限公司 $$