广西平果市铝城中学2024-2025学年高三上学期10月份月考数学测试卷

2024年高三上学期10月份月考测试卷 姓名：___________ 班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线上的一点到焦点的距离为4，则点的纵坐标为（    ） A．4 B．2 C． D．0 2．在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（    ）（参考数据：，） A．5 B．10 C．15 D．20 3．已知复数满足在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间是（    ） A． B．（1，2） C．（0，1） D． 5．小明买了4个大小相同颜色不同的冰墩墩（北京冬奥会吉祥物）随机放入3个不同袋子中，则每个袋子至少放入一个冰墩墩的概率是（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，是双曲线的右支上的一点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．如图，正四棱台中，点分别是棱的中点，则下列判断中，不正确的是（    ） A．共面 B．平面 C．平面 D．平面 8．已知，分别为双曲线：的上，下焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分。 9．已知随机变量满足：，则（    ） A． B． C． D． 10．已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（    ） A．2，n，10成等差数列 B．各项系数之和为64 C．展开式中二项式系数最大的项是第3项 D．展开式中第5项为常数项 11．如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（     ） A．CQ在平面PAB外 B．与平面所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．“”是“”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为 ． 13．若四棱锥的各顶点都在同一个球O的表面上，底面ABCD，，，，，则球O的体积为 ． 14．如图，在梯形中，，；，，是的中点，则 ． 四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）的内角的对边分别为，已知 （1）求; （2）若，求的周长 16．（15分）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前项和 17．（15分）吸烟有害健康，现统计4名吸烟者的吸烟量x与损伤度y，数据如下表： 吸烟量x 1 4 5 6 损伤度y 3 8 6 7 (1)从这4名吸烟者中任取2名，其中有1名吸烟者的损伤度为8，求另1吸烟者的吸烟量为6的概率； (2)在实际应用中，通常用各散点到直线的距离的平方和来刻画“整体接近程度”.S越小，表示拟合效果越好.试根据统计数据，求出经验回归直线方程.并根据所求经验回归直线估计损伤度为10时的吸烟量． 附：，. 18．（17分）如图，在三棱锥中，是外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，、分别是棱、的中点． (1)求证：平面； (2)若二面角为，，求与平面所成角的正弦值． 19．（17分）已知函数，，其中，（）. （1）若函数有极值，求的值； （2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围； （3）证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高三上学期10月份月考测试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C D D C B BCD ABD 题号 11 答案 ABD 1．C【详解】抛物线的准线方程为，设，依题意得，即， 所以，.所以点的纵坐标为.故选：C 2．B【详解】由题意知，，令，得，取以10为底的对数得，所以．故选：B. 3．C【详解】因为，可知复数在复平面内对应的点为到点的距离为3，则，即.故选：C. 4．C【详解】解：令，则， ，则，所以函数的定义域为， 而，以为对称轴，所以函数在单调递增，在单调递减，而函数为增函数，根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是，故选：C. 5．D【详解】小明将4个大小相同颜色不同的冰墩墩随机放入3个不同袋子中，有种不同的放法， 若每个袋子至少放入一个冰墩墩，则分2步进行分析： ①将4个冰墩墩分为3组，有种分组方法，②将分好的3组放入3个不同的袋子中，有种情况，则有种方法，所以所求的概率为.故选：D 6．D【详解】因为是等边三角形，且边长为， 所以中点的横坐标为，边上的高为，所以， 代入双曲线可得，因为，由，可得， 解得：或（舍），可得，故选：D. 7．C【详解】延长正四棱台的侧棱相交于， 则三棱锥为正四棱锥， 连接，都在平面内，故A正确； 因为分别是棱的中点， 所以，由正棱锥的性质可知， 所以，即平面，故B正确； 因为点分别是棱的中点， 所以，， 设，则平面，平面， ∴，平面，平面， ∴平面，显然平面与平面不平行，故C错误； 因为，平面，平面， 所以平面，故D正确.故选：C. 8．B【详解】因为，为的中点， 所以，，所以，又， ，所以，所以. 故选：B. 9．BCD【详解】对A，因为，所以， 解得，故A错误；对B，由上知，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确． 故选：BCD． 10．ABD 【详解】由的二项式系数之和为，得，得2，6，10成等差数列，A正确；令，，则的各项系数之和为64，B正确； 的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确； 的展开式中的第5项为为常数项，D正确. 故选:ABD 11．ABD 【详解】解：取的中点，的中点，连接， 因为三角形为等边三角形，所以,因为平面平面，所以平面 ，因为，所以两两垂直， 所以，如下图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴 ，轴， 建立空间直角坐标系，则， ， 因为点是的中点，所以， 设平面平面，因为，则平面，则，面CQ平面，且CQ，则CQ在平面PAB外，所以A正确； ， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 设与平面所成角为，则， 所以，所以B正确；三棱锥的体积为 ， 所以C不正确；设四棱锥外接球的球心为，则， 所以， 解得，即为矩形对角线的交点， 所以四棱锥外接球的半径为3， 设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线， 故正方体的棱长为，所以，得， 所以正四面体的表面积为，所以D正确. 故选：ABD 12． 【详解】由题意得是的真子集，故．故答案为： 13． 【详解】设球心O到平面ABCD的距离为h，AD，BC的中点分别为F，E， 由已知条件得，四边形ABCD所在的截面圆的圆心G必在线段EF的延长线上，平面，，因为，所以， 所以，解得，， 因为，所以，因为，所以， 所以球O的半径为，所以球O的体积为．故答案为：． 14． 【详解】在梯形中，依题意，，而是的中点， 则，，又，， 所以 .故答案为： 15． 【详解】（1）因为 ， 所以， 所以 所以 由正弦定理得 整理得因为在中，所以，则 所以 （2）由余弦定理得，即， 因为，所以， 所以，解得.所以的周长是 16． 【详解】（1）当时，，解得：； 当时，，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列，. （2）由（1）得：，， . 17． 【详解】（1）这4名吸烟者中，损伤度为8的吸烟者的吸烟量为4， 从4名吸烟者中任取2名，全部基本事件有， 其中有1名吸烟者的吸烟量为4的共有3种情形， 记事件A：有1名吸烟者的吸烟量为4，事件B：有1名吸烟者的吸烟量为6， 则，所以另1吸烟者的吸烟量为6的概率为. （2），， ，， 因此，， 所以经验回归直线方程为，当时，， 所以损伤度为10时，估计吸烟量为. 18． 【详解】（1）因为是圆的直径，所以， 因为垂直于圆所在的平面，平面，所以， 又因为，平面，平面PAC， 所以平面，因为分别是棱的中点， 所以，从而有平面； （2）由（1）可知，平面，平面， 所以,平面，平面,所以为二面角的平面角， 从而有，则， 又，得， 以C为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，， ,，，，， 所以，，, 设是平面的一个法向量，则，即，可取， 设AE与平面ACD所成角为故， 所以AE与平面ACD所成角的正弦值为. 19． 解：（1）解：∵， ∴ ①若，则对任意的都有，即函数在上单调递减 函数在上无极值 ②若，由得 当时，当时， 即函数在单调递减，在单调递增 ∴函数在处有极小值 ∴ ∴ （2）解法1：∵函数=在区间上为减函数且当时， ∴在上恒成立在上恒成立 设，则 当时，， 所以在上恒成立，即函数在上单调递减 ∴当时， ∴ 解法2：∵函数=在区间上为减函数 ∴对，（）恒成立 ∵ ∴ 当时，（）式显然成立 当时，（）式在上恒成立 设，易知在上单调递增 ∴ ∴ 综上得 （3）证法1：由（2）知，当时， ∵对任意的有 ∴ ∴ ∴ 即 [证法2：先证明当时， 令,则对任意的恒成立 ∴函数在区间上单调递减 ∴当时， ∵对任意的， 而 ∴ 1 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$