2024-2025学年人教版九年级数学上册点拨训练第25章第05讲 用频率估计概率

2024-2025人教版九年级数学上 点拨*训练 第25章 第05讲 用频率估计概率 学习目标 1 知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率． 2 经历抛掷硬币试验，对数据进行收集、整理、描述与分析，体验频率的随机性与规律性，了解用频率估计概率的合理性和必要性，培养随机观念． 老师告诉你 频率与概率的关系 1. 概率是随机事件发生的可能性大小的数量反映。 2. 概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，所以可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计事件发生的概率，二者不能等同。 注意：用频率估计概率时 （1） 试验要在相同条件下进行；（2）重复试验的次数要足够多。 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1： 用频率估计概率 1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率． 2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率． 3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率． 在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同． 4.频率稳定性定理： 人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,亦称大数定律. 【新知导学】 例1．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果,根据表中数据回答下列问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 124 153 252 估计这位同学投篮一次,投中的概率约是(精确到)( ) A. B. C. D. 【对应导练】 1．为考查一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示： 移植总数n 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数m 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是____________(结果精确到0.1). 2．对一批口罩进行抽检,统计合格口罩的只数,得到合格口罩的频率如下： 抽取只数(只) 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000 合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84 估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为_____. 4．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘,如下图所示,同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会,下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：______,______； (2)若继续不停转动转盘,当n很大时,落在“谢谢参与”区域的频率将会接近______,假如你去转动该转盘一次,你转到“谢谢参与”的概率约是______；(结果都精确到0.1) (3)顾客转动转盘一次,得到奖品“盲盒”的概率记为,得到奖品“贴纸”的概率记为,得到“谢谢参与”的概率记为,则、、的大小关系是______.(用“＞”连接) 知识点2： 频率与概率的关系 联系：频率是事件发生的频繁程度；概率是事件发生的可能性大小。在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值。 区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同，而概率是一个确定数，是客观 存在的，与每次试验无关。 【新知导学】 例2．一个口袋中有6个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，如果共摸了200次，其中有60次摸到黑球，那么请你估计口袋中大约有________个白球. 【对应导练】 1．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是( ) A.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D.从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花 2．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个,它们除颜色不同外,其余都相同,王颖做摸球实验,她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中搅匀,经过大量重复上述摸球的过程,发现摸到白球的频率定于0.25. (1)请估计摸到白球的概率将会接近________； (2)计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)如果要使摸到白球的概率为,需要往盒子里再放入多少个白球？ 3．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外都相同.小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 50 100 200 500 1000 摸到白球的次数m 4 10 28 45 127 251 摸到白球的频率 （1）摸到白球的概率的估计值是___________（精确到）； （2）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是___________（填序号）. ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上. ②掷一个质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“不小于2”. ③甲、乙、丙、丁四名志愿者用抽签的方式决定一名志愿者参加社区消防安全知识宣传活动，正好抽到丙. （3）若盒子中原来共有12只球，现在再放入若干个白球，再经过很多次实验发现摸到白球频率逐渐稳定在.求再放入白球的数量. 二、题型训练 1.利用频率估算概率 1．一粒木质中国象棋子“兵”,它的正面雕刻一个“兵”字,它的反面是平的.将它从一定高度下掷,落地反弹后可能是“兵”字面朝上,也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀,为了估计“兵”字面朝上的概率,某实验小组做了棋子下掷试验,试验数据如下表： 试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “兵”字面朝上频数 14 18 38 47 52 66 88 相应频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.55 0.55 0.55 (1)画出“兵”字面朝上的频率分布折线图； (2)如果试验继续进行下去,根据上表的数据,这个试验的频率将稳定在它的概率附近,请你估计这个概率是多少？(保留两位小数) 2．有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域. （1）某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如下表： 实验次数n（次） 10 100 2000 5000 10000 50000 100000 白色区域次数m（次） 3 34 680 1600 3405 16500 33000 落在白色区域频率 0.3 0.34 0.34 0.32 0.34 0.33 0.33 请你利用上述实验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为___________.(精确到0.01)； （2）若该圆形转盘白色扇形的圆心角为120度，黑色扇形的圆心角为240°，转动转盘两次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率. 2.利用模拟试验估算概率 3．某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的试验结果如表所示： 试验的种子粒数（n） 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的种子粒数（m） 471 946 1425 1898 2853 3812 发芽频率 x (1)求表中x的值； (2)任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率（精确到）； (3)若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组至少需要准备多少粒种子进行发芽培育. 4．在边长为4的正方形平面内，建立如图（1）所示的平面直角坐标系.学习小组做如下试验： 连续转动转盘（转盘被平均分成6个全等的扇形，如图（2））两次，转盘停止转动时，指针所指的数字作为平面直角坐标系中P点的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标）. （1）共能得到___________个不同的P点，P点落在正方形边上的概率是___________. （2）求P点落在正方形外部的概率. 3.频率、概率和统计图的综合应用 5．某校为了了解甲、乙两名同学数学成绩，随机抽取了相同测试条件下的五次模拟成绩，并对成绩(单位：分)进行了整理分析绘制了尚不完整的统计表和统计图甲、乙两人模拟成绩统计表： ① ② ③ ④ ⑤ 平均分 甲成绩/分 79 86 82 85 a 83 乙成绩/分 b 79 90 81 72 82 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）请补充图中表示甲、乙成绩变化情况的折线； （3）如果分别从甲、乙两人3次最低成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，请用树状图法或列表法求抽到的两个人的成绩都高于80分的概率. 6．中考前的模拟考试对于学生来说具有重大的指导意义,现抽取名学生的数学一模成绩进行整理分组,形成如下表格(代表成绩,规定为优秀),并绘制出扇形统计图和频数分布直方图(横坐标表示成绩,单位:分). 组 组 组 组 组 （1）. 的值为 ;扇形统计图中组对应的圆心角是                     . （2）若要从成绩优秀的学生甲、乙、丙、丁中,随机选出2人介绍经验,求甲、乙两人中至少有1人被选中的概率(通过画树状图或列表法进行分析). 三、课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是( ) A.0.90 B.0.82 C.0.85 D.0.84 3．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球数，小刚向其中放入8个黑球摇匀后，从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球100次，其中20次摸到黑球，你估计盒中大约有白球( ) A.20个 B.28个 C.36个 D.32个 4．某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是( ) 射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数m 8 17 40 79 158 390 780 击中靶心的频率 A. B. C. D. 5．某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的实验可能是( ) A.抛一枚均匀硬币，出现正面朝上 B.掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上 C.从一个装有3个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 D.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 6．如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为( ) A. B. C. D. 7．随机抽检一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表.下列说法错误的是( ) 抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000 合格频数 a 141 190 475 764 950 合格频率 0.90 0.94 b 0.95 0.955 0.95 A.抽取100件的合格频数是90 B.抽取200件的合格频率是0.95 C.任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90 D.出售2000件毛衫，次品大约有100件 8．在多次重复抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“正面向上”发生的频率为f，每次试验该事件的概率为P.下列说法错误的是( ) A.P的值为0.5 B.随着试验次数的增加，f的值可能发生变化 C.当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 D.试验次数越多，f的值越大 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．某鱼塘养了200条鲤鱼、150条鲢鱼和若干条草鱼,通过多次捕捞试验后发现,捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右.若随机在鱼塘中捕捞一条鱼,则捞到鲤鱼的概率为______. 10．一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后每次随机从袋中摸出一个球,记下颜色后放回袋中.通过大量重复摸球试验后发现,摸到白球的频率是,则袋中约有红球___个. 11．在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个,除颜色外,形状、大小、质地等完全相同,小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在和,则箱子里蓝色球的个数很可能是______个. 12．对一批口罩进行抽检,统计合格口罩的只数,得到合格口罩的频率如下： 抽取只数(只) 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000 合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84 估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为_____. 13．某公司购进了一批草莓,并对这批草莓进行了“损坏率”统计,如下表是通过随机取样后,得到的草莓“损坏率”统计表的一部分,由已知数据和图表估计草莓完好的概率为______.(精确到0.1) 草莓总质量 损坏草莓质量 草莓损坏的频率 (精确到0.001) … … 200 19.8 0.099 300 32.7 0.109 400 40.00 0.100 500 50.62 0.101 三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分） 14．某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）.规定： 顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 （1）计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； （2）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 15．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外都相同从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到白球的概率估计值为______(精确到0.1)； (2)若袋子中白球有4个， ①求袋中黑色球的个数； ②若将m个相同的白球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当大量重复试验后，摸出白球的概率估计值是______用含m的式子表示 16．某公司对一批某一品牌的衬衣的质量抽检结果如下表： 抽查件数 50 100 200 300 400 500 次品件数 0 4 16 19 24 30 （1）从这批衬衣中任抽件是次品的概率约为多少？ （2）如果销售这批衬衣件，那么至少需要准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客调换？ 17．一个不透明的箱子里装有1个白色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于左右. (1)请你估计箱子里红色小球的个数； (2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率(用画树状图或列表的方法). 18．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20个，某学习小组做摸球实验.将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______(精确到0.1). (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______. (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个. 19．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606 摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b （1）按表格数据格式，表中的______；______； （2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； （3）请推算：摸到红球的概率是_______（精确到0.1）； （4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版九年级数学上 点拨*训练 第25章 第05讲 用频率估计概率 学习目标 1 知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率． 2 经历抛掷硬币试验，对数据进行收集、整理、描述与分析，体验频率的随机性与规律性，了解用频率估计概率的合理性和必要性，培养随机观念． 老师告诉你 频率与概率的关系 1. 概率是随机事件发生的可能性大小的数量反映。 2. 概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，所以可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计事件发生的概率，二者不能等同。 注意：用频率估计概率时 （1） 试验要在相同条件下进行；（2）重复试验的次数要足够多。 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1： 用频率估计概率 1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率． 2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率． 3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率． 在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同． 4.频率稳定性定理： 人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,亦称大数定律. 【新知导学】 例1．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果,根据表中数据回答下列问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 124 153 252 估计这位同学投篮一次,投中的概率约是(精确到)( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：根据题意得: 由此,估计这位同学投篮一次,投中的概率约是0.5, 故选:B. 【对应导练】 1．为考查一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示： 移植总数n 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数m 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是____________(结果精确到0.1). 答案：0.9 解析：随着抽样的增大移植成活的频率趋近于0.9，由此估计这种幼苗移植成活的概率为0.9。 2．对一批口罩进行抽检,统计合格口罩的只数,得到合格口罩的频率如下： 抽取只数(只) 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000 合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84 估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为_____. 答案：0.84 解析：∵随着抽样的增大,合格的频率趋近于0.84, ∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84. 故答案为：0.84. 4．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘,如下图所示,同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会,下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：______,______； (2)若继续不停转动转盘,当n很大时,落在“谢谢参与”区域的频率将会接近______,假如你去转动该转盘一次,你转到“谢谢参与”的概率约是______；(结果都精确到0.1) (3)顾客转动转盘一次,得到奖品“盲盒”的概率记为,得到奖品“贴纸”的概率记为,得到“谢谢参与”的概率记为,则、、的大小关系是______.(用“＞”连接) 答案：(1))0.305,148 (2)0.3,0.3 (3) 解析：(1)；； 故答案为：0.305；148； (2)若继续不停转动转盘,当n很大时,落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3,假如你去转动该转盘一次,你转到“谢谢参与”的概率约是0.3； 故答案为：0.3,0.3； (3)；；, ∴, 故答案为：. 知识点2： 频率与概率的关系 联系：频率是事件发生的频繁程度；概率是事件发生的可能性大小。在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值。 区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同，而概率是一个确定数，是客观 存在的，与每次试验无关。 【新知导学】 例2．一个口袋中有6个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，如果共摸了200次，其中有60次摸到黑球，那么请你估计口袋中大约有________个白球. 答案：14 解析：设白球有x个，根据题意得，， 解得， 即口袋中大约有14个白球. 故答案为：14. 【对应导练】 1．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是( ) A.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D.从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花 答案：C 解析：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意； 故选：C. 2．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个,它们除颜色不同外,其余都相同,王颖做摸球实验,她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中搅匀,经过大量重复上述摸球的过程,发现摸到白球的频率定于0.25. (1)请估计摸到白球的概率将会接近________； (2)计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)如果要使摸到白球的概率为,需要往盒子里再放入多少个白球？ 答案：(1)0.25 (2)盒子里白、黑两种颜色的球各有15个、45个 (3)15 解析：(1)∵摸到白球的频率为0.25,∴“摸到白色球”的概率. (2)∵,,∴盒子里白球为15个,黑球45个； (3)设需要往盒子里再放入x个白球,根据题意得： 解得：. 答：需要往盒子里再放入15个白球. 3．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外都相同.小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 50 100 200 500 1000 摸到白球的次数m 4 10 28 45 127 251 摸到白球的频率 （1）摸到白球的概率的估计值是___________（精确到）； （2）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是___________（填序号）. ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上. ②掷一个质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“不小于2”. ③甲、乙、丙、丁四名志愿者用抽签的方式决定一名志愿者参加社区消防安全知识宣传活动，正好抽到丙. （3）若盒子中原来共有12只球，现在再放入若干个白球，再经过很多次实验发现摸到白球频率逐渐稳定在.求再放入白球的数量. 答案：（1） （2）③ （3）6个 解析：（1）由表格的数据可知，随着试验次数的增加，摸到白球的频率稳定在附近， 摸到白球的概率的估计值是， 故答案为：； （2）①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为. ②掷一个质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“不小于2”的概率为. ③甲、乙、丙、丁四名志愿者用抽签的方式决定一名志愿者参加社区消防安全知识宣传活动，正好抽到丙的概率为. 某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是③， 故答案为：③. （3）设再放入白球的数量为x个， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 再放入白球的数量为6个. 二、题型训练 1.利用频率估算概率 1．一粒木质中国象棋子“兵”,它的正面雕刻一个“兵”字,它的反面是平的.将它从一定高度下掷,落地反弹后可能是“兵”字面朝上,也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀,为了估计“兵”字面朝上的概率,某实验小组做了棋子下掷试验,试验数据如下表： 试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “兵”字面朝上频数 14 18 38 47 52 66 88 相应频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.55 0.55 0.55 (1)画出“兵”字面朝上的频率分布折线图； (2)如果试验继续进行下去,根据上表的数据,这个试验的频率将稳定在它的概率附近,请你估计这个概率是多少？(保留两位小数) 答案：(1)见解析 (2)0.55 解析：(1)根据题意,完成表格,如下： 试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “兵”字面朝上频数 14 18 38 47 52 66 77 88 相应频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.55 0.55 0.55 画出“兵”字面朝上的频率分布折线图,如下图： (2)根据表中数据,试验频率为0.7,0.45,0.63,0.59,0.52,0.55,0.55,0.55,随着试验次数的增加,频率逐渐稳定在0.55左右, 所以估计概率的大小为0.55. 2．有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域. （1）某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如下表： 实验次数n（次） 10 100 2000 5000 10000 50000 100000 白色区域次数m（次） 3 34 680 1600 3405 16500 33000 落在白色区域频率 0.3 0.34 0.34 0.32 0.34 0.33 0.33 请你利用上述实验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为___________.(精确到0.01)； （2）若该圆形转盘白色扇形的圆心角为120度，黑色扇形的圆心角为240°，转动转盘两次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率. 答案：（1）0.33 （2） 解析：（1）根据7次实验的结果，落在白色区域的概率分别是0.3、0.34、0.34、0.32、0.34、0.33、0.33， 所以这几次实验的平均数是， 故转动该转盘指针落在白色区域的概率为0.33. （2）白色扇形的圆心角为120°，占一个圆的三分之一，黑色扇形的圆心角为240°，占一个圆的三分之二，因此，把一个圆平均分成三份； 设白色扇形区域为白，黑色扇形区域为、黑2，可得下面的图表： 列表： 白 白 (白，白) 从列表可知：共有9种等可能的结果，其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的有4种，分别为：，，，. . 答：指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为. 2.利用模拟试验估算概率 3．某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的试验结果如表所示： 试验的种子粒数（n） 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的种子粒数（m） 471 946 1425 1898 2853 3812 发芽频率 x (1)求表中x的值； (2)任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率（精确到）； (3)若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组至少需要准备多少粒种子进行发芽培育. 答案：(1) (2) (3) 解析：（1）； （2）概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率； 这种种子在此条件下发芽的概率约为. （3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵， 需要准备（粒种子进行发芽培育. 4．在边长为4的正方形平面内，建立如图（1）所示的平面直角坐标系.学习小组做如下试验： 连续转动转盘（转盘被平均分成6个全等的扇形，如图（2））两次，转盘停止转动时，指针所指的数字作为平面直角坐标系中P点的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标）. （1）共能得到___________个不同的P点，P点落在正方形边上的概率是___________. （2）求P点落在正方形外部的概率. 答案：（1）列表如下： 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 -1 -2 -3 根据图表可得共能得到36个不同的P点，P点范在正方形边上的有12个，则P点落在正方形边上的概率是，故答案为36，. （2）根据图表得出共有36个点，其中落在正方形外部的点共有20个，则P点落在正方形外部的概率是. 3.频率、概率和统计图的综合应用 5．某校为了了解甲、乙两名同学数学成绩，随机抽取了相同测试条件下的五次模拟成绩，并对成绩(单位：分)进行了整理分析绘制了尚不完整的统计表和统计图甲、乙两人模拟成绩统计表： ① ② ③ ④ ⑤ 平均分 甲成绩/分 79 86 82 85 a 83 乙成绩/分 b 79 90 81 72 82 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）请补充图中表示甲、乙成绩变化情况的折线； （3）如果分别从甲、乙两人3次最低成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，请用树状图法或列表法求抽到的两个人的成绩都高于80分的概率. 答案：（1）；. （2）见解析 （3） 解析：（1）根据题意得：，. 解得：，. （2）如图所示. （3）列表可知：共有9种可能的结果数，其中抽到的两个人的成绩都高于80分的结果数为2， 抽到的两个人的成绩都高于80分的概率为. 79 82 83 72 79 81 6．中考前的模拟考试对于学生来说具有重大的指导意义,现抽取名学生的数学一模成绩进行整理分组,形成如下表格(代表成绩,规定为优秀),并绘制出扇形统计图和频数分布直方图(横坐标表示成绩,单位:分). 组 组 组 组 组 （1）. 的值为 ;扇形统计图中组对应的圆心角是                     . （2）若要从成绩优秀的学生甲、乙、丙、丁中,随机选出2人介绍经验,求甲、乙两人中至少有1人被选中的概率(通过画树状图或列表法进行分析). 答案：（1）. (人) 组对应的圆心角是 （2）. 由上图得,甲乙至少一人被选中的概率为: 三、课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：D 解析：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为， ∴摸到黑球的概率为. ∵袋子中有4个黑球， ∴袋子中共有10个球， ∴白球有6个. 故选：D. 2．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是( ) A.0.90 B.0.82 C.0.85 D.0.84 答案：B 解析：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82. 故选：B. 3．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球数，小刚向其中放入8个黑球摇匀后，从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球100次，其中20次摸到黑球，你估计盒中大约有白球( ) A.20个 B.28个 C.36个 D.32个 答案：D 解析：设盒子里有白球x个， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：D. 4．某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是( ) 射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数m 8 17 40 79 158 390 780 击中靶心的频率 A. B. C. D. 答案：A 解析：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是， 故选：A. 5．某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的实验可能是( ) A.抛一枚均匀硬币，出现正面朝上 B.掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上 C.从一个装有3个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 D.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 答案：C 解析：由折线图可知：该事件的概率为：； A、抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的概率为：，不符合题意； B、掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上的概率为：，不符合题意； C、从一个装有3个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为：，符合题意； D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：，不符合题意； 故选C. 6．如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为，长方形的面积为， 设不规则图案的面积为， 则， 解得：， 不规则图案的面积大约为. 故选：C. 7．随机抽检一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表.下列说法错误的是( ) 抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000 合格频数 a 141 190 475 764 950 合格频率 0.90 0.94 b 0.95 0.955 0.95 A.抽取100件的合格频数是90 B.抽取200件的合格频率是0.95 C.任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90 D.出售2000件毛衫，次品大约有100件 答案：C 解析：A.抽取100件的合格频数是90， ， 抽取100件的合格频数是90正确； B.抽取200件的合格频率是0.95， ， 抽取200件的合格频率是0.95正确； C.任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90， 当抽取件数很大时，频率在0.95附近摆动， 任抽一件毛衫是合格品的概率为0.95， 任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90错误； D.出售2000件毛衫，次品大约有100件， （件）， 出售2000件毛衫，次品大约有100件正确. 故选：C. 8．在多次重复抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“正面向上”发生的频率为f，每次试验该事件的概率为P.下列说法错误的是( ) A.P的值为0.5 B.随着试验次数的增加，f的值可能发生变化 C.当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 D.试验次数越多，f的值越大 答案：D 解析：A、P的值为0.5，选项正确，不符合题意； B、随着试验次数的增加，f的值可能发生变化，选项正确，不符合题意； C、当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定，选项正确，不符合题意； D、试验次数越多，f的值越趋于稳定，选项错误，符合题意； 故选D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．某鱼塘养了200条鲤鱼、150条鲢鱼和若干条草鱼,通过多次捕捞试验后发现,捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右.若随机在鱼塘中捕捞一条鱼,则捞到鲤鱼的概率为______. 答案： 解析：设鱼塘养了x条草鱼,由题意得： , 解得：, 经检验：是原方程的解, ∴捞到鲤鱼的概率为； 故答案为. 10．一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后每次随机从袋中摸出一个球,记下颜色后放回袋中.通过大量重复摸球试验后发现,摸到白球的频率是,则袋中约有红球___个. 答案：12 解析：由题意可得, 袋中约有红球: (个) 故答案为:12. 11．在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个,除颜色外,形状、大小、质地等完全相同,小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在和,则箱子里蓝色球的个数很可能是______个. 答案：15 解析：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为和, ∴摸到蓝色球的概率为, ∵(个), ∴可估计袋中蓝色球的个数为15个. 故答案为15. 12．对一批口罩进行抽检,统计合格口罩的只数,得到合格口罩的频率如下： 抽取只数(只) 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000 合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84 估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为_____. 答案：0.84 解析：∵随着抽样的增大,合格的频率趋近于0.84, ∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84. 故答案为：0.84. 13．某公司购进了一批草莓,并对这批草莓进行了“损坏率”统计,如下表是通过随机取样后,得到的草莓“损坏率”统计表的一部分,由已知数据和图表估计草莓完好的概率为______.(精确到0.1) 草莓总质量 损坏草莓质量 草莓损坏的频率 (精确到0.001) … … 200 19.8 0.099 300 32.7 0.109 400 40.00 0.100 500 50.62 0.101 答案：0.9 解析：由图表可知,草莓损坏的频率约为0.1, ∴. 故答案为：0.9. 三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分） 14．某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）.规定： 顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 （1）计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； （2）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 答案：（1）见解析 （2）0.7 解析：（1）表中从左到右依次填：0.68，0.74，0.68，0.69，0.68，0.70. （2）获得铅笔的概率约为0.7. 15．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外都相同从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到白球的概率估计值为______(精确到0.1)； (2)若袋子中白球有4个， ①求袋中黑色球的个数； ②若将m个相同的白球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当大量重复试验后，摸出白球的概率估计值是______用含m的式子表示 答案：(1)0.2； (2)①16； ②； 解析：(1)由题图可以看出，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在0.20左右摆动． 根据频率与概率的关系，可知摸到白球的概率为0.2． 故答案为：0.2． (2)①袋子中白球有4个． 袋中球的总个数为． 袋中黑色球的个数为． ②将m个相同的白球放进了这个不透明的袋子里． 袋中白球的个数为，袋中球的总个数为． 摸到白球的频率为． 根据频率与概率的关系可得， 摸到白球的概率为． 故答案为：． 16．某公司对一批某一品牌的衬衣的质量抽检结果如下表： 抽查件数 50 100 200 300 400 500 次品件数 0 4 16 19 24 30 （1）从这批衬衣中任抽件是次品的概率约为多少？ （2）如果销售这批衬衣件，那么至少需要准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客调换？ 答案：（1）抽查总体数， 次品件数， . （2）根据（1）的结论，有件. 17．一个不透明的箱子里装有1个白色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于左右. (1)请你估计箱子里红色小球的个数； (2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率(用画树状图或列表的方法). 答案：(1)箱子里红色小球的个数为3 (2) 解析：(1)∵摸到白色小球的频率稳定于左右， ∴摸到白色小球的概率是， 设红色小球的个数为x，由题意，得：， 解得：， 经检验是原方程的解； ∴箱子里红色小球的个数为3； (2)画出树状图，如下： 共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6， ∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为. 18．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20个，某学习小组做摸球实验.将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______(精确到0.1). (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______. (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个. 答案：(1)0.6 (2)， (3)白色12个，黑色8个 解析：(1)根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6. 故答案为：0.6. (2)因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， 所以摸到白球的概率是；摸到黑球的概率是. 故答案为：，. (3)因为摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是.所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球个，黑球个. 19．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606 摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b （1）按表格数据格式，表中的______；______； （2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； （3）请推算：摸到红球的概率是_______（精确到0.1）； （4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只. 答案：（1）123；0.404 （2）0.40 （3）0.6 （4）15 解析：（1），； （2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.40； （3）由题意得：摸到白球的概率为0.4， 则摸到红球的概率是； （4）设红球有x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，x=15是所列分式方程的解， 则口袋中红球有15只； 故答案为：123，0.404；0.4；0.6；15. 学科网（北京）股份有限公司 $$