浙江省杭州市2024-2025学年八年级上学期期中数学复习（三角形的初步认识章节重难点近三年组题汇编

浙江省杭州市2024-2025学年度八年级上学期期中数学复习（三角形的初步认识章节重难点近三年组题汇编） 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点、、在同一直线上，，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）通过如下尺规作图，能得到的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）在图中，（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）若实数m、n满足等式，且m、n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是（   ） A．6 B．6或 8 C．8或10 D．10 7．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，与叠放在一起，与相交于点F，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，D是上一点，交于点E，， ，，，则的长度为（　　） A．2 B．2.5 C．4 D．5 9．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知钝角，按照下列步骤作图：步骤1，以点为圆心，为半径作圆弧；步骤2，以点为圆心，为半径作圆弧，两圆弧交点记为；步骤3：连结，交延长线于点．根据作图过程得出以下结论：；；；平分．其中正确的是（    ） A． B． C． D．平分 二、填空题 11．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）已知三角形两边的长分别为1和6，第三边长为整数，则该三角形周长为 ． 12．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 13．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知AD是的中线，BE是的中线，若的面积为18，则的面积为 ． 14．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，，，三条角平分线交于点．的面积等于9，则的面积 ． 15．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，若，，点是的角平分线及高线的交点，则的度数为 ．    16．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，点在边上，作于、于，若，的面积为，则的长为 ． 17．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点F，当时，则的度数 ． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高．，，的面积是，则 ． 19．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的边、上取点、，连接，平分，平分，若，的面积是6，的面积是9，则的长是 ．      20．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在锐角三角形中，为三角形的角平分线．交于点F，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有 ． 三、解答题 21．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知和线段，，用直尺和圆规作，使，，．    22．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）用直尺和圆规：作出的角平分线和边上的中线． 23．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知：，和分别平分和，过点E，且与垂直． (1)求证： (2)若，求的度数． 24．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，是的高线． (1)用直尺和圆规作出的平分线． (2)设的平分线交于点，若，，求的大小． 25．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，点D，E在的边上，连接，，若，，试证明：． 圆圆的证明过程如下： 证明：∵，∴， 在与中， ， ∴，∴． 她的证明过程______（填“正确”“错误”）．若不正确，请写出正确的推导过程． 26．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，． (1)若，与互补，则吗？请说明理由； (2)若是的平分线，，求（用关于的代数式表示）． 27．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，．连接、交于F点． (1)求证：； (2)直线、是否互相垂直，试说明理由； (3)求证：平分． 28．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）： 例4、如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．    证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点，∴． 在与中， ∵， ∴（ 　　） ∴（ 　　）     （2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 　　． （3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．    29．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 30．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）（1）如图①，在四边形中，．E、F分别是上的点， 且，探究图中之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使．连接． 先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 （2）如图②，在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？ 请说明理由． （3）如图③，在四边形中，．若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 参考答案： 1．C 【分析】根据三角形的外角性质和角的和差关系，即可解答．本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的外角性质是解答本题的关键． 【详解】解：是的外角， ， ， ， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质，尺规作图：作线段的垂直平分线．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：当点D在线段的垂直平分线上时，，尺规作图是作线段垂直平分线的是C中的图形． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可． 【详解】解：∵，， 添加，不能判定， 故A选项符合题意； 添加，根据可证， 故B选项不符合题意； 添加，根据可证， 故C选项不符合题意； 添加，可得， 根据可证， 故D选项不符合题意， 故选：A． 4．B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 5．B 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定条件可得结论． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 6．D 【分析】本题主要考查了等腰三角形三边关系，绝对值的非负性以及平方的非负性．据此求得m、n的值，再根据m或n作为腰，进行分类求解． 【详解】解：∵ ∴，，解得，， 当作腰时，三边为2，2，4，此时，不符合三边关系定理； 当作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为∶． 故选： D 7．C 【分析】根据三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，故选项A正确； ∵ ∴ ∵ ∴，故选项B正确； ∵，故选项C错误； ∵，故选项D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理和三角形外角的性质． 8．C 【分析】由，得,，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明，则． 【详解】解：， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 的长度为4． 故选：C． 【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 9．B 【分析】连接、，需满足的条件是，由与不一定相等，可推导出与不一定相等，则与不一定全等，可判断错误；作交的延长线于点，则，可证明，则，再证明，得，可判断正确；由，可知需满足的条件是，与已知条件不符，可判断错误；由，得，则，可判断错误． 【详解】解：连接、， ，， 需满足的条件是， 与不一定相等， 与不一定相等， 与不一定全等， 与不一定相等，故A错误； 作交的延长线于点，则， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，故B正确； ， 需满足的条件是， 显然与已知条件不符， 不一定等于，故C错误； ，且，， ， ，故D错误， 故选：B． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、同角的补角相等、三角形的三边关系等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 10．B 【分析】 本题考查线段垂直平分的性质．连接，，由作图知：，，不一定等于，由，，推出垂直平分，由三角形面积公式得到，不一定平分． 【详解】 解：连接，， 由作图知：，，但不一定等于， 故A不符合题意； ，， ，在线段的垂直平分线上， ，即， 故B符合题意； ， ， 故C不符合题意； 和不一定相等， 不一定平分， 故D不符合题意． 故选：B． 11．13 【分析】利用三角形三边长之间的关系解题即可． 【详解】解：∵三角形两边的长分别为1和6， ∴第三边的边长大于5，小于7， ∵ 第三边长为整数， ∴第三边边长为：6，周长为：， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查三角形三条边边长之间的关系，能够熟练利用边长之间的关系求出第三条边是解题关键． 12． 【分析】如图，由三角形内角和定理，得，可推断出．本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键． 【详解】解：如图． 由题意得：，． ， ． 故答案为：． 13． 【分析】根据三角形中线的性质可得的面积=的面积，的面积=的面积，据此即可求解. 【详解】解：∵AD是的中线，BE是的中线，若的面积为18， ∴的面积=的面积=9， 的面积=的面积=， 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，属于常考题型，熟知三角形的一条中线把三角形的面积分为相等的两部分是关键. 14．6 【分析】过点O分别作，垂足分别为D，E，根据角平分线的性质可得，再由的面积等于9，可得，再由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点O分别作，垂足分别为D，E， ∵平分， ∴， ∵的面积等于9，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，牢记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 15．/度 【分析】在中，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出，根据角平分线定义得出．根据三角形的高的定义以及直角三角形两锐角互余求出，再根据即可求解． 【详解】解：在中，若，， ， 是的角平分线， ∴． 是的高线， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的角平分线与高的定义，求出与的度数是解题的关键． 16． 【分析】此题考查三角形的面积，解题关键在于作辅助线和利用面积公式计算．连接，根据列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，，，的面积为， ， 即， 解得：， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查三角形的折叠问题．根据折叠得到，平行得到，利用，求出的度数，再利用三角形的外角，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可得： ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，由角平分线的性质得，再由根据三角形的面积公式，代入计算即可．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，、分别是和的高， ∴， ∴•， ∵，， ∴， 故答案为：． 19． 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积公式，过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质及三角形的面积得出，再根据，代入数据进行计算即可得到答案，熟练掌握“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接，   ，平分，，， ， 同理可得， ， ，的面积是6， ， ， ， 的面积是9， ， ，即， ， 故答案为：． 20．①②④ 【分析】先求出，再根据可对①进行判断；根据“”证明，可对②进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对③进行判断；由②可得，同理可得，可对④进行判断． 【详解】解：∵为三角形的角平分线， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵平分， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 在和中，，根据已知条件无法证明二者有相等的边与其他相等的角， ∴和不一定全等，故③错误； 同理可得， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 21．见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图，先作，再在上截取，然后以为圆心，为半径画弧交于和，则和满足条件． 【详解】解：如图，和为所作．    22．见解析 【分析】先作的角平分线，即以点B为圆心，适当长为半径作弧交和于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半长度为半径再作弧并交于点F，作射线，射线交于点D，即为的角平分线；再作边上的中线，即分别以A，B点为圆心，大于线段一半长度为半径，作圆弧，分别交于两侧的M，N点，连接交于点E，连接，线段即为边上的中线． 【详解】如图所示，即为的角平分线；线段即为边上的中线． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，三角形的外角性质，关键是判定，；由角平分线定义求出． （1）过作于，由判定，得到，判定，得到，即可证明． （2）由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，求出，由三角形外角的性质推出． 【详解】（1）证明：过作于， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， 同理：， ， ； （2）解：， ， 和分别平分和， ，， ， ， ，， ． 24．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）由题意得，，根据角平分线的定义可得，再根据可得答案． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求． （2），， ． 射线为的平分线， ， 是的高线， ， ， ． 25．错误，见解析 【分析】利用无法证明三角形全等，根据，得到，进而推出，利用证明，进而得出． 【详解】解：圆圆利用的方法，不能判定， ∴她的证明过程是错误的， 故答案为：错误； 正确的推导过程如下： 证明：∵，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 26．(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，列代数式，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而可得，进而可得，再根据垂直定义可得，然后利用补角定义可得，从而可得，进而可得，最后利用平 行线的性质可得，即可解答； （2）根据角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 理由：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的平分线， ， ， ， ， 的度数为． 27．(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）由题意可得，，由，可得到，从而可证； （2）由（1）可得，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论； （3）作于M，于N，利用全等三角形的面积相等及角平分线的判定即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴； （2）解：，理由如下； ∵， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：作于，于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握判定和性质是解决本题的关键． 28．（1），全等三角形的对应边相等；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点； （1）根据前后逻辑关系填空即可； （2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． （3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点，∴． 在与中， ∵， ∴ ∴（全等三角形的对应边相等）; 故答案为：，全等三角形的对应边相等； （2）延长到，使，连接，   是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点，   ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 29．(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解此题的关键． （1）①根据，得出，从而得出，再利用即可证明；②由全等三角形的性质可得，，即可得证； （2）根据，得出，从而得出，再利用证明，得出，，即可得证； （3）根据，得出，从而得出，再利用证明，得出，，即可得解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴； ②∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3）解：当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：． 理由如下：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 30．（1）；（2）上述结论仍然成立，理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ； （3），理由如下： 图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， 学科网（北京）股份有限公司 $$