1.1.6.2点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第一章 直线与圆 1.6.2 点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式 高中数学 @demon 励志专注 请同学们站立挺拔,右手紧握拳头,声音洪亮,目视前方,一起喊出我们的口号: 顽强拼搏,超越自我;不鸣则已,一鸣惊人! 1. 经历点到直线的距离公式的推导过程,掌握点到直线的距离公式; 2. 能利用点到直线的距离公式推导两条平行直线的距离公式,掌握两条平行直线的距离公式. @demon 和盘托出 知识点1:点到直线的距离公式 思考:如图,在平面直角坐标系中,已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0(其中A,B不全为0),怎样求出点P到直线l的距离呢? 根据定义,点P到直线l的距离d就是点P到直线l的垂线段PN的长. 如何求出PN的长呢? x y O l P N @demon 三学理解 设M(x1,y1)是直线l上任意一点,我们可以把线段PN的长理解成向量 在直线l的法向量n=(A,B)方向上的投影向量的长度. ① ∵点M(x1,y1)在直线l:Ax+By+C=0上,∴Ax1+By1+C=0, A(x1-x0)+B(y-y0)=Ax1+By1-(Ax0+By0)=-C-Ax0-By0. ② 将②代入①,我们就得到了点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式 (其中A,B不全为0). x y O l P N @demon 三学理解 概念讲解 点到直线的距离公式: (其中A,B不全为0). 注意: (1)利用公式时直线的方程必须是一般式; (2)分子含有绝对值; (3)若直线方程为Ax+By+C=0,则当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解. @demon 三学理解 知识点2:两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离:是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 问题1:若已知两条平行直线l1,l2的方程,请结合上述定义,说说该如何求 l1 与 l2 间的距离? 在直线l1上任取一点P(x1,y1),则有Ax1+By1+C=0,此时,两条平行直线l1,l2间的距离也就是点P(x1,y1)到直线l2的距离. O x y l2 l1 P @demon 三学理解 根据点到直线的距离公式,得 O x y l2 l1 P 即 (其中A,B不全为0且C1≠C2). 这就是两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(其中A,B不全为0,且C1≠C2)间的距离公式. @demon 三学理解 1、背诵记忆点到直线间的距离公式,并且学会应用 2、背诵记忆两条平行线间的距离公式,并学会应用 @demon 强化记忆 例1:求点P(-2,1)到下列直线的距离: (1)3x+4y-1=0; (2)y=2x+3; (3)2x+5=0. 解:(1)根据点到直线的距离公式,得 即点P(-2,1)到直线3x+4y-1=0的距离为 (2)直线方程y=2x+3可化为一般式2x-y+3=0. 根据点到直线的距离公式,得 @demon 应用练习 例1:求点P(-2,1)到下列直线的距离: (1)3x+4y-1=0; (2)y=2x+3; (3)2x+5=0. 即点P(-2,1)到直线y=2x+3的距离为 (3)直线方程2x+5=0可化为一般式x= 这条直线垂直于x轴,所以 即点P(-2,1)到直线2x+5=0的距离为 @demon 应用练习 例2:求下列各对平行直线间的距离: (1)l1:3x+4y-1=0, l2:3x+4y+3=0; (2)l1:y=3x+2, l2:y=3x-3; (3)l1:x-2y-1=0, l2:2x-4y+3=0. 解:(1)根据两条平行直线间的距离公式,得 即l1与l2间的距离为 (2)将所给直线方程化为一般式,得l1:3x-y+2=0,l2:3x-y-3=0. 根据两条平行直线间的距离公式,得 即l1与l2间的距离为 @demon 应用练习 例3:求下列各对平行直线间的距离: (3)l1:x-2y-1=0, l2:2x-4y+3=0. 在解题中需要注意什么? 根据两条平行直线间的距离公式,得 (3)将直线l2的方程化简,得 即l1与l2间的距离为 注意:① 直线方程要化成一般式; ② 两直线方程中 x,y 的系数要相同. @demon 应用练习 例3:求与直线 l:5x − 12y + 6 = 0 平行,且到 l 的距离为 2 的直线的方程. 解:依题意,可设所求直线为 l1:5x − 12y + C = 0, 已知 l1 到 l 的距离为 2,根据两平行线间的距离公式可得: ,解得 C = − 20 或 32; 综上可得,所求直线为 l1:5x − 12y − 20 = 0 或 5x − 12y + 32 = 0 . @demon 应用练习 练一练 1.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是( ) A. B. C. D. C @demon 检测总结 练一练 2. 完成下列填空: (1)两平行线 2x + 3y – 8 = 0 和 2x + 3y + 18 = 0 的距离是 ; (2)两平行线 3x + 4y = 10 和 6x + 8y = 0 的距离是 . 2 @demon 检测总结 练一练 3. 已知两条平行直线 l1:6x − 8y + 12 = 0 与 l2:3x − 4y + C = 0 间的距离为3,求 C 的值. 解:根据距离公式应用条件,先将两直线方程中 x,y 的系数化为相同, 即 3x − 4y + 6 = 0 与 3x − 4y + C = 0 间的距离为3,代入公式得: ,解得 C = − 9 或 21. @demon 检测总结 0号作业:牢记点到直线距离公式和两条平行直线间的距离公式 1号作业:课本P25 1、4 2号作业:课本P25 2 3号作业:课本P25 3 作业布置 $$