2024年九年级中考数学冲刺：圆的切线与计算教学教案

中考冲刺：圆的切线与计算 1. 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 即：如果EF是⊙的切线，A为切点，则EF⊥OA 注意：如果一条直线具备“垂直于切线”、“过切点”、“过圆心”三个条件中的任意两个，就可推出第三个。 即：（1）过切点且垂直于切线的直线必过圆心； （2）过圆心且垂直于切线的直线必过切点； （3）过切点且过圆心的直线垂直于切线。 2. 切线的判定 （1）定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 （2）数量法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（d＝r）。 （3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 注意： （1）应用判定定理判定圆的切线时，必须先弄清“题设”中的两个条件：一是经过半径的外端，二是垂直于这条半径，这两者缺一不可。 （2）证明切线的常见题型：①知半径、证垂直；②作垂直、证半径。 3. 综合应用 （1）勾股定理 注意：方程思想的应用。 （2）相似三角形 注意：善于发现“8”字形、“A”字形、射影定理、一线三等角等模型。 （3）三角函数 注意：倒角及函数值转化为直角三角形中边的比例关系是解题的关键。 例题1 如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF＝BF。 （1）证明BF是⊙O的切线； （2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC＝6，求∠MCF的大小。 解析：（1）根据OB＝OC，可得∠BCO＝∠CBO，再由FC＝FB，得∠FCB＝∠FBC，从而得出∠FBO＝90°，即可证出结论； （2）由∠MCF＋∠ACO＝90°，∠M＋∠A＝90°，可得CF＝MF，易证△ACB∽△ABM，则。由勾股定理求得BM，根据三角函数得出∠MCF的大小。 答案：证明： （1）∵CF⊥OC ∴∠FCO＝90° ∵OC＝OB ∴∠BCO＝∠CBO ∵FC＝FB ∴∠FCB＝∠FBC ∴∠BCO＋∠FCB＝∠CBO＋∠FBC 即∠FBO＝∠FCO＝90° ∴OB⊥BF ∵OB是⊙O的半径 ∴BF是⊙O的切线 （2）∵∠FBO＝∠FCO＝90° ∴∠MCF＋∠ACO＝90°，∠M＋∠A＝90° ∵OA＝OC ∴∠ACO＝∠A ∴∠FCM＝∠M ∵∠ACB＝∠ABM＝90°，∠A是公共角 ∴△ACB∽△ABM ∴ ∵AB＝4，MC＝6 ∴16＝AC（AC＋6） ∴AC＝2 ∴AM＝8， ∴cos∠MCF＝cosM＝ ∴∠MCF＝30° 点拨：本题是一道综合题，考查了直线与圆的位置关系、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点。方程思想的应用是解题关键。 例题2 已知，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F。 （1）求证：CD与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为，求正方形ABCD的边长。 解析：（1）连接OM，过O作ON于CD垂直，由BC与圆O相切，根据切线性质得到OM⊥BC，又正方形ABCD，AC为角平分线，根据角平分线定理得到OM＝ON，故CD与圆O相切；（2）根据垂直于同一条直线的两直线平行得到OM与AB平行，得到两对同位角相等，从而得到△ABC∽△OMC，设正方形的边长为a，由圆O的半径，列出比例式得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值即为正方形的边长。 答案：（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N。 ∵⊙O与BC相切于M，∴OM⊥BC。∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD， ∴OM＝ON∴CD与⊙O相切 （2）解：设正方形ABCD的边长为a，则。 显然OM∥AB，∴∠OMC＝∠B，∠MOC＝∠BAC， ∴△COM∽△CAB， ∴，即 解得，∴正方形ABCD的边长为。 点拨：此题考查了切线的性质与判断，正方形的性质以及相似三角形的性质与判断。本题切线的证明方法是作垂直，求半径。 求角度，求长度，证切线是不变的话题；圆周角是角度变换的工具，垂径定理是添加辅助线的常用作图法；勾股定理，三角函数，相似三角形是求长度的方法。连半径，证垂直；作垂直，证半径是证切线的两种类型。 例题 （成都）如图，⊙O的半径r＝25，四边形ABCD内接于圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上的一点，且∠PDA＝∠ABD。 （1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若，，求BD的长。 解析：（1）首先连接DO并延长交圆于点E，连接AE，由DE是直径，可得∠DAE的度数，又由∠PDA＝∠ABD＝∠E，可证得PD⊥DO，即可得PD与圆O相切于点D； （2）首先由tan∠ADB＝，可设AH＝3k，则DH＝4k，又由PA＝AH，易求得∠P＝30°，∠PDH＝60°，连接BE，则∠DBE＝90°，DE＝2r＝50，可得BD＝DE•cos30°＝ 答案：（1）PD与圆O相切。 理由：如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE， ∵DE是直径，∴∠DAE＝90°，∴∠AED＋∠ADE＝90°， ∵∠PDA＝∠ABD＝∠AED，∴∠PDA＋∠ADE＝90°，即PD⊥DO， ∴PD与圆O相切于点D （2）∵，∴可设AH＝3k，则DH＝4k， ∵，∴，∴， ∴在Rt△PDH中，，∴∠P＝30°，∠PDH＝60°， ∵PD⊥DO，∴∠BDE＝90°－∠PDH＝30°， 连接BE，则∠DBE＝90°，DE＝2r＝50，∴ 点拨：此题考查了切线的性质与判定、三角函数的性质等知识。此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，构造新的直角三角形是本题的关键。 （答题时间：30分钟） 一、选择题 **1. 如图，△ABC中， BC＝6，AC＝8，AB＝10.过点C作一动圆与AB相切于点D，交AC于点P，BC于点Q。求PQ的最小值为（ ） A. 4.8 B. 5.2 C. 3.6 D. 6.4 *2. 已知：如图，AB＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交OC于点D，AD的延长线交BC于点E，过D作⊙O的切线交BC于点F。下列结论：①；②；③∠OCB＝∠EAB；④。其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ **3. 如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC、BD交于E，F为上一点，连AF、BF、AB、AD，下列结论：①AE＝BE；②若AC⊥BD，则AD＝R；③在②的条件下，若，AB＝，则BF＋CE＝1。其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题 **4. 如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆⊙O于D，过D作DE∥BC，交AC的延长线于E点。①则直线DE与⊙O的位置关系是　 　；②若AB＝4，AD＝6，CE＝3，则DE＝　 　。 *5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且，，则BF的长为 。 *6. （成都一模）如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C。若⊙O的半径为2，，则图中阴影部分的面积是 。 **7. （河北一模）如图，已知直线y＝x＋4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为（2，0），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是　 　。 三、解答题 *8. 已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线与⊙O的交点为D，DE⊥AC，与AC的延长线交于点E。 （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若OE与AD交于点F，，求的值。 **9. 已知：如图，点O在等腰△ABC的一腰AB上。 （1）若AB为⊙O的直径，⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E。求证：DE是⊙O的切线。 （2）如果点O由（1）中的位置在AB上向点B移动，以O为圆心，以OB长为半径的圆交BC于D，若S△ABC＝25，AB＝10，点O移动到何处⊙O与AC相切于点F？ **10. 直线与轴相交于点，与轴相交于点，点是第二象限内任意一点，以点为圆心的圆与轴相切于点，与直线相切于点。 （1）当四边形是矩形时，求点的坐标； （2）如图2，若⊙C与轴相切于点，求⊙C的半径。 1. A 解析：如图，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴，∴∠ACB＝90°， ∴PQ是⊙F的直径， 设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D， 连接FD，CF，CD，则FD⊥AB。 ∴FC＋FD＝PQ，∴CF＋FD＞CD， ∵当C，F，D共线时，PQ＝CD有最小值。此时CD为斜边AB上的高，∴CD ＝4.8。 2. B 解析：①连接BD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DBE＋∠3＝90°， ∵∠ABC＝90°，∴∠1＋∠DBE＝90°，∴∠1＝∠3， 又∵DO＝BO，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴∠CDB＝∠CED， ∵∠DCB＝∠ECD，∴△CDE∽△CBD，∴，故①正确； ②∵过D作⊙O的切线交BC于点F，∴FD是⊙O的切线， ∵∠ABC＝90°，∴CB是⊙O的切线，∴FB＝DF，∴∠FDB＝∠FBD，∴∠1＝∠FDE， ∴∠FDE＝∠3，∴DF＝EF，∴EF＝FB，∴EB＝2EF， ∵在Rt△ABE中，BD⊥AE，∴EB2＝ED•EA，∴，故②正确； ③∵AO＝DO，∴∠OAD＝∠ADO，假设③∠OCB＝∠EAB成立，则， ∴∠OCB＝30°，而，与矛盾， 故③∠OCB＝∠EAB不成立，故此选项错误； ④∵∠CDF＝∠CBO＝90°，∠DCF＝∠OCB，∴△CDF∽△CBO， ∴，∴，∵AB＝BC，∴， ∴；故④正确. 3. D 解析：①∵弦AC＝BD，∴，∴，∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE； ②连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°， ∵OA＝OD，∴AD＝R； ③设AF与BD相交于点G，连接CG，∵，∴∠FAC＝∠DAC，∵AC⊥BD， 在△AGE和△ADE中， ，∴△AGE≌△ADE（ASA），∴AG＝AD，EG＝DE，∴∠AGD＝∠ADG， ∵∠BGF＝∠AGD，∠F＝∠ADG，∴∠BGF＝∠F，∴BG＝BF， ∵AC＝BD，AE＝BE，∴DE＝CE，∴EG＝CE，∴BE＝BG＋EG＝BF＋CE， ∵AB＝，∴BE＝AB•cos45°＝1，∴BF＋CE＝1。 4. 相切； 解析：①连OD，如图，∵点P为△ABC的内心，∴∠BAD＝∠DAE， ∵同弧或等弧所对的圆周角相等，∴弧DB＝弧DC，∴OD⊥BC， 而DE∥BC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线； ②连BD，DC，如图，则BD＝DC， ∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB，∠BCD＝∠CDE， 而∠ACB＝∠ADB，∠BCD＝∠BAD，∴∠E＝∠ADB，∠CDE＝∠BAD，∴△CDE∽△BAD， ∴，而AB＝4，AD＝6，CE＝3，BD＝DC，∴， ∴，则。 5. 解析：连结AE，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB＝90°∴∠1＋∠2＝90° ∵AB＝AC，∴。∵，∴∠1＝∠CBF。 过点C作CG⊥AB于点G， ∵且，，∠1＝∠CBF，∴， ∵∠AEB＝90°，AB＝5，∴BE＝AB•sin∠1＝， ∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2， 在Rt△ABE中，由勾股定理得 ∴， 在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2，∴AG＝3， ∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴，∴。 6. 解析：连接OT、OD、DT，过O作OM⊥AD于M， ∵OA＝OT，AT平分∠BAC，∴∠OTA＝∠OAT，∠BAT＝∠CAT，∴∠OTA＝∠CAT，∴OT∥AC， ∵PC⊥AC，∴OT⊥PC，∵OT为半径，∴PC是⊙O的切线， ∵OM⊥AC，AC⊥PC，OT⊥PC，∴∠OMC＝∠MCT＝∠OTC＝90°，∴四边形OMCT是矩形， ∴，∵OA＝2，∴，∴∠OAM＝60°，∴∠AOM＝30° ∵AC∥OT，∴∠AOT＝180°－∠OAM＝120°，∵∠OAM＝60°，OA＝OD，∴△OAD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°，∴∠TOD＝120°－60°＝60°， ∵PC切⊙O于T，∴∠DTC＝∠CAT＝∠BAC＝30°，∴，∴DC＝1， ∴阴影部分的面积是。 7. 解析：，∵当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝－4， ∴OA＝4，OB＝4， ∵△ABE的边BE上的高是OA，∴△ABE的边BE上的高是4， ∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可， 过A作⊙C的两条切线，如图， 当在D点时，BE最小，即△ABE面积最小；当在D′点时，BE最大，即△ABE面积最大； ∵x轴⊥y轴，OC为半径，∴EE′是⊙C的切线， ∵AD′是⊙C的切线，∴OE′＝E′D′， 设E′O＝E′D′＝x，∵AC＝4＋2＝6，CD′＝2，AD′是切线， ∴，由勾股定理得：， ∴，∴， 解得：x＝，∴， ∴△ABE的最小值是，最大值是： 8.（1）证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC， ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线。 （2）解：连接BC交OD于G，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴ 设AC＝4a，AB＝5a，由勾股定理得：BC＝3a，∴OA＝OD＝OB＝2.5a， ∵∠ECG＝90°＝∠DEC＝∠EDG，∴四边形ECGD是矩形， ∵OG为△ABC中位线，∴G为BC中点∴DE＝CG＝1.5a， ∵OD∥AE，OA＝OB，∴CG＝BG， ∴，∴DG＝EC＝2.5a－2a＝0.5a，∴AE＝AC＋CE＝4a＋0.5a＝4.5a， ∵OD∥AC，∴△AEF∽△DOF，∴。 9.（1）证明：如图1，连接OD；∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB。 又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC。 ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE。∴DE与⊙O相切。 （2）解：如图2，连接OD，OF，过B作BN⊥AC于N， ∵△ABC的面积是25，AB＝AC＝10，∴×10×BN＝25，∴BN＝5， ∵AF是⊙O的切线，∴OF⊥AC， 设OF＝x，∵OF⊥AC，BN⊥AC，∴OF∥BN，∴△AFO∽△ANB，∴，∴， ∴， ∴， 时，⊙O与AC切于点F。 10. 解：（1）把x＝0代入得y＝3，把y＝0代入得x＝4 ∴A（4，0），B（0，3），即AO＝4，OB＝3，由勾股定理得：AB＝5， ∵四边形OBCE是矩形，∴∠CBO＝90°，CE＝OB＝3， ∵AB切⊙C于F，∴∠CFB＝90°＝∠CBO， ∴∠FCB＋∠FBC＝90°，∠FBC＋∠ABO＝90°，∴∠FCB＝∠ABO， ∵∠CFB＝∠AOB＝90°，∴△CFB∽△BOA， ∴CB＝5，∴C的坐标是（－5，3）。 （2）∵⊙C切AB于F，切x轴于E，切y轴于D， ∴BF＝BD，AF＝AE，∠CDO＝∠DOE＝∠CEO＝90°，DC＝CE， ∴四边形CDOE是正方形，∴EC＝OD ∵⊙C的半径是r，∴CE＝CD＝DO＝OE＝r， ∵A（4，0），AB＝5，∴4＋r＝5＋BF＝5＋BD＝5＋3－r， 即4＋r＝5＋3－r，r＝2， 答：⊙C的半径是2。 学科网（北京）股份有限公司 $$