7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 学习目标： 1.利用复数三角形式熟练地进行复数的乘、除运算. 2.了解复数乘、除运算的三角表示的几何意义. 如果把复数z1，z2分别写成三角形式z1=r1(cos1+isin1)，z2= r2(cos2+isin2)，你能计算z1z2并将结果表示成三角形式吗？ 探究一 复数三角形式的乘法运算 4 5 6 复数三角形式的乘法运算: (1)直接利用复数三角形式的乘法法则,模相乘,辐角相加. (2)若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时,需将相混的复数统一成代数形式或三角形式,然后进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘. 7 (3)2(cos 22°+isin 22°)[5(cos 65°+isin 65°)]·[3(cos 93° +isin 93°)]. 8 (3)原式=2×5×3[cos(22°+65°+93°)+isin(22°+65°+93°)] =30(cos 180°+isin 180°)=-30. 9 两个复数z1，z2相乘时，可以像左图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角2（如果2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|2|），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2。这就是复数乘法的几何意义。 二：复数乘法的几何意义 1.将本例条件改为“按顺时针旋转90°”,其他条件不变,结果又如何? 11 解:z=(-1+i)(sin 30°+icos 30°) =(-1+i)(cos 60°+isin 60°), 12 13 设z1=r1(cos1+isin1)，z2= r2(cos2+isin2)，且z1z2， 因为r2(cos2+isin2)[cos(1-2)+isin(1-2)] = r1(cos1+isin1)， 所以根据复数除法的定义， 有[cos(1-2)+isin(1-2)]。 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。 三：复数除法运算的三角表示： 如果把复数z1，z2分别写成三角形式 ， 你能计算z1z2并将结果分别表示成三角形式吗？ 这就是说，两个复数相乘, 积的模等于各复数的模的积, 积的辐角等于各复数的辐角的和. 15 由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 探究 两个复数z1，z2相乘时，可以像图7.3-6那样，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2． 这是复数乘法的几何意义． 16 你能解释i2和(－1)2=1的几何意义吗？ ？ 17 【例3】已知 ， ，求z1z2，请把结果化为代数形式，并做出几何解释. 首先做与复数z1对应的向量OZ1，然后把向量OZ1绕 点O按逆时针方向旋转角 ，再把它的模变为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为 的向量OZ． OZ即为z1z2=3i所对应的向量． 18 【例4】如图，向量OZ 对应的复数为 ，把向量OZ绕点O按逆时针方向旋转120°，得到OZ′，求向量OZ′对应的复数（代数形式表示）． 19 复数除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？ 探究 这就是说，两个复数相除, 商的模等于被除数模除以除数的模所得的商, 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 20 类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？ 21 【例5】计算 并把结果化为代数形式． 22 【练习】如图，向量OZ 对应的复数为 ，把向量OZ绕点O按逆时针方向旋转90°，得到OZ′，求向量OZ′对应的复数（代数形式表示）． 23 【练习】计算：（结果写成复数的代数式） 24 1.复数z=(cos 25°+isin 25°)(cos 50°+isin 50°)的三角形式是(　　) A.cos(-25°)+isin(-25°) B.sin 75°+icos 75° C.cos 15°+isin 15° D.cos 75°+isin 75° 解析:z=cos(25°+50°)+isin(25°+50°) =cos 75°+isin 75°. 答案:D 25 26 27 课堂小结 ——你学到了那些新知识呢？ 本节课学习了复数乘、除运算的三角表示及其几何意义. $$