7.3.1复数的三角表示式课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.3.1复数的三角表示式 素养目标 学法指导 1．复数的三角表示.(数学抽象) 2．复数的代数表示与三角表示之间的关系.(数学运算) 3．复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.(数学运算与直观想象) 1．在复数几何意义的基础上感受复数的三角表示. 2．类比三角函数的单位圆定义体会复数三角表示的特征. 3．类比三角函数的特点，结合复数的几何意义，体会复数运算的三角表示与三角函数之间的关联. 2 回顾 角的概念，角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 因此向量的大小可以通过模来表示，向量的方向可以向量所在射线为终边的角来刻画. 探究 二：复数相等的三角形式 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 例1 分析：只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式. 例1 例1 类题通法：复数的代数形式转化为三角形式的步骤： 例2 例2 三：辐角与辐角主值 复数的代数形式唯一吗？复数的三角形式呢？ 代数形式是唯一的.三角形式不唯一. 辐角与辐角主值 复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值. 四：复数的代数形式与三角形式的互化 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [分析]　将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可. 五：将复数的三角形式化为代数形式 典例 2 30 [归纳提升]　将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A. 31 1－i　 32 课堂小结 ——你学到了那些新知识呢？ 1.本节课我们主要学习了哪些内容？ 2.复数三角形式的表示式； 3.复数辐角主值与辐角； 4.复数代数形式与三角形式的互化； 5.复数相等的三角形式. 如图所示，复数与向量一一对应，复数由向量的坐标唯一确定.我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？ 利用平面向量有关知识，分析出可以由复数的模，即向量的模和复平面内以轴的非负半轴为始边，以向量所在的射线（射线）为终边的角唯一确定. 记向量的模，由图可以得到（由三角函数定义得）， 所以 其中，，. 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： （1）；（2）. ①可由确定； ②可由和点所在的象限来确定. 如何确定模和辐角？ 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： （1）；（2）. 解：（1）复数对应的向量如图所示，则 . 因为与对应的点在第一象限，所以. 于是. 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： （1）；（2）. 解：（2）复数对应的向量如图所示，则 . 因为与对应的点在第四象限，所以. 于是. 当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式. （1）由定模； （2）由及点所在象限定辐角（一般情况下定出辐角主值即可）； （3）写出三角形式. 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式： （1）；（2）. 解：（1）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.所以. 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式： （1）；（2）. 解：（2）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.所以. 例如 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值. 通常记作，即. $$