精品解析：河北省邯郸市鸡泽县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 （冀教版）

河北省邯郸市鸡泽县2024~2025学年九年级上学期期中考试 数学试题（冀教版） 一、选择题(共16题；共42分) 1. 一组数据：1，3，3，3，5，若去掉一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 2. 方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A. （x﹣1）2＝4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2＝16 D. （x+1）2＝16 3. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　) A. k＞﹣1 B. k≥﹣1 C. k＞﹣1且k≠0 D. k≥﹣1且k≠0 5. 在平行四边形中，则为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，E为边上的一点，，D为的中点，连接并延长交于F，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( ) A. 米 B. 30sinα米 C. 30tanα米 D. 30cosα米 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是 (　　) A. B. C. D. 11. 如图，过轴正半轴任意一点作轴的垂线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若点是轴上任意一点，连接、，则的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知点A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ） A. 2∠C B. 4∠B C. 4∠A D. ∠B+∠C 13. 如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 15. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（ ）米． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 16. 某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B. 水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C. 水温从加热到需要 D. 水温不低于的时间为 二、填空题(共3题，共8分) 17. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 18. 如图是一边长为6的菱形纸片，将纸片沿折叠，使点D落在边上，点A，D的对应点分别为点G，H，交于点J．若，，则的长是 ________． 19. 如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示．其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点旋转．压杆与伸缩片连接，点在上，可绕点旋转，，，，不使用时，，是中点，且点在的延长线上，则_____cm，使用时如图3，按压使得，此时点落在上，若，则压杆到底座的距离为 ____________________cm． 三、解答题(共7题；共70分) 20. 4月，某校初2021级800名学生进行了一次政治测试（满分：50分）．测试完成后，在甲乙两班各抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息： 甲班20名同学的测试成绩统计如下： 41，47，43，45，50，49，48，50，50，49，48，47，44，50，43，50，50，50，49，47． 乙班20名同学的测试成绩统计如下： 组别 频数 1 1 6 9 其中，乙班20名同学的测试成绩高于46，但不超过48分的成绩如下：47，48，48，47，48，48． 甲乙两班抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 47.5 48.5 乙班 47.5 49 （1）根据以上信息可以求出：_____，_____，_____； （2）你认为甲乙两个班哪个班的学生政治测试成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）； （3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有多少人？ 21. 如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，求的长． 22. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，． （1）求的长． （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 23. 某水渠的横断面是以为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得、分别为，，已知． （1）求的长； （2）如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为，若的长为，求的长． 24. 教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题： （1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式； （2）求出图中a的值； （3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？ 25. 如图1，已知，点O在射线上，且．以点O为圆心，为半径作，交直线于点D，E． （1）当与只有两个交点时，r的取值范围是________． （2）当时，将射线绕点B按顺时针方向旋转． ①若与相切，求的度数为多少； ②如图2，射线与交于M，N两点，若，求阴影部分的面积． 26. 如图1，将的顶点C放在上，边与相切于点C，边与交于点D．已知，，，的直径为8． （1）如图1，过点O作于点M，求的长度； （2）从图1的位置开始，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为（）． ①如图2，当时，边与的另一交点为E，求的长度； ②如图3，当经过圆心O时，试判断与之间的位置关系，并说明理由； ③在旋转过程中，直接写出点O到边的距离h的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省邯郸市鸡泽县2024~2025学年九年级上学期期中考试 数学试题（冀教版） 一、选择题(共16题；共42分) 1. 一组数据：1，3，3，3，5，若去掉一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出原中位数、平均数、众数及方差，然后得出再去掉一个数据3后的中位数、众数、平均数及方差，进而问题可求解 【详解】解：由题意得： 原中位数为3，原众数为3，原平均数为3，原方差为1.8； 去掉一个数据3后的中位数为3，众数为3，平均数为3，方差为2； ∴统计量发生变化的是方差； 故选D 【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数及方差是解题的关键． 2. 方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A. （x﹣1）2＝4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2＝16 D. （x+1）2＝16 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法即可求出答案． 【详解】解：x2﹣2x+1﹣1﹣3＝0， （x﹣1）2＝4， 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键. 3. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率是，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1－降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到已知量和未知量之间的等量关系，列出方程即可． 4. 若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　) A. k＞﹣1 B. k≥﹣1 C. k＞﹣1且k≠0 D. k≥﹣1且k≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围． 【详解】∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0， ∴k＞﹣1， ∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数， ∴k≠0， 则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0， 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0. 5. 在平行四边形中，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的面积比，设的面积为，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，推出，即可得出结果． 【详解】解：∵平行四边形中， ∴， ∴， ∴， 设的面积为，则：的面积为， ∵， ∴的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴， ∴； 故选C． 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【详解】解：∵， ， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即 ∴物体被缩小到原来的． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键． 8. 如图，在中，，E为边上的一点，，D为的中点，连接并延长交于F，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．过点A作交的延长线于点G，先证明，可得，从而得到，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点G． ∵， ∴． 又∵D为的中点， ∴． 在和中， ∵，，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ， 故选：D． 9. 如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( ) A. 米 B. 30sinα米 C. 30tanα米 D. 30cosα米 【答案】C 【解析】 【详解】在Rt△ABO中， ∵BO=30米，∠ABO为α， ∴AO=BOtanα=30tanα（米）． 故选C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是 (　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求出OA的长度，即可解决问题． 【详解】解：点A的坐标为(4，3)， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，坐标与图形，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键． 11. 如图，过轴正半轴任意一点作轴的垂线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若点是轴上任意一点，连接、，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设线段OP=x，则可求出AP、BP，继而分别得出梯形ACOP、BCOP的面积，然后两者相减可得出△ABC的面积． 【详解】设线段OP=x，则PB=，AP=， ∴S四边形ACOP=（OC+AP）×OP=OC+1；SBCOP=（OC+BP）×OP=OC+2， ∴S△ABC=S四边形BCOP-S四边形ACOP=1． 故选A． 【点睛】此题考查了反比例函数的k的几何意义，解答本题的关键是表示出线段OP、BP、AP的长度，利用“面积作差法”求解△ABC的面积，难度一般． 12. 如图，已知点A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ） A. 2∠C B. 4∠B C. 4∠A D. ∠B+∠C 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：∵∠AOB和∠C是弧所对的圆心角和圆周角， ∴根据同弧所对的圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOB=2∠C. 故选A． 考点：圆周角定理． 13. 如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理，再结合扇形面积公式和三角形面积公式，即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选A． 【点睛】本题考查圆周角定理、结合扇形面积公式、三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、结合扇形面积公式、三角形面积公式. 14. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标是原坐标乘以或． 【详解】解：以坐标原点为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形， 且点的坐标为， 点的坐标为， 故选：A． 15. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（ ）米． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD． 【详解】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE=∠C，∠B=∠CDE， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， ∴CD=3， 经检验，CD=3是所列方程的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键． 16. 某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B. 水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C. 水温从加热到需要 D. 水温不低于的时间为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 二、填空题(共3题，共8分) 17. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 18. 如图是一边长为6的菱形纸片，将纸片沿折叠，使点D落在边上，点A，D的对应点分别为点G，H，交于点J．若，，则的长是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造相似三角形，熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．延长、交于点I，由菱形的性质得，，，则，，由折叠得，，，所以，由，得，所以，即可证明，根据相似三角形的对应边成比例求得． 【详解】解：延长、交于点I， ∵四边形是边长为6的菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示．其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点旋转．压杆与伸缩片连接，点在上，可绕点旋转，，，，不使用时，，是中点，且点在的延长线上，则_____cm，使用时如图3，按压使得，此时点落在上，若，则压杆到底座的距离为 ____________________cm． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】如图2，延长，则过点，由三角形中位线定理可得的长度，如图3，过点作于，可得，在中，，知，故，可得，，由，得，即可得压杆到底座的距离为． 【详解】解：如图2，延长，则过点， 四边形是矩形， ，即， 是中点， 是的中位线， ， 如图3，过点作于， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ，即， ， 解得， ， ，， ， ，即， 解得， 压杆到底座的距离为， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 三、解答题(共7题；共70分) 20. 4月，某校初2021级800名学生进行了一次政治测试（满分：50分）．测试完成后，在甲乙两班各抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息： 甲班20名同学的测试成绩统计如下： 41，47，43，45，50，49，48，50，50，49，48，47，44，50，43，50，50，50，49，47． 乙班20名同学的测试成绩统计如下： 组别 频数 1 1 6 9 其中，乙班20名同学的测试成绩高于46，但不超过48分的成绩如下：47，48，48，47，48，48． 甲乙两班抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 47.5 48.5 乙班 47.5 49 （1）根据以上信息可以求出：_____，_____，_____； （2）你认为甲乙两个班哪个班的学生政治测试成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）； （3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）3，48，50 （2）甲班的成绩较好，理由：甲乙两班的平均数相等、甲班的中位数、众数都比乙班的大 （3）估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有380人 【解析】 【分析】（1）根据题中数据和中位数、众数的定义求解即可； （2）根据甲乙两班的平均数、中位数和众数分析决策即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：； 乙班成绩第10、11个数为成绩高于46，但不超过48分的成绩的较大的两个，为48，48． ∴； 将甲班20名同学的测试成绩按从小到大的顺序排列：41，43，43，44，45，47，47，47，48，48，49，49，49，50，50，50，50，50，50，50， 甲班的测试成绩出现次数最多的是50，因此众数是50， ∴c＝50， 故答案为：3，48，50； 【小问2详解】 解：甲班的成绩较好，理由：甲乙两班的平均数相等、甲班的中位数、众数都比乙班的大； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有380人． 【点睛】本题考查频数分布表、中位数、众数、用样本估计总体，理解中位数和众数的定义，并会利用这些统计量作决策是解答的关键． 21. 如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， 是切线， ，即， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查圆的综合应用，考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题关键是找到等角证明等边，使用勾股定理求边长，然后找出相似三角形，利用相似比求出边长． （1）利用切线性质得到，然后等量代换求出等角推出等边即可． （2）先利用勾股定理求出边长，然后利用相似三角形的相似比代换出边长求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， ∵D是的中点， ∴， ∴， ， ，， ， ， ． 22. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，． （1）求的长． （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：． 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． 23. 某水渠的横断面是以为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得、分别为，，已知． （1）求的长； （2）如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为，若的长为，求的长． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，垂径定理，弧长公式，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）在中，利用正切定义求出，然后在中，利用含的直角三角形的性质求解即可； （2）连接，利用弧长公式求出的度数，进而求出的度数，过点O作于E点，在中，利用正切定义可得出，利用勾股定理可求出，由垂径定理求出，过D作于点，则可证四边形是平行四边形，可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：连接，设， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点O作于E点， ∴， ， ∴， ， ，， ， ， 过D作于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 24. 教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题： （1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式； （2）求出图中a的值； （3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？ 【答案】（1）当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝； （2）a＝40； （3）李老师要在7：38到7：50之间接水 【解析】 【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案； （2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案； （3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案． 【小问1详解】 当0≤x≤8时，设y＝k1x+b， 将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得， 解得k1＝10，b＝20． ∴当0≤x≤8时，y＝10x+20． 当8＜x≤a时，设y＝， 将（8，100）的坐标代入y＝， 得k2＝800 ∴当8＜x≤a时，y＝． 综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝． 【小问2详解】 将y＝20代入y＝， 解得x＝40， 即a＝40； 【小问3详解】 当y＝40时，x＝＝20． ∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20， 即李老师要在7：38到7：50之间接水． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键． 25. 如图1，已知，点O在射线上，且．以点O为圆心，为半径作，交直线于点D，E． （1）当与只有两个交点时，r的取值范围是________． （2）当时，将射线绕点B按顺时针方向旋转． ①若与相切，求的度数为多少； ②如图2，射线与交于M，N两点，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）或 （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，与射线有两个交点；②当半径大于时，，圆O分别与射线，有一个交点，求出临界状态的r即可得出结论； （2）①需要分成两种情况：当射线在射线的上方与相切时，当射线在射线的下方与相切时，分别求出对应的即可； ②连接，，过点O作于点，由垂径定理可知，，进而根据三角形的三边关系可得出，再利用弓形的面积公式可得出结论． 【小问1详解】 解：（1）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，与射线有两个交点． 如图1，当与相切于点G，连接，则， 比相切之前 ∵， ∴， ∴，, 即此时, 只要半径，则只有两个交点； ②当半径大于时，⊙O分别与射线，有一个交点， 如图2，当点D刚好与点B重合，此时， 结合图形可知，r的取值范围为或r＞4； 【小问2详解】 解：①如图3，当射线在射线的上方与相切时，设切点为P，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图4，当射线在射线的下方与相切时， 设切点为P，连接， 同理， ∴， 综上所述，当为或时，射线与相切； ②如图5，连接，，过点O作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形以及扇形面积的计算方法，关键是求出的度数． 26. 如图1，将的顶点C放在上，边与相切于点C，边与交于点D．已知，，，的直径为8． （1）如图1，过点O作于点M，求的长度； （2）从图1的位置开始，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为（）． ①如图2，当时，边与的另一交点为E，求的长度； ②如图3，当经过圆心O时，试判断与之间的位置关系，并说明理由； ③在旋转过程中，直接写出点O到边的距离h的取值范围． 【答案】（1） （2）① ②与相切，理由为： 过点O作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； ③ 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，进而得到，利用勾勾股定理即可求出的长； （2）①计算出的圆心角，代入弧长公式即可解题；②过点O作于点F，根据角的直角三角形的性质可以得到，即可得到结论；③由旋转可以找到距离最大和最小位置，然后计算解题即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵边与相切于点C， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 ①如图，连接、， 时，， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为； ②略 ③如图，当点、、三点共线时，最大，这时； 如图，当点在上时，最小，这时； ∴在旋转过程中，h的取值范围为． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，弧长公式，旋转的性质，掌握圆的相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $