第5单元 第4节 菱形-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

OA =OC. 第四节菱形 .BN NO.OM MD,..NO =OM, ①相等②相等③垂直平分④平分⑤轴⑥中心 ∴.四边形ANCM为平行四边形. 方案乙：四边形ABCD是平行四边形 ⑦对角线的交点 ⑧2⑨号4C·BD02AC·BD AB=CD,AB∥CD,∠ABN=∠CDM. ①邻边②相等B垂直垂直平分 .·AN⊥BD.CM⊥BD. ∴.AN∥CM.∠ANB=∠CMD=90°， ∠ABN=∠CDM. 1w2a5024号兰③号 在△ABN和△CDM中， ∠ANB=∠CMD, 2(0,-5)c4菱2号万 AB CD. 5.(1)证明：BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBE ·.△ABN≌△CDM(AAS),AN=CM 四边形ABCD是平行四边形.∴.AD∥BC, 又AW∥CM,∴四边形ANCM为平行四边形 方案丙：四边形ABCD是平行四边形， ∠AFB=∠FBE,.∠ABF=∠AFB,∴.AB=AF .BE =AB,..AF BE. ∴.∠BAD=∠BCD,AB=CD.AB∥CD .∠ABN=∠CDM. 又：AF∥BE,∴.四边形ABEF是平行四边形. .AN平分∠BAD,CM平分∠BCD,..∠BAN=∠DCM. 又BE=AB,∴.平行四边形ABEF是菱形 ∠ABN=∠CDM, (2)∠BAD的平分线和LABC的平分线 在△ABN和△CDM中，AB=CD 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C∠BAN=∠DCM. AF =AB,BE =AB ,.△ABN≌△CDM(ASA), 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 .AN=CM.∠ANB=∠CMD BD的垂直平分线 .∠ANM=∠CMN,.AN∥CM 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 .四边形ANCM为平行四边形. 证明：选择图2：四边形ABCD是平行四边形 (答案不唯一，挑选其中一种方案进行证明即可) ,.AD∥BC 第三节矩形 ,∴.∠AFB=∠FBE,∠FAE=∠AEB ①平行且相等②直角③相等④平分⑤轴 BF平分∠ABC,AE平分∠BAD, ⑥中心⑦对角线的交点⑧2⑨AB·BC⑩直角 ∴.∠ABF=∠FBE,∠BAE=∠FAE ①直角2相等 ∴.∠AFB=∠ABF,∠BAE=∠AEB 1.(1)505080 .AB AF,AB BE,..AF BE. (2)005②2s48③12④ 又：AF∥BE,.四边形ABEF是平行四边形 又AB=AF,∴四边形ABEF是菱形. 2.C (答案不唯一) 3(1)证明：四边形ABCD是矩形， .0A=0B=0C=0D. 第五节正方形 AE BF=CG=DH,..OE=OF=0G=OH. ①平行②相等③直角④垂直平分⑤平分 .四边形EFGH是矩形. ⑥45°⑦45°8轴⑨中心0对角线的交点①4 (2)解：0H=0G,HG=0G. e时 ⑧1：2函相等5直角⑩相等⑦直角 .△OGH是等边三角形，.∠DC0=∠HG0=60. CD=AB=2cm,∴AD=CD·tan60°=23(cm) 8垂直1四相等②0菱形团矩形②正方形四一半 .cD-2(m). 1.(1)9045(2)67.522.5 (3)①8242②3216③42 :△AD0与△ODC等底等高， 2.A 1 =Su =3(em). 3.(1)证明：P为AB的中点.AP=BP ∠CAB=∠ABD=50°，∴.AM∥BY, 4.(1)∠BAC的平分线(2)303 、∠AMP=∠BNP.∴.△APM≌△BPN(AAS). (3)解：四边形ABCD为矩形， .AM BN. .AD∥BC,AD=BC=3.∠ABC=90° 又.·AM∥BN,.四边形MBNA为平行四边形 由(2)知，∠ACB=30°.∴.∠BAC=60° (2)80(3)90(4)不可能 由(1)知，AP平分∠BAC, 六∠BAE=3∠BAC=30, 4()A(2)正方形2,2 5.B 第六单元圆 BE=AB·a30=号CE=BC-E=23 3 第一节圆的相关概念与性质 CE∥AD,∴.△CEF∽△ADF 23 ①0A,0B,0D②BD3ABD.BAc.CAD.ADB.ADG .CF=CE 2 CF 2 4 ④AB.BC.CD,AD,AC⑤∠AOB,∠A0D⑥∠BDC ⑦①圆心⑧半径⑨圆心02①优弧②三 河北数学 53第四节菱形 -阶尸 教材知识全梳理 考点1菱形的性质（重点） 性质 几何语言 对边平行 AB∥CD,AD∥BC 边 四条边都① AB=BC=CD=AD 角 对角② ∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC AC⊥BD,OA=OC,OB=OD: 对角线互相③ ,并且每条 对角线 AC平分∠BAD和∠BCD, 对角线④ 组对角 BD平分∠ABC和∠ADC 既是⑤ 对称图形，又是⑥ 对称图形，对称中心是⑦ 对称性 有⑧ 条对称轴 周长、面积 C菱形4n=4AB:S菱形D=底×高=⑨ 【特别提醒】(1)菱形的两条对角线把菱形分成了四个全等的直角三角形：(2)常用等面积法求 菱形的高或边长或对角线长；(3)若菱形有一个内角为60°，则连接两个120°内角顶点的对角 线将菱形分成两个全等的等边三角形. 【知识拓展】对角线互相垂直的任意四边形的面积均等于两条对角线乘积的 一半.如图，在四边形ABCD中，若AC⊥BD,则S道彩CD=SABc+SAc= 24C,B0+24C·D0=24C,(B0+D0)=0 考点2菱形的判定 判定 几何语言 有一组① 相等的平行四边 ,四边形ABCD是平行四边形，AB=AD 形是菱形（定义） ∴.四边形ABCD是菱形 边 四条边都@ 的四边形是 .AB=BC =CD =AD, 菱形 .四边形ABCD是菱形 82 众相原创赋能中考 续表 对角线互相B 的平行四边 ,四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD 形是菱形 二四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相④ 的四边 ,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD 形是菱形 ,∴.四边形ABCD是菱形 二阶了 追本潮源练考点 教材·真题·课标 日考点1菱形的性质(10年4考：2023.15) 证：四边形ABCD是菱形.” 1.教材（人教八下P57T1改编）如图，菱形 ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 一题多点 并将自己的证明过程与同学淇淇交流 (1)若∠ABC=60°，则∠CAD= 证明：AC⊥BD,OB=OD, (2)若AC=6,BD=8,则： ∴.AC垂直平分BD, ①AB= ,菱形ABCD的周长为 ,∴·AB=AD,CB=CD, 面积为 四边形ABCD是菱形. ②点O到AB所在直线的距离为 ,点 淇淇看完后认为这个题目需要补充一个条 A到BC所在直线的距离为 件才能证明.下列说法正确的是() ③若E是AB的中点，则OE= A.题目严谨，不用补充条件 2.教材（冀教八下P125B组T3改编）如图， B.题目不严谨，可补充：OA=OB 在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D C.题目不严谨，可补充：AD∥BC 在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为 D.题目不严谨，可补充：AB⊥BC (12,13),则点C的坐标是 4.教材（人教八下P58T3改编）如图，两把 完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分 构成一个四边形，这个四边形是 形； 如果直尺的宽度是子2cm,两把直尺所夹 的锐角为45°，那么这个四边形的周长 日考点2菱形的判定(2016.6) 为 cm,面积为 cm2. 3.教材（人教八下P57例4改编）嘉嘉自编 了一道题：“如图，四边形ABCD的对角线 AC,BD相交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求 河北数学 83 三阶了分层设问攻重难 基础·能力·培优 ©重难点以平行四边形为背景，与 能力层》 尺规作图结合的菱形的判定 (2)图2作的是 5.如图是在平行四边形中利用尺规作菱形的 ,判定四边形ABEF是菱形的依 四种方法： 据： 图3作的是 ,判定四 边形ABEF是菱形的依据： 图 图2 图4作的是 ,判定四 边形EBFD是菱形的依据： 请你从图2~图4中选择其中一个进行 图3 图4 证明。 基础层》】 (1)图1作的是BE=AB和∠ABC的平分 线，判定四边形ABEF是菱形的依据：有一 组邻边相等的平行四边形是菱形.请你写 出完整的证明过程： 温馨提示 请完成分层进阶练习册P113~P114习题 84 众相原创赋能中考