24.4 解直角三角形 教案2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

24.4 解直角三角形 第1课时 解直角三角形 ※教学目标※ 【知识与技能】 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 【过程与方法】 通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 【情感态度】 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯. 【教学重点】 直角三角形的解法. 【教学难点】 三角函数在解直角三角形中的灵活运用. ※教学过程※ 一、复习引入 1.在三角形中共有几个元素？ 2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ 二、探索新知 1.解直角三角形 我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素. (1)概念： 由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. （2）思考：为什么要至少有一条边? 2.已知两条边，求其余未知元素. 【例1】如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高多少？ 分析：我们在遇到实际问题时，应该先把新问题与我们熟悉的问题联系起来，再把新问题转化成熟悉的问题来进行研究.对于现实问题通常化为数学模型来处理，这里体现数学建模的思想. 解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为=13,13+5=18(米). 答：大树在折断之前高18米. 3.已知一条边和一个锐角，求其余未知元素. 【例2】如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方.试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米） 解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,=tan∠CAB, ∴BC=AB·tan∠CAB=2000×tan50°≈2384(米). ∵=cos50°,∴AC=≈3111(米). 答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米. 三、巩固练习 1.在电线杆离地面8米高处向地面拉一条缆绳，缆绳和地面成53°7′角，求该缆绳的长及缆绳地面固定点到电线杆底部的距离.（精确到0.1米） 2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短.求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里） 答案：1.如图所示，∵AC=8米，∠B=53°7′，∴AB=≈10.0(米),BC=≈6.0(米).∴该缆绳的长约为10.0米，缆绳地面固定点到电线杆底部的距离约是6.0米. 2.如图所示，当灯塔Q与海船的距离最短时，QB⊥AB.由题意知AB=32.6×=16.3(海里).∵=tan∠BAQ=tan30°,∴BQ=AB×tan30°=16.3×≈9.4(海里).答：灯塔Q到B处的距离约为9.4海里. 四、应用拓展 本节的重要内容是解直角三角形的有关知识，解直角三角形的依据是勾股定理、两锐角互余和边角之间的关系，一般有两种类型：已知两边，已知一边和一锐角，解题时要选择适当的关系式，尽可能使用原题数据和避免做除法运算. ※课后作业※ 教材第117页习题24.4第1题. 第2课时 俯角与仰角 ※教学目标※ 【知识与技能】 1.了解仰角、俯角、方位角的概念. 2.能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题. 【过程与方法】 能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合、抽象归纳的思想方法. 【情感态度】 感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义. 【教学重点】 解直角三角形在实际中的应用. 【教学难点】 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题. ※教学过程※ 一、复习引入 1.什么是解直角三角形？ 2.解直角三角形的依据是什么？ 二、探索新知 1.仰角、俯角. （1）几个概念：①铅垂线；②水平线；③视线；④仰角:视线在水平线的上方，视线与水平线的夹角；⑤俯角：视线在水平线的下方，视线与水平线的夹角. （2）应用. 【例1】如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°.求旗杆BC的高.（精确到0.1米） 解：在Rt△CDE中， ∵CE=DE×tanα =AB×tanα =10×tan52° ≈12.80(米)， ∴BC=BE+CE=DA+CE ≈1.50+12.80=14.3(米). 答：旗杆BC的高度约为14.3米. 2.方位角. 【例2】如图，A城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A城南偏东30°的海面B处生成，并以每小时40海里的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°的方向的C处，若台风中心120海里的范围内将受台风影响，问A城是否会受9号台风影响？ 分析：A城是否会受台风影响，就是A城到台风移动路线BC的距离是否大于120海里. 解：过A作AE⊥BC延长线于E，设AE=EC=x,则BE=x. ∵BC=2×40=80, ∴BC=BE-CE=(-1)x=80. ∴x=40(+1)≈109.3<120. 答：A城会受台风影响. 三、巩固练习 1.如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ） A.250m B.250m C.m D.250m 2.两座建筑物DA与CB，其地面距离DC为50.4米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角α=20°，测得其底部C的俯角β=35°.求这两座建筑物的高.（精确到0.1米） 3.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度，已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离CD是1.5m,看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）. 请求出旗杆MN的高度.（参考数据：≈1.4,≈1.7,结果保留整数） 答案：1.A 2.由题意知，在矩形ADCE中，CE=AD，AE=CD=50.4米.在Rt△ADC中，∠DAC=90°-β=55°， 则AD=≈35.3(米).在Rt△ABE中，∠BAE=20°,AE=50.4米,则BE=AE×tan20°=50.4×tan20°≈18.3(米).故CB=CE+BE=AD+BE≈35.3+18.3=53.6(米).答：建筑物DA的高约为35.3米，CB的高约为53.6米. 3.12m 四、归纳小结 1.解决仰角、俯角、方位角有关的问题时，常用的两个基本图形.  2.通常学习两个例题及练习，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体地说，就是利用正切解直角三角形，从而把问题解决. ※课后作业※ 教材第117页习题24.4第3、4题. 第3课时 坡度与坡角 ※教学目标※ 【知识与技能】 会运用解直角三角形有关知识解决与坡度、坡角有关的实际问题. 【过程与方法】 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法. 【情感态度】 进一步感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义. 【教学重点】 解决有关坡度的实际问题. 【教学难点】 理解坡度的有关术语. ※教学过程※ 一、复习引入 前面我们研究了与仰角、俯角、方位角有关的问题，今天研究与坡度、坡角有关的问题. 二、探索新知 1.几个概念. （1）铅垂高度h; （2）水平长度l; （3）坡度（坡比）i: 坡面的铅垂高度h和水平长度l的比i=; (4)坡角α:坡面与水平面的夹角α,i==tanα.显然，坡度i越大，坡角α就越大，坡面就越陡. 2.应用. 【例1】在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）. 分析：题目中出现的术语——株距、倾斜角，需重点说明.引导学生将实际问题转化为数学问题，画出图形. 已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB. 解：在Rt△ABC中，cosA=,∴AB=≈6.0(米). 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米. 【例2】如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，其坡面的坡角分别是32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1米） 解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F. 由题意可知：DE=CF=4.2米， EF=CD=12.51米. 在Rt△ADE中,∵=tan32°, ∴AE=≈6.72米. 在Rt△BCF中，同理可得 BF=≈7.90米. ∴AB=AE+EF+BF≈6.72+12.51+7.90≈27.1(米). 答：路基下底的宽约为27.1米. 三、巩固练习 1.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽为6.2米，坝高为23.5米，斜坡AB的坡度i1=1∶3,斜坡CD的坡度i2=1∶2.5.求： （1）斜坡AB与坝底AD的长度（精确到0.1米）； （2）斜坡CD的坡角α（精确到1°）. 2.设建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD，如图所示，设路基高为h,两侧的坡角分别α和β，已知h=2米，α=45°,tanβ=,CD=10米. （1）求路基底部AB的宽； （2）修筑这样的路基1000米，需要多少方土？ 答案：1.如图所示，过点B、C分别作BE⊥AD、CF⊥AD，交AD于点E、F. （1）由i1=1∶3,得tanA=,所以∠A≈18.43°.AB=≈74.3(米).AE==70.5(米).由i2=1∶2.5,得tanD=,所以∠D≈21.8°.FD==58.75(米).所以AD=AE+EF+FD=70.5+6.2+58.75≈135.5(米). 综上，斜坡AB长约为74.3米，坝底AD长约为135.5米. （2）因为tanα=i2=,所以∠α≈22°,即斜坡CD的坡角α约为22°. 2.（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F. 在Rt△ADE中，∠α=45°，DE=h=2米, ∴AE=DE=h=2米.在Rt△BCF中，tanβ=, CF=h=2米, ∴BF=2CF=4米.故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(米).  （2）S梯形ABCD=(AB+CD)·h=×(10+16)×2=26（平方米）.因此所需的土石方数是26×1000=26000(立方米). 四、归纳小结 1.在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的是什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题. 2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. ※课后作业※ 教材第117页习题24.4第2题.  学科网（北京）股份有限公司 $$