专题06 数列（6大考点）-【中职专用】2025年技能高考数学二轮复习专项突破（湖北专用）

专题06 数列 考纲解析 · 数列的概念 · 等差数列的定义、通项公式及前n项和公式 · 等比数列的定义、通项公式及前n项和公式 · 数列的应用 考点预测 · 数列的有关概念 · 等差数列的定义、通项公式及前n项和公式 · 等比数列的定义、通项公式及前n项和公式 要点自测 知识点01 数列的有关概念 概念 含义 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 考点突破 1．下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 【答案】A 【分析】根据数列的定义可判断各项的正误. 【详解】对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确． 对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误． 对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误． 对于D，当都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列， 当中至少有一个不代表数时，不能构成数列， 因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误． 故选：A. 2．数列，，，，…的第9项是（    ） A． B．19 C． D．17 【答案】D 【分析】观察可得数列的一个通项公式为，再代入计算可得. 【详解】数列，，，，…，的通项公式可以为， 所以. 故选：D 3．斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（    ） A．34 B．55 C．68 D．89 【答案】B 【分析】先观察数列，再利用发现的规律求出第10项. 【详解】观察数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…，发现从第3项起，每一项均为其前2项的数之和， 则第9项：13＋21＝34，第10项：21＋34＝55. 故该数列的第10项为55． 故选：B. 知识点02 已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并． 考点突破 4．已知数列的前项和为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的定义即可代入求解. 【详解】, 故选：D 5．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，求得；当时，根据化简得，再检验得出通项公式即可. 【详解】当时，； 当时，， 经验证，不符合上式，所以 故选：. 6．已知数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】根据的关系求得即可得解. 【详解】，解得， 当时，，即， 所以，所以. 故选：D. 知识点03 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示． 符号语言形式 对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差． 通项公式 首项为，公差为的等差数列的通项公式为：， 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． 考点突破 7．在等差数列中，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质可得公差为，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得，则， 所以. 故选：D 8．在等差数列中，，公差，则首项（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列通项公式即可得到答案. 【详解】. 故选：D. 9．等差数列中，，则（    ） A．26 B．22 C．18 D．14 【答案】B 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可得公差， 故, 故选：B 知识点04 等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式 公式一： 公式二： 考点突破 10．在等差数列中，，则其前10项和（    ） A．72 B．80 C．36 D．40 【答案】D 【分析】由等差数列的性质可得，由等差数列的前项和公式可求. 【详解】由等差数列的性质可得， 由题意，. 故选：D. 11．已知等差数列满足，则的前15项的和为（    ） A．30 B．20 C．15 D．5 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】． 故选：A 12．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．48 B．42 C．24 D．21 【答案】B 【分析】利用等差数列项的性质求出的值，再由等差数列的求和公式即可求得. 【详解】因为等差数列，故， 则. 故选：B. 知识点05 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 考点突破 13．在等比数列中，若，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义求出公比，结合等比数列的通项公式计算即可求解. 【详解】由题意知，设等比数列的公比为， 则， 所以. 故选：A 14．已知数列是公比为的等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列通项公式即可求解. 【详解】由题意得，由，得. 故选：B. 15．等比数列中，，公比，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列通项公式直接求解即可. 【详解】数列为等比数列，，解得：. 故选：C. 知识点06 等比数列的前n项和公式 等比数列的前项和公式 考点突破 16．等比数列的首项，公比，则等于（    ） A． B．31 C． D．63 【答案】D 【分析】利用等比数列前项和公式求解. 【详解】因为等比数列的首项，公比， 所以. 故选：D. 17．已知是等比数列的前n项和，，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 【答案】D 【分析】利用等比数列通项和前n项和的基本量运算列出方程，求解即得. 【详解】由， 因，代入得，， 即，解得，或. 故选：D. 18．已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（    ） A．11 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列前n项和公式求解. 【详解】根据题意，. 故选：A 模拟演练 一、单选题 1．在数列中，若，，，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出数列的周期，再由此求出. 【详解】在数列中，，则， 因此数列数列的周期为3，所以. 故选：D 2．若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【答案】D 【分析】根据数列的图象是直角坐标系里一个个散点，一一判定选项即可. 【详解】数列的通项公式为， 它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误， 当时，，该点在第四象限， 当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误. 故选：D. 3．在公差为的等差数列中，若，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由等差数列通项公式即可求解 【详解】因为为公差为的等差数列， 所以 故选：D 4．若数列为等差数列，且，则等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：D 5．在等差数列中，满足，，则（    ） A．11 B．14 C．15 D．17 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式的性质求解． 【详解】是等差数列，则， 故选：B． 6．设等比数列的前项和为，若，且，则等于（    ） A．3 B．303 C． D． 【答案】A 【分析】先利用等比数列通项公式求得公比，再利用等比数列的前项和公式可求. 【详解】设等比数列的公比为，由可得， 故． 故选：A 7．已知等比数列的前2项和为12，， 则公比的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，设等比数列的公比为， 则，即， 解得，. 所以. 故选：A 8．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 【答案】B 【分析】利用等差数列的前项和的性质代入计算即得. 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 即，即，解得. 故选：B. 二、填空题 9．已知数列的前项和满足，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】利用来求得正确答案. 【详解】由题设得，所以，化简得， 所以数列是首项，公比为的等比数列，所以， 当时，依然成立，所以． 故答案为： 10．已知数列是公差为-2的等差数列，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，结合已知可求，进而可求数列的通项公式. 【详解】由题可得，又，解得， 所以， 数列的通项公式为. 故答案为：. 11．若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则 ． 【答案】189 【分析】根据给定条件，利用等比数列前项和公式计算即得. 【详解】由数列为首项为3，公比为2的等比数列，得. 故答案为：189 12．已知等比数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】设等比数列的公比，由已知列出方程组，求出即可求出. 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 则，由，得，解得， 所以. 故答案为： 三、解答题 13．已知数列的前项和为，且，求的通项公式． 【答案】 【分析】根据，可求出的通项公式. 【详解】当时，； 当时， 由于不适合此式，所以. 14．已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解； （2）求得数列的所有正数项，它们的和为的最大值. 【详解】（1）因为数列是首项为23，公差为-4的等差数列， 所以数列的通项公式为； （2）令，可得，所以数列的前6项为正， 所以数列的前6项和为的最大值，最大值=. 15．正项数列满足，，证明：数列为等比数列. 【答案】证明见解析 【分析】依题意可得，即可得结合等比数列的定义证明即可. 【详解】因为，所以， 又因，所以， 所以根据等比数列定义可知是以为首项，为公比的等比数列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数列 考纲解析 · 数列的概念 · 等差数列的定义、通项公式及前n项和公式 · 等比数列的定义、通项公式及前n项和公式 · 数列的应用 考点预测 · 数列的有关概念 · 等差数列的定义、通项公式及前n项和公式 · 等比数列的定义、通项公式及前n项和公式 要点自测 知识点01 数列的有关概念 概念 含义 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 考点突破 1．下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 2．数列，，，，…的第9项是（    ） A． B．19 C． D．17 3．斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（    ） A．34 B．55 C．68 D．89 知识点02 已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并． 考点突破 4．已知数列的前项和为，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B． C．16 D． 知识点03 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示． 符号语言形式 对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差． 通项公式 首项为，公差为的等差数列的通项公式为：， 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． 考点突破 7．在等差数列中，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 8．在等差数列中，，公差，则首项（   ） A． B．4 C．0 D． 9．等差数列中，，则（    ） A．26 B．22 C．18 D．14 知识点04 等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式 公式一： 公式二： 考点突破 10．在等差数列中，，则其前10项和（    ） A．72 B．80 C．36 D．40 11．已知等差数列满足，则的前15项的和为（    ） A．30 B．20 C．15 D．5 12．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．48 B．42 C．24 D．21 知识点05 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 考点突破 13．在等比数列中，若，则（    ） A．4 B．8 C． D． 14．已知数列是公比为的等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 15．等比数列中，，公比，若，则（    ） A． B． C． D． 知识点06 等比数列的前n项和公式 等比数列的前项和公式 考点突破 16．等比数列的首项，公比，则等于（    ） A． B．31 C． D．63 17．已知是等比数列的前n项和，，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 18．已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（    ） A．11 B．16 C． D． 模拟演练 一、单选题 1．在数列中，若，，，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 3．在公差为的等差数列中，若，则（    ） A．4 B． C．3 D． 4．若数列为等差数列，且，则等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．在等差数列中，满足，，则（    ） A．11 B．14 C．15 D．17 6．设等比数列的前项和为，若，且，则等于（    ） A．3 B．303 C． D． 7．已知等比数列的前2项和为12，， 则公比的值为（    ） A． B．2 C． D．3 8．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 二、填空题 9．已知数列的前项和满足，则的通项公式为 ． 10．已知数列是公差为-2的等差数列，且，则数列的通项公式为 ． 11．若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则 ． 12．已知等比数列满足，，则 ． 三、解答题 13．已知数列的前项和为，且，求的通项公式． 14．已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求的最大值. 15．正项数列满足，，证明：数列为等比数列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$