第19讲 等差数列（考点精练）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第19讲 等差数列 1．8，2的等差中项是（ ） A．±5 B．±4 C．5 D．4 2．在等差数列中，，，则公差（     ） A． B． C．2 D．3 3.在等差数列中，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 5．在等差数列中，则 =（ ） A． B． C． D． 6. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A． B． C． D． 7．已知为等差数列且，，为其前项的和，则（ ） A．176 B．182 C．188 D．192 8．首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B. （-∞，3.5） C.[3，3.5） D.（3，3.5] 9.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)(　 　) A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 10．已知数列的通项公式为，则（ ） A．数列为等差数列，公差 B．数列为等差数列，公差 C．数列为等比数列，公比 D．数列为等比数列，公比 11．已知等差数列，，，则数列的前100项和（ ） A． B． C． D． 12.已知数列中，则数列的前项和最大时，的值为（ ） A．8 B．7或8 C．8或9 D．9 13．已知等差数列的前三项分别为，则这个数列的通项公式为 . 14．一个等差数列共有项，首项为，公差为，末项为，则 ． 15.已知在等差数列中，是方程的两个根，则__________. 16．如图所示，某地区为了绿化环境，在区域内大面积植树造林，第棵树在点处，第棵树在点处，第棵树在点处，第棵树在点处，根据此规律按图中箭头方向每隔个单位种棵树，那么： (1)第棵树所在点的坐标是，则 ； (2)第棵树所在点的坐标是 。 17.已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是 . 18．设等差数列的前项和为，且，，则 。 19．已知等差数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 20．已知是等差数列，其中，公差， （1）求的通项公式. （2）求数列前项和. 21．已知等差数列满足，. （1）求该数列的公差和通项公式； （2）设为数列的前项和，若，求的取值范围. 22.已知等差数列，为其前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，为数列的前项和，求． 1．已知等差数列前项和为，若，则( ) A． B． C． D． 2．“、、成等差数列”是“”的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　) A．28 B．29 C．30 D．31 4．等差数列的前项和为30，前项和为100，则前项和为（ ） A．130 B．170 C．210 D．260 5．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为(　　) A．己丑年 B．己酉年 C．丙寅年 D．甲寅年 6.和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ） A． B． C． D． 7.已知等差数列的前n项和为，且，，则取得最大值时（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 8．已知等差数列，的前项和分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 9．等差数列中，，，则数列各项中取值为正数的有（ ） A．8项或9项 B．7项或8项 C．17项或18项 D．16项或17项 10．对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“优值”，已知数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为(　　) A．－70 B．－72 C．－64 D．－68 11．在等差数列中，若，则______. 12.数列是等差数列，且a1＝1，a3＝－，那么a2 024＝________. 13．记等差数列的前项和为，若，，则的最大值为 。 14.记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 15．在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项． (1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前n项和Sn. 16．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 等差数列 1．8，2的等差中项是（ ） A．±5 B．±4 C．5 D．4 【答案】C 【解析】 8，2的等差中项为. 2．在等差数列中，，，则公差（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】在等差数列中，，，所以. 3.在等差数列中，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】等差数列中,,，由通项公式可得 ，解得 ． 4．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为d. 由已知条件，得，即，解得. 5．在等差数列中，则 =（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由等差数列的性质有，则. 6. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】　A 【解析】　由题知，，解得，∴． 7．已知为等差数列且，，为其前项的和，则（ ） A．176 B．182 C．188 D．192 【答案】D 【详解】，，， . 8．首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B. （-∞，3.5） C.[3，3.5） D.（3，3.5] 【答案】D 【详解】an＝－21＋(n－1)d，因为从第8项起为正数，所以a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d>0，解得3<d≤. 9.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)(　 　) A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 【答案】 B 【解析】 由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{an}，设公差为d， ∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸， ∴ 解得 ∴芒种日影长为a12＝a1＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸． 10．已知数列的通项公式为，则（ ） A．数列为等差数列，公差 B．数列为等差数列，公差 C．数列为等比数列，公比 D．数列为等比数列，公比 【答案】B 【解析】∵数列的通项公式为，∴，故数列为等差数列，且公差. 11．已知等差数列，，，则数列的前100项和（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为等差数列且，，故，故，故数列的前100项和为. 12.已知数列中，则数列的前项和最大时，的值为（ ） A．8 B．7或8 C．8或9 D．9 【答案】 C 【解析】 ，数列是等差数列，并且公差为， ， 对称轴是，，所以当或时，取得最大值. 13．已知等差数列的前三项分别为，则这个数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】∵等差数列的前三项分别为，∴，解得． ∴，∴数列是以1为首项，4为公差的等差数列，． 故答案：． 14．一个等差数列共有项，首项为，公差为，末项为，则 ． 【答案】 【解析】由题意，等差数列共有项，首项为，公差为，可得等差数列的通项公式为， 令，即，解得，故答案为. 15.已知在等差数列中，是方程的两个根，则__________. 【答案】 【解析】是方程的两个根，，. 16．如图所示，某地区为了绿化环境，在区域内大面积植树造林，第棵树在点处，第棵树在点处，第棵树在点处，第棵树在点处，根据此规律按图中箭头方向每隔个单位种棵树，那么： (1)第棵树所在点的坐标是，则 ； (2)第棵树所在点的坐标是 。 【答案】 【解析】(1)设为第一个正方形，种植棵树，依次下去， 第二个正方形种植棵树，第三个正方形种植棵树， 构成公差为的等差数列， 个正方形有棵树， 由第棵树所在点坐标是，则； (2)由(1)可知正方形种植的树，它们构成一个等差数列，公差为， 故前个正方形共有棵树， 又，，，因此第棵树在点处。 17.已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是 . 【答案】　16 【解析】　设等差数列的首项为，公差为， 则，解得．所以. 18．设等差数列的前项和为，且，，则 。 【答案】 【解析】∵是等差数列，∴、、、成等差数列， ∴，即，解得， 又，即，解得。 19．已知等差数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【解析】（1）因为等差数列中，首项为，公差为， 所以其通项公式为； （2）由（1）可得，数列的前项和. 20．已知是等差数列，其中，公差， （1）求的通项公式. （2）求数列前项和. 【解析】（1）是等差数列，且，， ； （2）. 21．已知等差数列满足，. （1）求该数列的公差和通项公式； （2）设为数列的前项和，若，求的取值范围. 【答案】（1）;;（2）且 【解析】解：（1）由等差数列通项公式，将，代入解得，所以数列的通项公式为. （2）由可得，因为，所以，所以或. 因为，所以的取值范围为且. 22.已知等差数列，为其前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，为数列的前项和，求． 【答案】（1），；（2），. 【解析】解：（1）由题意，，可得，若公差为，∴，故， ∴的通项公式. （2）由（1）得，则，∴. 1．已知等差数列前项和为，若，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】． 2．“、、成等差数列”是“”的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，，成等差数列， 但不能保证、、均为正数． 3．已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　) A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【解析】设等差数列{an}共有2n＋1项， 则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n， 该数列的中间项为an＋1， 又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1， 所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29. 4．等差数列的前项和为30，前项和为100，则前项和为（ ） A．130 B．170 C．210 D．260 【答案】C 【解析】∵为等差数列，∴成等差数列， 即成等差数列，，解得. 5．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为(　　) A．己丑年 B．己酉年 C．丙寅年 D．甲寅年 【答案】A 【解析】根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年． 6.和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知条件可得，则，因此，. 7.已知等差数列的前n项和为，且，，则取得最大值时（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】 A 【解析】 设等差数列的公差为，则，解得，故，故当时，；当时，，所以当时，取最大值. 8．已知等差数列，的前项和分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 9．等差数列中，，，则数列各项中取值为正数的有（ ） A．8项或9项 B．7项或8项 C．17项或18项 D．16项或17项 【答案】A 【解析】若，则，得，而，所以，即，所以；若，得，而，所以，即，所以； 若，则，得.所以数列各项中取值为正数的有8项或9项. 10．对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“优值”，已知数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为(　　) A．－70 B．－72 C．－64 D．－68 【答案】B 【解析】∵数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，∴Hn＝＝2n＋1， ∴a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1，∴2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n(n≥2)， ∴an＝4n－2(n－1)＝2n＋2(n≥2)，又a1＝4，满足上式， ∴an＝2n＋2(n∈N*)，∴an－20＝2n－18， ∴{an－20}是以－16为首项，2为公差的等差数列， 所以{an－20}的前n项和Sn＝n2－17n.由得8≤n≤9， ∴Sn的最小值为S8＝S9＝－72. 11．在等差数列中，若，则______. 【答案】 【解析】由等差中项的性质可得，可得， 因此，.故答案为：. 12.数列是等差数列，且a1＝1，a3＝－，那么a2 024＝________. 【答案】－ 【解析】设等差数列的公差为d，因为a1＝1，a3＝－，所以＝1，＝3.所以3＝1＋2d，解得d＝1.所以＝1＋n－1＝n，所以an＝－1.所以a2 024＝－1＝－＝－. 13．记等差数列的前项和为，若，，则的最大值为 。 【答案】 【解析】即，， ，，，∴。 14.记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【解析】(1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又为正整数，故的最小值为. 15．在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项． (1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前n项和Sn. 【解析】 (1)∵an是1与anan＋1的等差中项，∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝， ∴an＋1－1＝－1＝，∴＝＝1＋， ∵＝1，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列， ∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝. (2)由(1)得＝＝－， ∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝. 16．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 【解析】(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an， ∴数列{an}是等差数列，设其公差为d， ∵a1＝8，a4＝2，∴d＝＝－2，∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*. (2)设数列{an}的前n项和为Sn，则由(1)可得， Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2，n∈N*. 由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5， ∴当n>5时，an<0， 则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an) ＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40； 当n≤5时，an≥0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2， ∴Tn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$