第19讲 等差数列（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第19讲 等差数列 【考纲要求】 1. 了解等差数列的概念；了解等差数列前n 项和公式的推导过程； 2. 掌握等差数列的通项公式及前n 项和公式。 3. 初步掌握从实际情境中抽象出等差数列模型解决简单实际问题的方法 1．等差数列的概念及通项 (1)定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示，即（，，为常数）或（，为常数）. (2) 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． (3)等差数列通项公式 (4)等差数列的判定 ① (定义法)； ②(中项法); ③(通项法, 一次函数)； ④(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点). 2．等差数列前n项和 (1) ； ，其推导方法是倒序相加法． (2)等差数列前n项和公式与二次函数的关系 等差数列的前项和,令,则 . 3．等差数列的性质 设为等差数列,公差为,则 (1)若,则.特别地,若,则; (2)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． (5)连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为 (6)S2n－1＝(2n－1)an. (7)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列． 考点01 等差数列的概念及通项公式 例1：下列数列中成等差数列的是（ ） A． B． C． D． 变式：等差数列的第4项为（ ） A． B． C． D． 例2：等差数列中，，，则公差等于（ ） A． B． C． D． 变式：已知等差数列中，，则公差d的值为（ ） A． B．1 C． D． 例3：等差数列中，已知，，则（     ） A．2 B．14 C．12 D．8 变式：在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 例4．已知数列中，，，则等于（ ） A．-12 B．12 C．-16 D．16 变式：在数列中，，，若，则（ ） A．671 B．672 C．673 D．674 考点02 等差数列的性质 例1：已知等差数列中，，，则与的等差中项为__________. 变式：已知、都是等差数列，若，，则( )。 A． B． C． D． 例2：等差数列中，，的前项和为，则 ． 变式：记为等差数列的前项和，若，则 ． 例3：已知在等差数列{an}中，若a8＝8且log2()＝22，则S13等于(　　) A．40 B．65 C．80 D．40＋log25 变式：已知数列满足且，则( ) A．-3 B．3 C． D． 例4：设等差数列的前项和为，且，，则 ． 变式：设等差数列的前n项和为，若，则（     ） A．45 B．32 C．47 D．54 例5：已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝ . 变式：在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ） A．0 B．2018 C． D．2020 考点03 等差数列求和 例1：在等差数列中，已知，则（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式：在等差数列中，为其前项和.若，则__________. 例2：等差数列满足，则数列前项的和为 变式：等差数列前项和为， ，则（     ） A． B． C． D． 例3：已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A．90 B．135 C． D． 变式：已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 例4：在等差数列中，若，则的值是（ ） A．12 B．24 C．36 D．48 变式：记等差数列的前项和为，若，则 ． 考点04 等差数列应用 例1：记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　　) A．－12 B．－10 C．10 D．12 变式：设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＝5，S9＝27，则a20等于(　　) A．17 B．18 C．19 D．20 例2：已知等差数列的前项和为，且有，，则的最小值为（ ） A．-40 B．-39 C．-38 D．-14 变式：已知等差数列的通项公式为，则其前项和的最大值为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 例3：设等差数列的前项和为，若，，当取最大值时， ． 变式：在等差数列中，，，求的最小值． 例4：北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A．3 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块 变式：某城市年有人口万，该年医疗费用投入亿元，此后年该城市每年新增人口万，医疗费用投入每年新增亿元，已知年该城市医疗费用人均投入元，则的值为( )。 A．2 B．4 C．6 D．8 例5：已知等差数列满足：，，的前项和为．求及； 变式：记为等差数列的前项和，已知，. 求公差及的通项公式； 例6：在等差数列中，. （1）求的通项公式; （2）求的前项和及的最小值. 变式：设等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和及使得最大的自然数的值. 例7：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2)． (1)求证：数列是等差数列； (2)求Sn和an. 变式：数列{an}满足an＋1＝，a1＝1. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和Sn，并证明：＋＋…＋>. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 等差数列 【考纲要求】 1. 了解等差数列的概念；了解等差数列前n 项和公式的推导过程； 2. 掌握等差数列的通项公式及前n 项和公式。 3. 初步掌握从实际情境中抽象出等差数列模型解决简单实际问题的方法 1．等差数列的概念及通项 (1)定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示，即（，，为常数）或（，为常数）. (2) 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． (3)等差数列通项公式 (4)等差数列的判定 ① (定义法)； ②(中项法); ③(通项法, 一次函数)； ④(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点). 2．等差数列前n项和 (1) ； ，其推导方法是倒序相加法． (2)等差数列前n项和公式与二次函数的关系 等差数列的前项和,令,则 . 3．等差数列的性质 设为等差数列,公差为,则 (1)若,则.特别地,若,则; (2)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． (5)连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为 (6)S2n－1＝(2n－1)an. (7)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列． 考点01 等差数列的概念及通项公式 例1：下列数列中成等差数列的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，A不是等差数列；对于B，，B不是等差数列；对于C，，C是等差数列；对于D，，D不是等差数列． 变式：等差数列的第4项为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，这个等差数列的公差为，于是得通项，因此，，所以等差数列的第4项为． 例2：等差数列中，，，则公差等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得. 变式：已知等差数列中，，则公差d的值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】等差数列中，，则即3=9+6d，解得d=-1. 例3：等差数列中，已知，，则（     ） A．2 B．14 C．12 D．8 【答案】B 【解析】因为数列是等差数列，所以. 变式：在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】C 【解析】设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得 ∴an＝－2n＋21.∴a10＝－2×10＋21＝1. 例4．已知数列中，，，则等于（ ） A．-12 B．12 C．-16 D．16 【答案】A 【解析】数列中，，，即， 所以数列为等差数列，公差为，所以，所以． 变式：在数列中，，，若，则（ ） A．671 B．672 C．673 D．674 【答案】D 【解析】∵，，∴ ∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列， ∴，解得. 考点02 等差数列的性质 例1：已知等差数列中，，，则与的等差中项为__________. 【答案】8 【解析】由题意，不妨设数列的首项为，公差为，又，，故，故与的等差中项为，故答案为：7. 变式：已知、都是等差数列，若，，则( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，． 例2：等差数列中，，的前项和为，则 ． 【答案】30 【解析】在等差数列中，所以，所以. 变式：记为等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】14 【解析】由等差数列的性质可知，，即，. 例3：已知在等差数列{an}中，若a8＝8且log2()＝22，则S13等于(　　) A．40 B．65 C．80 D．40＋log25 【答案】　B 【解析】　log2()＝log2＋log2＋…＋log2＝a1＋a2＋…＋a11＝11a6＝22，所以a6＝2，则S13＝＝＝65. 变式：已知数列满足且，则( ) A．-3 B．3 C． D． 【答案】B 【解析】,∴数列是以2为公差的等差数列， ， ，，. 例4：设等差数列的前项和为，且，，则 ． 【答案】 【解析】∵是等差数列，∴、、、成等差数列，∴，即，解得，又，即，解得． 变式：设等差数列的前n项和为，若，则（     ） A．45 B．32 C．47 D．54 【答案】A 【解析】由题可知：成等差数列，所以，又，所以 . 例5：已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝ . 【答案】　2020 【解析】　由等差数列的性质可得也为等差数列．设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1. 故＝＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，∴S2 020＝1×2 020＝2 020. 变式：在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ） A．0 B．2018 C． D．2020 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为.，，解得. 则. 考点03 等差数列求和 例1：在等差数列中，已知，则（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】因为等差数列中，，所以，即，解得或（舍去），所以. 变式：在等差数列中，为其前项和.若，则__________. 【答案】14 【解析】因为是等差数列，所以，故答案为：. 例2：等差数列满足，则数列前项的和为 【答案】 【解析】等差数列的公差为，因为，，两式相减，，即，所以，且，所以，所以数列前项的和为. 故答案为. 变式：等差数列前项和为， ，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，即 . 例3：已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A．90 B．135 C． D． 【答案】C 【解析】设等差数列的首项为，公差为d，因为，，所以，，解得，，故. 变式：已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】 由题设，，解得. 例4：在等差数列中，若，则的值是（ ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【解析】由S10=，得a1+a10=。 变式：记等差数列的前项和为，若，则 ． 【答案】33 【解析】等差数列中，，由得，则公差，首项， 所以，故答案为：33. 考点04 等差数列应用 例1：记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　　) A．－12 B．－10 C．10 D．12 【答案】　B 【解析】　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4， 得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10. 变式：设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＝5，S9＝27，则a20等于(　　) A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】　B 【解析】　由等差数列的前n项和公式可知S9＝＝9a5＝27，解得a5＝3，又由d＝＝＝1，所以由等差数列的通项公式可得a20＝a5＋15d＝3＋15×1＝18. 例2：已知等差数列的前项和为，且有，，则的最小值为（ ） A．-40 B．-39 C．-38 D．-14 【答案】A 【解析】因为，，所以，，所以， 由得，所以前项和最小， . 变式：已知等差数列的通项公式为，则其前项和的最大值为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【解析】 当时，，可得最大，. 例3：设等差数列的前项和为，若，，当取最大值时， ． 【答案】6 【解析】设等差数列的公差为，因为，，则，解得， 所以，令，解得，当取最大值时，。 变式：在等差数列中，，，求的最小值． 【答案】 【解析】设等差数列的公差为．由，得，解得，又解得．所以，，由二次函数的性质，知当时，有最小值． 例4：北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A．3 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块 【答案】C 【解析】设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3 402(块)． 变式：某城市年有人口万，该年医疗费用投入亿元，此后年该城市每年新增人口万，医疗费用投入每年新增亿元，已知年该城市医疗费用人均投入元，则的值为( )。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】从年起该城市的人口组成一个首项为，公差为的等差数列，到年，该城市的人口为万，故年的医疗费用投入为(元)，即亿元，由于从年到年医疗费用投入组成一个首项为，公差为的等差数列，∴，解得，故选A。 例5：已知等差数列满足：，，的前项和为．求及； 【解析】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2． ∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)． 变式：记为等差数列的前项和，已知，. 求公差及的通项公式； 【解析】（1）设的公差为，由题意得. 由得.所以的通项公式为. 例6：在等差数列中，. （1）求的通项公式; （2）求的前项和及的最小值. 【答案】（1）；（2），-36. 【解析】（1）设的公差为， 根据题意得 解得， 所以. （2）根据等差数列的前项和公式得 则当时，取得最小值. 变式：设等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和及使得最大的自然数的值. 【解析】（1）由an=a1+（n-1）d及a3=5，a10=-9，得 解得 所以数列{an}的通项公式为an=11-2n，n∈N*. （2）由（1）知，Sn=na1+d=10n-n2. 因为Sn=-（n-5）2+25， 所以当n=5时，Sn取得最大值. 例7：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2)． (1)求证：数列是等差数列； (2)求Sn和an. 【解析】 (1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，① ∵S1＝a1≠0，由递推关系知Sn≠0(n∈N*)， 由①式得－＝2(n≥2)．∴是等差数列，其中首项为＝＝2，公差为2. (2)由(1)知＝2＋2(n－1)＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－， 当n＝1时，a1＝S1＝不适合上式，∴an＝ 变式：数列{an}满足an＋1＝，a1＝1. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和Sn，并证明：＋＋…＋>. 【解析】 (1)∵an＋1＝，∴＝，化简得＝2＋，即－＝2， 故数列是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知＝2n－1，所以Sn＝＝n2，＝>＝－. 证明：＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝1－＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$