《立体几何》直线与直线(2)-知识点训练卷 江西省“三校生”对口升学《数学考纲百套卷》 第69卷

江西“三校生”对口升学《数学考纲百套卷》 第69卷编写说明：江西省“三校生”对口升学《数学考纲百套卷》专辑，依据江西省“三校生”对口升学考试《数学》考试说明编写。本套试卷由三个部分116份试卷组成。第一部分是根据考试说明的各考点的范围与要求，编写的91份知识点训练卷，第二部分是针对每个章节的重点内容，编写的15份常考题训练卷。第三部分参考江西省近几年职教高考真题，编写了10份高考模拟训练卷。 本试卷是《江西省数学考纲百套卷》的第69卷，是知识点训练卷，依据第九章：立体几何的范围要求编写，其内容及要求是：（1）了解平面的基本性质，理解空间中点、直线和平面的位置关系；（2）理解直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定定理与性质定理；（3）了解常用几何体（正方体、长方体、正四面体），会进行简单的空间距离和角的计算；（4）了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积的计算。 第九章 立体几何 直线与直线 知识点训练卷 考试时间60分钟 满分100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．异面直线是指（    ） A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．平面内的一条直线与平面外的一条直线 C．分别位于两个不同平面内的两条直线 D．空间中两条不相交的直线 【答案】A 【分析】利用定义可以判断选项A正确,借助空间想象力判断选项BCD错误. 【详解】解：A. 异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，所以该选项正确； B. 平面内的一条直线与平面外的一条直线，可能平行、异面和相交，所以该选项错误； C. 分别位于两个不同平面内的两条直线，不一定是异面直线，也有可能平行、异面和相交，所以该选项错误； D. 空间中两条不相交的直线，可能异面或者平行，所以该选项错误. 故选：A 2．如图，在正方体中，点E，F为棱上的中点，则异面直线EF与BD所成角的大小为（    ） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】B 【分析】由异面直线所成角的概念求解 【详解】由题意得，故异面直线EF与BD所成角即为， 而是等边三角形，故， 故选：B 3．如图，长方体的棱所在直线与直线为异面直线的条数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】直接由异面直线的定义观察图像即可求解. 【详解】由图像直接观察可知：所在直线与直线为异面直线，共6条. 故选：C. 4．若平面平面，直线，直线，那么直线a，b的位置关系是（    ） A．不相交 B．平行 C．异面 D．相交 【答案】A 【分析】由两线的位置关系的定义判断即可 【详解】由题，直线a，b分属两个平行的平面，可能平行，可能异面，但不可能相交， 故选：A 5．已知直线m，n是平面的两条斜线，若m，n为不垂直的异面直线，则m，n在平面内的射影（    ） A．不可能平行，也不可能垂直 B．可能平行，但不可能垂直 C．可能垂直，但不可能平行 D．可能平行，也可能垂直 【答案】D 【分析】如图，借助正方体分析可以判断. 【详解】如图，在正方体中，即为，为，底面为平面，则m，n在平面内的射影和垂直； 如图，在正方体中，即为，为，底面为平面，则m，n在平面内的射影和平行； 综上，m，n在平面内的射影可能平行，也可能垂直. 故选：D. 6．a、b、c是三条不重合的直线，下列说法正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若直线a，b没有交点，则a，b异面 D．若，，则. 【答案】A 【分析】由线线的空间位置关系逐一判断可得选项. 【详解】对于A：若，，则，故A正确； 对于B：若，，则或，或b与c成其它的角度，故B不正确； 对于C：若直线a，b没有交点，则a，b异面或a，b平行，故C不正确； 对于D：若，，则或，或b与c成其它的角度，故D不正确； 故选：A. 7．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．相交成60° D．异面直线 【答案】C 【分析】把展开图还原成正方体可得的位置关系． 【详解】把展开图恢复成如图所示的正方体， 其中，为等边三角形，所以． 故选：C. 8．若,,且,则 A．130° B．50° C．130°或50° D．不能确定 【答案】C 【解析】根据等角定理即可求得. 【详解】根据等角定理,知与相等或互补, 即或. 故选：. 【点睛】本题是一道关于平面几何的题目，掌握等角定理的应用是解题的关键，等角定理中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同那么这两个角相等，注意方向，是基础题. 9． 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中 　　 A . B．与相交 C． D．与所成的角为 【答案】D 【分析】还原成正方体，可推导出在原来的正方体中与所成的角为． 【详解】解：一个正方体的展开图如图所示， 为原正方体的顶点， 还原成正方体如下图， ，是与所成角， ，， 在原来的正方体中与所成的角为． 故选． 【点睛】本题考查了学生的空间想象力及作图能力、异面直线所成角的求法，属于基础题． 10．如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，则（或其补角）为异面直线与所成角，解三角形即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接、，易知，    所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即（或其补角）， 由题意可知正三棱柱的所有棱长都相等， 可设三棱柱的棱长都为，则，，， 因为，所以为直角三角形， 所以 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：. 二、填空题(本题共5小题，每小题6分，共30分) 11．若∠AOB＝135°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为 . 【答案】45° 【分析】由题意可得的补角为a与OB所成角，结合补角的概念即可. 【详解】因为直线OA，a与OB为异面直线， 所以的补角为a与OB所成角， 又, 所以a与OB所成角的大小为. 故答案为： 12．正方体的棱与体对角线所成角的正切值为 ． 【答案】 【分析】根据正方体的对称性，只需求正方体的某条体对角线与任一条棱所成的角即得. 【详解】    如图，由正方体的对称性可知，体对角线与正方体的八条棱所成的角都相等， 现仅以与所成的角为例来求解.在正方体中，因, 故即与所成的角或其补角. 因平面，平面，则, 在中，, 即正方体的棱与体对角线所成角的正切值为. 故答案为： 13．在正方体中，两条面对角线之间所成的角大小是 ． 【答案】或或. 【分析】按照两条面对角线所在平面的位置关系分类讨论可求出结果. 【详解】当两条面对角线在同一个表面上时，两条面对角线之间所成的角大小是； 当两条面对角线在相互平行的表面上时，两条面对角线之间所成的角大小是或者是； 当两条面对角线在两个相交的表面上时，两条面对角线之间所成的角大小是. 故答案为：或或. 14．已知异面直线a，b所成的角为，，则b与c所成的锐角是 度． 【答案】50 【分析】根据异面直线所成角的定义可得答案. 【详解】在直线上取一点作，如图： 因为，所以， 则相交直线所成的锐角就是异面直线所成的角, 所以相交直线所成的锐角为, 所以b与c所成的锐角是. 故答案为：50. 15．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是 . 【答案】平行 【分析】由题设易知EF∥BC，根据棱柱的结构特征即可判断EF与B1C1的位置关系. 【详解】在△ABC中，AE∶EB=AF∶FC， ∴EF∥BC，三棱柱ABC-A1B1C1中，有BC∥B1C1， ∴EF∥B1C1. 故答案为：平行 三、解答题(本题共3小题，每小题10分，共30分) 16．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画?并说明理由.    【答案】答案见解析 【分析】利用长方体的性质，过要P作棱BC的平行线，只需作过P作直线平行B1C1即可. 【详解】如图，在平面A1B1C1D1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于E，交C1D1于F，    ∴直线EF即为所求. 理由如下：由EF∥B1C1，BC∥B1C1，则EF∥BC. 17．已知是空间四边形（、、、不共面），求证：直线、是异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法假设两直线不是异面直线，可得、、、共面，可知假设错误. 【详解】假设直线、不是异面直线，即、共面， 则、、、也共面， 显然这与条件矛盾， 因此假设不成立， 即直线、是异面直线． 18．如图，已知长方体的长和宽都是cm，高是4 cm. (1)求BC和A′C′所成的角的度数． (2)求AA′和BC′所成的角的度数． 【答案】（1）；（2） 【详解】试题分析：（1）根据长方体的性质可得，所以为与所成的角，由正方形的性质可得，从而可得结果；（2）长方体中，，所以为与所成的角，利用直角三角形的性质可得，所以与所成的角为. 试题解析：(1)在长方体中，BC∥B′C′，所以∠A′C′B′为BC与A′C′所成的角，因为A′B′＝B′C′＝cm，∠A′B′C′＝90°，所以∠A′C′B′＝45°，所以BC和A′C′所成的角为45°. (2)在长方体中，AA′∥BB′，所以∠C′BB′为AA′与BC′所成的角，因为BB′＝4 cm，B′C′＝  cm，所以∠C′BB′＝60°，所以AA′和BC′所成的角为60°. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西“三校生”对口升学《数学考纲百套卷》 第69卷编写说明：江西省“三校生”对口升学《数学考纲百套卷》专辑，依据江西省“三校生”对口升学考试《数学》考试说明编写。本套试卷由三个部分116份试卷组成。第一部分是根据考试说明的各考点的范围与要求，编写的91份知识点训练卷，第二部分是针对每个章节的重点内容，编写的15份常考题训练卷。第三部分参考江西省近几年职教高考真题，编写了10份高考模拟训练卷。 本试卷是《江西省数学考纲百套卷》的第69卷，是知识点训练卷，依据第九章：立体几何的范围要求编写，其内容及要求是：（1）了解平面的基本性质，理解空间中点、直线和平面的位置关系；（2）理解直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定定理与性质定理；（3）了解常用几何体（正方体、长方体、正四面体），会进行简单的空间距离和角的计算；（4）了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积的计算。 第九章 立体几何 直线与直线 知识点训练卷 考试时间60分钟 满分100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．异面直线是指（    ） A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．平面内的一条直线与平面外的一条直线 C．分别位于两个不同平面内的两条直线 D．空间中两条不相交的直线 2．如图，在正方体中，点E，F为棱上的中点，则异面直线EF与BD所成角的大小为（    ） A．90° B．60° C．45° D．30° 3．如图，长方体的棱所在直线与直线为异面直线的条数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．若平面平面，直线，直线，那么直线a，b的位置关系是（    ） A．不相交 B．平行 C．异面 D．相交 5．已知直线m，n是平面的两条斜线，若m，n为不垂直的异面直线，则m，n在平面内的射影（    ） A．不可能平行，也不可能垂直 B．可能平行，但不可能垂直 C．可能垂直，但不可能平行 D．可能平行，也可能垂直 6．a、b、c是三条不重合的直线，下列说法正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若直线a，b没有交点，则a，b异面 D．若，，则. 7．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．相交成60° D．异面直线 8．若,,且,则 A．130° B．50° C．130°或50° D．不能确定 9． 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中 　　 A . B．与相交 C． D．与所成的角为 10．如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A．1 B． C． D． 二、填空题(本题共5小题，每小题6分，共30分) 11．若∠AOB＝135°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为 . 12．正方体的棱与体对角线所成角的正切值为 ． 13．在正方体中，两条面对角线之间所成的角大小是 ． 14．已知异面直线a，b所成的角为，，则b与c所成的锐角是 度． 15．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是 . 三、解答题(本题共3小题，每小题10分，共30分) 16．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画?并说明理由.    17．已知是空间四边形（、、、不共面），求证：直线、是异面直线． 18．如图，已知长方体的长和宽都是cm，高是4 cm. (1)求BC和A′C′所成的角的度数． (2)求AA′和BC′所成的角的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$