25.3用频率估计概率（分层培优提升）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

25.3用频率估计概率（分层培优提升） 一、单选题 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 【答案】B 【分析】本题主要考查了模拟实验，正确理解模拟实验的意义是解题关键．根据模拟实验的意义以及模拟实验的方法分别判断，即可解题． 【详解】解：A、试验次数多与试验次数少所得的规律不一定相同，故此选项错误； B、试验次数越多，所得数据越接近真实值，此选项正确； C、试验次数越少，所得数据不可能越接近真实值，故此选项错误； D、抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会不相同，故此选项错误； 故选：B． 2．（23-24七年级下·山东威海·期末）布袋里有50个除颜色外其他都相同的小球，小颖随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，重复以上操作1000次，发现摸到白球203次，则布袋中白球的个数最有可能是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 由共摸了1000次球，发现摸到白球203次，知摸到白球的概率为，设布袋中白球有x个，可得，，解之即可． 【详解】由共摸了1000次球，发现摸到白球203次， ∴摸到白球的概率为， 设布袋中白球有x个， 可得， 解得：， ∴布袋中白球的个数最有可能是10个 故选B． 3．（2024·内蒙古包头·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查树状图法与列表法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次传球后，球回到甲、乙、丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．解题的关键是掌握知识点：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有种等可能的结果，经过次传球后，球回到甲手中的有种情况，回到乙手中的有种情况，回到丙手中的有种情况，回到丁手中的有种情况， ∴经过次传球后，球回到甲手中的概率是， 球回到乙手中的概率是， 球回到丙手中的概率是， 球回到丁手中的概率是， ∵， ∴第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是甲． 故选：A． 4．（2024·山东枣庄·一模）圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，进行求解即可． 【详解】解：∵随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同， ∴从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为； 故选D． 5．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）一个不透明的袋子中只装有红球和黄球，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子中．不断重复这一过程，摸出1000次球，发现有800次摸到红球．从口袋中随机摸一次，摸到红球的概率大约为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率．根据概率公式求出摸到红球的概率即可得出答案． 【详解】解：∵共摸了1000次球，发现有800次摸到红球， ∴摸到红球的概率为， 故选：D． 6．（23-24九年级上·四川成都·期末）王丽同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则该试验可能是（　　） A．关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相同），这张扑克牌是黑桃”的试验 B．关于“50个同学中，有2个同学同月份生日”的试验 C．关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验 D．关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验 【答案】A 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：A．关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相同），这张扑克牌是黑桃”的试验的频率约为，符合题意； B．关于“50个同学中，有2个同学同月份生日”的试验的频率为1，不符合题意； C．关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验的频率为0.5，不符合题意； D．关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验的频率为，不符合题意； 故选：A． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850 “射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（   ） A．0.84 B．0.85 C．0.86 D．0.87 【答案】B 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．根据大量的试验结果稳定在0.85即可得出结论． 【详解】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.85， 这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.85． 故选：B． 8．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（  ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 【答案】D 【分析】本题考查了根据评率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：D ． 9．（2024·北京房山·二模）农科院某研究所在相同条件下做某种农作物的发芽率试验，结果如下表所示： 种子个数 200 500 700 800 900 1000 发芽种子个数 187 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个判断，其中合理的是（    ） A．种子个数为800时，发芽种子的个数是718，所以种子发芽的概率为0.898 B．实验种子的个数最少的那次实验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 C．实验种子的个数最多的那次实验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 D．随着参加实验的种子数量增加，种子发芽的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1） 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定的位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 根据某研究所在相同的条件下作某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.9左右，于是得到种子发芽的概率约为0.9． 【详解】解：A．应该是种子发芽的频率是0.898而不是概率，故选项A不正确，不符合题意； B．频率不等于概率，实验种子的个数最少的那次实验得到的种子发芽的频率不一定是种子发芽的概率，故选项B不正确，不符合题意； C．频率不等于概率，实验种子的个数最多的那次实验得到的种子发芽的频率不一定是种子发芽的概率，故选项C不正确，不符合题意； D．根据某研究所在相同的条件下作某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.9左右，于是得到种子发芽的概率约为0.9，故选项D正确，符合题意． 故选：D 10．（2024九年级·全国·竞赛）在一个不透明的布袋中装有若干支红色、黑色和蓝色的中性笔芯，这些笔芯除颜色外，其余都完全相同，某同学就利用这一袋笔芯来做实验，他从这袋笔芯中随机摸出一支笔芯，记下颜色后放回袋中，摇匀后再随机摸出一支，记下颜色后又放回袋中……如此进行大量的摸笔芯实验后，这名同学发现摸出红笔芯的频率稳定于，摸出黑色笔芯的频率稳定于，对此实验，有以下结论：①若进行大量的摸笔芯实验，摸出蓝色笔芯的频率稳定于；②若从这袋笔芯中任意摸出一支笔芯，这支笔芯是黑色笔芯的概率最大；③若再进行摸笔芯实验100次，必有20次摸出的是红色笔芯．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据频率与概率的关系得出解题关键． 根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，分别分析得出即可． 【详解】解: ∵在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于，摸出黑球的频率稳定于． ∴①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于: ，故此选项正确 ∵摸出黑球的频率稳定于，大于其它频率． ∴②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确． ③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球,故此选项错误． 故正确的有①②． 故选: B． 二、填空题 11．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在不透明袋子里装有8个白球和黑球，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2513．估计袋中黑球有 ． 【答案】6 【分析】本题考查了运用频率估算概率，概率的计算. 根据题意，设有个白球，则有个黑球，根据概率公式的计算方法即可求解，掌握概率的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设有个白球，则有个黑球， ， 解得，，即白球有2个， ∴黑球有（个）， 故答案为：6 ． 12．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）在一个不透明的盒子中装有10个红球、若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．在看不到的条件下，通过随机摸球试验，发现摸出一个球是红球的频率为，则盒子中有 个黑球． 【答案】5 【分析】本题考查了概率的求法，利用频率估计概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．设黑球的个数为x个，根据概率的求法得：，解方程即可求出黑球的个数． 【详解】解：设黑球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴黑球的个数为5， 故答案为：5． 13．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）在一个不透明的盒子中装有黑球和白球共200个，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则盒子中黑球有 个． 【答案】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由题意得出摸到白球的概率为0.2，再计算出白球的个数，用减去白球的个数即可得解． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2， ∴摸到白球的概率为0.2， ∴白球的个数为个， ∴则盒子中黑球有（个）， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示： 黄豆种子数（单位：粒） 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 发芽种子数（单位：粒） 762 948 1142 1331 1518 1710 1902 种子发芽的频率（结果保留至小数点后三位） 0.953 0.948 0.952 0.951 0.949 0.950 0.951 那么这种黄豆种子发芽的概率约为 （精确到． 【答案】0.95 【分析】根据7批次种子粒数从800粒增加到2000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95． 此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：由表知随着试验次数的增加种子发芽的频率逐渐稳定再0.95附近， 所以这种黄豆种子发芽的概率约为0.95， 故答案为：0.95． 15．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下： 在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000 落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 83 落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.083 试估计“点落入圆形区域内”的概率 （精确到0.01）． 【答案】0.08 【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．本题考查了利用频率估计概率，熟知当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率是解题的关键． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，“点落入圆形区域内”的频率逐渐稳定到0.08附近， ∴估计“点落入圆形区域内”的概率为0.08， 故答案为：0.08． 16．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟实验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 落在心形线内部次数 61 93 165 246 759 996 1503 落在心形线内部频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内的概率为 （精确到0.1） 【答案】0.5 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近， 则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50，精确到0.1为0.5． 故答案为：0.5． 三、解答题 17．（2024·陕西·模拟预测）在一个盲盒中放有6个白球，7个黄球和若干个红球，这些球除颜色外完全相同，每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球，记下颜色再放回盲盒中，经过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右． (1)估计盲盒中大约有______个红球； (2)从盲盒中取出2个白球，2个黄球，1个红球放入到一个不透明的袋子中，从中同时随机摸出两个球，请用列表法或树状图法求摸到两个球颜色相同的概率． 【答案】(1)7 (2)摸到两个球颜色相同的概率为 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，树状图法或列表法求解概率，用频率估计概率： （1）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到白球的概率为，据此求出总的总数即可得到答案。 （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到摸到两个球颜色相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵经过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右， ∴摸到白球的概率为， ∴盒中球的总个数约为（个）， ∴估计盲盒中红球大约有（个）， 故答案为：7； （2）解：分别用A、B表示两个白球，C、D表示两个黄球，E表示红球，列表如下： 由表知，共有20种等可能结果，其中摸到两个球颜色相同的有4种结果， ∴摸到两个球颜色相同的概率为． 18．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）数学老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 250 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.253 0.25 (1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_______；（精确到0.01） (2)估算袋中白球的个数． 【答案】(1)0.25 (2)3个 【分析】本题考查由频率估计概率，已知概率求数量．理解在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率是解题关键． （1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （2）设白球有x个，根据摸出黑球的概率列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； （2）解：设白球有x个， ∵估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴袋中白球的个数是3个． 19．（2024·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是平方米 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据圆的面积公式得到圆的面积（平方米），利用圆的面积频率值圆的面积即可得到结论． 【详解】解：（1）， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近， 故答案为：0.305，0.3； （2）∵圆的面积（平方米）， ∴整个封闭图形的面积（平方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 20．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）一个不透明的袋子中装有4个质地大小均相同的小球，这些小球分别标有数字4、5、6、，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表： 摸球总次数 10 20 60 120 180 240 330 450 “和为10”出现的频数 2 10 24 37 58 82 110 150 “和为10”出现的频率 0.20 0.50 0.40 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 解答下列问题： (1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为10”的频率趋于稳定．请估计出现“和为10”的概率是______； (2)如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是，那么的值可以取8吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果的值不可以取8，请写出一个符合要求的值． 【答案】(1) (2)详情见解析 【分析】本题考查了概率的应用，运用列表法或树状图求概率即可． 【详解】（1）由表中数据可得，出现“和为10”的频率稳定在左右，所以估计出现“和为10”的概率是； （2）假设x的值可以取8，列表如下： 乙       甲 4 5 6 8 4 × 9 10 12 5 9 × 11 13 6 10 11 × 14 8 12 13 14 × 当，摸出的这两个小球上数字之和为11的概率为， 如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是，x的值不可以取8； 乙       甲 4 5 6 x 4 × 9 10 5 9 × 11 6 10 11 × x × 由上表可知一共有12种等可能结果，要想数字之和为11的概率是，就要出现4次数字之和为11的结果， x的值可以为7． 一、单选题 1．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率． 根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为，长方形的面积为， 设不规则图案的面积为， 则， 解得：， 不规则图案的面积大约为． 故选：C． 2．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）小亮把牌面数字是3，6，9，10的四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌面上，并按照每次随机抽取一张得原则做重复试验记录牌面上的数字出现的频率，并制成折线统计图，则符合这个结果的实验可能是（    ） A．牌面数字是奇数； B．牌面数字是偶数； C．牌面数字是3的倍数； D．牌面数字是5的倍数． 【答案】D 【分析】此题考查了利用频率估计概率，折线统计图，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．掌握概率公式是解题的关键． 根据统计图可知，试验结果在0.25附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.25者即为正确答案． 【详解】解：A、、抽取的牌面数字是奇数的概率为，故此选项不符合题意； B、抽取的牌面数字是偶数的概率为，故此选项不符合题意； C、抽取的牌面数字是3的倍数的概率为，故此选项不符合题意； D、抽取的牌面数字是5的倍数的概率为，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下．根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.93 0.89 0.92 0.91 0.90 0.92 0.92 0.92 0.92 A．0.90 B．0.91 C．0.92 D．0.93 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题关键．直接根据利用频率估计概率求解即可得． 【详解】解：由表格可知，经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数的比值稳定在附近， 所以该区初中生体质健康合格的概率为， 故选：C． 4．（23-24九年级上·山西长治·期末）某大型连锁超市以17元/斤的价格购进草莓1万斤，在运输、储存过程中部分草莓损坏，超市管理员从所有的草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如表： 草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500 损坏草莓质量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 75 草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.150 超市管理员希望卖出草莓（损坏的草莓不能出售）可以获得利润42500元，那么就需要利用草莓损坏的概率（精确到0.01）估算草莓的售价．根据表中数据可以估计，草莓每斤的售价应该定为（   ） A．25元 B．22元 C．21.25元 D．21.5元 【答案】A 【分析】本题主要考查用频率估计概率和一元一次方程的应用，先由草莓的损坏率得出完好率，再设每斤草莓的售价为x元，根据“利润=售价-进价”列出一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：由表格中的数据可得草莓的损坏率为， 则完好率为：， 设每斤草莓的售价为x元，根据题意得， ， 解得，， 即每斤草莓的售价为25元， 故选：A． 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图是李老师制作的一个可以自由转动的转盘，如表是某同学收集的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 落在“蓝色”的次数 30 61 92 118 151 182 207 242 269 302 蓝色部分的圆心角最有可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了频率估计概率，先计算概率，再计算圆心角即可． 【详解】根据题意，得， 中位数约为， 故圆心角度数约为， 故选B． 6．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）在研究简单随机事件的概率问题时，历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下表． 试验者 棣莫弗 布丰 费勒 皮尔逊 皮尔逊 抛掷次数 2048 4040 10000 12000 24000 “正面向上”次数 1061 2048 4979 6019 12012 “正面向上”的频率 下面有3个推断： ①当抛掷次数是10000时，“正面向上”的频率是0.4979，故“正面向上”的概率是0.4979； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③如果在此条件下再次做随机抛掷硬币的试验，当抛掷次数为20000时，则出现“正面向上”的次数不一定是10000次． 其中所有合理推断的序号是（    ） A．② B．①③ C．①②③ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．根据5位学者的试验结果，确定随着试验次数增加频率的稳定值，估计正面向上的概率，即可得出答案． 【详解】解：①当抛掷次数是10000时，“正面向上”的频率是，故“正面向上”的概率是；频率不一定等于概率，推断不合理； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是；推断合理； ③如果在此条件下再次做随机抛掷硬币的试验，当抛掷次数为20000时，则出现“正面向上”的次数不一定是10000次；推断合理； 综上，所有合理推断的序号是②③， 故选：D． 7．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，，则估计图中a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率及频率估计概率，根据落在三个区域的豆子数比等于各部分面积比，用各个区域面积比估计概率计算即可． 【详解】解：区域面积为，区域面积为， 区域面积为， 又落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，， ，即， ， 解得：（不合题意，舍去）， 故选：B． 8．（2023·河南开封·一模）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），开元同学想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题分两部分求解，首先设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为 由已知得：长方形面积为 ， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值， 故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为， 综上有：， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率；本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为． 二、填空题 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 ． 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 【答案】 【分析】本题考查了概率，重复试验次数越多，其频率越能估计概率，求出射击1000次时的频率即可，解题的关键在于明确频率估计概率时要在重复试验次数尽可能多的情况下． 【详解】解：根据题意可知，射击1000次时，运动员射击一次时射中“9环以上”的频率为： ， ∴用频率估计概率为：， 故答案为：． 10．（19-20九年级上·全国·课后作业） “六⋅一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法：①当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70；②假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70；③如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次；④转动转盘10次，一定有3次获得文具盒．中正确的是 ．    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 【答案】①②③ 【分析】本题考查了利用频率估计概率，注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值．根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘10次，一定有3次获得文具盒． 【详解】解：由表格可知频率稳定在0.7左右， ①当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，正确； ②假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，正确； ③如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有次，正确； ④随机事件，结果不确定，故④错误， 故答案为：①②③． 11．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某水果销售网络平台以元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为 元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润） 沃柑总质量 … 100 200 300 400 500 损坏沃柑质量 … 沃柑损坏的频率（精确到0.001） … 【答案】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、一元一次方程的应用等知识，正确确定沃柑的完好率是解题关键． 从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，易得沃柑的完好率应为．设每千克沃柑的实际售价定为元，根据题意列方程求解即可获得答案． 【详解】解：从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以沃柑的完好率应为， 设每千克沃柑的实际售价定为元， 则有， 解得， 所以，可大约估计每千克沃柑的实际售价定为元时，可获得13000元利润． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·山西运城·期末）地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的山西省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为 ． 【答案】100 【分析】本题考查了几何概率，由频率估计概率，由题意可得小球落在该地形图上的概率为，设该地形图的面积为，则，求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：根据题意可得：小球落在该地形图上的概率为， 设该地形图的面积为，则， 解得：， ∴该地形图的面积大约为， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·山西太原·期末）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下表： 移植总数（n） 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为 （结果精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解答的关键． 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴这种幼树移植成活率的概率约为， 故答案为：． 14．（2024·湖南长沙·三模）如图，是一个边长为的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为； ②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为； ③米粒落在圆内的概率＝； ④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则的值接近于． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了频率估计概率，几何概率，直接根据题意得出圆的面积进而利用圆的面积除以正方形面积得出答案． 【详解】解：依题意，圆的面积为，正方形的面积为： ∴米粒落在圆内的概率为； ①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为，故①正确； ②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为，故②错误； ③米粒落在圆内的概率＝，故③正确； ④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则概率接近，即， ∴的值接近于，故④正确； 故答案为：①③④． 三、解答题 15．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）用频率估计概率需要大量重复试验，当重复试验的次数大量增加时，频率就稳定在相应的概率附近，下图是某项试验示意图． (1)下列事件比较符合该试验的有________（填序号）； ①掷一次骰子点数大于2； ②从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女； ③从一副扑克牌中抽一张牌，颜色是红桃； ④6个形状相同的球中有2个红球，摸一次摸到红球． (2)这幅图中的频率是不是关于试验次数的函数？请说明理由． 【答案】(1)①② (2)是，理由见解析 【分析】本题考查的是函数的定义，利用频率估计概率．利用列表法求解随机事件的概率； （1）利用概率公式或列表法分别求解①②③④的概率，再与题干事件的概率进行比较即可得到结论； （2）根据函数的定义：设有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，从而可得答案． 【详解】（1）解：由图可得：某项试验的频率稳定在附近， ①掷一次骰子点数大于2的频率是，故符合题意； ②从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女； 列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 ∴从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女的概率是，符合题意； ③从一副扑克牌中抽一张牌，颜色是红桃的概率是，故不符合题意； ④6个形状相同的球中有2个红球，摸一次摸到红球的概率是，故不符合题意； 故答案为：①② （2）解：这幅图中的频率是关于试验次数的函数，理由如下： ∵对于每1个不同的试验次数，都有唯一的一个频率与之对应， ∴这幅图中的频率是关于试验次数的函数． 16．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）“2024年9月22日，太原举行马拉松比赛”，赛事共有四项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“迷你马拉松”、D“家庭亲子跑”．小凡、小明和小颖参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到四个项目组． (1)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小凡对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401 参加“迷你马拉松”频率 ______ ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率______．（精确到） ③若本次参赛选手大约有40000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？ (2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的概率． 【答案】(1)①；②；③16000人 (2) 【分析】（1）①用频数除以总数即可得到答案；②根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值进行求解即可；③用总人数乘以参加“迷你马拉松”人数的概率即可得到答案． （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②观察表格可知，说着调查人数的增多，参加“迷你马拉松”频率稳定在左右， ∴估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率， 故答案为：； ③人， ∴估计参加“迷你马拉松”的人数是16000人； （2）解：列表如下； 小明        小颖 A B C D A B C D 由表格额裤子，总共有16种等可能的结果，其中小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”目组的结果有7种， ∴P（至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组）． 【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，用频率估计概率，已知概率求数量，求频率等等，熟知相关知识是解题的关键． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格数 42 88 141 176 445 724 901 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)估计任抽一件衬衣是合格品的概率是多少？ (2)估计出售900件衬衣，其中次品大约有多少件？ (3)为确保出售900件合格衬衣，商家至少需要进货多少件衬衣？ 【答案】(1) (2)估计出售900件衬衣，其中次品大约有件 (3)为确保出售900件合格衬衣，商家至少需要进货件衬衣 【分析】本题考查了由频率估计概率，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据频率估计概率，大量反复试验线频率稳定值即概率； （2）根据总件数乘以次品所占的百分比即可得解； （3）根据总件数初一合格品所占的百分比即可得解． 【详解】（1）解：估计任抽一件衬衣是合格品的概率是； （2）解：（件）， 故估计出售900件衬衣，其中次品大约有件； （3）解：（件）， 故为确保出售900件合格衬衣，商家至少需要进货件衬衣． 18．（19-20九年级上·全国·课后作业）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 (1)补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； (2)估计袋中白球的个数； (3)在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】(1)0.251，0.25 (2)3 (3) 【分析】此题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用频数总数频率求出答案，根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率； （2）设袋子中白球的个数为，根据摸出黑球的概率列出方程，进一步求解即可得出答案； （3）先列表得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：表中数据：， 观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25； （2）解：设袋子中白球的个数为， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 估算袋中白球的个数为3； （3）解：画树状图得：     共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， 两次都摸出白球的概率为． 19．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下方法： 在此封闭图形内画出一个半径为米的圆． 在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似的看成点），记录如下：    掷小石子落在不规则图形内的总次数 小石子落在圆内（含圆上）的次数 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近______（结果精确到）； (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在______附近（结果精确到）； (3)请你利用（）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留） 【答案】(1)； (2)； (3)封闭图形的面积是平方米． 【分析】（）根据提供的和的值，计算后即可确定二者的比值逐渐接近的值； （）大量试验时，频率可估计概率； （）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积； 本题考查了利用频率估计概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据；；，，， 当投掷的次数很大时，则的值越来越接近， 故答案为：； （2）解：观察表格得：；；，， 随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在， 故答案为：； （3）解：设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 答：封闭图形的面积为平方米． 20．（2024·江苏苏州·一模）在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果． (1)根据频率与概率关系的知识，请估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率约是______（精确到0.01），其中红球的个数是______； (2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列表或画树状图法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率． 【答案】(1)0.75，3 (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）通过图中的数据，随着次数的增多，摸到红球的频率越稳定在0.75左右，得出红球的概率，再用红球的概率乘以总球数，即可得出红球的个数； （2）画树状图，得出所有等可能的情况是，找出符合条件的情况是，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是0.75， （个）， 答：红球的个数是3个． 故答案为：0.75，3； （2）由（1）可知帆布袋中有3个红球和1个白球． 列表如下： 白 红1 红2 红3 白 白，红1 白，红2 白，红3 红1 红1，红2 红1，红3 红2 红2，红3 红3 可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有6种，即（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A）共有3种结果，即（白，红1），（白，红2），（白，红3）， 所以摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率是． ( 32 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 25.3用频率估计概率（分层培优提升） 一、单选题 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 2．（23-24七年级下·山东威海·期末）布袋里有50个除颜色外其他都相同的小球，小颖随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，重复以上操作1000次，发现摸到白球203次，则布袋中白球的个数最有可能是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 3．（2024·内蒙古包头·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（2024·山东枣庄·一模）圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）一个不透明的袋子中只装有红球和黄球，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子中．不断重复这一过程，摸出1000次球，发现有800次摸到红球．从口袋中随机摸一次，摸到红球的概率大约为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 6．（23-24九年级上·四川成都·期末）王丽同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则该试验可能是（　　） A．关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相同），这张扑克牌是黑桃”的试验 B．关于“50个同学中，有2个同学同月份生日”的试验 C．关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验 D．关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850 “射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（   ） A．0.84 B．0.85 C．0.86 D．0.87 8．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（  ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 9．（2024·北京房山·二模）农科院某研究所在相同条件下做某种农作物的发芽率试验，结果如下表所示： 种子个数 200 500 700 800 900 1000 发芽种子个数 187 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个判断，其中合理的是（    ） A．种子个数为800时，发芽种子的个数是718，所以种子发芽的概率为0.898 B．实验种子的个数最少的那次实验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 C．实验种子的个数最多的那次实验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 D．随着参加实验的种子数量增加，种子发芽的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1） 10．（2024九年级·全国·竞赛）在一个不透明的布袋中装有若干支红色、黑色和蓝色的中性笔芯，这些笔芯除颜色外，其余都完全相同，某同学就利用这一袋笔芯来做实验，他从这袋笔芯中随机摸出一支笔芯，记下颜色后放回袋中，摇匀后再随机摸出一支，记下颜色后又放回袋中……如此进行大量的摸笔芯实验后，这名同学发现摸出红笔芯的频率稳定于，摸出黑色笔芯的频率稳定于，对此实验，有以下结论：①若进行大量的摸笔芯实验，摸出蓝色笔芯的频率稳定于；②若从这袋笔芯中任意摸出一支笔芯，这支笔芯是黑色笔芯的概率最大；③若再进行摸笔芯实验100次，必有20次摸出的是红色笔芯．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 二、填空题 11．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在不透明袋子里装有8个白球和黑球，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2513．估计袋中黑球有 ． 12．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）在一个不透明的盒子中装有10个红球、若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．在看不到的条件下，通过随机摸球试验，发现摸出一个球是红球的频率为，则盒子中有 个黑球． 13．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）在一个不透明的盒子中装有黑球和白球共200个，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则盒子中黑球有 个． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示： 黄豆种子数（单位：粒） 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 发芽种子数（单位：粒） 762 948 1142 1331 1518 1710 1902 种子发芽的频率（结果保留至小数点后三位） 0.953 0.948 0.952 0.951 0.949 0.950 0.951 那么这种黄豆种子发芽的概率约为 （精确到． 15．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下： 在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000 落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 83 落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.083 试估计“点落入圆形区域内”的概率 （精确到0.01）． 16．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟实验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 落在心形线内部次数 61 93 165 246 759 996 1503 落在心形线内部频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内的概率为 （精确到0.1） 三、解答题 17．（2024·陕西·模拟预测）在一个盲盒中放有6个白球，7个黄球和若干个红球，这些球除颜色外完全相同，每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球，记下颜色再放回盲盒中，经过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右． (1)估计盲盒中大约有______个红球； (2)从盲盒中取出2个白球，2个黄球，1个红球放入到一个不透明的袋子中，从中同时随机摸出两个球，请用列表法或树状图法求摸到两个球颜色相同的概率． 18．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）数学老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 250 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.253 0.25 (1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_______；（精确到0.01） (2)估算袋中白球的个数． 19．（2024·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 20．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）一个不透明的袋子中装有4个质地大小均相同的小球，这些小球分别标有数字4、5、6、，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表： 摸球总次数 10 20 60 120 180 240 330 450 “和为10”出现的频数 2 10 24 37 58 82 110 150 “和为10”出现的频率 0.20 0.50 0.40 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 解答下列问题： (1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为10”的频率趋于稳定．请估计出现“和为10”的概率是______； (2)如果摸出的这两个小球上数字之和为11的概率是，那么的值可以取8吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果的值不可以取8，请写出一个符合要求的值． 一、单选题 1．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）小亮把牌面数字是3，6，9，10的四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌面上，并按照每次随机抽取一张得原则做重复试验记录牌面上的数字出现的频率，并制成折线统计图，则符合这个结果的实验可能是（    ） A．牌面数字是奇数； B．牌面数字是偶数； C．牌面数字是3的倍数； D．牌面数字是5的倍数． 3．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下．根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.93 0.89 0.92 0.91 0.90 0.92 0.92 0.92 0.92 A．0.90 B．0.91 C．0.92 D．0.93 4．（23-24九年级上·山西长治·期末）某大型连锁超市以17元/斤的价格购进草莓1万斤，在运输、储存过程中部分草莓损坏，超市管理员从所有的草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如表： 草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500 损坏草莓质量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 75 草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.150 超市管理员希望卖出草莓（损坏的草莓不能出售）可以获得利润42500元，那么就需要利用草莓损坏的概率（精确到0.01）估算草莓的售价．根据表中数据可以估计，草莓每斤的售价应该定为（   ） A．25元 B．22元 C．21.25元 D．21.5元 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图是李老师制作的一个可以自由转动的转盘，如表是某同学收集的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 落在“蓝色”的次数 30 61 92 118 151 182 207 242 269 302 蓝色部分的圆心角最有可能是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）在研究简单随机事件的概率问题时，历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下表． 试验者 棣莫弗 布丰 费勒 皮尔逊 皮尔逊 抛掷次数 2048 4040 10000 12000 24000 “正面向上”次数 1061 2048 4979 6019 12012 “正面向上”的频率 下面有3个推断： ①当抛掷次数是10000时，“正面向上”的频率是0.4979，故“正面向上”的概率是0.4979； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③如果在此条件下再次做随机抛掷硬币的试验，当抛掷次数为20000时，则出现“正面向上”的次数不一定是10000次． 其中所有合理推断的序号是（    ） A．② B．①③ C．①②③ D．②③ 7．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，，则估计图中a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 8．（2023·河南开封·一模）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），开元同学想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 ． 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 10．（19-20九年级上·全国·课后作业） “六⋅一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法：①当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70；②假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70；③如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次；④转动转盘10次，一定有3次获得文具盒．中正确的是 ．    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 11．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某水果销售网络平台以元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为 元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润） 沃柑总质量 … 100 200 300 400 500 损坏沃柑质量 … 沃柑损坏的频率（精确到0.001） … 12．（23-24七年级下·山西运城·期末）地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的山西省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为 ． 13．（23-24七年级下·山西太原·期末）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下表： 移植总数（n） 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为 （结果精确到）． 14．（2024·湖南长沙·三模）如图，是一个边长为的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为； ②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为； ③米粒落在圆内的概率＝； ④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则的值接近于． 三、解答题 15．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）用频率估计概率需要大量重复试验，当重复试验的次数大量增加时，频率就稳定在相应的概率附近，下图是某项试验示意图． (1)下列事件比较符合该试验的有________（填序号）； ①掷一次骰子点数大于2； ②从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女； ③从一副扑克牌中抽一张牌，颜色是红桃； ④6个形状相同的球中有2个红球，摸一次摸到红球． (2)这幅图中的频率是不是关于试验次数的函数？请说明理由． 16．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）“2024年9月22日，太原举行马拉松比赛”，赛事共有四项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“迷你马拉松”、D“家庭亲子跑”．小凡、小明和小颖参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到四个项目组． (1)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小凡对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401 参加“迷你马拉松”频率 ______ ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率______．（精确到） ③若本次参赛选手大约有40000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？ (2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的概率． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格数 42 88 141 176 445 724 901 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)估计任抽一件衬衣是合格品的概率是多少？ (2)估计出售900件衬衣，其中次品大约有多少件？ (3)为确保出售900件合格衬衣，商家至少需要进货多少件衬衣？ 18．（19-20九年级上·全国·课后作业）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 (1)补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； (2)估计袋中白球的个数； (3)在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 19．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下方法： 在此封闭图形内画出一个半径为米的圆． 在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似的看成点），记录如下：    掷小石子落在不规则图形内的总次数 小石子落在圆内（含圆上）的次数 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近______（结果精确到）； (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在______附近（结果精确到）； (3)请你利用（）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留） 20．（2024·江苏苏州·一模）在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果． (1)根据频率与概率关系的知识，请估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率约是______（精确到0.01），其中红球的个数是______； (2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列表或画树状图法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$