25.2用列表法求概率（分层培优提升）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

25.2用列表法求概率（分层培优提升） 一、单选题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和不小于5的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川乐山·模拟预测）经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好两人都直行的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南益阳·模拟预测）某公园有三个出入口，每个出入口均可进可出，乐乐周末陪父母去公园散步（三人全程都在一起），他们随机从每个出入口进出，则从同一个出入口进出的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）红星学校在日本战败投降周年纪念日这天举行了“铭记历史，警钟长鸣”主题教育活动，学校需要从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名同学作为“勿忘历史”和“奋进新征程”两个栏目的宣传大使，则恰好选中乙为“勿忘历史”栏目宣传大使、丙为“奋进新征程”栏目宣传大使的概率（    ） A． B． C． D． 5．（2024·宁夏银川·二模）宁夏素有“塞上江南”之美誉，这里既有古老的黄河文明，又有雄浑的大漠风光．某校开展“大美宁夏，闽宁同行”旅游主题活动．选取三个景点：A．沙坡头，B．六盘山，C．水洞沟．每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点，则小明和小颖选择同一个景点的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东临沂·模拟预测）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后不放回，再从中随 机摸出一个棋子；则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东临沂·模拟预测）小颖、小亮玩掷硬币游戏，约定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为(正，反)，如此类推．若出现(正，正)小颖赢，若出现(反，反)小亮赢，那么在这个游戏中小颖赢的概率是（    ） A． B． C． D．1 8．（24-25七年级上·全国·假期作业）娜娜和欣欣玩掷骰子游戏，骰子各面上的数字分别是1、2、3、4、5、6，下面（　　）游戏规则是公平的． A．上面是质数娜娜胜，上面是合数欣欣胜 B．上面是偶数娜娜胜，上面是奇数欣欣胜 C．上面的数小于3娜娜胜，上面的数大于3欣欣胜 D．上面的数小于4娜娜胜，上面的数大于4欣欣胜 9．（2024·广东·中考真题）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山西吕梁·模拟预测）太原北齐壁画博物馆于2023年12月20日开馆，它是全国首座原址建设的北齐壁画博物馆，以北齐壁画展示为核心，解读北朝时期晋阳在文化交流、民族融合等方面的重要地位．场馆一层分三个展厅：第一展厅（别都华彩），第二展厅（一眼千年）和第三展厅（简易标美）．某中学两名学生计划利用周末时间随机选择一个展厅进行志愿者活动，则他俩恰好选择同一展厅的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）柜子里有2双鞋，随机取出两只刚好配成一双鞋的概率是 ． 12．（21-22九年级上·广东揭阳·期中）小颖有红、白、蓝三条长裤和红、白、蓝三件衬衣，她从中任意拿一条长裤和一件衬衣，恰好配成红色一套的概率是 ． 13．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，为了确定谁去听讲座，小明想了一个办法：他拿出一个装有质地、大小均相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，那么妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，那么小明去听讲座．则该办法 （填“公平”或“不公平”）． 14．（24-25九年级上·全国·单元测试）在的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 15．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是 ． 16．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，电路中有3个开关a，b，c，已知电路及其他元件都能正常工作，现任意闭合两个开关，能使得小灯泡发光的概率为 ． 三、解答题 17．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）甲、乙两位同学相约打乒乓球，双方约定：两人各投挪一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球，这个约定是否公平？请用列表或者树状图的方法说明理由． 18．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）一个不透明的袋中只装有1个红球和2个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出一个球，不放回，再从袋中摸出一个球． (1)求摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）； (2)现再将个红球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是红球的概率为．求的值． 19．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）2023年7月14日，由夏铭泽、阎凯执导的电影《茶啊二中》在各大影院上映，并得到空前好评，小明和小亮都想去观看，但是只有一张电影票．于是他们决定采用抽卡片的办法决定谁去看电影，规则如下：将正面分别标有数字1、2、3的三张卡片（卡片除了所标数字外其余都相同）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明随机抽出一张卡片记下数字，放回后，重新洗匀背面朝上放置在桌面上，小亮再随机抽出一张记下数字，如果两个数字之和为奇数，小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．你认为这个规则公平吗？请说明理由． 20．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）“十一”期间，我校（1）班学生通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行锻炼．四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，太原体育中心，太原奥体中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D表示．现把分别印有A，B，C，D的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是A和B的概率． 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）从，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，分别记作a和b．若点A的坐标记作，则点A在函数上的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·模拟预测）从，，这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和，则一次函数图象经过第二象限的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）一个转盘白色扇形和红色扇形的圆心角分别为和，让转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·山西·模拟预测）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于（   ） A． B． C． D． 10．（2024·广东·模拟预测）第届深圳国际导热散热材料及设备展览会将于年月日在深圳国际会展中心举办，若小张随机从三个入口中选择一个进入，再随机从两个出口中选择一个离开，则小张从口进入，口离开的概率是（      ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·重庆江北·阶段练习）五张分别印有“德”、“智”、“体”、“美”、“劳”的卡片（除卡片上的字不同外，其余均相同），将它们洗匀后随机抽取两张，则恰好是“德”和“智”的概率是 ． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）四张相同的卡片上分别写有数字，，2，4，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函数的图像经过第二、三、四象限的概率为 ． 13．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）某校将举行田径运动会，某班的“体育达人”小健特别擅长“米”、“米”、“跳远”三个项目，但运动会规则要求每位运动员最多能参加两个项目，小明只能从这三个项目中随机选择两项，则他参加“米”与“跳远”两个项目的概率是 ． 14．（2024·广东·模拟预测）如图，这是某电路的示意图，随机闭合开关S1，S2，S3，中的任意2个，能同时使2盏小灯泡发光的概率是 ． 15．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为 ． 三、解答题 16．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）把一副普通扑克牌中的4张：黑3，红4，梅5，方6，洗匀后正面朝下放在桌面上． (1)从中随机抽取一张牌是红4的概率是______； (2)从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张，求抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率． 17．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的小球上分别标有数字，，，，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为． (1)从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为的概率是______； (2)若，都是方程的解时，小明获胜；否则小张获胜；请利用列表格或画树状图说明此游戏是否公平？ 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字1和；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字和2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为． (1)请用列表法或画树状图法列出点P所有可能的坐标； (2)求点P在一次函数：图象上的概率． 19．（2024·陕西·模拟预测）光导纤维按原材料主要分为石英光纤，塑料光纤，多组分玻璃光纤，复合材料光纤，氟化物光纤．现准备了石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤各一份，多组分玻璃光纤两份给某大学的甲同学进行研究，甲同学决定用随机选取的方式确定研究哪种光导纤维． (1)“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)若甲同学从准备好的光导纤维中一次性抽取两份，请用画树状图或列表的方法，求石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 20．（23-24九年级上·全国·单元测试）明年春节期间小惠一家打算从 “五台山”“平遥古城”“乔家大院”“雁门关”这四个著名景点中选择两处游玩，于是她在四张材质外观一样的卡片上分别写上这四个景点，决定用抽签的方式来选择游玩的地点． (1)若小惠从四张卡片中任取一张，则景点“云冈石窟”被抽中是_______事件，景点“雁门关”被抽中是______事件（填“不可能”“必然”或“随机），景点“五台山”被抽中的概率是______； (2)小惠从四张卡片中先后抽取两张，请用列表或画树状图的方法求小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 25.2用列表法求概率（分层培优提升） 一、单选题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和不小于5的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如图所示： 共有20种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和不小于5的有种结果， 两次摸出的小球的标号之和不小于5的概率为； 故选：D． 2．（2023·四川乐山·模拟预测）经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好两人都直行的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出恰好两人都直行的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有9种等可能的结果数，其中恰好两人都直行的结果数为1， 所以恰好两人都直行的概率是． 故选：A． 3．（2024·湖南益阳·模拟预测）某公园有三个出入口，每个出入口均可进可出，乐乐周末陪父母去公园散步（三人全程都在一起），他们随机从每个出入口进出，则从同一个出入口进出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图可得出所有等可能的结果数以及从同一个出入口进出的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中从同一个出入口进出的结果有3种， ∴从同一个出入口进出的概率为， 故选：A． 4．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）红星学校在日本战败投降周年纪念日这天举行了“铭记历史，警钟长鸣”主题教育活动，学校需要从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名同学作为“勿忘历史”和“奋进新征程”两个栏目的宣传大使，则恰好选中乙为“勿忘历史”栏目宣传大使、丙为“奋进新征程”栏目宣传大使的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法与树状图法，列出所有可能的结果是解题的关键． 利用列表法展示所有可能的结果，再找出抽到乙、丙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表格为： 勿忘历史 奋进新征程 甲 乙 丙 丁， 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 注意：（乙，丙）和（丙，乙）不一样．（乙，丙）表示乙是“勿忘历史”栏目宣传大使，丙是“奋进新征程”栏目宣传大使．（丙，乙）表示丙是“勿忘历史”栏目宣传大使，乙是“奋进新征程”栏目宣传大使． 故符合条件的只有（乙，丙），概率为， 故选A． 5．（2024·宁夏银川·二模）宁夏素有“塞上江南”之美誉，这里既有古老的黄河文明，又有雄浑的大漠风光．某校开展“大美宁夏，闽宁同行”旅游主题活动．选取三个景点：A．沙坡头，B．六盘山，C．水洞沟．每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点，则小明和小颖选择同一个景点的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 【详解】解：画树状图为： ∵共有9种等可能的结果数，其中小明和小颖选择同一个景点的结果数为3， ∴小明和小颖选择同一个景点的概率为． 故选：C． 6．（2024·山东临沂·模拟预测）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后不放回，再从中随 机摸出一个棋子；则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】画树状图为： 共有6种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为2种， ∴两次摸到相同颜色的棋子的概率， 故选：B． 7．（2024·山东临沂·模拟预测）小颖、小亮玩掷硬币游戏，约定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为(正，反)，如此类推．若出现(正，正)小颖赢，若出现(反，反)小亮赢，那么在这个游戏中小颖赢的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查利用树状图求概率，按照利用树状图求概率的一般步骤求解即可． 【详解】画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中出现(正，正)的结果有1种， ∴出现(正，正)的概率为， 故选小颖赢的概率是． 故选：A． 8．（24-25七年级上·全国·假期作业）娜娜和欣欣玩掷骰子游戏，骰子各面上的数字分别是1、2、3、4、5、6，下面（　　）游戏规则是公平的． A．上面是质数娜娜胜，上面是合数欣欣胜 B．上面是偶数娜娜胜，上面是奇数欣欣胜 C．上面的数小于3娜娜胜，上面的数大于3欣欣胜 D．上面的数小于4娜娜胜，上面的数大于4欣欣胜 【答案】B 【分析】本题主要考查了游戏是否公平，先确定质数和合数，再说明可能性的大小，进而判断A，再确定偶数和奇数，并说明可能性的大小，判断B，然后确定大于3（4），小于3（4）的个数，说明可能性，判断C，D 即可．一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数除了1和它本身，还有其它因数，这样的数叫做合数；不能被2整除的数叫做奇数；能被2整除的数叫做偶数． 【详解】A.质数有2，3，5一共3个；合数有4，6一共2个；3>2，娜娜获胜的机会多，游戏不公平； B.偶数有2，4，6一共3个，奇数有1，3，5一共3个，3=3，获胜的机会相同，游戏公平； C．小于3的数有1，2一共2个；大于3的数有4，5，6一共3个，2＜3，欣欣获胜的机会多，游戏不公平； D．小于4的数有1，2，3一共3个；大于4的数有5，6一共2个；3>2，娜娜获胜的机会多，游戏不公平． 娜娜和欣欣玩掷骰子游戏，骰子各面上的数字分别是1、2、3、4、5、6，上面是偶数娜娜胜，上面是奇数欣欣胜游戏规则是公平的． 故选：B． 9．（2024·广东·中考真题）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，选中“巴蜀文化”的概率是， 故选：A． 10．（2024·山西吕梁·模拟预测）太原北齐壁画博物馆于2023年12月20日开馆，它是全国首座原址建设的北齐壁画博物馆，以北齐壁画展示为核心，解读北朝时期晋阳在文化交流、民族融合等方面的重要地位．场馆一层分三个展厅：第一展厅（别都华彩），第二展厅（一眼千年）和第三展厅（简易标美）．某中学两名学生计划利用周末时间随机选择一个展厅进行志愿者活动，则他俩恰好选择同一展厅的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键． 利用树状图展示出所有可能的结果，然后确定符合事件的情况进行计算即可． 【详解】解：利用树状图求出两位学生选择展厅的情况： 即共有9种情况，两位学生恰好选择同一展厅的情况有3种， ∴ 故选：D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）柜子里有2双鞋，随机取出两只刚好配成一双鞋的概率是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查画树状图，概率的意义及求法，熟练画树状图是解题的关键；根据概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图 共12种等可能出现的情况，其中刚好配成一双的有4种，则所求概率 故答案为：． 12．（21-22九年级上·广东揭阳·期中）小颖有红、白、蓝三条长裤和红、白、蓝三件衬衣，她从中任意拿一条长裤和一件衬衣，恰好配成红色一套的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好配成红色一套的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图如下：    ∵共有9种等可能的结果，恰好配成红色一套的有1种情况， ∴恰好配成红色一套的概率是：． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，为了确定谁去听讲座，小明想了一个办法：他拿出一个装有质地、大小均相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，那么妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，那么小明去听讲座．则该办法 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】此题考查了概率公式和游戏公平性问题，根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：红球有个，白球有个， ，， ， 这个办法不公平． 故答案为：不公平． 14．（24-25九年级上·全国·单元测试）在的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 【答案】/0.75 【分析】本题主要考查了几何概率，勾股定理的逆定理，先将第三枚棋子可能落在其余四个位置的格点位置找到．再找出与已知格点构成直角三角形的3种情况，然后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，第三枚棋子一共有A，B，C，D四个位置可以放置，其中能与已知两枚棋子构成直角三角形的点是B、C、D三个点， ∴以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：将4张卡片分别记为、、、，则属于化学变化的有、， 画树状图如下： ， 共有12种等可能出现的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的情况有种， ∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，电路中有3个开关a，b，c，已知电路及其他元件都能正常工作，现任意闭合两个开关，能使得小灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法．画树状图，共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能正常工作的结果有4种，再由概率公式求解即可．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能正常工作的结果有4种， 使得小灯泡能正常工作的概率为， 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）甲、乙两位同学相约打乒乓球，双方约定：两人各投挪一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球，这个约定是否公平？请用列表或者树状图的方法说明理由． 【答案】公平，理由见解析 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率．先画出树状图，再分别求出甲先发球和乙先发球的概率，即可判断是否公平． 【详解】解：公平，理由如下： 画树状图如下： 由树状图可知：一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上的结果有2种， （甲先发球），（乙先发球）， （甲先发球）（乙先发球）， 这个约定公平． 18．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）一个不透明的袋中只装有1个红球和2个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出一个球，不放回，再从袋中摸出一个球． (1)求摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）； (2)现再将个红球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是红球的概率为．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，已改概率求数量，解分式方程： （1）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到摸出的球恰好颜色不同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （2）根据概率计算公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设用A、B表示两个白球，C表示红球，列表如下： 第一次第二次 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中摸出的球恰好颜色不同的结果数有4种， ∴摸出的球恰好颜色不同的概率为； （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 19．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）2023年7月14日，由夏铭泽、阎凯执导的电影《茶啊二中》在各大影院上映，并得到空前好评，小明和小亮都想去观看，但是只有一张电影票．于是他们决定采用抽卡片的办法决定谁去看电影，规则如下：将正面分别标有数字1、2、3的三张卡片（卡片除了所标数字外其余都相同）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明随机抽出一张卡片记下数字，放回后，重新洗匀背面朝上放置在桌面上，小亮再随机抽出一张记下数字，如果两个数字之和为奇数，小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．你认为这个规则公平吗？请说明理由． 【答案】这个游戏不公平，理由见详解 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列表法或者树状图进行求解概率是解题的关键；因此此题可根据列表法求出小明去和小亮去的概率，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可列表如下： 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 由表可知：两个人所抽数字之和的情况共有9种情况，其中和为奇数的有4种，和为偶数的有5种， ∴两个数字之和为奇数的概率为；和为偶数的概率为； ∵， ∴这个游戏不公平． 20．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）“十一”期间，我校（1）班学生通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行锻炼．四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，太原体育中心，太原奥体中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D表示．现把分别印有A，B，C，D的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是A和B的概率． 【答案】抽到的两张卡片恰好是A和B的概率为． 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片编号恰好是和B的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片编号恰好是和B的结果有2种， 故所求概率为． 答：抽到的两张卡片恰好是A和B的概率为． 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）从，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，分别记作a和b．若点A的坐标记作，则点A在函数上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 2 3 4 2 3 4 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中在函数上的有种， 故若点A的坐标记作，则点A在函数上的概率是， 故选：B． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有6种等可能的结果，其中从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1种， 从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是， 故选：D． 3．（2024·安徽·模拟预测）从，，这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和，则一次函数图象经过第二象限的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下，    一共有种可能，其中经过第二象限的共有种可能，分别为，；，；，；，； ∴经过第二象限的概率是， 故选：． 4．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）一个转盘白色扇形和红色扇形的圆心角分别为和，让转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用画树状图法求概率，白色区域用A表示，红色区域分别用和，画出树状图，表示出所有等可能的结果数，再确定一次落在白色，一次落在红色区域的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】解：白色区域用A表示，红色区域分别用和，如图， 画树状图如下： 一共有9种等可能的结果，而转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的结果数有4种， ∴让转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的概率是， 故选：D． 5．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 同时闭合、，灯泡会发光，根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，根据概率公式，即可解答． 【详解】解：同时闭合、，灯泡会发光， 根据题意列出表格如下： 由表可知，应该有6种情况，能使灯泡发光的情况有2种， ∴能使灯泡发光的概率． 故选：A． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把3节车厢分别记为、、， 画树状图如图： 共有9种等可能的结果，甲和乙不是从同一节车厢上车的结果有6种， 甲和乙从同一节车厢上车的概率为， 故选：A． 7．（2024·山西·模拟预测）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用列举法求概率以及圆确定的条件，根据题意可得出所有等可能的结果以及经过这三个点能够画出圆的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，共10种， 其中经过这三个点能够画出圆的结果有： ，，，，，， 共6种， ∴经过这三个点能够画出圆的概率为． 故选：D 8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意正确的列表格是解题的关键． 将第一个图中蓝色分成3份，然后列表格，最后求概率即可． 【详解】解：将第一个图中蓝色分成3份，列表格如下； 红 蓝1 蓝2 蓝3 红 红红 红蓝 红蓝 红蓝 黄 黄红 黄蓝 黄蓝 黄蓝 蓝 蓝红 蓝蓝 蓝蓝 蓝蓝 共有种等可能的结果，其中能配成紫色共有4种等可能的结果， ∴配成紫色的概率是， 故选：C． 9．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率、概率公式等知识点．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 先列表得出所有等可能的情况数，找出两个数的和是2的倍数或3的倍数情况，即可求出所求概率． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 所有等可能的情况有16种，其中两个数的和是2的倍数或3的倍数情况有10种， 则． 故选：B． 10．（2024·广东·模拟预测）第届深圳国际导热散热材料及设备展览会将于年月日在深圳国际会展中心举办，若小张随机从三个入口中选择一个进入，再随机从两个出口中选择一个离开，则小张从口进入，口离开的概率是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图法或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下：    由树状图可知，共有种等结果，其中小张从口进入，口离开的结果只有种， ∴小张从口进入，口离开的概率是， 故选：． 二、填空题 11．（24-25九年级上·重庆江北·阶段练习）五张分别印有“德”、“智”、“体”、“美”、“劳”的卡片（除卡片上的字不同外，其余均相同），将它们洗匀后随机抽取两张，则恰好是“德”和“智”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及恰好是“德”和“智”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 德 智 体 美 劳 德 （德，智） （德，体） （德，美） （德，劳） 智 （智，德） （智，体） （智，美） （智，劳） 体 （体，德） （体，智） （体，美） （体，劳） 美 （美，德） （美，智） （美，体） （美，劳） 劳 （劳，德） （劳，智） （劳，体） （劳，美） 共有20种等可能的结果，其中恰好是“德”和“智”的结果有：（德，智），（智，德），共2种， 恰好是“德”和“智”的概率是． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）四张相同的卡片上分别写有数字，，2，4，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函数的图像经过第二、三、四象限的概率为 ． 【答案】 【分析】本体考查概率及一次函数的性质，根据图像经过第二、三、四象限得到及，找出所有情况及两个都小于0的情况结合概率公式求解即可得到答案； 【详解】解：∵图像经过第二、三、四象限， ∴及， 树状图如图， 总共有：种情况，同时小于0的情况有2种， ∴， 故答案为：． 13．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）某校将举行田径运动会，某班的“体育达人”小健特别擅长“米”、“米”、“跳远”三个项目，但运动会规则要求每位运动员最多能参加两个项目，小明只能从这三个项目中随机选择两项，则他参加“米”与“跳远”两个项目的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：用分别表示“米”、“米”、“跳远”三个项目，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中参加“米”与“跳远”两个项目的结果有种， ∴参加“米”与“跳远”两个项目的概率是， 故答案为：． 14．（2024·广东·模拟预测）如图，这是某电路的示意图，随机闭合开关S1，S2，S3，中的任意2个，能同时使2盏小灯泡发光的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个灯泡发光的有4种，然后由概率公式求解即可，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中能让两个灯泡发光的结果数为4， ∴能同时使2盏小灯泡发光的概率是：， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法，列表或画树状图求随机事件的概率，根据方程有两个不相等的实根可得，画树状图表示所有等可能结果，再找出甲获胜的概率，即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 画树状图表示所有等可能结果如下，抽取结果表示为， 共有9种等可能结果，其中的有，，，，，共5种， ∴甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为， 故答案为： ． 三、解答题 16．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）把一副普通扑克牌中的4张：黑3，红4，梅5，方6，洗匀后正面朝下放在桌面上． (1)从中随机抽取一张牌是红4的概率是______； (2)从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张，求抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率． 【答案】(1)； (2)抽取的两张牌牌面数字之和大于的的概率为． 【分析】本题考查了列表法和画树状图法求概率，简单的概率公式，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，随机抽取一张牌是红4的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有个等可能的结果，抽取的两张牌牌面数字之和大于的结果有个， ∴抽取的两张牌牌面数字之和大于的的概率为：． 17．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的小球上分别标有数字，，，，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为． (1)从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为的概率是______； (2)若，都是方程的解时，小明获胜；否则小张获胜；请利用列表格或画树状图说明此游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【分析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；正确列出表格是解题的关键． （1）先解方程，根据概率公式即可得出概率； （2）列出表格，分别计算出小明和小张获胜的概率，比较即可． 【详解】（1）解：当代数式的值为时， ， 解得，， ∴从甲袋摸出一个小球，共有4种等可能结果，其中小球上的数字使代数式的值为0的有2种结果，其概率为：； （2）解：列表如下： n           m 3 4 5 6 4 5 6 7 总共有16种等可能结果，其中都是该方程的解的有4种结果， 故小明获胜的概率为：； ，中有不是该方程的解的结果有12种， 故小张获胜的概率为， 所以，小明获胜的概率大，此游戏不公平． 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字1和；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字和2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为． (1)请用列表法或画树状图法列出点P所有可能的坐标； (2)求点P在一次函数：图象上的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意正确完成树状图或列表． （1）画出树状图，根据树状图列出点P所有可能的坐标即可； （2）根据（1）的所有结果，计算出这些结果中点P在一次函数图像上的个数，即可求得点P在一次函数图像上的概率． 【详解】（1）画树状图： ∴点P所有可能的坐标为； （2）∵只有，与这3个点在一次函数图像上， ∴点P在一次函数图像上的概率为． 19．（2024·陕西·模拟预测）光导纤维按原材料主要分为石英光纤，塑料光纤，多组分玻璃光纤，复合材料光纤，氟化物光纤．现准备了石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤各一份，多组分玻璃光纤两份给某大学的甲同学进行研究，甲同学决定用随机选取的方式确定研究哪种光导纤维． (1)“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)若甲同学从准备好的光导纤维中一次性抽取两份，请用画树状图或列表的方法，求石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 【答案】(1)不可能 (2)石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率为． 【分析】本题考查了随机事件和列表法与树状图法． （1）根据随机事件和确定事件的定义进行判断； （2）利用树状图展示所有20种等可能的结果，再计算出石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 【详解】（1）解：“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是不可能事件； 故答案为：不可能； （2）解：用A，B，C分别表示石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤，用D，E表示两份多组分玻璃光纤， 画树状图为： 共有20种等可能的结果，其中石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的情况有AD，AE，DA，EA，即结果数为4， ∴石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 20．（23-24九年级上·全国·单元测试）明年春节期间小惠一家打算从 “五台山”“平遥古城”“乔家大院”“雁门关”这四个著名景点中选择两处游玩，于是她在四张材质外观一样的卡片上分别写上这四个景点，决定用抽签的方式来选择游玩的地点． (1)若小惠从四张卡片中任取一张，则景点“云冈石窟”被抽中是_______事件，景点“雁门关”被抽中是______事件（填“不可能”“必然”或“随机），景点“五台山”被抽中的概率是______； (2)小惠从四张卡片中先后抽取两张，请用列表或画树状图的方法求小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率． 【答案】(1)不可能，随机， (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，简单的概率计算，事件的分类： （1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案； （2）列表列举出所有情况数，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】（1）解：由题意得，小惠从四张卡片中任取一张，则景点“云冈石窟”被抽中是不可能事件，景点“雁门关”被抽中是随机事件， ∵一共有4个景点，每个景点被抽到的概率相同， ∴景点“五台山”被抽中的概率是， 故答案为：不可能，随机，； （2）解：设用A、B、C、D分别表示“五台山”，“平遥古城”，“乔家大院”，“雁门关”这四个景点，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的结果数有2种， ∴小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率为． ( 27 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$