5.3 一元一次方程与实际问题 专训（4）2024-2025学年人教版数学七年级上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第5章 5.3 一元一次方程与实际问题 专训4（解析版） （包含古代问题、日历问题、比列问题3大题型，难度由浅入深，每级难度的题量为3-6题，课根据自己需求选择。古代问题11题，日历问题8题，比列问题9题） 一、古代问题 1．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 【答案】21人，150元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设合伙人数为x,根据“若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱”， 即可得出关于x的一元一次方程求解可得合伙人数，再将其代入计算即可求出羊价． 【详解】解：设合伙人数为x, 依题意得：，解得：， 则． 答：合伙人数为21，羊价为150钱． 2．我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 【答案】6.5尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设木头长x尺，根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺”列方程即可作答． 【详解】设木头长x尺，由题意可知：， 解得 答：木头的长度是6.5尺． 3．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车；两人同乘一辆车，则有九人步行．请问共有多少人出行，多少辆车． 【答案】共有39人出行，15辆车． 【分析】本题考查实际问题与一元一次方程，由于人数是一个定值，根据题干中的两种情况表示出人数，列出一元一次方程即可解题． 【详解】解：设有辆车，由题意得： ． 解得 ∴ 答：共有39人出行，15辆车． 4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦；已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问：有多少匹大马、多少匹小马？（用方程解决问题） 【答案】有匹大马、匹小马． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．设小马有匹，大马有匹，根据题意可得等量关系：大马拉瓦数小马拉瓦数，根据等量关系列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：设小马有匹，大马有匹，由题意得： ， 解得：， ， 答：有匹大马、匹小马． 5．鸡兔同笼是我国古代三大算术题目之一，最早记载于《孙子算经》中，距今已经超过年的历史，原文如下：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？翻译成现代汉语就是：有若干只鸡和兔子在同一个笼子里，从上面数共有个头，从下面数共有只脚，鸡和兔子各有多少只？ 【答案】鸡有只，兔有只． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中各量间的数量关系是解答本题的关键，设鸡有x只，根据题意列出方程并解答即可． 【详解】解：设鸡有x只，则兔有只， 根据题意得 ， 解得， ， 答：鸡有23只，兔有12只． 6．试根据古诗中叙述，求出寺内有多少个僧人？ 巍巍山寺在山林，不知寺内几多僧． 三百六十四只碗，看看用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹． 【答案】寺内有624名僧人 【分析】设寺内有x名僧人，读懂题中的诗句，找出条件，共有364只碗，三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹，即可列出方程，解出即可． 【详解】设寺内有x名僧人，由题意得 解得：． ∴寺内有624名僧人． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，解决本题的关键是读懂题中的诗句，找出人数和碗数之间的关系，从而列出方程求出答案． 7．《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 【答案】小和尚有人，大和尚有人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有人，则大和尚有人，根据个馒头列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小和尚有人，则大和尚有人， 由题意得，， 解得， （人）， 答：小和尚有人，大和尚有人． 8．《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【答案】公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设母鸡有x只，则公鸡有只，根据用一百文钱买一百只鸡，列出方程，求解即可． 【详解】解：设母鸡有x只，则公鸡有只，小鸡有（只）， 根据题意列方程为：． 解得， ∴，， ∴公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只． 9．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设塔的顶层有盏灯，根据“从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯”，列出一元一次方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设塔的顶层有盏灯， 由题意得：， 解得：， 塔的顶层有盏灯． 10．我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 【答案】①这个两位数为36；②75户 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； ①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“个位上的数字的6倍正好等于这个两位数”列方程求出x即可； ②设城中共有户人家，根据“100头鹿，每家领取一头后，剩下的鹿每三家分一头，恰好取完”列方程求解即可． 【详解】①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意得：， 解得， 则， 答：这个两位数为36； ②解：设城中共有户人家， 根据题意得：， 解得， 答：城中共有75户人家． 11．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 【答案】(1)该店有客房8间，房客63人 (2)选择一次性订房20间更合算；理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该店有客房x间；根据题意得出方程，解方程即可； （2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房20间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该店有客房x间， 由题意得，， 解得：， （人）， 答：该店有客房8间，房客63人． （2）解：若每间客房住4人，则63名房客至少需要16间房，至少需要付： （元）， 若一次性订客房20间以上（含20间），则至少需要付： （元）， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房20间更合算． 二、日历问题 1．如图是2023年12月份的日历，用一个正方形任意圈住4个数（如图），仔细观察这4个数，不改变正方形的大小，任意移动方框的位置，找出规律． (1)若把第一行第一列的那个数表示为a，其余各数分别用含a的代数式表示，请把表格补充完整． a (2)求这四个数的和（用含a的代数式表示，要求合并同类项化简）． (3)小明妈妈的生日快到了，小明想送妈妈一个生日礼物，可是却不知道妈妈的生日是几号，于是就问妈妈，可妈妈说我的生日那天在本月日历上横竖列相邻的四个数字的和68的四个数字里面，并且这四个数中最大的数字那天就是我的生日．请你帮助小明确定妈妈的生日． 【答案】(1)见解析 (2) (3)小明妈妈的生日是12月21日 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力． （1）利用已知数字分布规律进而得出答案； （2）表示出各数进而得出关系式； （3）利用（2）中所求进而得出的值，求出答案． 【详解】（1）解： 故答案为：，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：， 解得：， ， 答：小明妈妈的生日是12月21日． 2．（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 【答案】（1）；（2），，，；（3）；（4）；（5）①和是中间的数的9倍；②；③ 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握日历或数表上的相邻数间的关键是解题的关键． （1）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （2）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （3）设中间的数是，其他的数为，，，，列式求解即可； （4）设最后一个星期日是，，，，，列式求解即可； （5）①先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，求和可得和是中间的数的9倍； ②利用和是中间的数的9倍列式求解即可； ③利用和是中间的数的9倍列式求解即可． 【详解】解：（1）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， 故答案为：； （2）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， ，， 故答案：，，，； （3）设中间的数是， 则其他的数为，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （4）设最后一个星期日是，，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （5）①设中间的数是，其他的数为，，，，，，，， 则和为， 故答案为：和是中间的数的9倍； ②根据规律可知，和是中间的数的9倍， 设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：； ③设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：． 3．如图1是2024年1月的日历表： (1)在图1中用优美的U形框“”框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为______； (2)在图1中移动U形框的位置，若U形框框住的五个数字之和为68，则这五个数字中最大的数为______； (3)在图1日历表的基础上，继续将连续的自然数排列成如图2的数表，在图2中U形框框住的5个数字之和能等于2025吗？若能，分别写出U形框框住的5个数字：若不能，请说明理由． 【答案】(1)38 (2)22 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用和列代数式，解决此类问题的关键在于找出题目中数字排列的规律，根据这个规律写出式子解决问题． （1）将五个数字直接相加即可； （2）设最小的数字为x，由图可知，在U形框中，最小的数在左上角，上下相邻的数：上面的数比下面的数少7，左右相邻的数：右边的数比左边的数大2，最下方的数为最小的数加上15，根据此规律即可列出代数式，根据（1）中得出的代数式，U形框框住的五个数字之和为68，算出x即可解答； （3）根据（2）中得出的代数式，U形框框住的五个数字之和等于2025，算出x，进而得出结论即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：38； （2）解：由图可知， 在U形框中，最小的数在左上角， 上下相邻的数：上面的数比下面的数少7， 左右相邻的数：右边的数比左边的数大2， 最下方的数为最小的数加上15， 设最小的数字为x， 则U形框框住的五个数字之和为：， ∵U形框框住的五个数字之和为68， ∴， 解得：， ∴这五个数字从小到大依次为7，9，14，16，22， 故答案为：22； （3）解：不能，理由如下： 若U形框框住的五个数字之和等于2025，则， 解得：， 因为x不是整数，所以不能框住． 4．将从1到900的正整数按一定规律排列如下表： 对如图十字形框中的5个数进行探究： (1)设这5个数中间的数为a，则最小的数为 ，最大的数为 ； (2)若这5个数的和是 240，求出这5个数中间的数： (3)这5个数的和可能是2025 吗，若能，求出这5个数中间的数，若不能，请说明理由． (4)若在（1）中十字形框中框住的五个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差等于 【答案】(1)， (2) (3)不能 (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到数据的规律，列出正确的方程是本题的关键． （1）设中间的数为，其他四个数分别为，即可得最小的数和最大的数； （2）根据题意列出方程，求解即可； （3）根据题意列出方程，可求为，可得是的倍数，则在第列，则这个数的和不可能是； （4）根据表中数据分别求出五个数的最大值和五个数的最小值，在作差即可． 【详解】（1）设中间的数为，其他四个数分别为，则最小的数，最大的数为 ， 故答案为： （2）由（1）得: ， 解得， 答：这个数中间的数为； （3）不能，理由为： 由 （1）得:， 解得， ， ∴是第列的数， ∴这个数的和不可能是； （4）当这个数的和最大时，，则， ， 当这个数的和最小时 ，则 ， ， 故答案为:． 5．如图是年月份的月历，请解决下列问题： 星期天 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 (1)竖排相邻各数间有什么关系？横排相邻各数间有什么关系？ (2)从左上到右下的对角线上相邻各数间有什么关系？从右上到左下的对角线上相邻各数间有什么关系？ (3)暑假期间小明和家人外出游玩天，这天的日期之和是，小明是几号出去玩的？ 【答案】(1)竖排相邻各数间相差，横排相邻各数间相差 (2)从左上到右下的对角线上相邻各数间相差，从右上到左下的对角线上相邻各数间相差 (3)号 【分析】（）观察月历即可求解； （）观察月历即可求解； （）设小明是号出去玩的，根据月历横排相邻各数间的关系列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，找到月历中相邻各数间的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由月历可得，竖排相邻各数间相差，横排相邻各数间相差； （2）解：由月历可得，从左上到右下的对角线上相邻各数间相差，从右上到左下的对角线上相邻各数间相差； （3）解：设小明是号出去玩的， 由题意得，， 解得， 答：小明是号出去玩的． 6．如图为2024年1月的日历，其中有一个“”形框，希望我们在新的一年“”（开心学习，热爱生活）．“”形框内包含7个数．    (1)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“”形框内的7个数中，从小到大排列第个数为，用含的式子表示形框内的个数字的和为________； (2)将“”形框上下左右平移，设“”形框内的个数字之和为．请求出此时“”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的数之和分别为，（），且，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)8 (3)70 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加法计算，有理数的加法计算，正确理解题意列出式子和方程是解题的关键． （1）分别表示出其余6个数，然后根据整式的加法计算法则求解即可； （2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，由（1）的结论列方程求解可得到答案； （3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为，根据题意得到，再由可知当有最大值时，则有最大值，则只需要满足最大，最小时即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，其他6个数分别为， ∴这7个数的和为． 故答案为：； （2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a， 由题意得，， 解得， ∴， ∴最小的数是8； （3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当有最大值时，则有最大值， ∴只需要满足最大，最小时即可， ∵，即， ∴当最大时，最小， 由日历表可知， 当取23，取7时，由日历表可知不符合题意； 当取20，取10，由日历表可知符合题意， ∴的最大值为． 7．下列8个图形，都是由相同的小正方形拼成的对称图形，分别将这8个图形放在某日历图片上，使每个图形的每个小正方形各圈住一个日期，如果某图形圈住的日期数字之和是这个图形的小正方形个数的整数倍数，那么这个图形叫做倍数图形． (1)将图形①放在图1中，使其圈住5个日期数字，设其圈住的中心数为n，判断图形①是不是倍数图形？如果，请证明一下，如果不是，请说明理由． (2)除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有_______（填写序号） (3)将图形④放在日历上，能否圈住三个数，使这三个数之和为33，如果能，请求出它的中心数，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)图形①是倍数图形，理由见解析 (2)②③④⑤⑥ (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式，整式的加减，解题的关键是正确表示出每个位置上的数， （1）根据题意表示出5个数，然后相加求解判断即可； （2）分别表示出每个位置上的数，然后相加求解判断即可； （3）根据（2）中的结果得到，解得，然后根据11在日历上的位置求解即可． 【详解】（1）∵设其圈住的中心数为n， ∴其他的数分别为，，，， ∴ ∴是5的倍数， ∴图形①是倍数图形； （2）图形②：设中间数为a，则其他的数分别为，，，，，，， ∴ ∵是9的整数倍， ∴图形②是倍数图形； 图形③：设第一个数为b，则其他的数分别为，， ∴ ∵是4的整数倍， ∴图形③是倍数图形； 图形④：设中间数为c，则其他的数分别为，， ∴ ∵是3的整数倍， ∴图形④是倍数图形； 图形⑤：设中间数为d，则其他的数分别为，， ∴ ∵是3的整数倍， ∴图形⑤是倍数图形； 图形⑥：设中间数为e，则其他的数分别为，，， ∴ ∵是5的整数倍， ∴图形⑥是倍数图形； 图形⑦：设第二个数为f，则其他的数分别为，，，， ∴ ∵不是6的整数倍， ∴图形⑦不是倍数图形； 图形⑧：设第一个数为g，则其他的数分别为， ∴ ∵不是3的整数倍， ∴图形⑧不是倍数图形； 综上所述，除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有②③④⑤⑥． （3）由（2）得， 解得 ∵c是中间的数，而11在日历上是最左边的数， ∴不符合题意，应舍去 ∴不能圈住三个数，使这三个数之和为33． 8．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4． (1)若a1＝1，则＝______，若a＝x，则a4＝______（用含x的式子表示）； (2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为______． 【答案】(1)10；； (2)小胖的说法对，大胖的说法不对，理由见解析； (3)21，23或29． 【分析】（1）由日历中5个数的位置关系，即可求出a3，同样可用含x的式子表示a4； （2）由5个数之和分别为106和90，解之可得出a值，进而可得结论； （3）找出a的可能值，进而可得出2a+1的值，结合b的值及b = 2a+ 1可确定b值． 【详解】（1）解：由题意得：a3=1+7+2=10，若a＝x，则a4=x+1-7=x-6， 故答案为：10；x-6； （2）解：小胖的说法对，大胖的说法不对， 理由：小胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =106，解得：a=24； 大胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =90，解得：a=20.8 (不符合题意，舍去)； ∴小胖的说法对，大胖的说法不对； （3）解：a的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30， ∴2a+1的值可以为：19，21，23，29，31，33，35，37，43，45，47，49，51，57，59，61； ∵b的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，且b= 2a+1， ∴b的值可以为：21，23，29， 故答案为：21，23或29． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 三、比列问题 1．学校把一批花按分配给五年级和六年级同学栽种．已知六年级比五年级多分了棵．五、六年级各分了多少棵？ 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设五年级和六年级各分了棵和棵，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设五年级和六年级各分了棵和棵， 根据题意，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ，， 五、六年级各分了棵和棵． 2．春节即将到来，某校老师组织学生给社区送温暖活动，共有75位同学参加，其中30位同学为社区写春联，剩余同学写“福”字，根据需求情况，在参加活动总人数不变的情况下，要将写“福”字的人数调整为写春联人数的一半，问应从写“福”字的同学中调多少人去写春联？ 【答案】从写“福”字的同学中调20人去写春联 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设从写“福”字的同学中调人去写春联，根据题意列方程，求解即可． 【详解】解：设从写“福”字的同学中调x人去写春联， 根据题意得，解得． 答：从写“福”字的同学中调20人去写春联． 3．新华书店新进一种畅销书，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多20本，书店还剩140本这种书，新华书店新进这种肠销书多少本？ 【答案】新华书店新进这种畅销书600本 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设新华书店新进这种畅销书x本，由总数减去两次销售的数量等于140，再建立方程求解即可． 【详解】解：设新华书店新进这种畅销书x本． ， ， ， 答：新华书店新进这种畅销书600本． 4．甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？ 【答案】甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为，根据他们共捐了374本，即可求出这三位同学各捐书多少册； 【详解】解：设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为， ∵他们共捐了374本， ∴， 解得， ∴甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为本． 5．为鼓励学生参加体育锻炼，某学校计划购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为，单价之和为70元，则篮球和排球的单价分别为多少钱？ 【答案】篮球的单价为40元，排球的单价为30元． 【分析】设篮球的单价为x元，则排球的单价为元，然后根据篮球和排球的单价之和为70元，列出方程求解即可． 【详解】解：设篮球的单价为x元，则排球的单价为元， 根据题意得，， 解得， 故． 答：篮球的单价为40元，排球的单价为30元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 6．有甲乙丙三个仓库存放货物，已知甲乙两仓库存货吨数比为 ，乙丙两仓库存货吨数比为 ，若甲仓库向丙仓库运 吨货物，则两个仓库货物吨数相同，求甲仓库原来存货吨数是多少吨？ 【答案】甲仓库原来存货 吨 【分析】设甲仓库原来存货吨数是吨，则乙仓库原来的存货吨数为吨，丙仓库原来的存货吨数为吨，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵甲乙两仓库存货吨数比为 ，乙丙两仓库存货吨数比为 ，即甲乙丙仓库的存货吨数比为， ∴设甲仓库原来存货吨数是吨，则乙仓库原来的存货吨数为吨，丙仓库原来的存货吨数为吨， 根据题意得， 解得：， ∴甲仓库原来存货吨数是吨， 答：甲仓库原来存货 吨． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 7．学校原来有足球和篮球共36个，其中足球和篮球个数之比为，后来又买进一些足球，这样使得足球占足球、篮球总数的，那么现在学校一共有多少个篮球和足球？ 【答案】现在学校一共有个足球和个篮球. 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，先求出原来的足球和篮球的个数，设后来又买进x个足球，根据足球占足球、篮球总数的列方程，解方程求出x的值，即可得到答案． 【详解】解：∵学校原来有足球和篮球共36个，其中足球和篮球个数之比为， ∴原来有足球（个），原来有篮球（个）， 设后来又买进x个足球，则 ， 解得， 则， ∴现在学校一共有个足球和个篮球. 8．在劳动课上，老师组织七年级（1）班的学生自己动手整理操场．七年级（1）班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3人．如果让男生单独工作，需要5小时，如果让女生单独工作，需要小时． (1)七年级（1）班有男生、女生各多少人？ (2)如果让男生、女生一起工作1小时，再由男生单独完成剩余的部分，求男生共需要多少时间？ 【答案】(1)七年级（1）班有男生人、女生人； (2)男生共需要小时． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，熟练的确定相等关系建立方程是解本题的关键． （1）设七年级（1）班有男生有人，则女生有人，再利用全班共48人建立方程求解即可； （2）设男生共需要小时，再由各部分的工作量之和等于1建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级（1）班有男生有人，则女生有人， ∴， 解得：； ∴， 答：七年级（1）班有男生人、女生人； （2）设男生共需要小时，则 ， 解得：； 答：男生共需要小时． 9．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【答案】(1)工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件 (2)①见解析；②采购员第一次购买甲种材料120千克 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，列代数式，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件，利用“某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件”，再建立方程求解即可； （2）①用两次购买的数量减去第一次的数量可得表格第二次购买的数量；②先表示两次购买的费用，再利用“第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元”，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件， 根据题意得：， 解得：， ， 工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件； （2）①补充表格如下表： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 乙材料 ②第一次购买材料的费用为：（元）， 第二次购买材料的费用为：（元）， ，解得：， 答：采购员第一次购买甲种材料120千克． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第5章 5.3 一元一次方程与实际问题 专训4（原卷版） （包含古代问题、日历问题、比列问题3大题型，难度由浅入深，每级难度的题量为3-6题，课根据自己需求选择。古代问题11题，日历问题8题，比列问题9题） 一、古代问题 1．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 2．我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 3．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车；两人同乘一辆车，则有九人步行．请问共有多少人出行，多少辆车． 4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦；已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问：有多少匹大马、多少匹小马？（用方程解决问题） 5．鸡兔同笼是我国古代三大算术题目之一，最早记载于《孙子算经》中，距今已经超过年的历史，原文如下：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？翻译成现代汉语就是：有若干只鸡和兔子在同一个笼子里，从上面数共有个头，从下面数共有只脚，鸡和兔子各有多少只？ 6．试根据古诗中叙述，求出寺内有多少个僧人？ 巍巍山寺在山林，不知寺内几多僧． 三百六十四只碗，看看用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹． 7．《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？ 8．《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 9．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 10．我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题．①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 11．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房．(1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？(2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 二、日历问题 1．如图是2023年12月份的日历，用一个正方形任意圈住4个数（如图），仔细观察这4个数，不改变正方形的大小，任意移动方框的位置，找出规律．(1)若把第一行第一列的那个数表示为a，其余各数分别用含a的代数式表示，请把表格补充完整．(2)求这四个数的和（用含a的代数式表示，要求合并同类项化简）．(3)小明妈妈的生日快到了，小明想送妈妈一个生日礼物，可是却不知道妈妈的生日是几号，于是就问妈妈，可妈妈说我的生日那天在本月日历上横竖列相邻的四个数字的和68的四个数字里面，并且这四个数中最大的数字那天就是我的生日．请你帮助小明确定妈妈的生日． 2．（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图：①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 3．如图1是2024年1月的日历表，(1)在图1中用优美的U形框“”框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为______；(2)在图1中移动U形框的位置，若U形框框住的五个数字之和为68，则这五个数字中最大的数为______；(3)在图1日历表的基础上，继续将连续的自然数排列成如图2的数表，在图2中U形框框住的5个数字之和能等于2025吗？若能，分别写出U形框框住的5个数字：若不能，请说明理由． 4．将从1到900的正整数按一定规律排列如下表，对如图十字形框中的5个数进行探究：(1)设这5个数中间的数为a，则最小的数为 ，最大的数为 ；(2)若这5个数的和是 240，求出这5个数中间的数： (3)这5个数的和可能是2025 吗，若能，求出这5个数中间的数，若不能，请说明理由．(4)若在（1）中十字形框中框住的五个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差等于 。 5．如图是年月份的月历，请解决下列问题：(1)竖排相邻各数间有什么关系？横排相邻各数间有什么关系？ (2)从左上到右下的对角线上相邻各数间有什么关系？从右上到左下的对角线上相邻各数间有什么关系？(3)暑假期间小明和家人外出游玩天，这天的日期之和是，小明是几号出去玩的？ 6．如图为2024年1月的日历，其中有一个“”形框，希望我们在新的一年“”（开心学习，热爱生活）．“”形框内包含7个数．   (1)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“”形框内的7个数中，从小到大排列第个数为，用含的式子表示形框内的个数字的和为________； (2)将“”形框上下左右平移，设“”形框内的个数字之和为．请求出此时“”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的数之和分别为，（），且，直接写出的最大值． 7．下列8个图形，都是由相同的小正方形拼成的对称图形，分别将这8个图形放在某日历图片上，使每个图形的每个小正方形各圈住一个日期，如果某图形圈住的日期数字之和是这个图形的小正方形个数的整数倍数，那么这个图形叫做倍数图形．(1)将图形①放在图1中，使其圈住5个日期数字，设其圈住的中心数为n，判断图形①是不是倍数图形？如果，请证明一下，如果不是，请说明理由．(2)除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有_______（填写序号）(3)将图形④放在日历上，能否圈住三个数，使这三个数之和为33，如果能，请求出它的中心数，如果不能，请说明理由． 8．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4．(1)若a1＝1，则＝______，若a＝x，则a4＝______（用含x的式子表示）；(2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由；(3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为______． 三、比列问题 1．学校把一批花按分配给五年级和六年级同学栽种．已知六年级比五年级多分了棵．五、六年级各分了多少棵？ 2．春节即将到来，某校老师组织学生给社区送温暖活动，共有75位同学参加，其中30位同学为社区写春联，剩余同学写“福”字，根据需求情况，在参加活动总人数不变的情况下，要将写“福”字的人数调整为写春联人数的一半，问应从写“福”字的同学中调多少人去写春联？ 3．新华书店新进一种畅销书，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多20本，书店还剩140本这种书，新华书店新进这种肠销书多少本？ 4．甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？ 5．为鼓励学生参加体育锻炼，某学校计划购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为，单价之和为70元，则篮球和排球的单价分别为多少钱？ 6．有甲乙丙三个仓库存放货物，已知甲乙两仓库存货吨数比为 ，乙丙两仓库存货吨数比为 ，若甲仓库向丙仓库运 吨货物，则两个仓库货物吨数相同，求甲仓库原来存货吨数是多少吨？ 7．学校原来有足球和篮球共36个，其中足球和篮球个数之比为，后来又买进一些足球，这样使得足球占足球、篮球总数的，那么现在学校一共有多少个篮球和足球？ 8．在劳动课上，老师组织七年级（1）班的学生自己动手整理操场．七年级（1）班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3人．如果让男生单独工作，需要5小时，如果让女生单独工作，需要小时． (1)七年级（1）班有男生、女生各多少人？(2)如果让男生、女生一起工作1小时，再由男生单独完成剩余的部分，求男生共需要多少时间？ 9．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件．(1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？(2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$