3.1.1 椭圆的标准方程（同步课件，含动画演示）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2023修订版·拓展模块一上册）

nullnull第3章 圆锥曲线 3.1.1 椭圆的标准方程 高教社数学拓展模块一（修订版）（上册） 目录ONTENTS C 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 中国国家大剧院是首都北京的地标性建筑之一，它位于人民大会堂的西侧．观察上图，国家大剧院及其倒影的轮廓线是什么图形？有什么特点？ 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 可以看出，图中的轮廓线是一条优美的封闭曲线，人们称之为椭圆．那么，如何画出一个椭圆呢？ 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 我们可以通过一个实验来完成． （1）准备一个画板、一条定长的细绳、两枚图钉和一支笔； （2）将绳子的两端固定在画板上的F1 和F2两点，并使绳长大于F1到F2的距离； （3）用笔尖将细绳拉紧，保持笔杆与画板垂直，笔尖在画板上慢慢移动，就画出一个椭圆，如视频所示． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数(大于| F1F2|)的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点间的距离称为椭圆的焦距． 显然，笔尖（即点M）移动时，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点F1 和F2的距离之和始终等于绳长（常数）． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 1970年4月24日，我国发射的第一颗人造地球卫星“东方红一号”顺利升空,开创了中国航天史的新纪元，使我国成为全球第五个独立研制并发射人造地球卫星的国家．如图所示,它的预定运行轨道是以半径约为6371km的地球的中心F1为一个焦点的椭圆，近地点A 距离地球441km，远地点B距离地球2368km．那么，如何求出这颗卫星预定运行轨道的椭圆方程呢？   我们知道，通过建立合适的平面直角坐标系，可以求出直线和圆的方程．那么，是否可以建立恰当的平面直角坐标系来求出椭圆的方程呢？ 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 设椭圆焦距为2c(c>0),则焦点F1 、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0) ． 容易看出，椭圆既是轴对称图形也是中心对称图形． 因此，以经过椭圆两焦点F1 、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 又设椭圆上的点M与焦点的距离之和为2a (a>0)，即|MF1|+|MF2|=2a．设点M的坐标为 (x,y)，则有 + =2a ． 整理并移项得=2a- ， 两边平方得=4a²-+ ， 整理得a²-=， 两边再平方，整理得a4+c²x²= a²x²+a²c²+ a²y² ， 移项并整理得 (a²-c²) x²+a²y²= a² (a²-c²) ． 由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0，所以a²-c² >0． 令a²-c² = b²得 (b>0)，则上式可化为并整理得 b²x²+a²y²= a²b² ． 两边同除以a²b²，得 + =1 (a>b>0) ． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 方程 + =1 (a>b>0)称为椭圆的标准方程，此时椭圆的焦点F1和F2在x轴上，焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0)． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 类似地，以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可以求得椭圆的标准方程为 + =1 (a>b>0) ． 此时椭圆的焦点F1和F2的坐标分别为(0,-c)和(0,c). 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程   ________________________   __________________________ 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 温馨提示 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 （2）由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|=2a，于是有 2a= ． 即a= ． 又因为c=2，所以b²=a²-c²=10-4=6． 由题意可知，椭圆的焦点在y轴上．因此，椭圆的标准方程为 + =1 ． 例1.根据条件,求椭圆的标准方程． （1）焦点在x轴上，焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10； （2）焦点为F1(0,-2)和F2(0,2) ，椭圆上一点M的坐标为． 解： （1）由于2c=6，2a=10，故c=3，a=5，从而b²=a²-c²=16. 因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为 + =1 ． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 例2.求“情境与问题”中“东方红一号”卫星预定运行轨道的标准方程． 解:如图所示，建立直角坐标系,设椭圆方程为 + =1， F1(-c, 0)，A (-a, 0)， B (a, 0)，则有 如图所示，建立直角坐标系，设椭圆方程为 + =1， F1(-c, 0)，A (-a, 0)， B (a, 0)，则有 解得则b≈7715.6 ． 故卫星预定运行轨道的方程为 + =1 ． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 例3 已知椭圆的方程，求其焦点坐标和焦距． （1） + =1 ；（2）4x²+3y²=12 ． 于是有 c²=a²-b²=2． 从而 c= ，2c= 2 因此，椭圆的焦点为F1 (, 0)、F2(-, 0)，焦距2 解:（1）因为6>4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且a²=6，b²=4． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 例3 已知椭圆的方程，求其焦点坐标和焦距． （1） + =1 ；（2）4x²+3y²=12 ． 解:（2）将椭圆的方程化成标准方程为 + =1． 于是有 c²=a²-b²=4-3=1． 从而 c=1，2c= 2 因此，椭圆的焦点为F1 (0,-1)、F2(0,1) 因为4>3，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a²=4，b²=3． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可将椭圆方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 例4. 若椭圆 + =1上一点P到焦点F1的距离等于6,求|PF1|，求P到另一个焦点F2的距离|PF2|． 解:由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a(a>0)，其中|PF1|=6 ． 又由椭圆的标准方程知，a²=100，a=10．于是有 6+|PF2|=2a=20， 即 |PF2|=14． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 1.根据下列条件，求椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0). 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 1.根据下列条件，求椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0). 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 3.已知椭圆的方程,求其焦点坐标和焦距. （1） （2） 解: （1）因为6>4,所以椭圆的焦点在x轴上,并且a²=6,b²=4. 于是有 从而c=2c= . 因此椭圆的焦点为，焦距为 （2）将椭圆的方程化成标准方程 因为4>3，所以椭圆的焦点在y轴上，并且 于是有， 从而椭圆的焦点为，焦距为2. 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 16 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 练习3.1.1；习题3.1-A组1,5题 再见 Lavf60.4.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 Lavf60.4.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 因为2a＝＋＝10，所以a＝5. 又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程 为＋＝1(a>b>0)． 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 所以a=2,b=1 故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. 2．平面内点P到、的距离之和是10， 则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 解：由题意， 平面内点P到、的距离之和是10， ∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上, , 解得：， ∴，∴轨迹方程为: ，故选: B. 4．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长是_______. $$