3.1.1 椭圆的标准方程（教学设计）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2023修订版·拓展模块一上册）

3.1.1 椭圆的标准方程教学目标 1. 知道椭圆的概念及形成过程，知道如何化简形成椭圆的标准方程，能区分不同焦点坐标对应的不同方程. 2.能根据条件求出椭圆的标准方程． 教学重点：根据条件求椭圆的标准方程.教学重难点 教学难点：椭圆标准方程的推导与化简．教材分析 椭圆的标准方程是圆锥曲线第一节的内容，在前面学生已经学习了运用坐标法研究直线和圆的性质，对椭圆概念与方程的研究是坐标的深入，为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，因此，椭圆的标准方程起到了承上启下的作用. 教学工具 教学课件 （一）情境导入教学过程 中国国家大剧院是首都北京的地标性建筑之一，它位于人民大会堂的西侧．观察上图，国家大剧院及其倒影的轮廓线是什么图形？有什么特点？ 可以看出，图中的轮廓线是一条优美的封闭曲线，人们称之为椭圆．那么，如何画出一个椭圆呢？ 【设计意图】创设情境，帮助学生形成椭圆形状的直观感受. （二）探索新知 可以看出，图中的轮廓线是一条优美的封闭曲线，人们称之为椭圆．那么，如何画出一个椭圆呢？我们可以通过一个实验来完（1）准备一个画板、一条定长的细绳、两枚图钉和一支笔； （2）将绳子的两端固定在画板上的F1 和F2 两点，并使绳长大于下到下的距离； （3）用笔尖将细绳拉紧，保持笔杆与画板垂直，笔尖在画板上慢 慢移动，就画出一个椭圆，如图所示． 显然，笔尖(即点 M)移动时，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点 F1 和 F2 的距离之和始终等于绳长（常数）． 一般地，把平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点间的距离称为椭圆的焦距． 1970 年 4 月 24 日，我国发射的第一颗人造地球卫星“东方红一号”顺利升空，开创了中国航天史的新纪元，使我国成为全球第五个独立研制并发射人造地球卫星的国家．如图所示，它的预定运行轨道是以半径约为 6371km 的地球的中心 F1 为一个焦点的椭圆，近地点 A 距离地球 441km，远地点 B距离地球 2368km．那么，如何求出这颗卫星预定运行轨道的椭圆方程呢？ 我们知道，通过建立合适的平面直角坐标系，可以求出直线和圆的方程．那么，是否可以建立恰当的平面直角坐标系来求出椭圆的方程呢？ 容易看出，椭圆既是轴对称图形也是中心对称图形． 因此，以经过椭圆两焦点F1 、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设M (x,y)为椭圆上的任意一点，点M 到两个定点F1，F2的距离之和为定长2a(a>0)，设椭圆的焦距为2c(c>0)，则F1，F2两个定点的坐标分别为(-c,0)和(c,0). 由椭圆定义，得 根据两点间的距离公式，分别代入点M 及两定点F1，F2的坐标 移项： 两边平方： 整理得： 两边平方，整理得： 由椭圆的定义可知，，b2＝a2－c2 即： 等式两边同除以b2： (a>b>0)（椭圆的标准方程） 这个方程表示的是：焦点在 x 轴上的椭圆，其中焦点坐标为F1 (-c,0)，F2 (c,0). 类似地，以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可以求得椭圆的标准方程为 + =1 (a>b>0) ． 此时椭圆的焦点F1和F2的坐标分别为(0,-c)和(0,c).   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程  ＋＝1(a>b>0)  ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 【设计意图】通过把几何问题转化为代数问题从而使几何问题可以通过代数运算来解决，类比介绍焦点在 y轴上的椭圆标准方程. （三）典例剖析 例1. 根据条件，求椭圆的标准方程． （1）焦点在 x 轴上，焦距为 6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为 10； （2）焦点为 F1(0，-2)和 F2(0，2)，椭圆上一点 M 的坐标为． 解：（1）由于 2c=6，2a=10，故 c=3，a=5，从而 b²=a²-c²=16． 因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆的标准方程为 + =1 ． （2）由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|=2a，于是有 2a= ． 即a= ．又因为c=2，所以b²=a²-c²=10-4=6． 由题意可知，椭圆的焦点在y轴上．因此，椭圆的标准方程为 + =1 ． 例2. 求“情境与问题”中“东方红一号”卫星预定运行轨道的标准方程. 解：如图所示，建立直角坐标系，设椭圆方程为 + =1，F1(-c, 0)，A (-a, 0)， B (a, 0)，则有如图所示，建立直角坐标系，设椭圆方程为 + =1， F1(-c, 0)，A (-a, 0)， B (a, 0)，则有 解得则b≈7715.6 ． 故卫星预定运行轨道的方程为 + =1 ． 例3. 已知椭圆的方程，求其焦点坐标和焦距． （1） + =1 ；（2）4x²+3y²=12 ． 解:（1）因为6>4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且a²=6，b²=4． 于是有 c²=a²-b²=2． 从而 c= ，2c= 2 因此，椭圆的焦点为F1 (, 0)、F2(-, 0)，焦距2 （2）将椭圆的方程化成标准方程为 + =1． 因为4>3，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a²=4，b²=3． 于是有 c²=a²-b²=4-3=1． 从而 c=1，2c= 2 因此，椭圆的焦点为F1 (0,-1)、F2(0,1) 要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可将椭圆方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上． 例4. 若椭圆 + =1上一点P到焦点F1的距离等于6,求|PF1|，求P到另一个焦点F2的距离|PF2|． 解:由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a(a>0)，其中|PF1|=6 ． 又由椭圆的标准方程知，a²=100，a=10．于是有 6+|PF2|=2a=20， 即 |PF2|=14． 【设计意图】例 1 让学生理解求椭圆标准方程的关键是求出a²和 b²；例 2 与前面内容呼应，体现学以致用；求焦点和焦距的问题， 引导学生先将椭圆方程化为标准形式；例 4巩固对椭圆定义的理解和标准方程的应用. （四）巩固练习 1.根据下列条件，求椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0). 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 因为2a＝＋＝10，所以a＝5. 又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程 为＋＝1(a>b>0)． 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 所以a=2,b=1 故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. 2．平面内点P到、的距离之和是10， 则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 解：由题意， 平面内点P到、的距离之和是10， ∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上, , 解得：， ∴，∴轨迹方程为: ，故选: B. 3.已知椭圆的方程,求其焦点坐标和焦距. （1） （2） 解: （1）因为6>4,所以椭圆的焦点在x轴上,并且a²=6,b²=4. 于是有 从而c=2c= . 因此椭圆的焦点为，焦距为 （2）将椭圆的方程化成标准方程 因为4>3，所以椭圆的焦点在y轴上，并且 于是有， 从而椭圆的焦点为，焦距为2. 4．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长是__16_____. 【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺. （五）归纳总结 【设计意图】培养学生反思学习过程的能力 （六）布置作业 练习3.1.1；习题3.1-A组1,5题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$