3.1.1 椭圆的标准方程（分层作业）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2023修订版·拓展模块一上册）

3.1.1 椭圆的标准方程 分层作业 基础巩固 1．已知，焦点在轴上的椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】依题意直接写出椭圆方程即可. 【详解】解：因为椭圆的焦点在轴上且，， 所以椭圆方程为； 故答案为： 2．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义列式计算得解. 【详解】椭圆的长轴长，而点到椭圆一个焦点的距离为7， 所以到另一个焦点的距离为. 故选：A 3．设P是椭圆＋＝1上的任意一点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　A　) A．4　　 B．2　　 C．2　　 D． [解析]　∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴选A． 4．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程. 【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为. 故选:A. 5．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，由已知可得，由椭圆定义求得，由b2＝a2－c2，求得，即可得出结果. 【详解】解：∵椭圆的焦点在y轴上， ∴可设它的标准方程为． ∵ ∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7， 故所求的椭圆的标准方程为． 故选：B． 6．如果椭圆的焦点在轴上，且，则此椭圆的标准方程为 【答案】 【分析】直接由题意求出椭圆的标准方程． 【详解】椭圆的焦点在轴上，且，则此椭圆的标准方程为：． 故答案为：． 能力进阶 1．经过点和的椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设椭圆方程为，代入两点坐标和即可得解. 【详解】设椭圆方程为， 代入和点坐标为： ，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为： 2．已知点为椭圆上一点，椭圆的两个焦点分别为，，则的周长是（    ） A．20 B．36 C．64 D．100 【答案】B 【分析】根据给定的椭圆方程，求出长短半轴长、半焦距即可作答. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴知，半焦距， 依题意，的周长为. 故选：B 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点椭圆上，且，则 . 【答案】4 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】因为椭圆，则椭圆的长轴长， 又，， 所以， 故答案为：4. 4．，，焦点在y轴上的椭圆的标准方程. 【详解】因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为： 5．，的椭圆的标准方程. 【详解】因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或. 6．已知椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程． 【答案】 【分析】根据焦点坐标设椭圆方程，结合椭圆定义及焦点坐标确定椭圆参数，即可得标准方程. 【详解】椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为． 由已知得，即，又椭圆的两个焦点为，，所以，    从而，因此，所求椭圆的标准方程为． 素养提升 1．若椭圆＋＝1上的一点M到其左焦点的距离是6，则点M到其右焦点的距离是(　D　) A．5　　 B．6　　 C．7　　 D．8 [解析]　由椭圆的方程可知a＝7，点M到两个焦点的距离之和为2a＝14. 因为点M到其左焦点的距离是6，所以点M到其右焦点的距离是14－6＝8.故选D． 2．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程． [解析]　当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋y2＝1. 当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)． 由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋＝1. 故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y2＝1. 3．已知△ABC的周长是8，且B(－1,0)、C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是(　A　) A．＋＝1(x≠±3) B．＋＝1(x≠0) C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0) [解析]　∵|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6>|BC|＝2， ∴顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)， 则a＝3，b＝2. 又∵A、B、C三点不共线， ∴顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)． 4．已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点求系数即可，结合椭圆的定义求出，进而可求出，从而可得到椭圆的标准方程. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义知， 所以． 又因为， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 5．以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】采用待定系数法，根据所过点和椭圆之间关系可构造方程组求得结果. 【详解】椭圆焦点在轴上，可设椭圆标准方程为：， 椭圆过点，，又，，， 椭圆的标准方程为：. 故答案为：. 6．已知椭圆的一个焦点是，且椭圆经过点，求这个椭圆的标准方程． 【答案】 【分析】根据焦点坐标得，根据椭圆的定义求出，再根据求出，从而可得椭圆的标准方程. 【详解】依题意得椭圆的另一个焦点为，， ，， 所以， 所以这个椭圆的标准方程为. 精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1 椭圆的标准方程 分层作业 基础巩固 1．已知，焦点在轴上的椭圆的标准方程为 ． 2．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．设P是椭圆＋＝1上的任意一点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　A　) A．4　　 B．2　　 C．2　　 D． 4．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 6．如果椭圆的焦点在轴上，且，则此椭圆的标准方程为 能力进阶 1．经过点和的椭圆的标准方程为 ． 2．已知点为椭圆上一点，椭圆的两个焦点分别为，，则的周长是（    ） A．20 B．36 C．64 D．100 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点椭圆上，且，则 . 4．，，焦点在y轴上的椭圆的标准方程. 5．，的椭圆的标准方程. 6．已知椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程． 素养提升 1．若椭圆＋＝1上的一点M到其左焦点的距离是6，则点M到其右焦点的距离是(　D　) A．5　　 B．6　　 C．7　　 D．8 2．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程． 3．已知△ABC的周长是8，且B(－1,0)、C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是(　A　) A．＋＝1(x≠±3) B．＋＝1(x≠0) C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0) 4．已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为 ． 5．以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 6．已知椭圆的一个焦点是，且椭圆经过点，求这个椭圆的标准方程． 精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$