5.3 实际问题与一元一次方程 专训（2）2024-2025 学年人教版数学七年级上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第5章 5.3 实际问题与一元一次方程 专训2（解析版） （包含销售盈亏问题、比赛积分问题、数字问题3大题型，难度由浅入深，每级难度的题量为3-6题，课根据自己需求选择。销售盈亏问题16题，比赛积分问题10题，数字问题9题） 一、销售盈亏 【题型巩固】 1．小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（销售盈亏），准确理解题意，列出方程并求解是解题的关键． 设至少生产个产品，则营业额为元，成本就是元，利润为元，然后根据关系式：营业额成本利润，列方程求解即可． 【详解】解：设至少生产个产品，由题意可得： ， 即：， 解得：， 答：至少要生产个产品． 2．某商场推出新年大促销活动，其中标价为元的某种商品打九折销售，该种商品的利润率为．求该商品的成本价是多少？ 【答案】元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该商品的成本价是元，列方程求解即可． 【详解】解：设该商品的成本价是元， 则有：， 解得：， 答：该商品的成本价是元 3．在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． (1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ (2)在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值． 【答案】(1)购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元 (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，然后可得方程，进而求解即可； （2）由（1）及题意易得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，然后可得方程，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，由题意得： 解得：； ∴绿龟玩偶的单价为60元； 答：购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元． （2）解：由（1）及题意得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，则有： 解得：． 4．为助力环保事业，某企业先将该月销售的A 款产品所有营收的捐给中国环保基金会，后同样再次捐赠该月销售的B款产品所有营收的，已知该月销售A、B两款产品共1000个，A款产品每个售价为100元，B款产品每个售价为120元，设该月销售A款产品x个． (1)该企业第一次捐赠 元，第二次捐赠 元；(用含x的式子表示) (2)该企业两次共捐赠48000元，那么该企业月销售A、B两款产品各多少个？ 【答案】(1)， (2)该企业月销售A、B两款产品各600个，400个． 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键正确分析等量关系． （1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）（元），（元） ∴该企业第一次捐赠元，第二次捐赠（元）； （2）根据题意得， 解得 （个）． ∴该企业月销售A、B两款产品各600个，400个． 5．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元， 依题意得， 解得， ， 答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 6．小明同学用的练习本可以在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本1元．甲的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八折卖． (1)当购买数量超过10本时，请用含的式子分别表示在甲、乙两商店购买本子的费用． (2)小明要买25本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由． (3)小明现有30元，最多可买多少本练习本？ 【答案】(1)元；元 (2)在甲商店购买较省钱，见解析 (3)小明现有30元，最多可买43本练习本 【分析】本题考查了列代数式，涉及到解一元一次方程，关键是解方程时不能出错，最后的结果要取整数． （1）根据题意，分别列出在甲乙两个商店购买本子的费用的代数式； （2）购买25本练习本，分别把代入表示甲、乙两个商店的费用的代数式，即可得到结果； （3）现有30元钱，得到两个方程，分别解方程，即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意， 在甲商店购买需花费：（元， 在乙商店购买需花费：（元， 答：在甲、乙两商店购买本子的费用分别为：元；元． （2）解：要买25本练习本， 在甲商店需花费：（元， 在乙商店需花费：（元， ， 在甲商店购买较省钱； （3）解：小明现有30元， ①若在甲商店购买本子，可得到：， 即， 解得：， 故在甲店最多可购买43本， ②若在乙店购买本子，可得到：， 解得：， 故在乙店最多可购买37本， 小明现有30元，最多可买43本练习本． 7．某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 【答案】(1)A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进是60元； (2)全部售完共可获利1450元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问题． （1）设A种商品每件的进价是x元，由购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同得：，即可解得答案； （2）设购进A种商品a件，则购进B商品件，由所用资金为6900元得 ，解出a的值，即可列式求出答案． 【详解】（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元， 由题意得：， 解得， ∴（元）， 答：A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元； （2）设购进A种商品a件，则购进B商品件， 由题意得 ， 解得， ∴， ∴（元）， 答：全部售完共可获利1450元． 8．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)购进甲商品40件，乙商品20件 (2)小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （2）根据利润率等于利润除以进价，直接算出乙的售价；设第一天购买乙种商品件，设第二天购买甲种商品件，然后分别列方程求得、，最后求和即可． 【详解】（1）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：， 则． 答：购进甲商品40件，乙商品20件． （2）解：设第一天购买乙种商品件， 依题意得，或， 解得或（舍去）， 所以第一天购买乙种商品5件． 元， 每件乙种商品售价为80元． 设第二天购买甲种商品件， 依题意得，或， 解得或9， 所以第二天购买甲种商品8或9件， 件或件． 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件． 9．某商场准备订购一批衬衫，现有甲、乙两个供应商，均标价每件元．为了促销，甲说“凡来我处进货一律九折．”乙说：“如果订货超出件，则超出的部分打八折．” (1)设该商场准备订购件服衬衫，请用含x的整式表示在甲供应商所需支付的钱数为（_______）元，在乙供应商所需支付的钱数为（_______）元（结果化为最简形式）． (2)当的值为多少时，去两个供应商处的进货价钱一样多？ (3)已知该商场第一次从甲供应商处购进了件补衫，每件加价进行零售，迅速销售一空．于是，该商场第二次从乙供应商处购进衬衫，购进的数量是第一次从甲供应商购进数量的倍，并比第一次销售价格高元进行销售，但市场趋于饱和，所以在销售剩余五分之三时开始打折销售，且第二次全部售出后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次销售剩余五分之三时需打几折销售． 【答案】(1)，； (2)； (3)折． 【分析】（）根据题意列出算式即可求解； （）根据（）所得结果列出方程即可求解； （）由题意得，第一次购进的补衫的进价为元，销售价为元，第二次从乙供应商处购进衬衫件，销售价为元，设第二次销售剩余五分之三时打折销售，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程，根据题意找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，甲供应商所需支付的钱数为元，乙供应商所需支付的钱数为元， 故答案为，； （2）解：由题意得，， 解得， 答：当时，去两个供应商处的进货价钱一样多； （3）解：由题意得，第一次购进的补衫的进价为元，销售价为元，第二次从乙供应商处购进衬衫件，销售价为元， 设第二次销售剩余五分之三时打折销售， 由题意得，， 整理得，， 解得， 答：第二次销售剩余五分之三时需打折销售． 10．【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第页探究1的部分内容． 探究1 销售中的盈亏 （1）一商店在某一时间以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，这两件衣服的进价分别是 元和 元，卖这两件衣服总的是 （填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． 【解决问题】： 七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 【答案】（1）48；80；亏损；（2）降价前共售出羽绒服150件 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据利润售价进价分别求出两件衣服的原本售价即可得到答案； （2）设降价前共售出x件，则降价后售出件，根据利润（单价售价单价进价） 销售量列出方程求解即可． 【详解】解：（1）元，元， ∴盈利的衣服的原本售价为48元，亏损的衣服的原本售价为80元， ∵元， ∴卖这两件衣服总的是亏损了8元， 故答案为：48；80；亏损； （2）设降价前共售出x件，则降价后售出件， 由题意得，， 解得， 答：降价前共售出150件． 11．玲玲在，两家超市发现她看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．周末玲玲上街，恰好赶上商家促销，超市所有的商品打八折销售，超市全场购物满元返元购物券（单价不足元不返券，购物券全场通用并当天抵扣），但她只带了元钱，若两家都可以选择，在哪一家购买比较省钱？为什么？ 【答案】超市省钱，理由见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设书包单价元，则随身听元．根据随身听和书包单价之和是元列方程，解方程求出书包单价和随身听的单价，再分别计算两个超市的费用，比较即可． 【详解】解：在超市购买比较省钱．理由如下： 设书包单价元，则随身听元． 元 超市：（元） 超市：（张）（元） （元） （元） 在超市购买比较省钱． 12．华联超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 25 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)可获利2000元 (2)第二次乙商品是按原价打9折销售 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解是解题的关键． （1）设购进甲商品x件，则购进乙商品件，根据“用7000元购进甲、乙两种商品”列出方程确定购进甲商品150件，购进乙商品100件，然后求利润即可； （2）先得出第二次购进甲商品200件，乙商品300件，设第二次乙商品是按原价打y折销售，根据“第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲商品x件，则购进乙商品件， ， 解得：， ∴， ∴购进甲商品200件，购进乙商品100件； ∴（元）， 答：可获利2000元； （2）解：第二次购进甲商品200件， 第二次购进乙商品（件）， 设第二次乙商品是按原价打y折销售， ， 解得：， 答：第二次乙商品是按原价打9折销售． 13．2021年十一国庆期间，鳌江银泰商场打出促销广告，如下表所示： 优惠 条件 一次性购物 不超过元 一次性购物超过 元，但不超过元 一次性购物 超过元 优惠 办法 没有 优惠 全部按九折 优惠 其中元扔按九折优惠， 超过元部分按八折优惠 用代数式表示（所填结果需化简）： (1)设一次性购买的物品原价为元，当原价超过元，但不超过元时，实际付款为_______元；当原价超过元时，实际付款为_______元． (2)若甲购物时一次性付款元，则所需物品的原价是多少元？ (3)若乙分两次购物，两次所购物品的原价之和为元（第二次所购物品的原价高于第一次），两次实际付款共元，则乙两次购物时，所需物品的原价分别是多少元？ 【答案】(1)；； (2)甲所购物品的原价是元． (3)乙第一次所购物品的原价是元，第二次所购物品的原价是元． 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，读懂题目中的优惠方案是解题的关键． （1）根据给出的优惠办法，用含x的代数式表示出实际付款金额即可； （2）设甲所购物品的原价是元，先求出购买原价为元商品时实际付款金额，比较后可得出，结合（1）的结论即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由第二次所购物品的原价高于第一次，可得出第二次所购物品的原价超过元，且第一次所购物品的原价低于元，设乙第一次所购物品的原价是元，则第二次所购物品的原价是元，分、两种情况列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当原价超过元，但不超过元时，实际付款为元； 当原价超过元时，实际付款为元． 故答案为；； （2）解：设甲所购物品的原价是元， ∵， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：甲所购物品的原价是元． （3）解：∵第二次所购物品的原价高于第一次， ∴第二次所购物品的原价超过元，第一次所购物品的原价低于元． 设乙第一次所购物品的原价是元，则第二次所购物品的原价是元， ①当时，有， 解得：（舍去）； ②当时，有， 解得：， ∴． 答：乙第一次所购物品的原价是元，第二次所购物品的原价是元． 14．元旦期间，某运动品牌服装店推出两种优惠活动，并规定一次结账只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满200元减60元．（如：所购商品原价为200元，可减60元，需付款140元；所购商品原价为450元，可减120元，需付款330元） (1)购买一件原价为350元的服装时，选择哪种活动更合算？请说明理由； (2)购买一件原价在400元以下的服装时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求这件服装的原价； (3)小王准备买一件标价460元的上衣和标价320元的运动鞋，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额． 【答案】(1)选择活动一更合算，理由见解析 (2)300元 (3)最优惠的付款方法是上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式，最优惠的付款金额为596元 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，列出方程． （1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可； （2）设一件这种服装的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可； （3）根据题意得出“最优惠的付款方法是：上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式”，再进行计算即可； 【详解】（1）解：（元），（元）， ， ∴选择活动一更合算； （2）解：设这件服装的原价为x元， 若原价少于200元时，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等； ∴这件服装价格在200元以上，400元以下． ， 解得， ∴这件服装的原价是300元； （3）解：，， 最优惠的付款方法是：上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式， 需付款的金额为：（元）， 答：最优惠的付款金额为596元． 15．为迎接2024年新年的到来，甲、乙两校联合准备文艺汇演，甲、乙两校参加文艺汇演的人数共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买服装（一人买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元， (1)求甲、乙两校名有多少名学生准备参加演出？ (2)如果甲校准备演出的人员中有9人被抽调去为市民义务书写对联不能参加演出，那么你有几种购买服装的方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？ 【答案】(1)甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出． (2)两种购买方案，一种是购买83套，一种是购买套，买套最省钱． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，最优化选择问题，解题的关键是理解题意，确定题中的等量关系，列出方程． （1）设甲校有名，乙校有名学生，根据甲乙学校的人数确定购买服装的单价，根据题意列方程求解即可． （2）根据共83人参加演出，分购买83与91套服装讨论即可． 【详解】（1）解：设甲校有名学生准备参加演出，则乙校有名学生准备参加演出 依题意，得 解得 所以． 答：甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出． （2）解：①如果买套， 则花费为：（元）， ②如果买套，则花费：（元）， ∵， ∴买套． 答：两种购买方案，一种是购买83套，一种是购买套，买套最省钱． 16．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)60， (2)购进甲商品40件，乙商品10件 (3)13或14件 【分析】（1）根据题意直接列式计算即可； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （3）设第一天购买乙种商品a件，设第二天购买甲种商品b件，然后分别列方程求得，最后求和即可． 【详解】（1）解：（元）， 所以甲种商品每件售价为60元，每件乙种商品利润率为． 故答案为：60，． （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：，则． 答：购进甲商品40件，乙商品10件． （3）解：设第一天购买乙种商品a件， 依题意得，， 解得或4.5（舍去）， 所以第一天购买乙种商品5件． 设第二天购买甲种商品b件， 依题意得，， 解得或9， 所以第二天购买甲种商品8或9件， （件）或（件）． 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、找准等量关系、正确列出方程是解答本题的关键． 17．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．俗称新春、新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为元．每盒坚果礼盒的成本为元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多元，售卖个水果篮获得的利润和售卖盒坚果礼盒获得的利润一样多． (1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； (2)该水果店第一批购进了个水果篮和盒坚果礼盒，为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售，售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利元，按此计划每个水果篮应打几折出售？ (3)在年末时，该水果店购进水果篮个和坚果礼盒盒，进行“新春特惠”促销活动，水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒．水果篮每个售价打九折后再参与店内“每满元减元”的活动，坚果礼盒每盒直接参与店内“每满元减元”的活动；售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有个没办法售出．若该水果店获得的利润率为，求的值． 【答案】(1)每个水果篮售价元，坚果礼盒售价元 (2)计划每个水果篮应打折出售 (3)的值为 【分析】（1）设买水果篮售价元，坚果礼盒售价元，根据等量关系：售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多，即可列出方程，解方程即可； （2）设计划每个水果篮应打折出售，列出方程，即可得出答案； （3）根据方案，得出实际水果篮售价元，坚果礼盒售价元，再根据该水果店获得的利润率为40%，列出方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设买水果篮售价元，坚果礼盒售价元，依题意得： ， 解得：． ∴． 答：每个水果篮售价元，坚果礼盒售价元． （2）设计划每个水果篮应打折出售，依题意得： ， 解得：， 答：计划每个水果篮应打折出售． （3）∵， ∴实际水果篮售价元，坚果礼盒售价元， ∴， ∴． 答：的值为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意、找到等量关系并正确列出方程是关键． 二、比赛积分问题 球赛积分问题的解题要点： ①解决有关表格的问题时，首先要根据表格中给出的相关信息，找出数量间的关系，然后再运用数学知识解决问题. ②用方程解决实际问题时，要注意检验方程的解是否正确，且符合问题的实际意义． 【题型巩固】 1．在某年全国足球甲级A组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了多少场？ 分析：设该队共胜了x场，根据题意，用含x的式子填空： (1)该队平了______场； (2)按比赛规则，该队胜场共得______分； (3)按比赛规则，该队平场共得______分； (4)依题意，可列出方程：____________，该队共胜了______场． 【答案】(1) (2) (3) (4)，6 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用． （1）用总场数减去胜场数，列出代数式即可； （2）用胜场数乘以胜一场得到的分数，列出代数式即可； （3）用平场数乘以平一场得到的分数，列出代数式即可； （4）根据总分是23分，列出方程，进行求解即可． 读懂题意，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：该队平了场； 故答案为：． （2）按比赛规则，该队胜场共得分； 故答案为：； （3）按比赛规则，该队平场共得分； 故答案为：； （4）由题意，得：， 解得：． 故答案为：，6． 2．一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中几个三分球？几个两分球？罚中几个球？（每罚中1球得1分） 【答案】这名篮球队员投中2个三分球，6个两分球？罚中2个球． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设投中x个三分球，则投中两分球个，罚中个，再根据一共得20分列出方程求解即可． 【详解】解：设投中x个三分球，则投中两分球个，罚中个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：这名篮球队员投中2个三分球，6个两分球，罚中2个球． 3．学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了84分，她做对了几题？ 【答案】18道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．设她答对了道题，根据晓蕾同学在该知识竞赛中的得分是84分，列方程求解即可． 【详解】解：设她答对了道题，则答错道题． 根据题意，得． 解得． 答：她答对了18道题． 4．2023-2024全国甲A篮球赛（CBA）共进行了52轮常规赛，最后辽宁队和新疆队进入总决赛．常规赛中，规定胜一场积2分，负一场积1分，每场比赛均分胜负，常规赛结束时，辽宁队积分为95分，求辽宁队在常规赛中负了几场． 【答案】9场 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据积分等于胜场积分负场积分列方程解题即可． 【详解】解：设辽宁队在常规赛中负了x场， 答：辽宁队在常规赛中负了场． 5．某市中考体育测试中包含一分钟排球垫球项目，考试规则为：学生垫球一分钟，若垫球次数达到某一标准及以上，则记为满分．在一次班会中，小明得知以下信息：若每秒钟垫球若干次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次；若每秒钟垫球次数是原来的倍，则一分钟后垫球次数是满分标准的倍少个．求垫球满分的标准是每分钟多少个？ 【答案】个 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设每秒钟垫球次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次，则垫球满分要求的每分钟的标准次数为次，列方程得，解方程求出的值，再求出代数式的值即得到问题的答案．正确理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每秒钟垫球次，则垫球满分的标准是每分钟次， 根据题意，得：， 解得：， ∴（个）， 答：垫球满分的标准是每分钟个． 6．在一次知识竞赛中，甲、乙两人进入了“必答题”环节．规则是：两人各自答题，每人都要回答25道题，每道题回答正确得4分，回答错误或放弃回答扣2分． (1)已知甲答对了19道题，答错了4道题，还有2道题放弃回答，则甲在此环节的得分是多少？ (2)若经裁判公布，乙的成绩为76分，则他答对了多少道题？ 【答案】(1)64 (2)乙答对了21道题 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出一元一次方程成为解题的关键． （1）先根据题意列出算式，然后根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）设乙答对了x道题，答错或放弃回答了道题，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题可知：． 答：甲在此环节的得分是64分． （2）解：设乙答对了x道题，答错或放弃回答了道题， 依题意，得， 解得． 答：乙答对了21道题． 7．某学校围棋社团组织成员进行比赛，规则如下：每两位选手都要进行比赛，决出胜负（没有平局），胜者得1分，负者得0分．在所有选手中，男选手有12人，女选手有9人．比赛结束后，经统计，女选手的总得分比男选手的总得分多70分． (1)共进行了多少场比赛？ (2)男选手的总得分是多少分？ (3)男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了多少分？ (4)小明提出：在这个围棋比赛中，得分最高的选手一定是女选手，为什么？ 【答案】(1)共进行了210场比赛 (2)男选手共得了70分 (3)男选手共得了4分 (4)理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）由题意可知，共名选手，每两位选手都要进行比赛，据此即可得到答案； （2）由题意可知，所有选手共得210分，设男选手的总得分是分，列一元一次方程求解即可； （3）先求出在男选手之间的比赛中，男选手得分，再根据男选手总得分男选手之间的比赛得分男选手与女选手的比赛得分列式，即可得出答案； （4）结合（3）结果可知，男选手的最高得分不超过分，假设每名女选手的得分都为15分，根据可知，一定有女选手的得分超过15分，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，共名选手， ， 即共进行了210场比赛； （2）解：由（1）可知，共进行了210场比赛，即所有选手共得210分， 设男选手的总得分是分，则女选手的总得分是分， 由题意得：， 解得：， 答：男选手的总得分是70分； （3）解：男选手有12人， 男选手之间的比赛场数为， 即男选手之间的比赛中，男选手得分分， 由（2）可知，男选手的总得分是70分， （分）， 即男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了4分； （4）解：由（3）可知，男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了4分，即男选手共赢女选手4场， 男选手的最高得分不超过分， 所有选手共得210分，男选手的总得分是70分， 女选手的总得分是140分， 假设每名女选手的得分都为15分， ， 一定有女选手的得分超过15分， 故得分最高的选手一定是女选手． 8．“学习生活两不误，劳逸结合更健康”，某个周末勤奋好学的小明和爸爸下棋，爸爸赢一盘记2分，小明赢一盘记6分，一共下了8盘，每盘都分出了胜负． (1)若两人得分相等，请应用方程求出两人各赢了多少盘； (2)比赛结束时，爸爸得分可能比小明得分多2分吗？为什么？ 【答案】(1)若两人得分相等时，小明赢了2盘，爸爸赢了6盘 (2)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设小明赢了盘，则爸爸赢了盘，根据两人得分相等列方程求解即可； （2）设小明赢了盘，根据爸爸得分比小明得分多2分列方程，然后根据为自然数检验是否符合题意即可． 【详解】（1）设小明赢了盘，则爸爸赢了盘，依据题意可以列方程，得 ， 解得， 当时，， 答：若两人得分相等时，小明赢了2盘，爸爸赢了6盘． （2）不可能，理由如下： 设小明赢了盘，根据题意可以列方程，得 ， 解得， 因为为自然数， 所以，比赛结束时，爸爸不可能比小明多2分． 9．某班组织“未成年预防电信网络计骗、防溺水、防性侵、防校园欺凌”知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 14 6 64 10 10 40 (1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)参赛者得分为70分，求他答错了几道题？ (3)参赛者说他的得分为85分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)5，1； (2)3道题； (3)不可能．理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据表格列出等式是解题关键． （1）由A参赛者知（分），得这次竞赛中答对一题得5分，由B参赛者知（分），得答错一题扣1分，据此求解即可； （2）设参赛者答对了x道题，则答错了道题．由题意得：，再计算即可； （3）不可能．理由如下：设答对了y道题，答错了道题，由题意得，解得：，因为y为正整数，故是不可能的． 【详解】（1）由A参赛者知（分）， ∴这次竞赛中答对一题得5分， 由B参赛者知（分） ∴答错一题扣1分； 故答案为：5，1． （2）设参赛者答对了道题，则答错了道题． 由题意得：， 解得：， ， 答：参赛者得70分，他答错了3道题； （3）不可能．理由如下： 设答对了道题，答错了道题， 由题意得解得：， 为正整数， 参赛者说他得85分，是不可能的． 10．为“庆祝建党100周年”，中山市纪中三鑫双语学校积极开展各项活动.“学习强国知识竞赛”有20道必答题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分.甲乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1题． (1)甲队必答题答对了多少道?乙队必答题得了多少分? (2)抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了!”小汪说：“小黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对． 【答案】(1)甲队必答题答对18道，乙队必答题的得分为185分 (2)见解析 【分析】（1）设甲队必答题答对了x道，则答错了道，根据甲队得分170列方程求解即可； （2）“小黄的话”不一定对，理由为：根据规则：每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分． 【详解】（1）设甲队必答题答对了x道，则答错了道， 根据题意，得 ， 解得： 故甲队必答题答对18道， 乙队必答题只答错了1道， 乙队必答题的得分为 （分） （2）甲队目前的得分为170分， 乙队得分为（分） ①若乙队第2题抢答题答错，则乙得分为（分），第3题甲队抢答正确，则甲队得分为（分），甲队获胜； ②若乙队第2题抢答题答错，则乙队得分为（分），第3题乙队抢答错误，则乙队得分为（分），甲队的得分为170（分），甲队获胜； 故“小黄的话”不一定对． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解答本题的关键． 三、数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 总结：在数字问题中应注意： （1）求的是一个两位数，而不是两个数； （2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出x就答； （3）两位数的表示方法是10位上的数字乘以10，把所得的结果和个位数字相加。 【题型巩固】 1．一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x．把1与x对调，新两位数比原两位数小18，x应是哪个方程的解？你能想出x是几吗？ 【答案】方程为： 【分析】根据个位上的数是1，十位上的数是x，再用把个位上的数与十位上的数对调得到的数比原数小18列出方程，解出即可． 【详解】解：根据题意列方程得： 解得：x＝3， 答：x是方程的解，是3． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，此题的关键表示出这个数，据题意列出方程解决问题． 2．阅读理解题，阅读下列材料：若一个三位数的十位数字是个位数字的2倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如742． (1)已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大1，其各位数字之和是16，求这个“倍尾数”； (2)若一个“倍尾数”的各位数字之和是17，求出所有符合要求的“倍尾数”. 【答案】(1)763 (2)863和584 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，不等式组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键． （1）设这个“倍尾数”个位上的数字为x，则十位上的数字为，百位上的数字为，然后根据“各位数字之和是16”列出方程即可求出结论； （2）设这个“倍尾数”个位上的数字为a，则十位上的数字为，百位上的数字为，根据各个位上的数字为0（不能在最高位）至9之间的整数即可得出结论． 【详解】（1）解：设这个“倍尾数”个位上的数字为x，则十位上的数字为，百位上的数字为，由题意可得： ， 解得：， 则十位上的数字为， 百位上的数字为， ∴这个“倍尾数”为763， 答：这个“倍尾数”为763； （2）解：设这个“倍尾数”个位上的数字为a，则十位上的数字为，百位上的数字为， ∵百位上的数字为1到9之间的正整数，十位上的数字为0到9之间的正整数， ∴，， 解得：， ∴或4， 当时，这个“倍尾数”为863； 当时，这个“倍尾数”为584； 答：符合要求的“倍尾数”有863和584． 3．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110，求原两位数是多少． 【答案】37 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设原两位数的十位上数字为x，则个位上的数字为，根据“把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设原两位数的十位上数字为x，则个位上的数字为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：原两位数是37． 4．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是6，若把个位上的数字与十位上的数字调换位置，那么所得的新数比原数的三倍多6，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为15 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设十位上的数字为，根据个位上的数字与十位上的数字之和是6，新数比原数的三倍多6，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴原来的两位数为15． 5．把正整数1至2025排列成如下一个数表： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 2 【3】 4 5 第2行 6 【7】 8 【9】 10 第3行 11 12 13 14 15 第4行 16 17 18 19 20 …… …… …… …… …… …… (1)通过计算说明数2024在第几行，第几列？ (2)把图中带【】的3个方格当作一个整体平移，设被框住的3个数中，最大的一个数为x．则被框住的三个数的和能否等于2023？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)第405行，第4列 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了数字类变化规律，一元一次方程的应用． （1）观察数表，得出表格每行有5个数字，运用除以5，即可作答． （2）观察数表，被框住的3个数中，最大的一个数为x，再表达出另外两个数为和，根据和等于2023列式，计算再分析，即可作答． 【详解】（1）解：表格每行有5个数字， ， ∵， ∴2024在第405行，第4列． （2）解：不能，理由如下： ∵被框住的3个数中，最大的一个数为x， ∴另外两个数为和， ∴， 解得， 则，， ∵677在第136行第2列，675在第135行5列，671在第135行第1列． ∴被框住的三个数的和不能等于2023． 6．下图的数阵由77个偶数排成． (1)图中平行四边形框内的四个数有什么关系？ (2)在数阵中任意作一类似（1）中的平行四边形框，设其中左上角的一个数是，那么其他三个数怎样表示？ (3)如果四个数的和是326，你能求出这四个数吗？ 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． （1）根据已知数据直接得出答案； （2）设第一个数为x，观察表中数据得到第二个数为，第三个数为，第四个数为； （3）可列方程，解得，进而求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴平行四边形框中的每一行两个数都相差2， ∵， ∴第二行的两个数与第一行相应的两个数都相差16； （2）根据（1）得到的规律，即可表示出四个数； 如果设左上角的数为， 那么其他三个数可表示为，，； （3）依题意有： 解得 ∵不是偶数，故不能求出这四个数． 7．将正整数1至2022按照一定规律排成下表： 记表示第i行第j个数，如表示第1行第4个数是4． (1)直接写出 ， ， ； (2)若，那么i＝ ，j＝ ； (3)将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的5个数之和能否等于2027？若能，求出这5个数中的最小数．若不能，请说明理由． 【答案】(1)18，31，37 (2)253，6 (3)不能，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及数字类变化规律，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）观察表格中的数据，根据数据的变化即可求解； （2）根据表格中数据的变化，找出2022所在的位置即可求解； （3）设这5个数中的最小数为x，则其余4个数可表示为，假设这5个数的和为2027，列方程求解，继而得到397是第50行的第5个数，而此时是第51行的第1个数，与397不在同一行，即可得出答案． 【详解】（1）根据表格可以得出， ∵前面4行一共有个数， ∴第5行的第1个数为33，则第5行的第5个数为37，即， 故答案为：18，31，37； （2）∵， ∴2018是第253行的第6个数， ∴． 故答案为：253，6； （3）设这5个数中的最小数为x，则其余4个数可表示为， 根据题意，得， 解得． ∵， ∴397是第50行的第5个数， 而此时是第51行的第1个数，与397不在同一行， ∴将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的5个数之和不能等于2027． 8．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5． (1)如图2所示，则幻和=______； (2)若，求图2中的值； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查一次方程应用及有理数加法运算，解题关键是熟知“九宫图”的填法． （1）幻和为的3倍； （2）根据幻和为，列方程可得到答案； （3）根据规律，用正方形左边和上方三角形三个顶点上的数字之和等于右边和下方三角形三个顶点上的数字之和及、的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，幻和， 故答案为：； （2）如图： 由（1）知：， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）根据题意得；则 则 9．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图． 概念：在一个方格中填入九个数，使每行、每列、每条斜对角线上的三个数之和都相等，便得到了一个“三阶幻方”． （1）将九个数按上述方式填入如图1所示的幻方中，求的值； （2）将九个数按上述方式填入如图2所示的幻方中，分别求m，n的值； 方法：下面介绍一种构造三阶幻方的方法——杨辉法：口诀（如图3所示）：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．” 学以致用：（3）请你将下列九个数：，0，1，2，3，4，5分别填入如图4所示的方格中，使得每行、每列、每条斜对角线上的三个数之和都相等． ①求每行三个数的和； ②将这九个数分别填入如图4所示的方格中，使得每行、每列、每条斜对角线上的三个数之和都相等． 【答案】（1）；（2）；；（3）①3；②见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析计算是解题的关键． （1）根据每行、每列、每条斜对角线上的三个数之和都相等，列出方程，即可求解； （2）根据每行、每列、每条斜对角线上的三个数之和都相等，列出方程，即可求解； （3）①根据每行、每列、每条斜对角线上的三个数之和都相等，可得每行三个数的和等于所有数之和的，即可求解；②按照口诀：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，即可得出． 【详解】解：（1）根据题意得：， ∴； （2）根据题意得：，， ∴，； （3）①∵每行、每列、每条斜对角线上的三个数之和都相等， ∴每行三个数的和为； ②如图，即为所求． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第5章 5.3 一元一次方程与实际问题 专训2（原卷版） （包含销售盈亏问题、比赛积分问题、数字问题3大题型，难度由浅入深，每级难度的题量为3-6题，课根据自己需求选择。销售盈亏问题16题，比赛积分问题10题，数字问题9题） 一、销售盈亏 【题型巩固】 1．小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 2．某商场推出新年大促销活动，其中标价为元的某种商品打九折销售，该种商品的利润率为．求该商品的成本价是多少？ 3．在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元．(1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？(2)在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值． 4．为助力环保事业，某企业先将该月销售的A 款产品所有营收的捐给中国环保基金会，后同样再次捐赠该月销售的B款产品所有营收的，已知该月销售A、B两款产品共1000个，A款产品每个售价为100元，B款产品每个售价为120元，设该月销售A款产品x个．(1)该企业第一次捐赠 元，第二次捐赠 元；(用含x的式子表示)(2)该企业两次共捐赠48000元，那么该企业月销售A、B两款产品各多少个？ 5．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 6．小明同学用的练习本可以在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本1元．甲的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八折卖．(1)当购买数量超过10本时，请用含的式子分别表示在甲、乙两商店购买本子的费用．(2)小明要买25本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由．(3)小明现有30元，最多可买多少本练习本？ 7．某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同．(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 8．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 9．某商场准备订购一批衬衫，现有甲、乙两个供应商，均标价每件元．为了促销，甲说“凡来我处进货一律九折．”乙说：“如果订货超出件，则超出的部分打八折．” (1)设该商场准备订购件服衬衫，请用含x的整式表示在甲供应商所需支付的钱数为（_______）元，在乙供应商所需支付的钱数为（_______）元（结果化为最简形式）． (2)当的值为多少时，去两个供应商处的进货价钱一样多？ (3)已知该商场第一次从甲供应商处购进了件补衫，每件加价进行零售，迅速销售一空．于是，该商场第二次从乙供应商处购进衬衫，购进的数量是第一次从甲供应商购进数量的倍，并比第一次销售价格高元进行销售，但市场趋于饱和，所以在销售剩余五分之三时开始打折销售，且第二次全部售出后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次销售剩余五分之三时需打几折销售． 10．【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第页探究1的部分内容． 探究1 销售中的盈亏（1）一商店在某一时间以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，这两件衣服的进价分别是 元和 元，卖这两件衣服总的是 （填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． 【解决问题】：七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 11．玲玲在，两家超市发现她看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．周末玲玲上街，恰好赶上商家促销，超市所有的商品打八折销售，超市全场购物满元返元购物券（单价不足元不返券，购物券全场通用并当天抵扣），但她只带了元钱，若两家都可以选择，在哪一家购买比较省钱？为什么？ 12．华联超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 25 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 13．2021年十一国庆期间，鳌江银泰商场打出促销广告，如下表所示： 优惠 条件 一次性购物 不超过元 一次性购物超过 元，但不超过元 一次性购物 超过元 优惠 办法 没有 优惠 全部按九折 优惠 其中元扔按九折优惠， 超过元部分按八折优惠 用代数式表示（所填结果需化简）： (1)设一次性购买的物品原价为元，当原价超过元，但不超过元时，实际付款为_______元；当原价超过元时，实际付款为_______元．(2)若甲购物时一次性付款元，则所需物品的原价是多少元？ (3)若乙分两次购物，两次所购物品的原价之和为元（第二次所购物品的原价高于第一次），两次实际付款共元，则乙两次购物时，所需物品的原价分别是多少元？ 14．元旦期间，某运动品牌服装店推出两种优惠活动，并规定一次结账只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折；活动二：所购商品按原价每满200元减60元．（如：所购商品原价为200元，可减60元，需付款140元；所购商品原价为450元，可减120元，需付款330元） (1)购买一件原价为350元的服装时，选择哪种活动更合算？请说明理由； (2)购买一件原价在400元以下的服装时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求这件服装的原价； (3)小王准备买一件标价460元的上衣和标价320元的运动鞋，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额． 15．为迎接2024年新年的到来，甲、乙两校联合准备文艺汇演，甲、乙两校参加文艺汇演的人数共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买服装（一人买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元，(1)求甲、乙两校名有多少名学生准备参加演出？ (2)如果甲校准备演出的人员中有9人被抽调去为市民义务书写对联不能参加演出，那么你有几种购买服装的方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？ 16．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元．(1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ；(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？(3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 17．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．俗称新春、新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为元．每盒坚果礼盒的成本为元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多元，售卖个水果篮获得的利润和售卖盒坚果礼盒获得的利润一样多． (1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； (2)该水果店第一批购进了个水果篮和盒坚果礼盒，为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售，售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利元，按此计划每个水果篮应打几折出售？ (3)在年末时，该水果店购进水果篮个和坚果礼盒盒，进行“新春特惠”促销活动，水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒．水果篮每个售价打九折后再参与店内“每满元减元”的活动，坚果礼盒每盒直接参与店内“每满元减元”的活动；售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有个没办法售出．若该水果店获得的利润率为，求的值． 二、比赛积分问题 球赛积分问题的解题要点： ①解决有关表格的问题时，首先要根据表格中给出的相关信息，找出数量间的关系，然后再运用数学知识解决问题. ②用方程解决实际问题时，要注意检验方程的解是否正确，且符合问题的实际意义． 【题型巩固】 1．在某年全国足球甲级A组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了多少场？ 分析：设该队共胜了x场，根据题意，用含x的式子填空：(1)该队平了______场；(2)按比赛规则，该队胜场共得______分；(3)按比赛规则，该队平场共得______分；(4)依题意，可列出方程：____________，该队共胜了______场． 2．一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中几个三分球？几个两分球？罚中几个球？（每罚中1球得1分） 3．学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了84分，她做对了几题？ 4．2023-2024全国甲A篮球赛（CBA）共进行了52轮常规赛，最后辽宁队和新疆队进入总决赛．常规赛中，规定胜一场积2分，负一场积1分，每场比赛均分胜负，常规赛结束时，辽宁队积分为95分，求辽宁队在常规赛中负了几场． 5．某市中考体育测试中包含一分钟排球垫球项目，考试规则为：学生垫球一分钟，若垫球次数达到某一标准及以上，则记为满分．在一次班会中，小明得知以下信息：若每秒钟垫球若干次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次；若每秒钟垫球次数是原来的倍，则一分钟后垫球次数是满分标准的倍少个．求垫球满分的标准是每分钟多少个？ 6．在一次知识竞赛中，甲、乙两人进入了“必答题”环节．规则是：两人各自答题，每人都要回答25道题，每道题回答正确得4分，回答错误或放弃回答扣2分．(1)已知甲答对了19道题，答错了4道题，还有2道题放弃回答，则甲在此环节的得分是多少？(2)若经裁判公布，乙的成绩为76分，则他答对了多少道题？ 7．某学校围棋社团组织成员进行比赛，规则如下：每两位选手都要进行比赛，决出胜负（没有平局），胜者得1分，负者得0分．在所有选手中，男选手有12人，女选手有9人．比赛结束后，经统计，女选手的总得分比男选手的总得分多70分．(1)共进行了多少场比赛？(2)男选手的总得分是多少分？(3)男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了多少分？(4)小明提出：在这个围棋比赛中，得分最高的选手一定是女选手，为什么？ 8．“学习生活两不误，劳逸结合更健康”，某个周末勤奋好学的小明和爸爸下棋，爸爸赢一盘记2分，小明赢一盘记6分，一共下了8盘，每盘都分出了胜负．(1)若两人得分相等，请应用方程求出两人各赢了多少盘； (2)比赛结束时，爸爸得分可能比小明得分多2分吗？为什么？ 9．某班组织“未成年预防电信网络计骗、防溺水、防性侵、防校园欺凌”知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 14 6 64 10 10 40 (1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题扣______分；(2)参赛者得分为70分，求他答错了几道题？(3)参赛者说他的得分为85分，你认为可能吗？请说明理由． 10．为“庆祝建党100周年”，中山市纪中三鑫双语学校积极开展各项活动.“学习强国知识竞赛”有20道必答题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分.甲乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1题． (1)甲队必答题答对了多少道?乙队必答题得了多少分? (2)抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了!”小汪说：“小黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对． 三、数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 总结：在数字问题中应注意： （1）求的是一个两位数，而不是两个数； （2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出x就答； （3）两位数的表示方法是10位上的数字乘以10，把所得的结果和个位数字相加 【题型巩固】 1．一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x．把1与x对调，新两位数比原两位数小18，x应是哪个方程的解？你能想出x是几吗？ 2．阅读理解题，阅读下列材料：若一个三位数的十位数字是个位数字的2倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如742．(1)已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大1，其各位数字之和是16，求这个“倍尾数”；(2)若一个“倍尾数”的各位数字之和是17，求出所有符合要求的“倍尾数”. 3．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110，求原两位数是多少． 4．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是6，若把个位上的数字与十位上的数字调换位置，那么所得的新数比原数的三倍多6，求原来的两位数． 5．把正整数1至2025排列成如下一个数表： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 2 【3】 4 5 第2行 6 【7】 8 【9】 10 第3行 11 12 13 14 15 第4行 16 17 18 19 20 …… …… …… …… …… …… (1)通过计算说明数2024在第几行，第几列？(2)把图中带【】的3个方格当作一个整体平移，设被框住的3个数中，最大的一个数为x．则被框住的三个数的和能否等于2023？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 6．下图的数阵由77个偶数排成． (1)图中平行四边形框内的四个数有什么关系？(2)在数阵中任意作一类似（1）中的平行四边形框，设其中左上角的一个数是，那么其他三个数怎样表示？(3)如果四个数的和是326，你能求出这四个数吗？ 7．将正整数1至2022按照一定规律排成下表： 记表示第i行第j个数，如表示第1行第4个数是4． (1)直接写出 ， ， ；(2)若，那么i＝ ，j＝ ； (3)将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的5个数之和能否等于2027？若能，求出这5个数中的最小数．若不能，请说明理由． 8．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．(1)如图2所示，则幻和=______；(2)若，求图2中的值； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，则的值为多少？ 9．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图． 概念：在一个方格中填入九个数，使每行、每列、每条斜对角线上的三个数之和都相等，便得到了一个“三阶幻方”．（1）将九个数按上述方式填入如图1所示的幻方中，求的值；（2）将九个数按上述方式填入如图2所示的幻方中，分别求m，n的值； 方法：下面介绍一种构造三阶幻方的方法——杨辉法：口诀（如图3所示）：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．” 学以致用：（3）请你将下列九个数：，0，1，2，3，4，5分别填入如图4所示的方格中，使得每行、每列、每条斜对角线上的三个数之和都相等．①求每行三个数的和；②将这九个数分别填入如图4所示的方格中，使得每行、每列、每条斜对角线上的三个数之和都相等． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$