广东省华南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期综合测试（二）数学试题

试卷第 1 页，共 5 页 2025 届高三综合测试（二） 数 学 满分：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知 0.13a = ， 30.1b = ， 3log 0.1c = ，则 （ ） A． a c b  B． a b c  C．b a c  D． c b a  2．设 Rx ，向量 ( ),1a x= ， ( )4,b x= ，则 2x = 是 //a b 的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知命题“ Rx  ，使 ( )2 1 2 1 0 2 x a x+ − +  ”是假命题，则实数 a的取值范围是 （ ） A． 1 3a−   B． 1 3a−   C． 1a  − 或 3a  D． 1a  − 或 3a  4．函数 ( ) 3cos 1x f x x + = 的部分图象大致是 （ ） A． B． C． D． 5．若 ( ) ( ) ( ) 2 2log 2 1 xf x x a= + − + 是偶函数，则 a的值为 （ ） A． 1 4 B． 1 2 C．0 D．1 6．已知某简谐振动的振动方程是 ( ) sin( ) ( 0, 0)f x A x B A  = + +   ，该方程的部分图象如图．经测量， 振幅为 3 ．图中的最高点 D与最低点 E，F为等腰三角形的顶点，则振动的频率是 （ ） 试卷第 2 页，共 5 页 A．0.125Hz B．0.25Hz C．0.4Hz D．0.5Hz 7．已知直线 y ax b= + 与曲线 1 y x x = + 相切，则 2a b+ 的最大值为 （ ） A． 1 2 B．2 C． 5 2 D．5 8．已知函数 1 ( ) lnf x x x = + ，数列{ }na 的前 n项和为 nS ，且满足 1 1 3 , ( ) 2 n na a f a+= = ，则下列有关数列{ }na 的 叙述正确的是 （ ） A． 7 6a a B． 9 1a  C． 10 12S  D． 13 16S  二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．设 1z ， 2z 为复数，且 1 2 0z z  ，则下列结论正确的是 （ ） A． 1 2 1 2z z z z= B． 1 2 1 2z z z z+ = + C．若 1 2z z= ，则 2 2 1 2z z= D． 1 2 1 2z z z z =  10．已知函数 ( ) tan tanf x x x= + ，则下列结论中正确的有 （ ） A． ( )f x 的最小正周期为 2  B．点 ( ,0) 2  − 是 ( )f x 图象的一个对称中心 C． ( )f x 的值域为  )0, + D．不等式 ( ) 2f x  的解集为 ( , )( ) 4 2 kk k Z     + + 11．已知函数 ( ) sin cose ex xf x = − ，其中 e是自然对数的底数，下列说法中正确的是 （ ） A． ( )f x 在 π 0, 2       上是增函数 B． ( )f x 的图象关于点 π ,0 4       中心对称 C． ( )f x 在 (0, ) 上有两个极值点 D．若 0x 为 ( )f x 的一个极小值点，且 ( )0 cos 0e tan x a f x x −  + 恒成立，则 1a  − 试卷第 3 页，共 5 页 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．若集合 2{ | 0}A x x ax b= + + = ， 2{ | 6 0}B x x cx= + + = ，  2A B = ， A B B= ，则 a b c+ + = . 13．如图，为测量山高 MN ，选择 A和另一座山的山顶C 为测量观测点. 从 A点测得 M 点的仰角 45MAN = ，C 点的仰角 30CAB = 以及 75MAC = ；从C 点测得 60MCA = ，已知山高 50mBC = ， 则山高 MN = m . 14．数学能为自然界的和谐、生命现象的和谐等找到最佳论证．在大自然中一些植物的叶子有着明确的数 学方程式，如图①蔓叶中从一点出发散开的叶脉所形成的曲线，可近似为 ( )2 32 2y a x x− = ，该曲线即为蔓 叶线，其图象如图②，若圆 2 24 3 0x x y− + + = 与该蔓叶线恰有两个交点，则 a = ． 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13 分）已知向量 ( ) 3 cos , 1 , sin , 4 a x b x   = − =     ，设函数 ( ) ( )2f x a b a= +  . （1）当 4 π π , 4 x    −    时，求函数 ( )f x 的值域； （2）已知在 ABC△ 中，内角 A B C、 、 的对边分别为 a b c、 、 ，若 2a = ，且 5 ( ) 2 2 A f = ，求 ABC△ 面积的 最大值. 试卷第 4 页，共 5 页 16．（15 分）在四棱锥 P ABCD− 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PC PD⊥ ，二面角 A CD P− − 为直 二面角． （1）求证： PB PD⊥ ； （2）当 PC PD= 时，求直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值． 17.（15 分）设 A，B 分别是直线 2 2 y x= 和 2 2 y x= − 上的动点，且 | | 2AB = ，设O 为坐标原点，动点 P 满足OP OA OB= + ，记 P 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程； （2）已知点Q为曲线C 的上顶点，点 1 2,F F 分别为左、右焦点，过点Q的直线 l 交曲线C 于另一点 M ，若 2 1 2QMF QF F S S=△ △ ，求 l 的方程. 18．（17 分）已知函数 ( ) sin ln(1 ) , Rf x x x ax a= + + −  . （1）当 0a = 时，求 ( )f x 在区间 ( )1,π− 内极值点的个数； （2）若 ( ) 0f x  恒成立，求 a的值； （3） 2 * 1 1 2 1 N sin 2ln ln 22 1 1 n i n n n n i n= + −   − − −  证：，， 求 . 试卷第 5 页，共 5 页 19. （17 分）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一， 就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等。一般地，若 k 是一个大于 1 的整数，那么以 k 为基数的 k 进 制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式 ( )  ( )1 1 1 1 00... , ,..., , 0,1,2,..., 1 , 0n n n n nka a a a a a a a k a− −  −  ，k 进 制 的 数 也 可 以 表 示 成 不 同 位 上 数 字 符 号 与 基 数 的 幂 的 乘 积 之 和 的 形 式 ， 如 ( ) 1 1 1 1 1 00 ... ...n nn n n nka a a a a k a k a k a − − −= + + + + . 例如十进制数 225 2 3 2 3 1=  +  + ，所以 25 在三进制下可写为 ( )3 221 . （1）设正整数m 在三进制下的各位数字之和为 ( )S m （i）将满足 ( ) 3S m = 的数从小到大排成一列，直接写出该列数的前四个数； （ii）在 1 至 2025 中任选一个正整数m ，求 ( )S m 为 3 的倍数的概率. （ 2）已知正项数列  na 的前 n 项和为 nS ， ( )1 , 31 2 a a a N a=   ，且 ( ) 21 1 2n n n nS S S a a a− −+ + = ，记 1 2 1 1 1 ... ... 2 2 2 nM a a a       = + + + + + + +            （其中  x 表示不大于 x的最大整数），求M 的值.（用 a表示） 答案第 1 页，共 11 页 2025 届高三综合测试（二）数 学 参考答案 1．B 2．A 3．D 4．A 5．A 6．B 7．C 8．C 7.【详解】设切点横坐标为 ( )0m m  ，求导： 1 y x x = + 得 ' 2 1 1y x = − ， 由题意可得 2 1 1 1 a m am b m m  = −   + = +  解得： 2 1 1 2 a m b m  = −   =  ， 所以 2 2 2 2 1 1 5 2 2 2 2 2 a b m m m   + = − + + = − − +    ， 所以 2m = 时， 2a b+ 的最大值为 5 2 . 故选:C 8.【详解】由 1 ( ) lnf x x x = + ，求导得 ' 2 1 ( ) 0,( 1) x f x x x − =   ， ( )f x 在 (1, )+ 单调递增，故 ( ) ( ) 11 = fxf 。 1 3 1 2 a =  ， ( ) ( )2 1 1 1a f a f =  = ，迭代下去，可得 1na  。故 B 错误； 由 1 3 2 a = ， ( )2 1 3 2 1 2 7 ln 2 3 2 3 6 a f a = = +  + = ，故 2 1a a 迭代下去，可得 1 11 2 3 n na a a−   = ，数列{ }na 单调递减。 故 A 错误； 1 210 3 7 9 9 12 2 6 S a a  + +  = ，故 C 正确 1 213 3 7 12 12 15.5 2 6 S a a + +  = ，故D 错误． 故选：C ． 9．ABD 【详解】设 1 iz a b= + ， 2 iz c d= + ( , , , )Ra b c d  ， 对于选项 A，因为 1 2 ( i)( i) ( ) ( )iz z a b c d ac bd ad bc= + + = − + + ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) ( )z z ac bd ad bc a c b d a d b c= − + + = + + + ， 且 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2z z a b c d a c b d a d b c= + + = + + + ，所以 1 2 1 2z z z z= ，故 A 正确； 对于选项 B，因为 1 2 ( ) ( )iz z a c b d+ = + + + ， 1 iz a b= − ， 2 iz c d= − ， 答案第 2 页，共 11 页 则 1 2 ( ) ( )iz z a c b d+ = + − + ， 1 2 ( ) ( )iz z a c b d+ = + − + ， 所以 1 2 1 2z z z z+ = + ，故 B 正确； 对于选项 C，若 1 2z z= ，例如 1 1 iz = + ， 2 1 iz = − ，满足 1 2 2z z= = ， 但 2 2 1 (1 i) 2iz = + = ， 2 2 2 (1 i) 2iz = − = − ，即 2 2 1 2z z ，故 C 错误； 对于选项 D，因为 21 ( i)( i) ( ) ( )iz a b c d ac bd cz ad b = + + = − + + ， 所以 21 ( ) ( )iz ac bd a bz d c = − − + ， 1 2 ( i)( i) ( ) ( )iz z a b c d ac bd ad bc = − − = − − + ， 所以 1 2 1 2z z z z =  ，故 D 正确. 故选：ABD. 10．CD 【详解】 ( ) 2 tan , [ , ), 2 tan tan 0, ( , ), 2 x x k k k Z f x x x x k k k Z         +  = + =    − +   ，作出 ( )f x 的图象，如图，观 察图象， ( )f x 的最小正周期为 ，A 错误； ( )f x 的图象没有对称中心，B 错误； ( )f x 的值域为  )0, + ，C 正确； 不等式 ( ) 2f x  ，即 [ , )( ) 2 x k k k Z    +  时 2 tan 2x  ，得 tan 1x  ，解得 , 4 2 k x k k Z    +   +  ， 所以 ( ) 2f x  的解集为 ( , )( ) 4 2 kk k Z     + + ，D 正确. 答案第 3 页，共 11 页 故选：CD 11．ABD 【详解】由题设， sin cos( ) e cos e sinx xf x x x = + ， A：在 π 0, 2       上 ( ) 0f x  ，故 ( )f x 在 π 0, 2       是增函数，A 正确； B： π π sin( ) cos( ) 4 4 π ( ) ( ) e e 4 x x g x f x + + = + = − ， 则 π π π π sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 4 4 4 4( ) e e e e x x x x g x − + − + − − − − == − − π π π π π π cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) 2 4 2 4 4 4 ( )e e e e x x x x g x + − + − + + = = −− −= ，即 π ( ) 4 f x + 是奇函数， 图象关于点 π ,0 4       中心对称，故 B 正确； C：若在 ( )0,π 上有极值点，令 ( ) 0f x = 则有 cos sin cos e 0 sin x xx x −= −  ， 而 sin 0x  ，此时 cos 0x  ，所以极值点在 π ,π 2       上， 令 ( ) ( )h x f x=  ，有 sin 2 cos 2( ) e (cos sin ) e (cos sin )x xh x x x x x = − + − ， ∴在 π 3π , 2 4       上， 2cos sin 0x x−  ， 2cos sin 0x x−  ，即 ( ) 0h x  ， ( )f x 单调递减； 又 π ( ) 1 2 f  = ， 2 2 2 2 3π 2 ( ) (e e ) 0 4 2 f −  = −  ，显然存在 ( ) 0f x = ， 在 3π ,π 4       上， sin cosx x 且 cos 0x  ， sin 0x  ，故 sin cosx x − ， ∴ cos sin0 e 1 ex x   ，则 sin coscos e sin ex xx x ， 即 sin cos( ) e cos e sin 0x xf x x x = +  ，∴ ( )f x 不存在零点； 综上， ( )f x 在 ( )0,π 上只有一个极值点，故 C 错误； D：易知 ( )f x 为周期函数， 2πT = 是其一个周期， 由 C 知： 1 π 3π , 2 4 x        ，使得 ( )1 0f x  = ， ∵ sin cos( ) e ex xf x = − 在 1 π , 2 x       上 ( ) 0f x  ，即 ( )f x 递增， 在 1 3π , 4 x       上 ( ) 0f x  即 ( )f x 递减，即 ( )1f x 为 ( )f x 在 ( )0,π 上的极大值，也是最大值， 又由 B 项的结论： ( )2 π,0x  − 使得 ( )2f x 为 ( )f x 在 ( )π,0− 上的极小值，也是最小值， 答案第 4 页，共 11 页 则 ( )0 2 2 π Zx x k k= +  ，且 1 2 π 2 x x+ = ， ( ) ( )1 2 0f x f x+ = ， 不妨令 0k = ，则 0 2 1 π 2 x x x= = − ， 令 0 0 sin cos cos e t e ( ) an e x x x g x x+ − = ，则 ( ) ( ) 0 min 0cosmin tan e x f x g x x= + 即 ( ) 1 1 1 cos sin min 2 1 sin 1 π e e 1 ( ) 2 tane x x x a g x g x g x x −   = = − = +    ， 而结合 C 知有 1 1cos sin 1 1 e tan x x x −− = ，∴ max( ) 1g x = − ，故 1a  − ，正确. 故选：ABD 12．【答案】-5 13．【答案】50 3 14.【答案】 6 3 3+ 【详解】 方法一：根据蔓叶线和圆的对称性，圆 2 2( 2) 1x y− + = 与该蔓叶线恰有两个交点， 即当 0y  时，圆和蔓叶线的上半部分只有一个交点， 即方程 ( )2 34 3 (1 3) 2 a x x x x x   − − − =      有一个实数根， 即方程 2 2 4 3 (1 3) 2 4 3 a x x x x x − =   − − 有一个实数根， 令 ( ) 2 2 4 3 (1 3) 4 3 x x f x x x x − =   − − ，则 ( ) ( ) 2 2 2 13 24 9 4 3 x x f x x x  − + = − − ， 令 ( ) 0f x = ，则 12 3 3 13 x + = 或 12 3 3 13 − （舍）， 所以 ( )f x 在区间 12 3 3 1, 13  +      内单调递减，在区间 12 3 3 ,3 13  +      内单调递增， 所以 min 12 3 3 6 3 3 ( ) 13 2 f x f  + + = =     ， 1 , ( ) , 3 , ( ) ,x f x x f x+ −→ →+ → →+ 故当 6 3 3a = + 时，圆 2 24 3 0x x y− + + = 与该蔓叶线恰有两个交点． 方法二：根据蔓叶线和圆的对称性，圆 2 2( 2) 1x y− + = 与该蔓叶线恰有两个交点， 即当 0y  时，圆和蔓叶线的上半部分只有一个交点，此时两个曲线相切,故 答案第 5 页，共 11 页 2 2 4 3 (1 3) 2 4 3 a x x x x x − =   − − ，此时 2(8 ) (6 4 ) 3 0a x a x a+ − + + = ， 0 = ， 故 2(6 4 ) 12 ( 8) 0a a a+ − + = ，解得 6 3 3a =  ，当 6 3 3a = − 时， 1x  不符合题意， 当 6 3 3a = − 时， 12 3 3 13 x + = 符合题意. 故答案为： 6 3 3+ . 15．【详解】（1） 1 cos sin , 4 a b x x   + = + −    ， ( ) 2 1 1 ( ) 2( ) 2 cos sin , cos , 1 2cos 2sin cos 4 2 f x a b a x x x x x x   = +  = + −  − = + +    ………1 分 3 π 3 sin 2 cos2 2 sin 2 2 4 2 x x x   = + + = + +    ， ………3 分 当 4 π π , 4 x    −    时， π π 3π 2 , 44 4 x   +  −    ， ………4 分  π sin 2 ,1 4 2 2 x    +  −       ………5 分  π 3 1 3 2 sin 2 , 2 4 2 2 2 x     + +  +        ， 所以函数 ( )f x 的值域为 1 3 , 2 2 2   +    ………6 分 （2）由（1）可知 π 3 ( ) 2 sin 2 4 2 f x x   = + +    ， 又 5 ( ) 2 2 A f = ，所以 π 2 sin 4 2 A   + =    ， 因为 (0,π)A ，所以 π π 5π , 4 4 4 A   +     ，故 π 2 A = ， ………8 分 因为 2a = ，由 2 2 2a b c= + 可知， 2 24 b c= + ， ………9 分 由基本不等式得 2 24 2b c bc= +  ， 解得 2bc  ，当且仅当 2b c= = 时，等号成立， ………11 分 故三角形面积 1 1 sin 2 1 1 2 2 bc A    = ， 即 ABC 面积最大值为1 . ………13 分 16．【详解】：（1）证明：由于底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，则 BC CD⊥ ， 由于二面角 A CD P− − 为直二面角， CD ACD PCD=平面 平面 ,则 BC ⊥ 平面 PCD ， 2 分 答案第 6 页，共 11 页 由于 PD 平面 PCD ，则 PD BC⊥ ，又 PC PD⊥ ，PC BC C= ，PC 、BC 平面 PBC ， 则 PD ⊥平面 PBC ，5 分 由于 PB 平面 PBC ，则 PB PD⊥ ．6 分 （2） 几何法：取CD 中点 F ，连 PF 、 BF ，由 PC PD= 知 PF CD⊥ ，由于二面角 A CD P− − 为 直二面角，则 PF ⊥平面 ABC ，于是 PF BF⊥ ，8 分 由于底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，则 1 1 2 PF CD= = ， 2 2 5BF CF BC= + = ， 于 是 2 2 6PB PF BF= + = ， 同 理 6PA = ， 于 是 2 21 ( ) 5 2 2 PAB AB S AB PA =  − = ，又 1 2 2 ABCS AB BC =  = ，设C 到平面 PAB 距离为 d ，则 由 P ABC C PABV V− −= 得： 1 1 3 3 ABC PABS PF S d  =  ，于是解得： 2 5 d = ，12 分 故直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为： 2 2 1 105 52 5 2 2 d PC CD = =  = ．15 分 向量法：（2）取CD 中点为O ，连结 PO .取 AB 中点为 E ，连结OE . 因为 PC PD= ，点O 是CD 中点，所以 PO CD⊥ . 又因为平面 PCD ⊥平面 ABCD ，平面 PCD 平面 ABCD CD= ， PO 平面 PCD ， 所以 PO ⊥平面 ABCD . 因为点O 、 E 分别是CD 、 AB 的中点，所以 //OE AD ，则OE CD⊥ . 则 1 1 2 OP CD= = ， 2OE AD= = .8 分 答案第 7 页，共 11 页 以点O 为坐标原点， , ,OD OE OP 所在直线分别为 , ,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系 D xyz− ， 则 ( )0,0,0O ， ( )1,0,0D ， ( )1,0,0C − ， ( )1,2,0B − ， ( )0,0,1P ， ( )0,2,0E ， ( )1,2,0A ， ( )1, 2,1AP = − − ， ( )2,0,0AB = − ， ( )1,0, 1PC = − − .10 分 设 ( ), ,n x y z= 是平面 PAB 的一个法向量， 则 2 0 2 0 n AP x y z n AB x   = − − + =   = − = ，取 1y = ，则 2z = ， 所以 ( )0,1,2n = 是平面 PAB 的一个法向量.12 分 直线 PC 与面 PAB 所成角为 ， 2 10 sin cos , 55 2 n PC n PC n PC   − = = = =   14 分 所以直线 PC 与平面 PAB 所成的角的正弦值为 10 5 .15 分 17.【详解】（1）设 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , ) 2 2 2 2 A x x B x x P x y− ， 1 分 OP OA OB= + ， 1 2 1 2 2 , ( 2 )x x x y x x= + = − ． 3 分 | | 2AB = ， 2 21 2 1 22 ( ) ( ) 2 2 2 2 x x x x= − + + ， 5 分， 2 22 1 2 2 y x= + ， 动点 P 的轨迹方程 2 2 4 1 x y+ = ． 6 分 （2）因为 2 1 2QMF QF F S S=△ △ ，所以 1 2/ /MF QF ，8 分 又 2 3 3 QFk = − ， 答案第 8 页，共 11 页 直线 ( )1 3 : 3 3 MF y x= − + ，联立 ( ) 2 2 3 1 3 1 3 1 4 y x x y  = − +   + =  ， 消去 y 得， 27 8 3 0x x+ = ，解得 0x = 或 8 3 7 x = − ，12 分 当 0x = 时， ( )1 0 3 1 3 3y = − + = − ， 当 8 3 7 x = − 时， 1 1 3 3 7 8 3 3 7 y   = − − + =     ， 所以 8 3 1 , 7 7 M  −       或 ( )0, 1M − ，14 分 又因为直线 l 过点 ( )0,1Q ， 所以 3 4 QMk = 或斜率不存在， 可求得直线 l 的方程为 3 1 4 y x= + 或 0x = .15 分 18.【详解】（1）当 0a = 时， ( ) sin ln(1 )f x x x= + + , ( ) ( ) 1 cos , 1,π 1 f x x x x = +  − +  ,1 分 当 ( )0,1−x ， ( ) 0' xf ， ( )xf 单调递增；2 分 当 ( ),0x 时， ( )xf ' 单调递减，而 ( )0 2 0f  =  ， ( ) 1 π 1 0 π 1 f = − +  +  ， 故 ( )xf ' 在 ( )0,π 内存在唯一的零点 0x ，满足 ( ) 00 ' =xf 3 分 当 ( )00,x x 时， ( ) 0' xf ， ( )xf 单调递增；当 ( )0 ,πx x 时， ( ) 0' xf ， ( )xf 单调递减。 所以 ( )f x 在 ( )01, x− 内单调递增， ( )0 ,πx 单调递减。4 分 答案第 9 页，共 11 页 故 ( )f x 在 ( )1,π− 存在 1 个极大值点，无极小值点。5 分 （2） ( ) 0xf 在 ( )+− ,1x 恒成立，且 ( ) 00 =f 。 0 是 ( )xf 的极大值点，故 ( ) 00' =f ；又 ( ) 1 cos , 1 f x x a x = + − +  ， 2=a 6 分 当 2a = ，此时 ( ) 1 cos 2, 1 f x x x = + − +  显然当𝑥 ∈ (0,+∞)时， ( ) 1 1 2 0f x  + − = ， 故 ( )f x 在(0, +∞)上为减函数；此时 ( ) 0xf 。7 分 当 ( )1,0x − 时，令 ( ) ( )xfxg '= ， ( ) ( ) 01sin 1 1 sin 2 ' −− + −−= x x xxg ， 故 ( )g x 在 ( )1,0− 上单调递减， ( ) ( ) 00 = gxg 。8 分 ( )f x 在 ( )1,0− 上单调递增。故 ( )1,0x  − ， ( ) ( )0 0f x f = ， 从而 ( ) 0f x  在 ( )+− ,1x 恒成立，故 2a = 。9 分 （3）由（2）可知， ( )sin 2 ln 1x x x − + ，当且仅当 0x = 时取等号， 所以 2 2 2 1 1 1 1 1 1 sin 2 ln 1 1 1 1 n n n i n i n i ni i i= + = + = +    − +  − − −     ，11 分 2 2 1 1 1 1 2 2 ln 1 ln ln ln ln ln 2 1 1 1 2 1 n n i n i n i n n n i i n n n= + = + + +    + = = + + + =    − − + −      ， 因为 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 ln ln ln ln ln ln 1 2 2 2 3 1 2 2 2 3 1 2 n i n n n n n n n n n n n n n n n n n= + − − − − − −    =  = + + + =    − − − − − − − −     ， 所以即证 1 1 ln 1 2 i i i −     − −  13 分 令 ( ) 1 1 1 1, 2 2 i x i i  − = = +  + − − ，则 1 1 1 1i x = − − ，14 分 所以即证： 1 1 ln x x −  ，𝑥 ∈ (1,+∞)，15 分 令 ( ) 1 1 lnm x x x = − − ，则 ( ) 2 2 1 1 1 x m x x x x − = − = ， 所以𝑥 ∈ (1,+∞)时， ( ) 0m x  ， ( )m x 单调递减， 所以 ( ) ( )1 0m x m = ，即 1 1 ln x x −  ，𝑥 ∈ (1,+∞)，16 分 答案第 10 页，共 11 页 综上， 2 1 1 2 1 sin 2ln ln2 1 1 n i n n i n= + −  − − −  ， 2n  ， Nn  17 分 19【详解】 （1）（i）5,7,11,13 ………2 分 （ii）设 1 1 1 03 3 ... 3 n n n nm a a a a − −= + + + + 若m 为 3 的倍数，则 0a 为 3 的倍数，即 0 0a = ， 所以 ( )1 1 3... 0n nm a a a−= ， ( )1 1 31 ... 1n nm a a a−+ = ， ( )1 1 32 ... 2n nm a a a−+ = ( ) 1 1...n nS m a a a−= + + + ( ) 1 11 ... 1n nS m a a a−+ = + + + + ( ) 1 12 ... 2n nS m a a a−+ = + + + + 所以当m 为 3 的倍数时， ( ) ( ) ( ), 1 , 2S m S m S m+ + 中恰有一个是 3 的倍数 ………5 分 ( )1 1S = ， ( )2 2S = ， ( )32025 2210000= ， ( )2025 5S = 所以 ( ) ( ) ( )1 , 2 , 2025S S S 都不是 3 的倍数 ………7 分 而 ( ) ( ) ( )3 , 4 ,..., 2024S S S 这 2022 个数中，有 2022 674 3 = 个是 3 的倍数 所以 ( )S m 为 3 的倍数的概率为 674 2025 . ………8 分 （3）因为 ( ) 21 1 2n n n nS S S a a a− −+ + = ， ( )1 2n n nS S a n− = −  所以 ( ) ( ) 22n n n n n nS S a S a a a a− + − + = ， ( ) 22 n nS a a= − ………9 分 n nS a a= − 或 n nS a a= − 因为 na 为正项数列，所以 n n nS a a a  − ，所以 ( )2n nS a a n= −  ………10 分 因为 1 1 2 a S a= = ，所以 ( )n nS a a n N= −  ( )1 1 2n nS a a n− −= −  两式作差得 1 1 2 n na a −= 所以 na 是以 2 a 为首项， 1 2 为公比的等比数列，可得 2 n n a a = ………12 分 因为 31a  ，所以设  ( )4 3 24 3 2 1 0 0 1 2 3 42 2 2 2 , , , , 0,1a x x x x x x x x x x= + + + +  ………13 分 答案第 11 页，共 11 页 则 4 3 2 3 24 3 2 1 0 0 1 4 3 2 1 2 2 2 2 1 11 2 2 2 2 2 2 x x x x x x a x x x x  + + + + + +   + = = + + + +          ， 当 0 0x = 时， 0 1 0 2 x +  =    ，当 0 1x = 时， 0 1 1 2 x +  =    所以 0 0 1 2 x x +  =    ，即 3 2 1 4 3 2 1 0 1 2 2 2 2 a x x x x x   + = + + + +    ………14 分 ( ) ( )4 3 24 3 2 1 0 1 02 2 4 3 22 2 2 2 2 2 1 2 11 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x  + + + + + + +   + = = + + +          当 1 0x = 时， ( )1 0 0 2 2 1 2 0 2 4 x x x+ +  +  = =       ，当 1 1x = 时， ( )1 0 0 2 2 1 4 1 2 4 x x x+ +  +  = =       所以 ( )1 0 12 2 1 2 x x x + +  =    ，即 2 2 4 3 2 1 1 2 2 2 a x x x x   + = + + +    ………15 分 同理可得 3 4 3 2 1 2 2 a x x x   + = + +    4 4 3 1 2 a x x   + = +    5 4 1 2 a x   + =    当 6n  时， 1 1 31 1 1 2 2 2 64 2 n n a a + = +  +  ，所以 1 0 2 na   + =    ………16 分 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 5 3 2 2 4 3 2 1 0 4 3 2 4 3 2 1 0 1 1 1 ... 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 M a a a x x x x x x x x x x a       = + + + + + +            = + + + + + + + + + + + + + + = + + + + = ………17 分