5.3 实际问题与一元一次方程 专训 -2024-2025学年人教版七年级数学上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第5章 5.3 实际问题与一元一次方程 专训1（解析版） （包含行程问题、配套问题、工程问题3大题型，难度由浅入深，每级难度的题量为3-6题，课根据自己需求选择。行程问题10题，配套问题14题，工程问题24题） 一、行程问题 【知识梳理】 1.三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 2.基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： 时间相同时：相遇路程=速度和×相遇时间 时间不同时：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离 ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： A:同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； B:同时不同地出发： 前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程 ③航行问题： Ⅰ．基本公式：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 3.解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 【题型巩固】 1．已知、两地相距10千米，甲骑自行车从地出发，每小时骑行20千米，乙骑自行车从地出发，每小时骑行15千米． (1)两人同时出发，同向而行（沿方向），则经过几小时甲追上乙？ (2)两人同时出发，相向而行，如果设小时后两人相距2千米，那么可以列出的方程是什么？（直接写出方程即可，不要求化简、求解） 【答案】(1)经过2小时甲追上乙 (2)或 【分析】（1）两人同时出发，同向而行，属于追及问题，设经过小时甲追上乙，列式计算即可； （2）两人同时相向而行，两人相距2千米时有两种情况，第一种是还未相遇，第二种是已经相遇，根据条件列出方程即可． 【详解】（1）解：设经过小时甲追上乙， 依题意得： 解得： 答：经过2小时甲追上乙； （2）或 【点睛】本题主要查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意列出等量关系． 2．已知甲码头在江的上游，乙码头在江的下游．一艘船在静水中每小时航行千米，在水流速度为每小时千米的江中，往返甲、乙两码头共用了小时，求甲、乙两码头之间的距离． 【答案】千米 【分析】根据“一艘船在静水中每小时航行千米，在水流速度为每小时千米的江中”可得顺水速度为（千米/时），逆水速度为（千米/时），设甲、乙两码头之间的距离为千米，根据顺水从甲到乙的时间＋逆水从乙到甲的时间＝列出方程，求解即可． 【详解】解：设甲乙两码头之间的距离是千米，依题意，得： ， 解得：， 答：甲乙两码头之间的距离是千米. 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理清题意，找出题目中的等量关系列出方程是解题关键． 3．超市位于小明家正西米处，学校位于家的正东方向，一天，小明的妈妈从家去超市购物，同时小明从家去学校上学，妈妈刚到超市门口发现小明的作业本误装在了购物袋里，立即按原路返回并追赶小明，结果二人同时到达学校．已知妈妈每分钟走米，小明每分钟走米．则小明的家距离学校有多远？ 【答案】500米 【分析】设小明的家距离学校米，根据妈妈和小明所行驶的时间相等列出方程并解答即可． 【详解】解：设小明的家距离学校米， 根据题意可列方程：， 解得． 答：小明的家距离学校有米． 【点睛】本题主要考查分式方程，根据题目条件列出分式方程是解题的关键． 4．周末，小明和爸爸在的环形绿道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如图所示的对话． (1)请根据他们的对话内容，求出小明的骑行速度； (2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意找准等量关系列出一元一次方程是解题关键． （1）设小明的骑行速度，则爸爸的骑行速度，根据题意列一元一次方程，解方程即可； （2）设在第二次相遇前，再经过，小明和爸爸在跑道上相距，分两种情况讨论，再根据题意列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设小明的骑行速度为，则爸爸的骑行速度为 根据题意，得： 解得： 答：小明的骑行速度为． （2）解：设在第二次相遇前，再经过，小明和爸爸在绿道上相距 ①爸爸又比小明多骑了 根据题意，得： 解得：； ②爸爸又比小明多骑了 根据题意，得： 解得：． 答：在第二次相遇前，再经过或，小明和爸爸在跑道上相距． 5．小明从家到学校上课，开始时每分钟走50米，走了2分钟，根据以往经验，按照这个速度走下去，将要迟到2分钟，于是他立即加快速度，每分钟多走10米，结果小明早到了5分钟，小明家到学校的路程有多远？ 【答案】2200米 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设小明家到学校的路程有米，根据时间建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】设小明家到学校的路程有米， 按照开始的速度走到学校的时间为：分钟， 加快后的速度为：米每分钟， 加快后走的时间为：分钟， ∴， 解方程得：米． 6．某特训营纵队以千米/时的速度行进，队尾的通信员以千米/时的速度赶到队首送一封信，送到后又立即返回队尾，共用小时．求这支队伍的长度． 【答案】队伍的长度为千米 【分析】本题主要考查一元一次方程与行程问题，根据从队尾到队头“实际速度通讯员速度队伍速度”，从队头到队尾“实际速度通讯员速度队伍速度”，设队伍长为千米，由此列式求解即可． 【详解】解：设队伍长为千米， ∴， 解得，， ∴队伍的长度为千米． 7．年国产大型客机首航成功，这标志着正式投入商业运营，也标志着我国从此有了属于自己的国产大型客机．某机场一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同样的航线要用小时．已知在风速为千米时的条件下，求无风时这架飞机在这一航线的平均速度． 【答案】无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时． 【分析】此题考查一元一次方程的应用，设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时，列出关于的一元一次方程，再解方程即可，解题的关键读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】解：设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时， 由题意得，， 解得：， 答：无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时． 8．截至年底，全国铁路营业里程突破万公里，其中高铁超过万公里．一列高铁列车和一列动车都从A市驶向B市，高铁列车用了，动车用了，已知高铁列车的速度是动车的2倍少，求高铁列车的速度和A、B两市之间的路程． 【答案】高铁列车的速度为，A、B两市之间的路程为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确利用等量关系列出方程是解题的关键，设动车速度为，则高铁列车的速度为，A、B两市之间的路程为，根据路程相等列出方程求解即可． 【详解】解：设动车速度为，则高铁列车的速度为，A、B两市之间的路程为， 根据题意可得：， 解得：， ， ． 答：高铁列车的速度为，A、B两市之间的路程为． 9．从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米． 【答案】9千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确找出等量关系列出方程是解题的关键； 根据题意，设山路x千米，从营地回学校共用了55分钟，从学校回营地用了1小时10分钟，根据平路的速度不变，所以时间也不变，多用掉的时间是因为上山的速度降低了，可得出方程，解出即可得到山路的路程．由此求出上山的时间，再求出平路的时间，根据速度乘时间等于路程求出平路的路程，最后求和即可． 【详解】55分钟=小时，1小时10分钟=小时， 设山路x千米，由题意得， 解得：  ， (小时)， (小时) ， (千米)， (千米)， 答：营地到学校有9千米． 10．老师带着两个学生到离校33千米的博物馆参观．老师骑摩托车速度为25千米/小时，这辆摩托车后座可以带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时．如果学生步行，速度为5千米/小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后用3小时同时到达博物馆． 【答案】老师带第一个学生走24千米后，该学生下车后步行到博物馆，老师返回接第二个学生，整个过程在路上共计花了3个小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用－行程问题，包含相遇与追及问题，用线段图来表示行程问题中的变化，可以使过程变得更清晰，是解决本题的关键，数形结合是数学中常用的一种数学思想． 如图1中，千米，第一个学生在C点下车后步行到博物馆，此时老师在C点，第二个学生步行到D点，段存在一个老师与第二个学生之间的相遇问题．从时间上产生等量关系，即：老师从C点单车返回到E点的时间+带第二个学生从E点到B点的时间=第一个学生从C点步行到B点的时间．若设千米，则，用含x的代数式表示出该等量关系，即可得方程解出问题． 【详解】解：如图， 设第一个学生搭乘摩托车的路程为x千米，即，则， ， 对于段的相遇问题，可设老师与第二个学生相遇的时间为t小时， 于是得方程： ∴ ∴ ∴ 由时间关系，可得方程 解方程得 则在路上共计用的时间为 即：老师带第一个学生走24千米后，该学生下车后步行到博物馆，老师返回接第二个学生，整个过程在路上共计花了3个小时． 二、配套问题 解决配套问题的思路： (1)利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据； (2)利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据. 1 ．某礼品制造厂接了一批玩具熊的订单，按计划天数生产，若每天生产20个玩具熊，则最终比订单少生产100个；若每天生产23个玩具熊，则最终比订单多生产20个．原计划几天完成订单？ 【答案】原计划40天完成任务． 【分析】设原计划x天完成任务，利用“订货任务的数量”作为相等关系列方程求解． 【详解】解：设原计划x天完成任务， 由题意得：20x+100=23x-20， 解得：x=40， 答：原计划40天完成任务． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 2．某车间共有工人68人，若每人每天可以加工A种零件15个或B种零件12个，应怎样安排加工两种零件的人数，才能使每天加工的零件按3个A零件和1个B零件配套． 【答案】安排48名工人生产A种零件，20名工人生产B种零件 【分析】本题考查是一元一次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确找出合适的等量关系，列出方程，继而求解． 设应分配人生产A种零件，则分配人生产B种零件，然后列方程计算即可． 【详解】解：设应分配人生产A种零件，则分配人生产B种零件， 根据题意得：， 解得：， ， 答：安排48名工人生产A种零件，20名工人生产B种零件． 3．某车间有24名工人，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，两个螺栓配三个螺母．为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 【答案】应该分配12名工人生产螺栓，12名工人生产螺母 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，根据题目中的等量关系式列方程解答． 【详解】解：设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母， 由题意，得：， 解得：． ∴． 答：应该分配12名工人生产螺栓，12名工人生产螺母． 4．为了创建全国卫生城市，昭阳区某学校组织全校师生到广场开展创文创卫主题活动．该学校共有师生456人．学校租用甲、乙两种型号的大客车共12辆，刚好每辆客车都坐满．甲、乙两种大客车的载客量和租金如下表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 30 42 租金/（元/辆） 300 400 (1)这次活动租用甲、乙两种大客车各多少辆？ (2)若活动结束后，该校师生同样乘坐这些客车返回学校，这次活动的租车费用一共是多少元？ 【答案】(1)租用4辆甲型大客车和8辆乙型大客车 (2)这次活动的租车费用为8800元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）设租用甲型大客车x辆，则租用乙型大客车辆，根据题意可列出关于x的一元一次方程，求解即可解答； （2）根据题意结合（1）列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设租用甲型大客车x辆，则租用乙型大客车辆， 根据题意得：， 解得：， （辆）． 答：租用4辆甲型大客车和8辆乙型大客车； （2）解：（元）． 答：这次活动的租车费用一共是8800元． 5．某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成．为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务．假设每名工人的工作效率相同． (1)前3天应先安排多少多工人生产？ (2)增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？ 【答案】(1)前3天应先安排名工人生产 (2)应安排13名工人生产A型配件，则安排8名工人生产B型配件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设前3天应先安排名工人生产，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设安排名工人生产A型配件，则安排名工人生产B型配件，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设前3天应先安排名工人生产， 根据题意得， 解得， 答：前3天应先安排名工人生产； （2）解：由题意，总共有名工人生产， 设安排名工人生产A型配件，则安排名工人生产B型配件， 根据题意得， 解得， ， 答：应安排13名工人生产A型配件，则安排8名工人生产B型配件． 6．甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 【答案】100套 【分析】根据题干，一个月按30天计算，由此可以分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，由题干分析可得可知：乙厂生产椅子的效益高，那么我们尽量的让乙厂多生产椅子，由甲厂来生产桌子，为了使生产的桌椅正好配套，所以乙生产足够数量的椅子后就转生产桌子，这里可以设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套，由此即可列出方程解决问题．根据题干分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，找出它们各自擅长的工作，进行合理安排，即可解决问题，本题考查了一元一次方程的配套问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：甲厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 乙厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套． 根据题意可得方程： ， ， ， ； （套）， （套）， 答：现在两厂每月比过去可多生产课桌椅100套． 7．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 【答案】(1)应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母 (2)安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母，1名工人用小时生产1090个螺柱，用小时生产183个螺母，最多生产螺柱和螺母13090套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母．然后根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设安排y小时生产螺柱，根据每人每时生产的螺柱和螺母列出关于y的一元一次方程，并求得生产螺柱所用的时间和产量，结合实际可知最多可生产13090个螺柱，则10名工人生产螺柱，13名工人生产螺母，另外一名工人按1090个螺柱生产，剩余时间生产螺母即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母． 解得 答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母． （2）设安排y小时生产螺柱． 解得． ． 根据实际意义取13090． 根据实际意义螺柱取， 则首先安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母， 另外1名工人用个小时生产1090个螺柱，剩余个小时生产个螺母．但最多生产螺柱和螺母13090套． 8．某工厂现需为C919客机模型制作一款定制礼盒，工作人员准备按照以下两种裁剪方式制作，已知一个长方形和2个圆形可以组装成一个礼盒，现有210张纸板，其中张纸板用图①的方式裁剪，剩余纸板用图②的方式裁剪． (1)若组装完后，裁出的圆形和长方形正好用完，则一共做了多少个礼盒？ (2)如果按照上面的方式，一共要做550个礼盒，则至少还需要增加多少张纸板？ 【答案】(1)450个 (2)47张 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系建立方程是解本题的关键． （1）由长方形的数量是礼盒的数量，再建立方程，再解方程即可； （2）先计算得到还需要裁出200个圆形和100个长方形，再结合图①与图②的裁剪方式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 即， 解得． 共有90张纸板用图①方式裁剪，共裁出900个圆形． 每个礼盒需要2个圆形， 共做了450个礼盒． （2）一共要做550个礼盒，由（1）知还需要制作（个）礼盒， 则还需要裁出200个圆形和100个长方形， 用题图①的方式裁剪所需要的纸板数量为（张）． 使用的纸板数量要最少， 剩余长方形均用题图②的方式裁剪，需要的纸板数量为（张）． 至少还需纸板（张）． 答：至少还需要增加47张纸板． 9．劳动课上杨老师带领七（1）班50名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少6人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)男生有______人，女生有______人． (2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ ②若想每小时制作90个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问题，并直接写出结果． 【答案】(1)22，28 (2)①应分配30名学生制作鼓身，20名学生剪鼓面．②应再加入名学生 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握配套问题的等量关系是解题的关键． （1）设男生有x人，则女生有人，根据男生人数比女生人数少6人列方程求解即可； （2）①设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面，根据每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面，且每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套列方程求解即可； ②根据①可知50名学生1小时可制作小鼓个，则若要每小时制作90个小鼓，需增加一半的人数． 【详解】（1）解：设男生有x人，则女生有人， 由题意得：， 解得：， 所以， 即男生有22人，女生有28人， 故答案为：22，28； （2）①设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面， 由题意，得， 解得， 则， 答：应分配30名学生制作鼓身，20名学生剪鼓面； ②由①知分配30名学生制作鼓身，20名学生剪鼓面，则1小时可制作小鼓个，还需制作个小鼓， 所以应再加入人． 10．工厂某车间制作一批机器部件，一个机器部件由2个A零件和4个B零件组成．若制作一个A零件需千克铝料，一个B零件要用千克铝料．现共有铝料4500千克． (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程如下： 甲：，乙： 根据两位同学所列的方程，请你分别指出下列代数式表示的意义． 甲：x表示______，表示______； 乙：x表示______，表示______． (2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求出能制作出最多的机器部件的数量．写出完整的解答过程． 【答案】(1)甲：A零件的用铝材料的重量， B零件的个数；乙：A零件的个数， B零件用铝材料的重量； (2)个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）根据甲乙所列方程即可求解； （2）根据题意当制作A零件和B零件能配套，并且使得铝料4500千克剩余最少时，能制作出最多的机器部件，选择乙所列方程即可求解； 理解未知数的实际意义，根据题意选择恰当的方程求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由所列的方程得 甲：x表示A零件的用铝材料的重量，表示B零件的个数； 乙：x表示A零件的个数，表示B零件用铝材料的重量； 故答案：甲：A零件的用铝材料的重量， B零件的个数；乙：A零件的个数， 表示B零件用铝材料的重量； （2）解：若选择乙的思路，由题意得 当制作A零件和B零件能配套，并且使得铝料4500千克剩余最少时，能制作出最多的机器部件； 设制作A零件的个数为个，则有 ， 解得：， 此时制作机器部件最多个数为（个），此时材料刚好用完， 故能制作出最多的机器部件的数量个． 若选择甲的思路，由题意得 当制作A零件和B零件能配套，并且使得铝料4500千克剩余最少时，能制作出最多的机器部件； 设A零件的用铝材料的重量为克，则有 ， 解得：， 此时制作机器部件最多个数为（个），此时材料刚好用完， 故能制作出最多的机器部件的数量个． 11．某家具厂专业生产学生座椅，其中每把学生座椅由4条椅腿、4根撑杆、2个扶手、1个椅面和1个靠背组成．根据实际生产能力，每个工人每天能够生产椅腿20条，或撑杆40根，或扶手30个，或椅面30个，或靠背30个． (1)若安排35名工人专门生产椅腿和椅面，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套？ (2)若安排全厂91名工人生产这种学生座椅，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套？ 【答案】(1)30 (2)42 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）根据题意，找到正确的数量关系列出方程求解即可． （2）设安排x人生产椅腿，撑杆人数为y，扶手的人数为m，椅面的人数为n，靠背的人数为z才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套，根据题意列出各岗位工人与生产椅腿工人的数量关系，根据全厂91名工人列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套． 解得， 答：安排30人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套． （2）解：设安排x人生产椅腿，撑杆人数为y，扶手的人数为m，椅面的人数为n，靠背的人数为z才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套． ∴，，， 解得，，，． ∴， ， 答：应该安排42人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套 三、工程问题 【知识梳理】 1.工程问题中基本量之间的关系：① 工作量 = 工作效率×工作时间； ② 合作的工作效率 = 工作效率之和； ③ 工作总量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效率×工作时间； ④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看做1. 2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和. ①按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和； ②按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和. 1．一项工作甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，丙单独做24天完成．现在甲、乙合做3天，甲因有事离去，剩下的工程由乙、丙合作做完成，求乙共做了多少天？ 【答案】乙共做了6天 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，找出合适的等量关系是解题的关键． 设乙共做了x天，根据题意，找出等量关系式，根据等量关系式，列出方程，解答即可． 【详解】解：设乙共做了x天， ， 解得， 答：乙共做了6天． 2．哈市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要天完成；若乙队单独做需要天完成． (1)若甲乙两队同时施工天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为万元，问甲队和乙队各得报酬多少钱？ 【答案】(1)天 (2)甲队的报酬为万元，乙队的报酬为万元 【分析】（1）根据题意分别算出甲队、乙队的工作效率，由此可求出甲乙合作的工作量，余下的工作量，根据工程问题的数量关系即可求解； （2）根据题意分别算出甲乙两队工作量的比，由此即可求解． 【详解】（1）解：甲队单独做需要天完成，乙队单独做需要天完成， ∴甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， ∴甲乙两队同时施工天后余下的乙队做了天， ∴，解得，（天）， ∴余下的工程由乙队完成，乙队还需要天能够完成任务． （2）解：甲队的工作效率为，施工时间为天， ∴甲队的工作量为， 同理，乙队的工作效率为，施工时间为（天）， ∴乙队的工作量为， ∴甲队的报酬为（万元），乙队的报酬为（万元）， ∴甲队的报酬为万元，乙队的报酬为万元． 【点睛】本题主要考查工程问题，掌握工程问题的数量关系是解题的关键． 3．工程队原计划用24个工人挖一定数量的土方．按计划工作5天后，因事调走6人，并将每天每人的工作量增加为比原定工作量多挖一立方米，正好按原计划如期完成任务．那么，原计划每人每天挖土多少立方米？ 【答案】原计划每人每天挖土3立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 分析题意，可知要想按原计划如期完成任务则需因事调走6人后每天的挖土总量不变，利用每天的挖土总量每人每天的挖土量人数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设原计划每人每天挖土立方米， 根据题意得：， 解得：． 答：原计划每人每天挖土3立方米． 4．一项工程，由甲队承租，需工期80天，工程费用100万元，由乙队承担，需工期100天，工程费用80万元．为了节省工期和工程费用，实际施工时，甲乙两队合做若干天后撤出一个队，由另一个队继续做到工程完成．结算时，共支出工程费用86.5万元，那么甲乙两队合做了多少天？ 【答案】甲、乙两队合作了26天 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解决此题的关键． 甲队工作天完成的工作量甲队完成整个工程需要的费用乙队整个工期完成的工作量乙队完成整个工程需要的费用． 【详解】解：设甲队工作天，则甲队完成的工作量为，乙队完成的工作量为， 由题意得，， 解这个方程可得：． 乙队工作的天数：（天）， ∵， ∴撤出的一个队是甲队， 则甲队工作的天数就是甲、乙两队合作的天数， 答：甲、乙两队合作了26天． 5．已知某水池有进水管与出水管一根，进水管工作15小时可以将空水池放满，出水管工作24小时可以将满池的水放完；对于空的水池，如果进水管先打开2小时，再同时打开两管，问注满水池还需要多少时间？ 【答案】小时 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题．把水池的蓄水量看作单位“1”，计算出每小时的进水量、出水量，设注满水还需要x小时，根据“进水管先打开2小时，再同时打开两管至注满水”即可列出方程，求解即可解答． 【详解】解：进水管每小时的进水量为，出水管每小时的出水量为， 设注满水还需要x小时，根据题意，得 ， 解得， 答：注满水池还需要小时． 6．整理一批图书，由一个人做要完成．现计划有一部分人先做，再增加2人和他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作? 【答案】具体应先安排2人工作． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设具体应先安排人工作， ， 解得，， 答：具体应先安排2人工作． 7．星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 【答案】小峰打扫了． 【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为， 由题意，得：， 解得：， 答：小峰打扫了． 8．年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）根据题意列出算式计算即可求解； （）设甲乙还需合作天才能修完这条水渠，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：乙工程队单独完成需要天； （2）解：设甲乙还需合作天才能修完这条水渠， 由题意得，， 解得， 答：甲乙还需合作天才能修完这条水渠． 9．一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费万元；若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费万元． (1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？ (2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？ (3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用 （1）设甲工程队一周完成的工作量为，则乙工程队一周完成的工作量为，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设甲工程队工作一周需要施工费万元，则乙工程队工作一周需要施工费万元，即万元，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费12.4万元．列出一元一次方程，解方程即可； （3）分别求出只请一个工程队单独做的施工费，再比较即可． 【详解】（1）解：设甲工程队一周完成的工作量为，则乙工程队一周完成的工作量为， 由题意得：， 解得：， ， 即甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成， 答：甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成； （2）设甲工程队工作一周需要施工费万元，则乙工程队工作一周需要施工费万元，即万元， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲工程队工作一周需要施工费1.3万元，乙工程队工作一周需要施工费0.8万元； （3）应该选择乙工程队，理由如下： 只请甲工程队单独做，施工费为（万元）， 只请乙工程队单独做，施工费为（万元）， ， 应该选择乙工程队． 10．劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．云南某中学整理学生的劳技作品，由一名老师整理要完成．现计划由一部分老师先做，然后再增加3名老师与他们一起做，可完成这项整理工作．假设每位老师的工作效率相同，应先安排多少名老师整理？ 【答案】应先安排5人工作 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．根据题意，设应先安排x人工作，则x人先做完成这项工作的， 增加3人与他们一起做，完成这项工作的，由相等关系：x人先做完成的工作增加3人与他们一起做，完成的工作，可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设应先安排x老师整理， ， 解得，， 答：应先安排5人工作． 11．学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多． (1)若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？ (2)在（1）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？ 【答案】(1)这批校服共有4800件 (2)乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）首先求得乙工厂每天加工这种校服的件数，设这批校服共有件，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）首先设甲工厂全部工作时间是天，则乙工厂的全部工作时间是天， 根据题意，列方程并求解，即可确定甲工厂全部工作时间；再设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件，列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意得，乙工厂每天加工这种校服（件）， 设这批校服共有件， 根据题意，可得， 解得（件）． 答：这批校服共有4800件； （2）设甲工厂全部工作时间是天，则乙工厂的全部工作时间是天， 根据题意，可得， 解得（天）， ∴甲工厂全部工作时间是12天； 设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件， 根据题意，可得， 解得（件）． 答：乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件． 12．整理一批图书，若由一个人独做需要80个小时完成，假设每人的工作效率相同． (1)若限定32小时完成，一个人先做8小时，再需增加多少人帮忙才能在规定的时间内完成？ (2)计划由一部分人先做4小时，然后增加3人与他们一起做4小时，正好完成这项工作的，应该安排多少人先工作？ 【答案】(1)再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成 (2)应该安排6人先工作 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设再需增加x人帮忙才能在规定的时间内完成，根据各部分的工作量之和等于1，再建立方程求解即可； （2）设应该安排x人先工作，根据各部分的工作量之和等于，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：设再需增加x人帮忙才能在规定的时间内完成，可得： ， 解得： 答：再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成； （2）解：设应该安排x人先工作，可得： ， 解得：， 答：应该安排6人先工作． 13．某学校举行物理知识竞赛，学校打印室有A、B两台一体机可以印刷试卷．如果单独用A机器需要45分钟印刷完，如果单独用B机器需要30分钟印刷完，为了保密起见不能过早印刷试卷，为保障学生按时开始竞赛，学校决定在考试前用两台机器同时印刷． (1)两台机器同时印刷，共需多少分钟才能印完？ (2)若两台机器同时印刷，10分钟后，B机器出了故障，暂时不能印刷，此时离发卷还有13分钟（老师领试卷的时间忽略不计）．如果由A机器单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷考试？ (3)在（2）的问题中，B机器经过紧急抢修，2分钟后修好恢复正常使用，则学校能否按时发卷考试？ 【答案】(1)18分钟 (2)会影响按时发卷考试 (3)学校能按时发卷考试 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）两台机器同时印刷，共需x分钟才能印完，根据题意列方程求解即可； （2）设B机器出了故障后，A机器需要m分钟单独完成剩下的印刷任务，根据题意列方程求得m值，再与13比较即可得出结论； （3）设B机器修好后，两台机器又用y分钟印刷完剩余，根据题意列方程求得y值，再与13比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设两台机器同时印刷，共需x分钟才能印完， 根据题意，得， 解得， 答：两台机器同时印刷，共需18分钟才能印完； （2）解：设B机器出了故障后，A机器需要m分钟单独完成剩下的印刷任务， 根据题意，， 解得， ∵， ∴由A机器单独完成剩下的印刷任务，会影响按时发卷考试； （3）解：设B机器修好后，两台机器又用y分钟印刷完剩余试卷， 根据题意，得， 解得， ∵， ∴学校能按时发卷考试． 14．某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了， 而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是 甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ (3)经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三： 按(2)问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并 由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种即省时又省钱的加工方案． 【答案】(1)960件 (2)28天 (3)方案三既省时又省钱 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程．对于要求最符合要求类型的题目，应将所有方案，列出来求出符合题意的那一个即可． （1）设这批校服共有件，则可知甲厂需天，乙厂需要天，单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天，根据题意找出等量关系，根据此等量关系列出方程求解即可． （2）可设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，根据题意找出等量关系，根据此等量关系列出方程求解即可． （3）应分为三种情况讨论：①由甲厂单独加工；②由乙厂单独加工；③按（2）问方式加工，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出即省钱，又省时间的加工方案． 【详解】（1）解：设这批校服共有件，由题意得： ， 解得：． 答：这批校服共有960件； （2）解：设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，依题意有 ， 解得， ． 故乙工厂共加工28天； （3）解：①由甲厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ②由乙厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ③由两家工厂共同加工：需要耗时为28天，需要费用为：元． 所以，按方案三方式完成既省钱又省时间． 15．甲乙两人想共同承包一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，合同规定天完成，若完不成视为违约，甲乙两人经过商量后签订了该合同． (1)正常情况下，甲乙两人合作能否履行该合同？为什么？ (2)现在两人合作了9天，因别处有急事，必需调走1人，问两人调走谁可以不违约？说明理由． 【答案】(1)能履行该合同，见解析 (2)调走甲，不违约，见解析 【分析】（1）设甲、乙两人合作需要天完成，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． （2）先求合作9天完成的工作量，然后再计算剩下的工作量甲乙各自还需要的时间，将前后两个时间和加起来与比较，可以求出结论． 【详解】（1）解：能履行该合同，理由如下： 设甲、乙两人合作需要天完成，根据题意， 解得， 因为，所以甲、乙两人能履行该合同； （2）解：调走甲，不违约，理由如下： 设两人合作了9天后，甲继续完成此项工程还需a天，则： 解得：， 此时，，违约； 设两人合作了9天后，乙继续完成此项工程还需b天，则： 解得：， 此时，，不违约． 综上所述：若调走甲，不违约；若调走乙，违约． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法的运用，在解答时根据工程问题的数量关系建立方程是关键．分类讨论是解答本题的重点． 16．某物业计划修整小区绿化带，现有甲乙两个工程队均有意愿承接此项工程．已知甲队计划每天修整32平方米，乙队计划每天修整48平方米，若单独完成这项工作，甲队比乙队要多用10天，修整期间，甲乙两队的人工费用分别为800元/天和1200元/天． (1)求这项工程共需修整绿化带多少平方米？ (2)此项工程先由甲，乙两队按原计划修整速度合作一段时间后，甲队因事停工，乙队立刻将自己每天的修整速度提高25%.且工资随之上涨了200元/天，独立完成剩下工作，已知乙队的全部工作时间是甲队工作时间的2倍还多2天，求乙队共修整多少天？ 【答案】(1)这项工程共修整绿化带960平方米 (2)乙队共修整草坪14天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键： （1）设乙单独干需x天，则甲单独干天，根据题意列出方程，求解即可得出答案； （2）设甲干了y天，则乙干了天，根据题意列方程得：，求出y的值，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设乙单独干需x天，则甲单独干天． 根据题意列方程得：， 解得， （天），（平方米） 答：这项工程共修整绿化带960平方米． （2）设甲干了y天，则乙干了天， 根据题意列方程得：． 解得， （天） 答：乙队共修整草坪14天． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第5章 5.3 实际问题与一元一次方程 专训1（原卷版） （包含行程问题、配套问题、工程问题3大题型，难度由浅入深，每级难度的题量为3-6题，课根据自己需求选择。行程问题10题，配套问题11题，工程问题16题） 一、行程问题 【知识梳理】 1.三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 2.基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： 时间相同时：相遇路程=速度和×相遇时间 时间不同时：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离 ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： A:同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； B:同时不同地出发： 前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程 ③航行问题： Ⅰ．基本公式：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 3.解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 【题型巩固】 1．已知、两地相距10千米，甲骑自行车从地出发，每小时骑行20千米，乙骑自行车从地出发，每小时骑行15千米．(1)两人同时出发，同向而行（沿方向），则经过几小时甲追上乙？(2)两人同时出发，相向而行，如果设小时后两人相距2千米，那么可以列出的方程是什么？（直接写出方程即可，不要求化简、求解） 2．已知甲码头在江的上游，乙码头在江的下游．一艘船在静水中每小时航行千米，在水流速度为每小时千米的江中，往返甲、乙两码头共用了小时，求甲、乙两码头之间的距离． 3．超市位于小明家正西米处，学校位于家的正东方向，一天，小明的妈妈从家去超市购物，同时小明从家去学校上学，妈妈刚到超市门口发现小明的作业本误装在了购物袋里，立即按原路返回并追赶小明，结果二人同时到达学校．已知妈妈每分钟走米，小明每分钟走米．则小明的家距离学校有多远？ 4．周末，小明和爸爸在的环形绿道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如图所示的对话．(1)请根据他们的对话内容，求出小明的骑行速度； (2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距？ 5．小明从家到学校上课，开始时每分钟走50米，走了2分钟，根据以往经验，按照这个速度走下去，将要迟到2分钟，于是他立即加快速度，每分钟多走10米，结果小明早到了5分钟，小明家到学校的路程有多远？ 6．某特训营纵队以千米/时的速度行进，队尾的通信员以千米/时的速度赶到队首送一封信，送到后又立即返回队尾，共用小时．求这支队伍的长度． 7．年国产大型客机首航成功，这标志着正式投入商业运营，也标志着我国从此有了属于自己的国产大型客机．某机场一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同样的航线要用小时．已知在风速为千米时的条件下，求无风时这架飞机在这一航线的平均速度． 8．截至年底，全国铁路营业里程突破万公里，其中高铁超过万公里．一列高铁列车和一列动车都从A市驶向B市，高铁列车用了，动车用了，已知高铁列车的速度是动车的2倍少，求高铁列车的速度和A、B两市之间的路程． 9．从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米． 10．老师带着两个学生到离校33千米的博物馆参观．老师骑摩托车速度为25千米/小时，这辆摩托车后座可以带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时．如果学生步行，速度为5千米/小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后用3小时同时到达博物馆． 二、配套问题 解决配套问题的思路： (1)利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据； (2)利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据. 1．某礼品制造厂接了一批玩具熊的订单，按计划天数生产，若每天生产20个玩具熊，则最终比订单少生产100个；若每天生产23个玩具熊，则最终比订单多生产20个．原计划几天完成订单？ 2．某车间共有工人68人，若每人每天可以加工A种零件15个或B种零件12个，应怎样安排加工两种零件的人数，才能使每天加工的零件按3个A零件和1个B零件配套． 3．某车间有24名工人，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，两个螺栓配三个螺母．为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 4．为了创建全国卫生城市，昭阳区某学校组织全校师生到广场开展创文创卫主题活动．该学校共有师生456人．学校租用甲、乙两种型号的大客车共12辆，刚好每辆客车都坐满．甲、乙两种大客车的载客量和租金如下表所示： (1)这次活动租用甲、乙两种大客车各多少辆(2)若活动结束后，该校师生同样乘坐这些客车返回学校，这次活动的租车费用一共是多少元？ 5．某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成．为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务．假设每名工人的工作效率相同．(1)前3天应先安排多少多工人生产？(2)增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？ 6．甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 7．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 8．某工厂现需为C919客机模型制作一款定制礼盒，工作人员准备按照以下两种裁剪方式制作，已知一个长方形和2个圆形可以组装成一个礼盒，现有210张纸板，其中张纸板用图①的方式裁剪，剩余纸板用图②的方式裁剪． (1)若组装完后，裁出的圆形和长方形正好用完，则一共做了多少个礼盒？ (2)如果按照上面的方式，一共要做550个礼盒，则至少还需要增加多少张纸板？ 9．劳动课上杨老师带领七（1）班50名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少6人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面．(1)男生有______人，女生有______人． (2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？②若想每小时制作90个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问题，并直接写出结果． 10．工厂某车间制作一批机器部件，一个机器部件由2个A零件和4个B零件组成．若制作一个A零件需千克铝料，一个B零件要用千克铝料．现共有铝料4500千克． (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程如下： 甲：，乙： 根据两位同学所列的方程，请你分别指出下列代数式表示的意义． 甲：x表示______，表示______； 乙：x表示______，表示______． (2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求出能制作出最多的机器部件的数量．写出完整的解答过程． 11．某家具厂专业生产学生座椅，其中每把学生座椅由4条椅腿、4根撑杆、2个扶手、1个椅面和1个靠背组成．根据实际生产能力，每个工人每天能够生产椅腿20条，或撑杆40根，或扶手30个，或椅面30个，或靠背30个． (1)若安排35名工人专门生产椅腿和椅面，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套？(2)若安排全厂91名工人生产这种学生座椅，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套？ 三、工程问题 【知识梳理】 1.工程问题中基本量之间的关系：① 工作量 = 工作效率×工作时间； ② 合作的工作效率 = 工作效率之和； ③ 工作总量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效率×工作时间； ④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看做1. 2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和. ①按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和； ②按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和. 【题型巩固】 1．一项工作甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，丙单独做24天完成．现在甲、乙合做3天，甲因有事离去，剩下的工程由乙、丙合作做完成，求乙共做了多少天？ 2．哈市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要天完成；若乙队单独做需要天完成．(1)若甲乙两队同时施工天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为万元，问甲队和乙队各得报酬多少钱？ 3．工程队原计划用24个工人挖一定数量的土方．按计划工作5天后，因事调走6人，并将每天每人的工作量增加为比原定工作量多挖一立方米，正好按原计划如期完成任务．那么，原计划每人每天挖土多少立方米？ 4．一项工程，由甲队承租，需工期80天，工程费用100万元，由乙队承担，需工期100天，工程费用80万元．为了节省工期和工程费用，实际施工时，甲乙两队合做若干天后撤出一个队，由另一个队继续做到工程完成．结算时，共支出工程费用86.5万元，那么甲乙两队合做了多少天？ 5．已知某水池有进水管与出水管一根，进水管工作15小时可以将空水池放满，出水管工作24小时可以将满池的水放完；对于空的水池，如果进水管先打开2小时，再同时打开两管，问注满水池还需要多少时间？ 6．整理一批图书，由一个人做要完成．现计划有一部分人先做，再增加2人和他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作? 7．星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 8．年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天．(1)乙工程队单独完成需要多少天？(2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 9．一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费万元；若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费万元．(1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？(2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？(3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？ 10．劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．云南某中学整理学生的劳技作品，由一名老师整理要完成．现计划由一部分老师先做，然后再增加3名老师与他们一起做，可完成这项整理工作．假设每位老师的工作效率相同，应先安排多少名老师整理？ 11．学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多．(1)若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？(2)在（1）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？ 12．整理一批图书，若由一个人独做需要80个小时完成，假设每人的工作效率相同．(1)若限定32小时完成，一个人先做8小时，再需增加多少人帮忙才能在规定的时间内完成？(2)计划由一部分人先做4小时，然后增加3人与他们一起做4小时，正好完成这项工作的，应该安排多少人先工作？ 13．某学校举行物理知识竞赛，学校打印室有A、B两台一体机可以印刷试卷．如果单独用A机器需要45分钟印刷完，如果单独用B机器需要30分钟印刷完，为了保密起见不能过早印刷试卷，为保障学生按时开始竞赛，学校决定在考试前用两台机器同时印刷．(1)两台机器同时印刷，共需多少分钟才能印完？(2)若两台机器同时印刷，10分钟后，B机器出了故障，暂时不能印刷，此时离发卷还有13分钟（老师领试卷的时间忽略不计）．如果由A机器单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷考试？(3)在（2）的问题中，B机器经过紧急抢修，2分钟后修好恢复正常使用，则学校能否按时发卷考试？ 14．某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、乙厂每天费用120元．(1)求这批校服共有多少件？(2)为了尽快完成这批校服，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了， 而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是 甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ (3)经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三： 按(2)问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并 由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种即省时又省钱的加工方案． 15．甲乙两人想共同承包一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，合同规定天完成，若完不成视为违约，甲乙两人经过商量后签订了该合同．(1)正常情况下，甲乙两人合作能否履行该合同？为什么？ (2)现在两人合作了9天，因别处有急事，必需调走1人，问两人调走谁可以不违约？说明理由． 16．某物业计划修整小区绿化带，现有甲乙两个工程队均有意愿承接此项工程．已知甲队计划每天修整32平方米，乙队计划每天修整48平方米，若单独完成这项工作，甲队比乙队要多用10天，修整期间，甲乙两队的人工费用分别为800元/天和1200元/天．(1)求这项工程共需修整绿化带多少平方米？(2)此项工程先由甲，乙两队按原计划修整速度合作一段时间后，甲队因事停工，乙队立刻将自己每天的修整速度提高25%.且工资随之上涨了200元/天，独立完成剩下工作，已知乙队的全部工作时间是甲队工作时间的2倍还多2天，求乙队共修整多少天？ 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$