4.2.2.平行线的判定 教学设计 2024—-2025学年华东师大版数学七年级上册

分课时教学设计 《4.2.2平行线的判定》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本节首先通过平行线的画法等实例让学生在画图、观察、实验、归纳的基础上发现并认可“同位角相等，两直线平行”的判定方法.在此基础上再通过探索并证明得到“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补， 两直线平行”的判定方法。本节内容是图形与几何领域的基础知识，是《相交线与平行线》的重点之一， 学习它会为后面的学习平行线性质、三角形、四边形等知识打下坚实的“基石”。同时，本节学习将为加深“角与平行线”的认识，建立空间观念，发展思维，并能让学生在活动的过程中交流分享探索的成果，体验成功的乐趣，提高运用数学的能力。 学习者分析 学生已经学习了平行线的定义、画法、平行公理等知识，具备了探究平行线的判定方法的条件和基础。但在逻辑思维、几何语言以及合作交流的意识等方面发展不够均衡，同时通过“说理”“简单推理” 等言之有据地解答问题的习惯和能力还很薄弱。因此本课的设计充分利用学生已有的认知基础，使其成为上节课的延续，从而较好地完成本课时的学习。七年级学生爱问好动，求知欲强，想象力丰富，具备了一定主动参与能力、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括能力。他们对小组合作学习式教学很感兴趣，有较强的参与欲望，希望在课堂上能得到充分地展示和表现。但由于刚进入几何证明的学习，学生数学活动的经验较少，探索效率较低，合作交流能力有待加强。 教学目标 1.通过画图得到判定直线平行的基本事实,并能由这个基本事实推导出平行线的另外两个判定. 2.能利用尺规作图过已知直线外一点作该直线的平行线. 3.会根据平行线的判定进行简单的推理,体会用“∵" “∴"符号的方便. 教学重点 探索并掌握直线平行的判定方法. 教学难点 直线平行的判定方法的应用. 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 图1, 2中的直线平行吗？你是怎么判断的？ 同一平面内，不相交的两直线叫做平行线. 判定两条直线平行的方法有两种： ①定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线. ②平行公理的推论(平行线的传递性)： 如果两条直线平行于同一条直线，那么两条直线平行. 除应用以上两种方法以外，是否还有其他方法呢？ 学生活动1： 学生回忆平行线的定义及判断方法，并积极回答. 活动意图说明： 通过复习，帮助学生进行回忆，为本节课知识的探究打下基础。 环节二：平行线的判定 教师活动2： 平行线的画法： (1) 放 (2) 靠 (3) 推 (4) 画 如图所示的画图过程中, 三角板沿着直尺的方向由原来的位置移动到另一个位置, 三角板紧靠直尺的一边和紧靠直线 a 的一边所成的角在移动前的位置与移动后的位置构成了一对同位角, 其大小始终没变, 因此, 只要保持同位角相等, 就可以保证画出的直线与已知直线的方向一致, 即平行于已知直线. 平行线的判定定理1： 两条直线被第三条直线所截, 如果同位角相等, 那么这两条直线平行. 简写成: 同位角相等, 两直线平行. 符号语言：∵∠1=∠2(已知) ∴a∥b（同位角相等，两直线平行） 例如, 如图, 直线 a、 b 被直线 l 所截, 如果∠1 = ∠2, 那么 a ∥ b. 如图, 如果内错角相等, 即 ∠2 = ∠3, 由于 ∠1 = ∠3, 因此就有∠1 = ∠2, 于是根据“同位角相等, 两直线平行”, 可得 a ∥ b. 平行线的判定定理2： 两条直线被第三条直线所截, 如果内错角相等, 那么这两条直线平行. 简写成: 内错角相等, 两直线平行. 符号语言：∵∠3=∠2(已知) ∴a∥b（内错角相等，两直线平行） 如果∠2＋∠4＝180°，能得出 a∥b 吗？ 证明：∵ ∠4+∠2=180°，∠4+∠1=180°（已知） ∴∠2=∠1 （同角的补角相等） ∴a∥b. （同位角相等，两条直线平行） 平行线的判定定理3： 两条直线被第三条直线所截, 如果同旁内角互补, 那么这两条直线平行. 简写成: 同旁内角互补, 两直线平行. 符号语言：∵∠2+∠4=180°(已知) ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行） 平行线的判定方法: 1.同位角相等, 两直线平行; 2.内错角相等, 两直线平行; 3.同旁内角互补, 两直线平行. 学生活动2： 学生回忆平行线的画法。 学生通过平行线的画法，探究得出平行线的判定定理1。 学生通过平行线的判定定理1得出平行线的判定定理2及平行线的判定定理3. 学生掌握点和线段的表示。 学生总结平行线的判定定理。 活动意图说明： 通过复习平行线的画法，探究得出平行线的判定定理1，之后由平行线的判定定理1得出平行线的判定定理2和3，让学生经历发现、探究结论的全过程，在操作、思考中学生的体验会更加深刻，过程中也渗透了由特殊到一般的思维过程和研究问题的方法，进一步发展空间观念，培养学生探究、运用、归纳和初步的演绎推理能力和有条理的表达能力; 让学生学会用多种语言来描述定理，培养几何直观。 环节三：利用尺规作平行线 教师活动3： 思考： 我们已经知道利用尺规作图可以作一条线段等于已知线段, 以及作一个角等于已知角的方法. 那么, 如何过已知直线外一点作该直线的平行线呢? 由平行线的判定方法, 想到在直线 AB 和直线外一点 P 处, 设法如图那样构造一对相等的同位角∠1 和∠2, 那样就可以作出所需要的平行线了. 由此, 你能发现利用尺规作图过已知直线外一点作该直线的平行线的方法吗? 试一试： 如图, 已知直线AB, 以及直线 AB 外一点 P,试利用尺规作图按下列作法准确地过点 P 作直线 AB 的平行线: (1) 在直线 AB 上取一点 Q,经过点 P 和点 Q, 作直线 MN; (2) 作 ∠MPD = ∠PQB, 并使得∠MPD与∠PQB 是一对同位角; (3) 反向延长射线 PD, 得到直线 CD .直线 CD 就是过点 P 所要求作的直线 AB的平行线. 借助 “内错角相等”, 是否也可以作出所需要的平行线呢? 可以. 学生活动3： 学生小组合作，尝试过已知直线外一点作该直线的平行线。 活动意图说明： 学生用尺规作图的方法,过直线外一点作该直线的平行线，进一步体会平行线的判定定理，培养学生的动手操作能力。 环节四：运用平行线的判定定理解决问题 教师活动4： 例 1 如图, 直线 a、 b 被直线 l 所截, 已知 ∠1 = 115°, ∠2 = 115°, 直线 a、 b 平行吗? 为什么? 分析：由已知条件可得 ∠1 = ∠2. 根据“内错角 相等, 两直线平行”, 可知 a ∥ b. 我们用符号 “∵ ” “∴ ” 分别表示 “因为” “所以”, 于是分析中的推理过程就可以写成如下形式. 解： ∵ ∠1 = 115°(已知), ∠2 = 115°(已知), ∴ ∠1 = ∠2(等量代换) . ∴ a ∥ b(内错角相等, 两直线平行) . 括号内所写的,就是括号前这一结论成立的理由.等量代换以及等式的性质是我们常用的推理依据. 读一读： “推理” 是数学的一种基本思想, 包括归纳推理和演绎推理. 归纳推理是一种从特殊到一般的推理, 我们通过一些探索、 操作, 得到某些猜想的过程就是在做这样的推理. 数与代数中由一些具体的结果, 归纳得到一般的结论, 也是这样的推理. 演绎推理是一种从一般到特殊的推理,它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论, 通过推断, 说明最后结论的正确. 例 1 采用的就是演绎推理. 例 2 如图, 在四边形 ABCD 中, 已知 ∠B = 60°,∠C = 120°, AB 与 CD 平行吗? AD 与 BC 平行吗? 解： ∵ ∠B = 60°(已知), ∠C = 120°(已知), ∴ ∠B + ∠C = 180°(等式的性质) . ∴ AB ∥ CD(同旁内角互补, 两直线平行) . 本题中, 根据已知条件, 无法判定 AD 与 BC 是否平行. 例3 如图 在同一平面内, 直线 CD、 EF 均与直线 AB 垂直, 点 D、F 为垂足. 试判断 CD 与 EF 是否平行. 解 ∵ CD ⊥ AB(已知), EF ⊥ AB(已知), ∴ ∠ADC = ∠AFE = 90°. ∴ CD ∥ EF(同位角相等, 两直线平行) . 此例告诉我们: 同一平面内, 垂直于同一条直线的两条直线平行. 学生活动4： 学生与教师一起完成例题，体会用符号 “∵ ” “∴ ” 分别表示 “因为” “所以”的便利。 学生阅读，掌握数学的基本思想：归纳推理和演绎推理。 学生小组合作完成例题. 学生根据例题总结出同一平面内, 垂直于同一条直线的两条直线平行。 活动意图说明： 通过例题检验学生对平行线判定定理的掌握程度，会运用定理解决实际问题，同时体会用符号 “∵ ” “∴ ” 分别表示 “因为” “所以”的便利，掌握同一平面内, 垂直于同一条直线的两条直线平行，经历推导过程,初步形成严密的逻辑思维习惯。 板书设计 课题：4.2.2平行线的判定 1.平行线的判定： 2.同一平面内, 垂直于同一条直线的两条直线平行. 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，可以确定AB∥CE的条件是( C ) A.∠2=∠B B. ∠1=∠A C. ∠3=∠B D. ∠3=∠A 2.如图，下列推理中正确的是（　C 　） A.由∠4+∠D=180°，得AD// BC B.由∠C+∠D=180°，得AB//CD C.由∠4+∠D=180°，得AB // CD D.由∠A+∠C=180°，得AD// BC 3.如图，已知∠1=30°，∠2或∠3满足条件_∠2＝150°或∠3＝30°__，则a//b. 4.如图，已知∠1= ∠3，AC平分∠DAB，你能判断哪两条直线平行？请说明理由？ 解： AB∥CD.理由如下： ∵ AC平分∠DAB（已知）， ∴ ∠1=∠2（角平分线定义）. 又∵ ∠1= ∠3（已知）， ∴ ∠2=∠3（等量代换）， ∴ AB∥CD( 内错角相等，两直线平行). 选做题： 5.如图,已知∠A=71°,O是AB上一点,直线OD与AB的夹∠BOD=84°.要使OD//AC,直线OD绕点0按逆时针方向至少旋转( B ) A.16° B.13° C.25° D.15° 6.如图，已知∠MCA= ∠ A， ∠ DEC= ∠ B，那么DE∥MN吗？为什么？ 解：DE∥MN. ∵ ∠MCA= ∠ A(已知), ∴ AB∥MN(内错角相等，两直线平行). 又 ∵∠ DEC= ∠ B(已知), ∴ AB∥DE(同位角相等，两直线平行). ∴ DE∥MN(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行). 【综合拓展类作业】 7.如图,已知∠1:∠2:∠3= 2:3:4,若∠AFE=60°,∠BDE=120°,写出图中平行的直线，并说明理由. 解:DE// AB,EF// BC. 理由如下: 设∠1 = 2x,则∠2= 3x,∠3=4x. ∵∠1+∠2+∠3=180°, ∴2x+3x+4x=180°,解得x=20°. ∴∠1= 40°,∠2= 60°, ∠3= 80°. ∵∠AFE=60°, ∴∠AFE=∠2. ∴DE// AB. ∵∠BDE=120°, ∴∠BDE+∠2= 180°. ∴EF// BC. 课堂总结 1.平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，就是同位角相等，两直线平行. 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，就是内错角相等，两直线平行. 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单地说，就是同旁内角互补，两直线平行. 2.同一平面内, 垂直于同一条直线的两条直线平行. 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，∠1＝120°.要使 a ∥ b ，则∠2的大小是（　D 　） A.60° B.80° C.100° D.120° 2.如图，已知∠1＝∠2，则下列结论正确的是( C ) A．AD∥BC B．AB∥CD C．AD∥EF D．EF∥BC 3.如图，用尺规作图：“过点 C 作 CN ∥ OA ”，其作图依据是（　B 　） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.垂直于同一条直线的两直线平行. D.同旁内角互补，两直线平行 选做题： 4.如图，若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则一定有（　B 　） A. l1//l2 B.13//l4 C. l1//l4 D. l2//l4 5．如图，已知直线 EF ⊥ MN ，垂足为 F ，且∠1＝140°，要使 AB ∥ CD ，则∠2＝（　A 　） A.50° B.40° C.30° D. 60° 【综合拓展类作业】 6.如图，已知AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，那么直线AE，DF平行吗？为什么？ 解：AE与DF平行． 理由如下：∵AB⊥AD，CD⊥AD， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°. 又∵∠1＝∠2， ∴∠BAD－∠1＝∠ADC－∠2， 即∠DAE＝∠ADF， ∴AE∥DF. 教学反思 平行线的判定是平行线内容的进一步拓展，是进一步学习平行线的有力工具，为学习平行线的性质、三角形、四边形等知识打下基础，在整个初中几何中占有非常重要的地位．学生虽然已经学了平行线的定义、平行公理，具备了探究直线平行的基础，但学生在文字语言、符号语言和图形语言之间的转换能力比较薄弱，在逻辑思维和合作交流的意识方面发展不够均衡，还需逐渐提高. 学科网（北京）股份有限公司 $$