5.2特殊三角形与勾股定理2024-2025学年九年级中考数学第一轮复习

5.2特殊三角形与勾股定理2024-2025学年九年级数学第一轮复习 绝 招 课 堂 一、等腰三角形的存在性 如图1，在矩形ABCD中，P是AD 中点，M是BC 上一动点，当M 在何处时△APM是等腰三角形。 二、斜中定理+折线段最值 如图2中的图①,Rt△AOB 中,D是AB 中点.则 如图2中的图②,当(),D,C(E)三点共线时,(OC(OE)最短。 三、勾股定理，求蚂蚁爬行最值问题 如图 3，求蚂蚁从壁外中点 A 到对面壁内底部的最短距离。 如图4,B'是B 的对称点. AB'为最小值。 【例题】如图1,已知在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=16,D是AC上的一点,CD=3,点 P从B点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动。设点 P的运动时间为t，连接AP。 (1)当t=3秒时，求AP的长度(结果保留根号)； (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值； (3)过点 D作DE⊥AP于点E，在点 P 的运动过程中，当t为何值时，能使 DE=CD? 课 后 练 习 一、选择题(共6小题) 1.一个六边形的六个内角都是 120°(如图6)，连续四条边的长依次为1.3.3.2，则这个六边形的周长是 ( )。 A.13 B.14 C.15 D.16 2.如图7.在△ABC中,∠BAC=120°,AD平分∠BAC,DE∥AB,AD=3,CE=5,则AC的长为( )。 A.9 B.8 C.6 D.7 3.如图8.△ABD 是等边三角形.△CBD是等腰三角形，且BC=DC，点E是边AD上的一点.满足CE∥AB,如果 AB=8,CE=6,那么 BC的长是 ( )。 A.6 4.如图9,∠MON=90°,矩形 ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON 上运动时,A 随之在边OM 上运动.矩形 ABCD的形状保持不变.其中AB=2. BC=1.运动过程中,点 D到点O的最大距离为 ( )。 B. D. 5.如图10,平面直角坐标系中. A(8.0),B(0,6),∠BAO,∠ABO的平分线相交于点C,过点C作CD∥x轴交AB 于点 D.则点 D的坐标为 ( )。 B.( ，1) C.( ,2) 6.如图11,在Rt△ABC中.∠ACB=90°,点 D是AB 的中点,且 如果 Rt△ABC的面积为1，则它的周长为 ( )。 二、填空题(共6 小题) 7.等腰三角形腰长为6cm，腰上的高为3cm，那么这个三角形的顶角是 度。 8.如图 12，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm与蜂蜜相对的点 A 处.则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计)。 9.如图13,△ABC中,AB=8,AC=2,∠BAC的外角平分线交 BC 延长线于点E,BD⊥AE于D,若AE=AC,则 AD的长为 。 10.如图 14,在△ABC中,∠C=60°,D、E 分别在边 BC、AC 上,AD=AB,∠EAB= 则线段 AE 的长为 。 11.如图15,在△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,AB=1,若D是BC边上的动点,则2AD+DC的最小值为 。 12.如图16的图①是由七根连杆链接而成的机械装置.图②是其示意图。已知O，P两点固定，连杆 PA=PC=140cm,AB=BC=CQ=QA=60cm,OQ=50cm,O,P 两点间距与OQ长度相等。 当OQ绕点O转动时，点A. B. C的位置随之改变，点B 恰好在线段MN上来回运动。 当点 B 运动至点M 或N时.点 A,C重合,点 P,Q,A,B在同一直线上(如图③)。 (1)点 P 到MN 的距离为 cm; (2)当点 P,(). A 在同一直线上时,点 Q到MN 的距离为 cm。 三、解答题(共4 小题) 13.(1)小My同学在网络直播课中学习了勾股定理.他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是 (用含a的代数式表示)； (2)小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形(不重叠、无缝隙)? ①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是 ; ②小 My同学按下图切割方法将正方形ABCD 剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别为AB、CD 边上的中点. P、Q 是边 BC、AD 上两点. G 为MQ 上一点.且∠MGP=∠PGN=∠NGQ=60°。 请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号： ③正方形 ABCD的边长为2,设 BP=x,则 14.如图18,△ABC和△DEF 都是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,DE=DF,∠EDF=90°,D为BC边中点,连接AF,且A、F、E三点恰好在一条直线上,EF交 BC 于点 H,连接BF,CE。 (1)求证:AF=CE; (2)猜想CE,BF,BC之间的数量关系,并证明: (3)若CH=2,AH=4,请直接写出线段AC,AE的长。 15.如图19,在△ABC中,∠ACB=2∠B,AD⊥BC于D。 (1)求证:AC+CD=BD; (2)E为BD 的中点. CE: AC=7: 5,点 F 在 BC上.∠EAF=2∠B.过点 C作CG⊥AE 于点G,交AD 于点 H,交 AF 于点 P,若 求线段PH 的长。 16.如图20，在等腰△ABC中. D,E两点在△ABC边上运动。 (1)如图①,当∠BAC=120°时,D在边BC 上,E在边AC 上,BD=CE=2,求△ADE的面积; (2)如图②,当∠BAC=60°时,D在边BC上. E在AC延长线上,BD=CE,连接AD、BE,取 BE 中点F,连接CF,H 为CF 上一点,G为AD 上一点,连接BG、HG,且满足CH=AG,求证:∠BGH=60°; (3)如图③.当∠A=90°时,D在边AC 上,E在边AB 上,连接DE.求 的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $$