专题7.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式 (考点精讲)-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题7.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式 一、【考纲要求】 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 2.能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 二、【考向预测】 1.同角三角函数之间的关系（平方关系、商除关系） 2.诱导公式及应用 三、【知识清单】 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【常用结论】 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 四、【方法技巧】 1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． 2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 4.诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 5.含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 6.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形；注意角的范围对三角函数符号的影响． 五、【考点分类剖析】 考点一：平方关系与商除关系 例1. 已知是第四象限角，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】已知，且为锐角，则（    ） A． B． C． D．1 【变式练习2】是第二象限角，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 【变式练习3】若，且，则 ． 【变式练习4】已知，为第三象限角，则的值为 . 【变式练习5】已知，，且为第二象限角，则 . 【变式练习6】根据下列条件，求角的正弦、余弦、正切和余切值中未知的量： (1)已知，并且是第三象限的角； (2)已知，并且是第二象限的角. 考点二：sin α，cos α的齐次式问题 例2若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】已知角的终边在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】已知，则 . 【变式练习3】若，则 ＝ 【变式练习4】 （1）若，求的值． （2）已知，求的值. 考点三：sin α±cos α，sin αcos α之间的关系 例3. 已知为第一象限角，则 . 【变式练习1】已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】已知，则 . 【变式练习4】已知，且，则 ． 考点四：诱导公式 例4. 已知. (1)求的值； (2)若，是方程的两个根，求的值. 【变式练习1】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】已知角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式练习3】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习4】求值：（    ） A． B． C． D． 【变式练习5】（1） ； ； （2）计算： ． 【变式练习6】已知角终边上一点，求的值. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式 一、【考纲要求】 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 2.能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 二、【考向预测】 1.同角三角函数之间的关系（平方关系、商除关系） 2.诱导公式及应用 三、【知识清单】 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【常用结论】 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 四、【方法技巧】 1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． 2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 4.诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 5.含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 6.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形；注意角的范围对三角函数符号的影响． 五、【考点分类剖析】 考点一：平方关系与商除关系 例1. 已知是第四象限角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过同角三角函数关系，求出，再求. 【解析】∵，， ∴， 是第四象限角，，则， ∴. 故选：D. 【变式练习1】已知，且为锐角，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】依题意结合平方和关系即可计算求解. 【解析】因为，且为锐角， 所以. 故选：A. 【变式练习2】是第二象限角，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系化简可得所求代数式的值. 【解析】因为是第二象限角，则， 所以，. 故选：B. 【变式练习3】若，且，则 ． 【答案】 【分析】由已知条件结合平方和关系求出和即可求. 【解析】因为，所以， 又即， 故由平方和关系得即， 所以即，故， 所以. 故答案为：. 【变式练习4】已知，为第三象限角，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，由同角三角函数的关系分别求得，即可得到结果. 【解析】由题意可得，，即，且为第三象限角， 则，，所以. 故答案为：. 【变式练习5】已知，，且为第二象限角，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数值在各象限内的符号可求得范围，由同角三角函数平方关系可构造方程求得的值，由此可得，根据同角三角函数商数关系可求得结果. 【解析】为第二象限角，，解得：或； ，即， ，解得：（舍）或， ，，. 故答案为：. 【变式练习6】根据下列条件，求角的正弦、余弦、正切和余切值中未知的量： (1)已知，并且是第三象限的角； (2)已知，并且是第二象限的角. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】由三角函数值在各个象限的符号，再结合同角关系式即可求解 【解析】（1） 因为是第三象限的角， ，， ， （2）， 因为是第二象限的角，， ， ，. 考点二：sin α，cos α的齐次式问题 例2若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据将所求式子分子化为齐次式，再利用同角三角函数关系化弦为切，最后代入切的值得结果. 【解析】. 故选：D 【变式练习1】已知角的终边在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由角的终边，得，由同角三角函数的关系得，代入求值即可. 【解析】因为角的终边在直线上，所以. 所以. 故选：D. 【变式练习2】已知，则 . 【答案】 【分析】用弦切互化的方法即可求解. 【解析】 , 故答案为：. 【变式练习3】若，则 ＝ 【答案】 【分析】先根据同角三角函数的基本关系把代换掉，再根据弦化切，最后把代入即可求解. 【解析】：. 故答案为：. 【变式练习4】 （1）若，求的值． （2）已知，求的值. 【答案】（1）3；(2) 【分析】（1）利用齐次式法计算即得. （2）齐次化得到，代入求解即可； 【解析】（1）由，得. （2），故. 考点三：sin α±cos α，sin αcos α之间的关系 例3. 已知为第一象限角，则 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数的平方关系计算即可. 【解析】由平方得， 解得：，又因为第一象限角，故 . 故答案为： 【变式练习1】已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方，求出，即可得到且，最后根据计算可得. 【解析】因为，所以， 即，所以，即， 又是三角形的内角，所以，则， 所以. 故选：A 【变式练习2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据，以及同角三角函数的关系和角的范围求出，再根据即可求解. 【解析】：， ，又， ，，即， . 故选：B. 【变式练习3】已知，则 . 【答案】 【分析】对条件平方，利用同角三角函数的平方关系进行求解. 【解析】，两边平方得：， 即，解得：. 故答案为： 【变式练习4】已知，且，则 ． 【答案】 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系即可求得的值． 【解析】 ，， 则， 故答案为：． 考点四：诱导公式 例4. 已知. (1)求的值； (2)若，是方程的两个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解； （2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数的基本关系求出，即可得解. 【解析】（1）因为， 所以，所以，解得； （2）因为，是方程的两个根，所以， ∴， 又，∴． 【变式练习1】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义可得，即可由诱导公式化简求解. 【解析】由题意可知， ， 故选：A 【变式练习2】已知角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数定义，结合诱导公式化简计算即可. 【解析】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，点的纵坐标为，所以， 所以. 故选：C． 【变式练习3】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式结合二倍角公式计算即可. 【解析】由，得， 而. 故选：D 【变式练习4】求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的诱导公式化简求值即可. 【解析】 ， 故选：A 【变式练习5】（1） ； ； （2）计算： ． 【答案】 1 【分析】利用诱导公式化简求值即可. 【解析】（1）； ； （2）； ； . 故答案为： 【变式练习6】已知角终边上一点，求的值. 【答案】 【分析】根据题意，由三角函数的定义可得，再由诱导公式化简求值即可. 【解析】角终边上一点，根据三角函数的定义，可得． 所以． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$