第五单元 第7课时 用转化法求圆的组合图形的周长与面积（四四三作业设计）-【大单元教学】六年级数学上册同备课系列（人教版)

人教版 六年级上册 第五单元《圆》 ————5.7《用转化法求圆的组合图形的周长与面积》 （四基四能三会)作业设计 1．已知大正方形边长为2厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。 2．（广东）阴影部分面积． 3．算一算：如图是美术课上小亮设计的一个花瓶图案，这幅图案的周长和面积分别是多少？（小方格的边长是1cm） 4．根据情景回答下列问题。 情境描述：一天，四年级的小红在《数学乐园》里看到了一幅图（如下所示），非常好奇！于是她提出了一个数学问题：“阴影部分的面积是多少呢？”她又想：“有些图形的面积计算方法我还没有学过，该怎样计算呢？” 假如小红向你请教，你能用她所学过的知识帮她解决吗？ （先写出你的想法，再计算阴影部分的面积） （1）我这样想： （2）我这样算： 5．观察下边两个图形中的阴影部分，它们周长和面积的大小关系是（    ）。 A．周长和面积都相等 B．周长和面积都不相等 C．周长不相等，面积相等 6．计算下面各图中涂色部分的面积。 （1）          （2）   7．以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（如图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。 8．求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 9．如图正方形内是我国珍贵的历史文化遗产《易经》中的太极图，它是数形结合的典范。正方形的边长是2cm，正方形的面积与黑色部分的面积比是( )。 10．如图所示，圆的直径，阴影部分①的面积与阴影部分②的面积相等，这个平行四边形的面积是 。 11．下图中的大圆直径是16厘米，你会计算涂色部分的面积吗？ 12．图中阴影部分的面积是( )cm2。 13．如图，圆中的三个正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是1厘米、2厘米、3厘米，圆的面积是( )平方厘米。 14．生活中有许多美丽的图案，你能运用圆和正方形的知识求出下面图案中阴影部分的面积吗？ （1）                          （2） （3）                           （4） 15．图形探索。 情境描述：五（1）班的小雪在纸上画了一个梯形和一个圆，并给其中的两个部分涂成阴影，如图。接着，她提出一个数学问题：“阴影部分的面积是多少？”。经过深入思考，可她还是不能解决。假如小雪向你请教，你能帮她解决吗？    （1）我向小雪这样介绍思路： （2）我指导小雪这样列式计算： 16．小区花坛的平面图案如图，已知每条圆弧的半径都是1厘米，圆心分别组成正六边形的顶点和各边的中点，那么这个花坛的总面积是　 　平方厘米．（正三角形的面积计算公式为S=0.44a2，其中a为正三角形边长，π=3.14） 17．如图，长方形ABCD线点C顺时针旋转90°，求AD边扫过部分（阴影部分）的面积.（单位：厘米，II取3.14） 18．借助推导圆面积公式时所使用的方法，小芳在研究圆环的面积时，把圆环等分成16份，拼成一个近似的平行四边形（如图）。如果圆环的内圆半径是2cm，外圆半径是6cm，拼成的近似平行四边形的底边长约为( )cm，则圆环的面积为( )cm2。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【四基形成】： 1．2 【分析】如下图，把图形左边的两个阴影移补到右边空白部分，这样阴影部分组合成一个长等于正方形的边长，宽等于正方形边长一半的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出阴影部分的面积。 【详解】2×（2÷2） ＝2×1 ＝2（平方厘米） 阴影部分的面积是2平方厘米。 2．阴影部分的面积是36.48 【详解】试题分析：用正方形的面积减去半径为8÷2=4的圆的面积，就是中间空白部分的面积，再用直径是8的圆的面积减去空白部分的面积就是阴影部分的面积． 解答：解：8×8﹣3.14×（8÷2）2 =64﹣3.14×16 =64﹣50.24 =13.76 3.14×（8÷2）2﹣13.76 =3.14×16﹣13.73 =50.24﹣13.76 =36.48 答：阴影部分的面积是36.48． 点评： 在求不规则图形的面积时，要根据图形特征把它转化为几个规则图形的面积相加或相减的方法进行计算． 3．20.56cm；16cm2 【分析】根据图案的周长＝2个圆的周长＋上下边的长，圆的直径是2cm，利用圆的周长公式：C＝，求出2个圆的周长，上下边的长都是4cm，代入求出这幅图案的周长；采用割补法，把上下两边凸起的两个半圆补充到凹进去的两个半圆里，可得：图案的面积＝边长为4cm的正方形的面积，据此解答即可。 【详解】3.14×2×2＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 4×4＝16（cm2） 答：这幅图案的周长是20.56cm，面积是16cm2。 【点睛】此题的解题关键是理解组合图形的周长是由哪几部分构成的，面积则采用割补法转化成熟悉的图形再求解，通过圆的周长和面积公式，求出结果。 4．（1）见详解 （2）100平方厘米 【分析】（1）如图： 将左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分正好是一个正方形； （2）根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可求出阴影部分的面积。 【详解】（1）我这样想：将左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分正好是一个正方形。（答案不唯一） （2）我这样算：10×10＝100（平方厘米） 答：阴影部分的面积是100平方厘米。 【点睛】通过平移把不规则的阴影部分的面积转化成学过的规则图形的面积，然后利用正方形的面积公式求解。也可以把右边正方形的阴影部分平移到左边正方形的空白处，阴影部分组成一个正方形。 5．C 【分析】观察图形可知，左图中两个完全一样的半圆可以组成一个圆；左图阴影部分的周长＝圆的周长＋正方形的两条边长，左图阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积； 右图中4个完全一样的圆可以组成一个圆；右图阴影部分的周长＝圆的周长，右图阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；通过观察可知，左右正方形的边长相等，圆直径相等，所以左右两边的阴影部分面积相等，左边阴影部分的周长大于右边阴影部分的周长。 【详解】通过分析可知，两个图形中阴影部分图形的面积相等，周长不相等，第一个图形中阴影部分的周长多出两条边长。 故答案为：C 【点睛】本题采用转化的方法，把不规则图形转化为规则图形就可以找到解答的方法。 6．（1）32平方米；（2）50.24平方厘米 【分析】（1）如图：    通过割补，将阴影部分转化为底和高都是8米的直角三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，用8×8÷2即可求出阴影部分的面积； （2）根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），代入数据求出圆环的面积即可。 【详解】（1）8×8÷2＝32（平方米）    阴影部分的面积是32平方米。 （2）r：6÷2＝3（厘米）    R：2＋3＝5（厘米） S：3.14×52－3.14×32 ＝3.14×25－3.14×9 ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 阴影部分的面积是50.24平方厘米。 【四能发展】： 7．4.56平方厘米 【分析】 如图：，由此可知，两个半圆的面积和等于三角形的面积加上三角形外的阴影部分面积和三角形里的阴影部分面积，所以用两个半圆的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积。根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，三角形面积公式：面积＝底×高÷2.代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（4÷2）2－4×4÷2 ＝3.14×22－4×4÷2 ＝3.14×4－16÷2 ＝12.56－8 ＝4.56（平方厘米） 答：阴影部分面积是4.56平方厘米。 8．1.14平方厘米 【分析】 通过割补、旋转可将原图转化为，此时阴影部分的面积等于半径为2厘米的圆的面积的减去底和高都为2厘米的三角形的面积，结合圆的面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此进行计算即可。 【详解】3.14×22×－2×2÷2 ＝3.14×4×－2×2÷2 ＝12.56×－2×2÷2 ＝3.14－2 ＝1.14（平方厘米） 9．400∶157 【分析】将太极图白色区域中的黑色小圆移到黑色区域中的白色小圆处，恰好黑色区域是大圆面积的一半。大圆的直径和正方形的边长相等。将直径除以2，求出半径。圆面积＝πr2，由此求出大圆的面积，再除以2，求出黑色区域的面积。正方形面积＝边长×边长，由此求出正方形的面积，从而求出正方形面积和黑色部分的面积比。 【详解】2÷2＝1（cm） 黑色部分面积： 3.14×12÷2 ＝3.14×1÷2 ＝1.57（cm2） 正方形面积：2×2＝4（cm2） 4∶1.57＝400∶157 所以，正方形的面积与黑色部分的面积比是400∶157。 10．78.5 【分析】③号的面积和④号的面积也是相等的，用过平移旋转等等操作，圆的面积＝①面积＋④面积＋中间共同部分的面积，平行四边形的面积＝②面积＋③面积＋中间共同部分的面积。即平行四边形的面积＝圆的面积。 【详解】3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 这个平行四边形ABCD的面积是78.5cm2。 11．100.48平方厘米 【分析】根据平移的知识可知，把上面靠左的小半圆向下平移，与下面靠右的小半圆拼成一个以大圆的半径为直径的圆，把下面左面的小半圆向右平移与上面靠右的小半圆组成一个以大圆的半径为直径的圆，同圆或等圆中，直径是半径的2倍，据此用16除以2求出小圆的直径，再除以2求出小圆的半径，根据圆的面积＝×半径的平方解答。 【详解】16÷2÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 3.14××2 ＝3.14×16×2 ＝50.24×2 ＝100.48（平方厘米） 【三会达成】： 12．16 【分析】先把左边阴影部分通过旋转和平移到右边空白部分，这样阴影部分就组合成一个边长为4cm的正方形，根据正方形面积＝边长×边长，即可求出阴影部分的面积。 【详解】4×4＝16（cm2） 图中阴影部分的面积16cm2。 13．56.52 【分析】如图：大正方形的边长为（1＋2＋3）厘米，用大正方形的面积除以4，就等于圆的半径的平方的，据此求出半径的平方；用3.14乘半径的平方，即可求出圆面积。 【详解】1＋2＋3 ＝3＋3 ＝6（厘米） 6×6÷4 ＝36÷4 ＝9（平方厘米） 3.14×（9×2） ＝3.14×18 ＝56.52（平方厘米） 所以圆的面积是56.52平方厘米。 14．（1）0.86cm2；（2）57cm2 （3）60.75cm2；（4）8cm2 【分析】（1）观察图形可知，4个直径为2cm的圆可以组成一个圆；则阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 （2）观察图形可知，4个直径为10cm的半圆可以组成2个圆；则阴影部分的面积＝圆的面积×2－正方形的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算求解。 （3）如下图，阴影部分的面积＝正方形的面积－2个空白圆的面积，其中正方形的边长等于圆的直径；根据圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算求解。 （4）如下图，把上面的阴影部分移补到下面的空白部分，这样阴影部分组合成一个长为4cm、宽为2cm的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算求解。 【详解】（1）2×2－3.14×（2÷2）2 ＝4－3.14×12 ＝4－3.14 ＝0.86（cm2） 阴影部分的面积是0.86cm2。 （2）3.14×（10÷2）2×2－10×10 ＝3.14×52×2－100 ＝3.14×25×2－100 ＝157－100 ＝57（cm2） 阴影部分的面积是57cm2。 （3）（5×2） ×（5×2）－3.14×52××2 ＝10×10－3.14×25××2 ＝100－39.25 ＝60.75（cm2） 阴影部分的面积是60.75cm2。 （4）4×2＝8（cm2） 阴影部分的面积是8cm2。 15．（1）见详解； （2）4×4＝16（平方厘米） 【分析】（1）如图：把圆中右边的阴影部分对称到左边，这样就把所有阴影部分变成一个底为4厘米，高为4厘米的平行四边形。通过平行四边形的面积公式即可求出阴影部分的面积。 （2）根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据即可列式求出阴影部分的面积。 【详解】（1）我向小雪这样介绍思路：通过对称，把阴影部分的面积转化成一个平行四边形的面积，利用平行四边形的面积公式即可得解。 （2）我指导小雪这样列式计算： 4×4＝16（平方厘米） 答：阴影部分的面积是16平方厘米。 【点睛】此题主要考查阴影部分的面积，通过轴对称，巧妙的运用平行四边形的面积公式解决问题。 16．45.38 【详解】试题分析：观察图形可知，这个花坛的面积就是图中正六边形的面积+突出来的六个半径1厘米，圆心角240°的扇形面积如图1， 六个半径为1厘米的半圆的面积如图2；因为每个扇形的面积比每个半圆的面积多了一个圆心角是60°的扇形的面积，则图中六个圆心角240°的扇形比六个半圆的面积正好是多了一个整圆的面积，所以，这个花坛的面积是正六边形的面积+半径是1厘米的圆的面积；如图正六边形找出正六边形的中心点O，与各个顶点连接起来，即可把这个正六边形平均分成6个正三角形，正三角形的面积计算公式为S=0.44a2，由此利用正三角形的面积公式计算出正六边形的面积，利用圆的面积公式计算出圆的面积即可解决问题． 解如上图所示，正六边形的边长=1+2+1=4（厘米）， 把正六边形平均分成6个正三角形，则正六边形的面积是：0.44×42×6=42.24（平方厘米）， 图中六个圆心角240°的扇形比六个半圆的面积正好是多了一个整圆的面积：3.14×12=3.14（平方厘米）， 所以花坛的面积是：42.24+3.14=45.38（平方厘米）； 答：花坛的面积是45.38平方厘米． 故答案为45.38． 点评：解决此题的关键是利用等积转换，将正六边形转化成正三角形，把扇形和半圆整合成一个整圆，从而利用已知条件和面积公式求得花坛的面积． 17．28.26平方厘米 【详解】试题分析：由图可知：AC和CD都旋转了90度，AC和CD所扫过的面积都是各自圆面积的，所以阴影部分的面积就相当于圆环面积的，由此列式解答即可． 解：3.14×（102﹣82）÷4， =3.14×36÷4， =3.14×9， =28.26（平方厘米）； 答：阴影部分的面积是28.26平方厘米． 点评：此题求阴影部分的面积，可将其转化成圆环面积的，直接列式解答即可． 18． 25.12 100.48 【分析】①由题意：将一个圆环剪开，拼成一个近似的平行四边形。如果把圆环所被平均分成的每一份看作一个近似的梯形，则拼成的平行四边形的底就是由梯形的上底和下底穿插着组成的。而梯形的下底实际上是小圆周长的每一份，因此可得出：平行四边形的底边就是大圆周长与小圆周长之和的一半，可列式：（2×3.14×6＋2×3.14×2）÷2＝25.12（cm）； ②要计算圆环的面积，有两种方法：可以通过圆环面积公式来列式；还可以转化为求平行四边形的面积来列式：25.12×（6－2）＝100.48（cm2） 【详解】①（2×3.14×6＋2×3.14×2）÷2 ＝（3.14×12＋3.14×4）÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（cm） ②3.14×（62－22） ＝3.14×（36－4） ＝3.14×32 ＝100.48（cm2） 25.12×（6－2） ＝25.12×4 ＝100.48（cm2） 【点睛】解答本题，在充分理解题意的同时，更要仔细读图。只有细致的观察图形，才能够找出圆环与平行四边形之间的联系，从而可以运用转化的方法，将求平行四边形的相关问题变成求与圆相关的问题。此外，由于题目较为新颖，担心答案的正确与否时，可以多采用几种方法来计算，以验证答案的准确。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$