《第27章相似》单元优生辅导训练题2024-2025学年人教版九年级数学下册

2024-2025学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．若（b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．在和中，，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．，； B．，，，； C．，，，； D．，，，． 3．如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中图中共有相似三角形（   ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 4．如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 5．小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为16米，坡面上的影长为8米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（    ） A．米 B．24米 C．米 D．20米 6．如图，在中，，，，的顶点在上运动，且，，为线段的中点，连接，在点运动过程中，线段长的最小值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 7．如图，，是双曲线图像上的两点，过A作轴，交于点D，垂足为点C，若为的中点，则的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．4 8．如图，在菱形中，，点是边上任意两点（不与端点重合），为上一点（不与端点重合），连接线段，，下列结论： ； 若，则； 若菱形边长为4，是的中点，连接，则线段； 当为中点时，； 其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，中，是斜边上的高，是6，，则上的中线长是 ． 10．如图，中，E是上一点，，交于点F，若，则的面积为 ． 11．如图：在的内接矩形，长边在边上，于，交于，已知，，，那么 ． 12．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，与相交于点，若，则的长为 13．如图，已知中，分别为边上的高，过D作的垂线交于E，交于G，交延长线于H．，，则 ． 14．如图，已知， （1）若，，则 ； （2）若，，，则 ． 15．如图，是⊙的直径，是⊙的切线，连接交⊙于点D，点E为上一点，满足，连接交于点F，若，，则 ， ． 16．如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为 ．    三、解答题 17．如图，在中，点D、E分别在边、上，，点F在的延长线上，．    (1)当，时，求的值及的长； (2)当，时，写出的长． 18．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动：同时，点从点出发，以的速度沿运动.当点到达点时，、两点同时停止运动.设点、运动时间为. (1)为何值时面积为9？ (2)当与相似时，的值是多少？ 19．已知平行四边形，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求证：． 20．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在培上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 21．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为______； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明与相等； 【问题解决】 （3）如图（3），在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为12，，求正方形的边长．    22．如图①，抛物线交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线经过点A，B，P是射线上一动点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)如图②，过点P作交抛物线第一象限部分于点E，作交于点F，求面积的最大值及此时点E的坐标； (3)抛物线与在第一象限内的图象记为“图象Z”，过点P作轴交图象Z于点G，是否存在这样的点P，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点P的横坐标． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A C A B A C 1．解：∵，b、d、f均为正数， ∴，，，，， A． ，故不符合题意； B． ∵， ∴， 当时 ∴，故符合题意； C． ∵， ∴，， ∴，故不符合题意； D． ∵，b、d、f均为正数，， ∴，故不符合题意； 故选B． 2．解：A．相似：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，不符合题意； B．有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似，符合题意； C．相似：∵，，，， ∴． 又∵， ∴，不符合题意； D．相似：∵，，，，， ∴，， ∴． ∵， ∴，不符合题意； 故选：B． 3．解：根据题意，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴． 综上所述，图中相似的三角形有，，，，，，，，共计8对． 故选：A． 4．解：∵，， ∴， 当与是对应边时，， ∴， ∴， ∴； 当与是对应边时，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故选：． 5．解：如图，延长AC交BF的延长线于点D，作于E. 在中，，米，米， 米， 在中，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，， 米， 米. 在中，米. 故选：A. 6．解：连接，如图所示： ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵中， ∴， ∴，即， ∵是的中点， ∴ ， ∵，即， ∴， ∴当时，最短，此时最短， 当时，的面积 ， ∴ ， ∴， ∴ ， 故选：B． 7．解：过点作轴于， ∵是双曲线图像上的点， ∴， 轴， ∴平行于 ∴， ， 又是的中点， ∴， ∴， 故选：A． 8．解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，故①正确， ∴， ， ， ，故②错误， 作，交的延长线于． 在中， ，，， ∴， ，，则， ，故③正确； ∵为中点时， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴，故④正确， 故正确的结论是， 故选：C． 9．解：设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴上的中线长是， 故答案为：． 10．解：∵四边形是平行四边形， ∴，，的面积为， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴的面积为30， 故答案为：30． 11．解：四边形是矩形， ，，，， ∵于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵于，， ∴， ∴分别是的高， ∵， ∴设， ∵， ∴， ， ， 即， 解得， 故答案为：6． 12．解：四边形是正方形， ，， 在中，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 13．解：如图， ∵分别为边上的高，过D作的垂线交于E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 14． （1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴，即， 解得，； 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， 两式相加得，，即， 解得，， 故答案为：． 15． 解：如图，连接、， ∵是的直径，是的切线， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 16．解：如下图．      把△ABC向下平移1个单位得到A点的对应点的坐标为，点以原点O为位似中心，在位似中心两侧的对应点的坐标为，将点按位似比缩小，得到点，把点 向上平移1个单位得到点． 故答案为． 17．（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（1）解：由题意知，， ， ， 当时，， 解得， 的值为3时面积为9； （2）解：分两种情况， 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上可知，当与相似时，的值是或． 19．（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ，垂足为，，垂足为， ， ； （2）证明：∵，，， ， ， ， ， ， ， 与相等或互为相反数， ，， ． 20．（1）解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：； （2）解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 21．解：（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：． （2）在等腰中，， ． 在等腰中，， ． ， ． ． ． ， ． ． ． （3）如图③，连接， 四边形是正方形， ． 点是正方形的对称中心， ． ． ． ， ． ． ， ． 设，则， 在中，，即， 解得． ， ． 正方形的边长为． 22．（1）解：在中，令，则，解得：， 令，则，所以 将代入， 得解得所以抛物线的函数表达式为， 设直线的函数表达式为： 将代入，得，解得， 所以直线的函数表达式为； （2）因为， 所以， 所以是等腰直角三角形， 所以， 因为， 所以， 因为，所以是等腰直角三角形， 所以面积最大时，最大， 过点E作轴交于点H， 所以， 所以是等腰直角三角形， 所以最大时，最大，即最大时，的面积最大， 设，则， 所以 因为，所以有最大值，所以当时，的最大值为， 所以， 所以 ， 所以面积的最大值为 ； （3）存在点P，使与相似，理由如下： 由（2）知是等腰直角三角形，当与相似时，是等腰直角三角形， 因为轴，所以， 当时，如图①所示，此时点G与点C的纵坐标相等， 在中，令，则，解得， 所以的横坐标为2， 在中，令，则， 解得 ， （舍去）， 所以的横坐标为 当时，如图②所示， 设，则， 因为，所以 因为是等腰直角三角形，所以， 解得（舍去）或或（舍去）.所以的横坐标为1， 设，则 ，所以 ， 因为是等腰直角三角形，所以 ， 解得 （舍去）或 （舍去）或 或 （舍去）， 所以的横坐标为 综上所述，点P的横坐标为2或 或1或 学科网（北京）股份有限公司 $$