第1单元长方体和正方体应用题（专项训练）-2024-2025学年六年级上册数学苏教版

第1单元长方体和正方体应用题专项训练-数学六年级上册苏教版 目录 第一部分：典型例题。 第二部分：跟踪训练。 第一部分 典型例题 1．孔明灯是一种古老的汉族手工艺品。它利用了空气受热后会膨胀变轻而上升的原理，在古代多用于军事。聪聪也想做一个长5分米、宽3.5分米、高9分米的长方体孔明灯。要把孔明灯的五个面糊上纸（底面不糊纸，接缝处忽略不计），聪聪至少需要多大的纸？ 【答案】170.5平方分米 【分析】由题意可知，要求纸的面积就是求长方体五个面的面积，根据长方体五个面的面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，据此代入数值进行计算即可。 【详解】5×3.5＋5×9×2＋3.5×9×2 ＝17.5＋90＋63 ＝107.5＋63 ＝170.5（平方分米） 答：聪聪至少需要170.5平方分米的纸。 2．把一个棱长是6分米的正方体钢坏锻造成长方体方钢，方钢的横截面是边长0.5分米的正方形。锻造成的这根方钢长多少米？ 【答案】86.4米 【分析】先利用正方体的体积V＝a3求出这个正方体的钢坯的体积，再依据这块钢坯的体积不变，利用长方体的体积V＝abh，即可求出这个长方体的长。 【详解】6×6×6÷（0.5×0.5） ＝36×6÷0.25 ＝216÷0.25 ＝864（分米） ＝86.4（米） 答：锻造成的这根方钢长86.4米。 【点睛】此题主要考查正方体和长方体的体积的计算方法，关键是明白：这块钢坯的体积不变。 第二部分 跟踪训练 1．学校要粉刷一间教室的四壁和天花板（门窗不粉刷）。已知教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗的面积共19平方米，每平方米涂料花4元涂料费，粉刷这间教室共需多少元涂料？ 2．温泉度假村要修建一个长20米、宽10米、深2米的长方体温泉池，在这个温泉池的四周和下底面铺上边长为2分米的正方形瓷砖，共需要多少块这样的瓷砖？ 3．一个长方体纸盒，长、宽、高分别是7厘米、5.5厘米、3.7厘米，要给这个纸盒粘上一层彩纸，至少要用多大的彩纸？ 4．学校科技馆大门前有5级台阶，每级台阶等高等宽（如图）。 （1）5级台阶一共占地多少平方米？ （2）在这些台阶面上（阴影部分）铺上地毯，至少需要多少平方米的地毯？ 5．实验中学建一个长方体游泳池，长40米，宽28米，深2.4米。 （1）沿游泳池的内壁1.5米高处用白漆画一杀水位线，水位线全长多少米？ （2）要给这个游泳池的底面和四壁贴上瓷传，每平方米瓷砖需要6.4千克瓷砖胶，一共需要多少千克瓷砖胶？ 6．我国著名的秦始皇兵马俑一号坑长230米、宽62米，深约5米。一号坑的容积约是多少立方米？ 7．同学们，你们会爱惜书本吗？每学期的数学书，思思都会小心地用塑料膜包好。请你算一算，包装数学书的三个面至少需要多少平方厘米的塑料膜？（接头处不计） 8．下图是淘气的玩具汽车，请你根据图中标注的尺寸，帮忙设计一个长方体玩具包装盒，算一算至少需要多少平方厘米的纸板？ 9．把一个棱长46厘米的正方体纸箱各面都贴上红纸，作为捐款箱。 （1）至少需要多少平方厘米的红纸？（开口处忽略不计。） （2）如果只在棱上粘贴一圈胶带纸，一卷4.5米长的胶带纸够用吗？ 10．修建长城所用的某块砖的尺寸如下图所示。这块长城砖体积是多少？ 11．（1）这个纸巾盒的前面是什么形状？长和宽各是多少？和它相同的面是哪个？ （2）这个纸巾盒的右面是什么形状？长和宽各是多少？和它相同的面是哪个？ （3）哪几个面的长是24厘米，宽是12厘米？ 12．一块正方体钢坯的棱长是6分米，把它锻造成一根长方体钢材，且这根钢材的横截面是边长为3分米的正方形。这根钢材长多少米？ 13．一个养鱼池长60米，宽30米，深2米，现改建成游泳池。 （1）在四壁和底面涂上一层水泥，涂水泥的面积是多少平方米？ （2）如果每立方米水重1吨，这个养鱼池最多可以装水多少吨？ 14．一个横截面是边长为3分米的长方体管道，如图所示（前、后开口）。 （1）做这样的一节管道需要铁皮多少平方分米？ （2）如果管道里水的流速是每秒2分米，这个管道1分钟能流出多少升的水？ 15．把一个体积为3.6立方分米的铁球浸没在棱长为3分米的正方体容器中，这时水面刚好升至玻璃缸口，如果取出铁球，容器里的水深是多少分米？ 16．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3分米。    （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）鱼缸里有一些水，往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.3分米，鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 17．王大伯按照下图裁剪一块长方形铁皮，焊接成一个底面是正方形的无盖长方体。这个长方体容器的容积是多少毫升？ 18．一个铁箱长60厘米，宽50厘米，高40厘米，当水深2分米时，铁箱内的水的体积是多少？将6块完全相同的石块放入铁箱内，石块全部潜入水底后水深2.06分米。每块石块的体积是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．560元 【分析】根据题意，粉刷教室的四壁和天花板，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面； 根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需粉刷的面积，最后用每平方米的涂料费乘粉刷的面积即可。 【详解】9×7＋9×3×2＋7×3×2 ＝63＋54＋42 ＝159（平方米）   159－19＝140（平方米）    4×140＝560（元） 答：粉刷这间教室共需560元涂料。 2．8000块 【分析】先求出铺瓷砖的面积，再用铺瓷砖的面积÷瓷砖面积即可。温泉池没有上面，铺瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答，注意统一单位。 【详解】20×10＋20×2×2＋10×2×2 ＝200＋80＋40 ＝320（平方米） 2分米＝0.2米 320÷（0.2×0.2） ＝320÷0.04 ＝8000（块） 答：共需要8000块这样的瓷砖。 3．169.5平方厘米 【分析】求至少用彩纸的面积，就是求这个长方体表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×宽＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】（7×5.5＋7×3.7＋5.5×3.7）×2 ＝（38.5＋25.9＋20.35）×2 ＝（64.4＋20.35）×2 ＝84.75×2 ＝169.5（平方厘米） 答：至少要用169.5平方厘米。 4．（1）5.2平方米 （2）9.2平方米 【分析】（1）根据题意，求5级台阶的占地面积，就是求长4米，宽1.3米的长方形的面积。长方形的面积＝长×宽，据此解答。 （2）观察图形可知，铺地毯的面积包括5级台阶的上面和侧面。通过面的平移，上面的5个面组成长4米，宽1.3米的长方形；侧面的5个面组成长4米，宽1米的长方形。根据长方形的面积公式即可解答。 【详解】（1）4×1.3＝5.2（平方米） 答：5级台阶一共占地5.2平方米。 （2）4×1.3＋4×1 ＝5.2＋4 ＝9.2（平方米） 答：至少需要9.2平方米的地毯。 5．（1）136米 （2）9256.96千克 【分析】（1）求水位线的全长就是求长方体的底面周长，利用“长方形的周长＝（长＋宽）×2”求出水位线的长度，据此解答。 （2）首先根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出这5个面的总面积，然后用这5个面的总面积乘每平方米瓷砖胶的质量即可。 【详解】（1）（40＋28）×2 ＝68×2 ＝136（米） 答：水位线全长136米。 （2）（40×28＋40×2.4×2＋28×2.4×2）×6.4 ＝（1120＋96×2＋67.2×2）×6.4 ＝（1120＋192＋134.4）×6.4 ＝（1312＋134.4）×6.4 ＝1446.4×6.4 ＝9256.96（千克） 答：一共需要9256.96千克瓷砖胶。 6．71300立方米 【分析】根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，用230×62×5即可求出一号坑的容积约是多少立方米。 【详解】230×62×5＝71300（立方米） 答：一号坑的容积约是71300立方米。 7．954.2平方厘米 【分析】根据题意可知，用塑料膜包装数学书的三个面分别是数学书的前后面、左面；求需要塑料膜的面积，就是求长方体前后面与左面的面积之和，根据“长×宽×2＋宽×高”求出这三个面的面积之和即可求解。 【详解】18×26×2＋26×0.7 ＝936＋18.2 ＝954.2（平方厘米） 答：包装数学书的三个面至少需要954.2平方厘米的塑料膜。 8．图见详解；1710平方厘米 【分析】 根据玩具汽车的外部尺寸进行设计，包装盒如图：，求需要纸板的面积，就是求这个长是25厘米，宽是12厘米，高是15厘米的长方体的表面积；根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高），代入数据，即可解答。 【详解】 包装盒如图： （25×12＋25×15＋12×15）×2 ＝（300＋375＋180）×2 ＝（675＋180）×2 ＝855×2 ＝1710（平方厘米） 答：至少需要1710平方厘米的纸板。 9．（1）12696平方厘米；（2）不够 【分析】（1）根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可； （2）正方体棱长和＝棱长×12，根据公式计算出需要胶带纸的长度，换算单位后与4.5米比较后判断够不够用即可。 【详解】（1）46×46×6 ＝2116×6 ＝12696（平方厘米） 答：至少需要12696平方厘米的红纸。 （2）46×12＝552（厘米） 552厘米＝5.52米 5.52＞4.5 答：一卷4.5米长的胶带纸不够用。 10．8000立方厘米 【分析】图中长方体砖的长是40厘米，宽是10厘米，高是20厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长方体的体积。 【详解】40×10×20＝8000（立方厘米） 答：这块长城砖体积是8000立方厘米。 11．（1）长方形；长：24厘米；宽：9厘米；后面 （2）长方形；长：12厘米；宽：9厘米；左面 （3）上、下两个面 【分析】长方体的特征是有12条棱，8个顶点，6个面，互相平行的四条棱长度相等，相对的面是上面和下面，前面和后面，左面和右面，相对的面完全相同； 【详解】（1）这个纸巾和的前面是长方形，长是24厘米，宽是9厘米，和它相同的面是后面； （2）这个纸巾和的右面是长方形，长是12厘米，宽是9厘米，和它相同的面积是左面； （3）上、下两个面的长是24厘米，宽是12厘米。 12．2.4米 【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出棱长是6分米的长方体的体积，由于体积不变，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出锻造成长方体的横截面的面积，也就是长方体的底面积；再根据长方体体积公式：体积＝底面积×高；高＝体积÷底面积，代入数据，即可解答。 【详解】6×6×6÷（3×3） ＝36×6÷9 ＝216÷9 ＝24（分米） 24分米＝2.4米 答：这根钢材长2.4米。 13．（1）2160平方米 （2）3600吨 【分析】（1）求涂水泥的面积就是求长方体养鱼池的底面和四个侧面的面积和； （2）这个养鱼池最多可以装水多少吨，先计算养鱼池的容积，根据长乘宽乘高计算即可，最后再用容积乘每立方米水重解答。 【详解】（1） （平方米） 答：涂水泥的面积是2160平方米。 （2） （立方米） （吨） 答：养鱼池最多可以装水3600吨。 14．（1）1200平方分米 （2）1080升 【分析】（1）由题意可知，管道的铁皮的面积就是长方体的侧面积，根据长方体的侧面积公式：S＝Ch，据此求出做一节这样的管道需要的铁皮面积； （2）先将单位进行换算，即1分钟＝60秒，所以这个管道1分钟内最多能流出水的体积＝管道横截面的面积×水的流速×60，其中管道横截面的面积＝横截面的长×横截面的宽，据此代入数据作答即可。 【详解】（1）10米＝100分米 3×4×100 ＝12×100 ＝1200（平方分米） 答：做这样的一节管道需要铁皮1200平方分米。 （2）1分钟＝60秒 3×3×2×60 ＝9×2×60 ＝18×60 ＝1080（立方分米） 1080立方分米＝1080升 答：这个管道1分钟能流出1080升水。 15．2.6分米 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出正方体容器的容积，正方体容器的容积－铁球体积＝水的体积，根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出水深。 【详解】3×3×3－3.6 ＝27－3.6 ＝23.4（立方分米） 23.4÷（3×3） ＝23.4÷9 ＝2.6（分米） 答：容器里的水深是2.6分米。 16．（1）74平方分米 （2）6立方分米 【分析】（1）所需的玻璃面积就是长方体五个面的面积，即一个底面和四个侧面。计算公式为：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2。 （2）鹅卵石的体积相当于上升的水的体积，水的体积是长为5分米，宽为4分米，高为0.3分米的长方体体积，长方体体积＝长×宽×高。 【详解】（1）5×4＋（4×3＋5×3）×2 ＝20＋（12＋15）×2 ＝20＋27×2 ＝20＋54 ＝74（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米。 （2）5×4×0.3＝6（立方分米） 答：鹅卵石的体积一共是6立方分米。 【点睛】本题主要考查长方体的表面积公式和体积公式以及不规则物体的体积求法。 17．6750毫升 【分析】根据题意，裁剪一块长方形铁皮焊接成一个底面是正方形的无盖长方体，则少上面，共有5个面，且底面是正方形，4个侧面完全相同。 从图中可知，把长方形的长边平均分成两半，这样左右两边都是边长为30厘米的正方形，左边的正方形作为长方体的底面，根据正方形的面积＝边长×边长，求出长方体的底面积； 把右边的正方形再平均分成4个小长方形，这4个小长方形作为长方体的侧面，用30÷4即可求出长方体的高； 最后根据公式V＝Sh，以及进率：1立方厘米＝1毫升，求出这个无盖长方体容器的容积。 【详解】正方形的边长：60÷2＝30（厘米） 长方体的高：30÷4＝7.5（厘米） 长方体的体积： 30×30×7.5 ＝900×7.5 ＝6750（立方厘米） 6750立方厘米＝6750毫升 答：这个长方体容器的容积是6750毫升。 【点睛】本题考查长方体体积（容积）公式的灵活运用，找出长方体容器的底面积和高是解题的关键。 18．60立方分米；0.3立方分米 【分析】（1）先根据进率：1分米＝10厘米，将铁箱的长60厘米、宽50厘米分别换算成6分米、5分米；已知铁箱内水深为2分米，求水的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高即可求解。 （2）将6块完全相同的石块浸入铁箱后，水深2.06分米；那么水面上升了（2.06－2）分米，水上升部分的体积等于6块石块的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出6块石块的体积，再除以6，即是每块石块的体积。 【详解】（1）60厘米＝6分米 50厘米＝5分米 6×5×2＝60（立方分米） （2）6块石块的体积： 6×5×（2.06－2） ＝6×5×0.06 ＝30×0.06 ＝1.8（立方分米） 每块石块的体积： 1.8÷6＝0.3（立方分米） 答：铁箱内的水的体积是60立方分米，每块石块的体积是0.3立方分米。 【点睛】（1）本题考查长方体体积公式的运用。 （2）本题考查不规则物体体积的求法，把求石块的体积转移到求水上升部分的体积是解题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$