精品解析：新疆哈密市第四中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

哈密市第四中学 2024－2025学年第一学期初三数学期中试卷 一、选择题（单选题，每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的解为（    ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，， 故选：C． 2. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　 A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式进行求解即可得答案. 【详解】，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键. 一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 3. 若，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ， 故选C． 4. 如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB为xm，可列方程为（ ） A. （20＋1﹣x）x＝50 B. （20﹣1﹣x）x＝50 C. （20＋1﹣2x）x＝50 D. （20﹣1﹣2x）x＝50 【答案】C 【解析】 【分析】根据篱笆的总长及AB的长度，可得出BC，根据矩形试验田的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：∵篱笆的总长为20m，且AB=x m，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门， ∴BC=（20+1-2x）m． ∴（20+1-2x）x=50． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】解：∵抛物线先向左平移2个单位， ∴， ∵抛物线向下平移3个单位， ∴， 故选：A． 6. 已知二次函数y=2（x﹣3）2﹣2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为（3，﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④当x≤3时，y随x的增大而减小，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解∶∵a=2＞0， ∴函数的开口向上，故①正确； 根据题意得∶顶点坐标为（3，-2），故②正确； ∵y=2（x﹣3）2﹣2=2x2-12x+18-2=2x2-12x+16， ∴图象与y轴的交点坐标为（0，16），故③不正确； 当x≤3时，y随x的增大而减小，故④正确． 故选C． 7. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与不等式． 先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围得到不等式的解集，即可解答． 【详解】∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴该二次函数的图象与x轴的另一交点坐标为， ∵由图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或． 故选：C 8. 函数和（为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数的解析式可得二次函数的图象的顶点为即可排除A、B，由一次函数的解析式可得一次函数的图象经过点即可排除C，从而得到答案． 【详解】解：， 二次函数的图象的顶点为，故A、B不符合题意； 在中，当时，，解得， 一次函数的图象经过点，故C不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题的关键． 9. 已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（　　） A. 1 B. ﹣3 C. ﹣3或1 D. ﹣1或3 【答案】A 【解析】 【分析】采用换元法，设，将方程变形为，然后解方程，再根据判断取值. 【详解】设，则原式可化为：，解得：， ∵， ∴. 故选A. 【点睛】本题考查用换元法解方程，换元降次是关键，最后还要注意根据判断取值. 10. 已知二次函数图象如图所示，有下列6个结论： ①；②；③；④；⑤；⑥若方程有两个根，则这两个根的和为2．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线开口方向及与轴的交点可确定、的符号，根据对称轴为可得出的符号，即可判断①；根据二次函数图像的对称性得出图像与轴的另一个交点在和之间，可得时，即可判断②；根据图像与轴有两个交点可得一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，即可判断③；根据对称轴得出，结合时，即可判断④；根据当时，函数有最大值，最大值为，得到，即可判断⑤；由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，即可判断⑥；综上即可得答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于轴正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为， ∴，， ∴，故①正确， ∵抛物线轴的一个交点在和之间， ∴图像与轴的另一个交点在和之间， ∴时，即，故②错误， ∵图像与轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故③错误， 由图像可知：时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， ∵抛物线的对称轴为， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∴， ∴，故⑤正确， ∵抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴对称的两个根的和为2， ∴若方程有两个根，则这两个根的和为2，故⑥正确， 综上所述：正确的结论有①④⑤⑥，共个， 故选：D． 二、填空题（每空3分，共21分） 11. 一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，则该小组共有______人． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该小组共有x人，则每人需送出张贺卡，根据全组共送贺卡72张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该小组共有x人，则每人需送出张贺卡， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴该小组共有9人． 故答案为：9． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴且 解得且 故答案为：且 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 13. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … 则它的开口方向________，对称轴为________． 【答案】 ①. 向下 ②. 直线##直线 【解析】 【分析】首先找出纵坐标相等的两个点，可根据这两个点的横坐标判断出抛物线的对称轴；然后根据抛物线左右两边函数的增减性判断出抛物线的开口方向． 【详解】解：由抛物线过(2,6)、(3,6)两点知： 抛物线的对称轴为x=2.5； 在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故抛物线的开口方向向下． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，求出对称轴是解题关键． 14. 进入九月后，某电器商场为减少库存，对电风扇连续进行两次降价，若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意直接进行求解即可． 【详解】解：由题意得： y与x之间的函数关系式为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 15. 点A（—2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2－2x+m的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1____ y2（ 填“＞”、“＜”、“=”）． 【答案】> 【解析】 【分析】把A、B两点的坐标代入解析式可求得y1与y2的值，可比较其大． 【详解】∵点A（-2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2－2x+m的图象上两点， ∴y1=（-2）2+4+m=8+m，y2=32-2×3+m=3+m， ∵8+m＞3+m， ∴y1＞y2， 故答案为＞． 【点睛】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 16. 已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位：）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法把二次函数解析式配方成顶点式即可求解． 【详解】解：根据二次函数解析式， 当时，s取得最大值， 即汽车从刹车到停止所用时间为 故答案为： ． 17. 如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 三、解答题 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程．选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键. （1）先根据，得出方程有两个不相等的实数根，再根据求解即可． （2）把分解为，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， 【小问2详解】 解： ， ∴或， ∴， 19. 已知关于的方程． （1）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根． （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2） 证明：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； 【解析】 【分析】（1）将方程的根代入求解即可得到的值，再结合根与系数关系直接求解即可得到另一个根； （2）计算判别式结合完全平方公式即可得到证明； 【小问1详解】 解：∵方程的一个根为， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系及一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握，判别式大于0一元二次方程有两个不相等的实数根． 20. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 21. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某种苹果到了收获季节，投入市场销售时，调查市场行情，发现该苹果的销售不会亏本，且该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如表： 销售单价x（元） 10 15 23 28 日销售量y（千克） 200 150 70 m 日销售利润w（元） 400 1050 1050 400 （注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）） （1）求y关于x的函数解析式（要写出x的取值范围）及m的值； （2）根据以上信息，填空：产品的成本单价是　 　元，当销售单价x＝　 　元时，日销售利润w最大，最大值是　 　元； （3）某农户今年共采摘苹果4800千克，该品种苹果的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批苹果？请说明理由 【答案】（1）y＝﹣10x+300（8≤x≤30）； （2）8，19，1210； （3）不能销售完这批苹果，理由： 由（2）知，当获得最大利润时，定价为19元/千克， 则每天的销售量为y＝﹣10×19+300＝110千克， ∵保质期为40天， ∴总销售量为40×110＝4400， 又∵4400＜4800， ∴不能销售完这批苹果． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值； （3）求出在（2）中情况下，即x＝19时的销售量，据此求得40天的总销售量，比较即可得出答案． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 将（10，200）、（15，150）代入，得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x≤30）； （2）设每天销售获得的利润为w， 则w＝（x﹣8）y ＝（x﹣8）（﹣10x+300） ＝﹣10（x﹣19）2+1210， ∵8≤x≤30， ∴当x＝19时，w取得最大值，最大值为1210； 故答案为8，19，1210； （3）略 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系，据此列出二次函数的解析式，并熟练掌握二次函数的性质． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中A(-3,-4)，B(0,-1)． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值． (3)在二次函数的对称轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)C点坐标为，，，， 【解析】 【分析】(1)直接把A、B坐标代入抛物线解析式求解即可； (2)先求出直线AB的解析式为y=x-1，设P(a，a2+4a-1)，则Q(a，a-1)，PQ=-a2-3a，可得，利用二次函数的性质求解即可； (3)分当AB=BC时，当AB=AC时，当BC=AC时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：(1)将A(-3，-4)，B(0，-1)代入y=x2+bx+c， 得， 解得， ∴抛物线解析式为y=x2+4x-1； (2)设直线AB的解析式为y=kx+b， 则， 解得， ∴直线AB的解析式为y=x-1， 设P(a，a2+4a-1)，则Q(a，a-1)， ∴PQ=-a2-3a， ∴， ∵， ∴当a=时，△PAB的面积有最大值； (3)∵抛物线解析式为y=x2+4x-1， ∴抛物线的对称轴为， 设点C(-2，y)， ∵B(0，-1)，A(-3，-4)， ∴AB2=32+32=18，BC2=22+(y+1)2，AC2=12+(y+4)2， ①当AB=BC时， ∴22+(y+1)2=18， 解得， ∴，； ②当AB=AC时， ∴12+(y+4)2=18， 解得， ∴，； ③当BC=AC时， ∴， 解得， ∴； 综上所述：C点坐标为，，，，． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合，二次函数综合，待定系数法求函数解析式，两点距离公式，等腰三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈密市第四中学 2024－2025学年第一学期初三数学期中试卷 一、选择题（单选题，每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的解为（    ） A. B. C. ， D. ， 2. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　 A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 3. 若，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 4. 如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB为xm，可列方程为（ ） A. （20＋1﹣x）x＝50 B. （20﹣1﹣x）x＝50 C. （20＋1﹣2x）x＝50 D. （20﹣1﹣2x）x＝50 5. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数y=2（x﹣3）2﹣2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为（3，﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④当x≤3时，y随x的增大而减小，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 函数和（为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（　　） A. 1 B. ﹣3 C. ﹣3或1 D. ﹣1或3 10. 已知二次函数图象如图所示，有下列6个结论： ①；②；③；④；⑤；⑥若方程有两个根，则这两个根的和为2．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每空3分，共21分） 11. 一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，则该小组共有______人． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_________． 13. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … 则它的开口方向________，对称轴为________． 14. 进入九月后，某电器商场为减少库存，对电风扇连续进行两次降价，若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为_________________． 15. 点A（—2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2－2x+m的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1____ y2（ 填“＞”、“＜”、“=”）． 16. 已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位：）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为_____． 17. 如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 三、解答题 18. 解方程： （1） （2） 19. 已知关于的方程． （1）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根． （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 20. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 21. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某种苹果到了收获季节，投入市场销售时，调查市场行情，发现该苹果的销售不会亏本，且该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如表： 销售单价x（元） 10 15 23 28 日销售量y（千克） 200 150 70 m 日销售利润w（元） 400 1050 1050 400 （注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）） （1）求y关于x的函数解析式（要写出x的取值范围）及m的值； （2）根据以上信息，填空：产品的成本单价是　 　元，当销售单价x＝　 　元时，日销售利润w最大，最大值是　 　元； （3）某农户今年共采摘苹果4800千克，该品种苹果的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批苹果？请说明理由 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中A(-3,-4)，B(0,-1)． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值． (3)在二次函数的对称轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $