精品解析：浙江省衢州中等专业学校2024-2025学年高三上学期期初考试数学试题

衢州中等专业学校2024学年第一学期期初考试 22级数学试卷 姓名__________准考证号__________得分__________ 本试题卷共三大题，全卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.所有试题均需在答题纸上作答.未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分.在试卷和草稿纸上作答无效. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸和试卷上. 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上. 4.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每小题2分，10---20小题每小题3分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.错涂、多涂或未涂均无分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 是是第一象限角或第二象限角的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件， D. 既不充分也不必要条件 3. 已知实数a，b，c，则下列不等式成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知向量，，点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数在定义域上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 经过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 在等比数列中，若，是方程的两根，则（ ） A. 4 B. C. 5 D. 11. 已知，，则角的终边落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. “八大碗”是由两冷菜，三大菜，三热炒组成.今有人欲以其中的东坡肉、红烧羊肉、醋鱼汤、韭芽肉皮、老笋干丝、大蒜肉丝共六道菜宴请远方来客，这六道菜要求依次而上，其中红烧羊肉和醋鱼汤不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（ ） A. B. C. D. 13. 已知狄利克雷函数，函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 15. 等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 16. “韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，至少有1名女生的概率是（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 17. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 18. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 19. 已知一个定义域为的函数，它的部分图像如图所示，整个图像关于原点中心对称，则的解集是（ ） A. B. C. D. 20. 已知抛物线的焦点为F，O是坐标原点，点A在抛物线C上，且，点P是抛物线C准线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 函数的定义域为__________.（用区间表示） 22. 计算__________. 23. 若直线过点，则有最小值为__________. 24. 直线与直线的距离是，则__________. 25. 以为焦点坐标的等轴双曲线标准方程是__________. 26. 的展开式中二项式系数最大的项是__________. 27. 一个半径为5的铁球，把球制成如图所示的圆柱，若圆柱底面半径为3，则切削掉的材料体积是__________. 三、解答题（本大题共7小题，共72分）解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 28. 已知， （1）求的值； （2）求的值. 29. 在平面直角坐标系中，圆经过两点和，且圆心在轴上. （1）圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程. 30. 已知是等差数列，其前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 31. 如图所示，直三棱柱的所有棱长为1． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的平面角的正切值． 32. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，求函数的单调递减区间. 33. 若椭圆的上、下焦点分别是，，右顶点是，且的周长为，离心率等于. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于A，B两点，且，求直线的方程. 34. 某乡镇为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，因地制宜将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：kg）与施用肥料x（单位：kg）满足如下关系：，肥料投入成本为10x元，其他投入成本（如培育管理、施肥人工费）为20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/kg，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）. （1）求的函数解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衢州中等专业学校2024学年第一学期期初考试 22级数学试卷 姓名__________准考证号__________得分__________ 本试题卷共三大题，全卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.所有试题均需在答题纸上作答.未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分.在试卷和草稿纸上作答无效. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸和试卷上. 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上. 4.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每小题2分，10---20小题每小题3分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.错涂、多涂或未涂均无分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知解出集合，再由集合的并集运算即可解得. 【详解】由题，，， 则， 故选：D 2. 是是第一象限角或第二象限角的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件， D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质和充要条件的概念求解. 【详解】当时，则是第一象限角或第二象限角或轴正半轴，所以， 当是第一象限角或第二象限角，则，所以， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 3. 已知实数a，b，c，则下列不等式成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合赋值法、对数函数的定义域和不等式的基本性质求解. 【详解】选项A中，若，则，错误； 选项B中，若，根据不等式的基本性质得到，正确； 选项C中，若，则和不成立，错误； 选项D中，若，则不成立，错误； 故选：B 4. 已知向量，，点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性坐标运算即可解得. 【详解】由题，， 则，又知， 则，， 则，即. 故选：C 5. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角之间的关系即可解得. 【详解】由题，直线，即， 则直线斜率，设直线倾斜角为， 则，，故. 故选：A. 6. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列与之间的关系即可解得. 【详解】由题，，则， ，， 故选：D 7. 下列函数在定义域上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数和对数函数的定义域及单调性，即可求解. 【详解】选项A中，的定义域为，函数在区间和上都是单调递减，但是函数在定义域上不是减函数，错误； 选项B中，定义域为，函数在定义域上单调递增，错误； 选项C中，定义域为，函数是对称轴为轴，开口向下的抛物线，函数在上单调递增，在上单调递减，故错误； 选项D中，定义域为，，故函数在定义域上为减函数，正确； 故选：D 8. 经过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直由直线方程求出斜率，再由直线的点斜式方程即可解得. 【详解】由题直线可化为， 则与其垂直的直线斜率为，又过点， 则设与其垂直的直线方程为， 即， 故选：C 9. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的基本解法求解. 【详解】不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 10. 在等比数列中，若，是方程的两根，则（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据韦达定理得到，再根据等比数列的性质求解. 【详解】因为，是方程的两根，所以，， 由得，同号，又故都为正值， 又因为是等比数列，所以， 解得，而，故. 故选：A 11. 已知，，则角的终边落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简题设条件，得到，，即可求解 【详解】因为，所以，即 又，所以， 在平面直角坐标系中，当时，角的终边可能落在第三、四象限及轴负半轴， 当时，角的终边可能落在第一、四象限及轴正半轴， 综上，角的终边落在第四象限， 故选：D 12. “八大碗”是由两冷菜，三大菜，三热炒组成.今有人欲以其中的东坡肉、红烧羊肉、醋鱼汤、韭芽肉皮、老笋干丝、大蒜肉丝共六道菜宴请远方来客，这六道菜要求依次而上，其中红烧羊肉和醋鱼汤不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据排列数的计算和插空法即可解得. 【详解】由题，六道菜要依次而上，且红烧羊肉和醋鱼汤不能接连相邻上菜， 则先对其余四道菜排列有种， 再将红烧羊肉和醋鱼汤进行插空，有种排法， 故共有种排法， 故选：A 13. 已知狄利克雷函数，函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先分析是无理数，得到，再代入的解析式，即可求解 【详解】因为，而是无理数， 所以， 即， 故选：C 14. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先根据和差化积得到，再根据三角形内角和诱导公式得到，即可求解. 【详解】可化为，即， 在中，,所以， 得到，即， 又,所以， 所以是钝角三角形， 故选：B. 15. 等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和求和公式即可解得. 【详解】由题，， 则，故， 则， 故选：B 16. “韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，至少有1名女生的概率是（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】先不考虑性别计算选择2人的方案数，再计算无女生参加的方案数，即可得到至少1名女生参加的方案数，即可求解. 【详解】小组有4名男生和2名女生，总共有人， 任选2名同学参加比赛的方案有种， 无女生的方案有种，所以至少有1名女生的方案有种， 故至少有1名女生的概率是, 故选：C. 17. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程即可解得. 【详解】由题整理得，，则， 则抛物线的准线方程为：， 故选：C 18. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断ABC；利用线面垂直的性质判断D作答. 【详解】对于A，在长方体中，平面为平面，分别为直线， 显然满足，而，此时不成立，A错误； 对于B，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线， 显然满足，而，此时不成立，B错误； 对于C，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线， 显然满足，而，此时不成立，C错误； 对于D，因为，由线面垂直的性质知，，D正确. 故选：D 19. 已知一个定义域为的函数，它的部分图像如图所示，整个图像关于原点中心对称，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像和函数对称性即可解得. 【详解】由题，函数关于原点对称，又由图可知时，， 因为函数图象关于原点中心对称， 所以时，， 故的解集为， 故选：C 20. 已知抛物线的焦点为F，O是坐标原点，点A在抛物线C上，且，点P是抛物线C准线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程写出焦点和准线，设出抛物线上的点进行求解，最后由中垂线性质即可解得. 【详解】由题，将抛物线方程化为标准方程为， 则焦点，准线，设， 则，解得代入抛物线方程， 可得（假设在轴右侧），故， 则点关于准线方程对称的点为， 如下图所示： 由中垂线性质可得， 故选：B 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 函数的定义域为__________.（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据不同类型函数的定义域进行计算，最后由区间表示即可解得. 【详解】由题，则， 解得，即定义域为， 故答案为： 22. 计算__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数、对数、阶乘、三角函数的综合计算即可解得. 【详解】 ， 故答案为： 23. 若直线过点，则有最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将点坐标代入直线方程，得到，将转化成，再结合基本不等式进行计算. 【详解】因为线过点，所以， ， 根据基本不等式可知，， 当且仅当即时，等号成立， 所以有最小值为. 故答案为： 24. 直线与直线的距离是，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据两平行直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与直线的距离是且，所以两条直线平行， 所以根据两平行直线间的距离公式得到, 解得或， 经检验，或均符合条件， 故答案为：或 25. 以为焦点坐标的等轴双曲线标准方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知设出双曲线方程，再由焦点坐标和双曲线的性质即可解得. 【详解】由题，可设等轴双曲线标准方程为， 又知焦点为，则， 又，则解得， 故双曲线方程为， 故答案为：. 26. 的展开式中二项式系数最大的项是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数性质知：的展开式中二项式系数最大的项是第四项，利用二项展开式的通项公式即可求出. 【详解】由题意可知，的展开式中二项式系数最大的项是第四项， ， 的展开式中二项式系数最大的项是. 故答案为：. 27. 一个半径为5的铁球，把球制成如图所示的圆柱，若圆柱底面半径为3，则切削掉的材料体积是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据球与圆柱的体积公式，结合题意即可求解. 【详解】由题意得，铁球的半径,圆柱底面的半径， 所以圆柱的高， 故铁球的体积， 圆柱的体积， 所以切削掉的材料体积. 故答案为：. 三、解答题（本大题共7小题，共72分）解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 28. 已知， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正余弦的齐次式的化简即可求解； （2）根据二倍角公式，结合同角三角函数的平方关系及正余弦的齐次式的化简，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 29. 在平面直角坐标系中，圆经过两点和，且圆心在轴上. （1）圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标得到圆的标准方程，代入圆上点的坐标，即可求解. （2）分析切线斜率存在与否，若存在，则设其点斜式方程，根据圆心到到切线的距离为半径，即可求解. 【小问1详解】 设圆心坐标为，圆的半径为，圆的标准方程为， 又圆经过两点和， 代入得到，解得， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 若过点的切线斜率不存在，则是圆的切线， 若过点的切线斜率存在，设切线方程为，即 则圆心到直线的距离为， 化简得，得到， 切线方程为，即， 所以过点作圆的切线方程为或. 30. 已知是等差数列，其前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式和前项和公式基本量的计算即可解得. （2）根据裂项相消法进行求和即可解得. 【小问1详解】 设等差数列公差为，则， 解得，故. 【小问2详解】 由题，， 故. 31. 如图所示，直三棱柱的所有棱长为1． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的平面角的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三棱锥体积公式求解. （2）先找到二面角位置，然后求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 过点作，连接， ∵平面，是在平面内的射影， ∴（三垂线定理） ∴是二面角的平面角． 在等边中，， 在中，， ∴， 所以二面角的平面角的正切值为． 32. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，求函数的单调递减区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简函数，再根据最小正周期公式求解. （2）先分析函数的递减区间，再分析时的递减区间，即可求解. 【小问1详解】 ， 所以, 即函数的最小正周期为. 【小问2详解】 令， 得到， 所以函数的递减区间为，结合， 由， 所以当时，函数的单调递减区间为. 33. 若椭圆的上、下焦点分别是，，右顶点是，且的周长为，离心率等于. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于A，B两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意得到，，，即的周长为，再结合离心率，得到，即可求解. （2）设直线方程和交点坐标，联立直线方程与椭圆方程，得到和，再结合，即可求解. 【小问1详解】 椭圆的上、下焦点分别是，，右顶点是，， 所以的周长为， 又离心率，即， 解得， 所以椭圆的标准方程为 【小问2详解】 过点的直线与椭圆交于A，B两点，，点为椭圆外轴上的一点，显然直线的斜率存在且不为， 设，直线方程为，即， 联立方程组， 消去得到，则， 消除得到，则， 又因为，即，，所以， 所以，即，解得， 得到直线方程为或， 故直线方程为或. 34. 某乡镇为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，因地制宜将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：kg）与施用肥料x（单位：kg）满足如下关系：，肥料投入成本为10x元，其他投入成本（如培育管理、施肥人工费）为20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/kg，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）. （1）求的函数解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是480元. 【解析】 【分析】（1）根据利润等于收入减去成本，建立函数关系式，即可求解. （2）根据分段函数和二次函数的性质，计算时最大利润，再根据基本不等式计算时的最大利润，即可求解. 【小问1详解】 因为肥料投入成本为10x元，其他投入成本（如培育管理、施肥人工费）为20x元，这种水果的市场售价大约为15元/kg，且， 所以 ， 即的函数解析式为， 【小问2详解】 由（1）得， 当时，（元）， 当时，（元）， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以当时，（元）. 所以施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是480元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $