5.3 一元一次方程的应用（3）导学案 2024-—2025学年北师大版数学七年级上册

课题 §5.3 一元一次方程的应用（3） 主备 审阅 七年数学备课组 时间 课型 新 授 授课教师 一、学习目标——目标明确、有的放矢 1．学会能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系,从而列出方程,解决问题； 2．体会采用代数方法解应用题的优越性。 二、温馨提示——方法得当、事半功倍 学习重点：学会利用方程解决行程问题； 学习难点： 学会找等量关系列方程。 三、课堂探究——质疑解疑、合作探究 探究点 直线跑道相遇问题 甲、乙两车分别从相距360 km的两地相向而行，已知甲车的速度是60 km/h，乙车的速度是40 km/h。若甲车先开出1 h，则乙车开出多长时间后两车相遇？ （1）问题中有哪些已知量和未知量？ （2）想象一下相遇的过程，小明用一个图直观表示问题中各个量之间的关系，你看懂了吗？ （3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。 找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系。这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系。 【例题】小明和小刚从相距25km的两地同时出发，相向而行，3h后两人相遇，小明的速度为4 km/h，设小刚的速度为x km/h，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【练习】甲、乙两人骑自行车从相距65 km的两地同时出发，相向而行，2h后相遇，若甲比乙每小时多骑2.5km，则乙的速度是（　　） A.12.5 km/h B. 15 km/h C. 17.5 km/h D. 20 km/h 探究点 直线跑道追及问题 小明每天早上要到距家 1000m 的学校上学。一天，小明以 80m/min 的速度出发，出发后 5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以 180 m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ （1）问题中有哪些已知量和未知量？ （2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？ （3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。 根据等量关系，可列出方程： 。 解这个方程，得x＝ 。 因此，爸爸追上小明用了 min，此时距离学校还有 m。 【例题】古代名著《算术启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日， 问良马几何追及之。意思是：跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走150 里，慢马先走 12天，那么快马几天可以追上慢马？ 【练习】妈妈和弟弟从家里出发一同去外婆家，他们走了1 h后，哥哥发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以6 km/h的速度去追.如果妈妈和弟弟步行的速度为2 km/h，他们从家里到外婆家需要1.75 h，试通过计算说明哥哥能否在妈妈和弟弟到外婆家之前追上他们。 探究点 环形跑道相遇与追及问题 【例题】小明和小华两人在400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260m，小华每分钟跑300m，两人起跑时站在跑道同一位置。 （1）如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？ 【练习】小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m。 （1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？ （2）如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10m处，两人同时同向起跑，经过几秒小强能追上小彬？ ( 思考 . 交流 )用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流。 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示： ( 回顾 . 反思 )回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了哪些经验？ 第五章 一元一次方程 第五章 一元一次方程 第 200 页 §5.3 一元一次方程的应用（3） §5.3 一元一次方程的应用（3） 第 199 页 学科网（北京）股份有限公司 四、巩固提升——有效训练、反馈矫正 1．甲车从A地开往B地，速度是60km/h；乙车沿同一路线同时从B地开往A地，速度是90km/h。已知A，B 两地相距200km，两车相遇的地方离 A 地________ km。 2．一条环形跑道400米，小明跑步每秒行9米，爸爸骑车每秒16米，两人同时同地反向而行，经过________秒两人首次相遇． 3．父子二人早上去公园晨练，父亲从家跑步到公园需30分钟，儿子只需20分钟，�如果父亲比儿子早出发5分钟，儿子追上父亲需（ ） A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟 4．小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A，B两地间的路程． 5．A、B两地相距450千米，如果甲、乙分别从A、B两地同时出发相向而行，甲每小时行120千米，乙每小时行80千米，那么经过x小时两人相距50千米，则x的值是（ ） A．2或2.5 B．2或10 C．10或12.5 D．2或12.5 6. 小明在公路上行走，速度是6千米/时，一辆车身长20米的汽车从背后驶来，并从小明身旁驶过，驶过小明身旁的时间是1.5秒，则汽车行驶的速度是________54千米/时。 7. 小明和小强两人在学校400米长的环形操场跑 道匀速跑步，小明的速度是小强的1.5倍。两人同时从同一起点同向出发，4分钟后小明第一次追上小强。 （1）求小明和小强两人跑步的速度； （2）如果小明和小强两人同时从同一起点背向出发，经过多长时间两人恰好第三次相遇？ ( 五、学后记---反思静悟、体验成功 ) $$