期中培优提升：第一单元长方体和正方体（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学 苏教版

长方体和正方体 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．长方体的特征 长方体的特征： 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 2．正方体的特征 正方体的特征： ①8个顶点． ②12条棱，每条棱长度相等． ③相邻的两条棱互相垂直． 3．长方体的展开图 长方体展开图形如下情况： 4．长方形、正方形的面积 长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab 正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢． （2）其他求法可通过分割补，灵活性高． 5．长方体和正方体的表面积 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 6．长方体和正方体的体积 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 第三部分 典型例题 例题1：把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的长是，这个长方体的表面积和体积各是多少？ 【分析】把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，减少了两个正方形的面，还剩个正方形的面；长方体的体积就等于两个正方体的体积和；这个长方体的长是，那么原来正方体的棱长就是，然后根据正方体表面积公式：和体积公式解答即可． 【解答】解：（厘米） （平方厘米） （立方厘米） 答：这个长方体的表面积是250平方厘米，体积是250立方厘米． 【点评】解答此题的关键是：弄清楚长方体的表面积和两个正方体的表面积的关系、长方体的体积与正方体的体积之间的关系． 例题2：一个长方体铁块，被截成两个完全相同的正方体（如图），如果两个正方体的棱长总和比原来长方体的棱长总和增加了，那么原来长方体的棱长之和是多少厘米？ 【分析】由题意知道：分成两个正方体的棱长之和比原长方体增加16厘米，即增加的8条棱的长度和是16厘米，进而用得出正方体一条棱的长度（厘米）．由于后来正方体的棱长是原来长方体长的一半，所以原来长方体的长是：（厘米），原长方体的宽和高就是正方体的棱长2厘米，就可以根据长方体的棱长和（长宽高），可得此题的解． 【解答】解：正方体的棱长，即长方体的宽和高：（厘米） 长方体的长：（厘米） 长方体的棱长和： （厘米） 答：原来长方体的棱长之和是32厘米． 【点评】此题应结合题意进行分析，理解增加两个面，增加了8条棱，然后根据题中给出的条件，求出一条棱的长度，是解答此题的关键． 例题3：把2个长3分米、宽和高都为2分米的长方体铁箱堆放在墙角处，有几种堆法？露在外面的面积各是多少？请你画一画，算一算． 【分析】解答此题可以先摆一摆，画一画，然后根据图形露出的面积再进行计算解答问题． 【解答】解：一共有4种不同的堆法，画图如下： （1）有3个的面和2个的面露在外面 （平方分米） 答：露在外面的面积是26平方分米． （2）有4个的面和1个的面露在外面 （平方分米） 答：露在外面的面积是28平方分米． （3）有4个的面和3个的面露在外面 （平方分米） 答：露在外面的面积是36平方分米． （4）有3个的面和2个的面露在外面 （平方分米） 答：露在外面的面积是26平方分米． 【点评】解答此题关键是画出图形，找出露在外面的面都有哪几个，再计算露在外面的面积即可解答问题． 例题4：用三个棱长为的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是多少？ 【分析】三个大小相等的正方体，一共有个棱长，拼成一个长方体后，棱长比原来减少了16个，所以拼组后的长方体的棱长是个正方体的棱长之和，由此即可解答． 【解答】解： （厘米） 答：这个长方体的棱长总和是120厘米． 【点评】根据3个小正方体拼组长方体的特点，求出拼组后的长方体的棱长是由几个小正方体的棱长组成的是解决本题的关键． 第四部分 高频真题 1．“度量衡”包含三个方面：“度”用来计量长短；“量”用来测定容积大小；“衡”用来测量物体轻重。“商鞅变法”的重要物证商鞅方升，负责的就是其中的“量”，全长，内口长约，宽约，深约，容积便是商鞅规定的“一升”。 （1）请将上面有关商鞅方升的尺寸信息标在下面的图片上。 （2）算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的多少升？（得数保留一位小数） 2．明明的爸爸利用废旧的木板做了一个一面无门的小鞋柜（如图），制作这样一个小鞋柜，至少需要多少平方分米的木板？ 3．学校要粉刷一间教室的四壁和顶面。已知教室的长是，宽，高是，现在要进行粉刷墙壁。扣除门窗的面积，要粉刷的面积是多少？ 4．一个新建的游泳池宽是25米，长是宽的2倍，深2.8米。现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，至少需要贴多少平方米的瓷砖？ 5．一个长方体的长是，如果将长增加，则体积增加，那么，原来长方体的体积是多少？ 6．一个长方体，如果把它的高减少，长和宽不变，就变成了一个棱长为的正方体。原来的长方体体积是多少立方厘米？ 7．如图，81个边长为1的小正方形组成正方形。我们把小正方形的顶点都称为格点。 （1）若在正方形的四个角处都剪掉四个相等的小正方形后，剩余部分恰好能折叠成一个无盖的正方体，求出该正方体的体积。 （2）蚂蚁要沿着小正方形的边从点出发爬到点，只能向右或向上爬。速度是每秒钟爬两个单位，请说明：蚂蚁爬达终点的时间是否会随着爬行路径的不同而发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出这个时间。 （3）真真和诚诚利用该正方形做游戏，规定从点出发，每次只能沿小正方形的边向右或向上走，每次只能走1个或两个单位长度，谁先到达点谁获胜。真真先走，诚诚后走。请问：两个同学中谁有必胜把握？怎样操作才能必胜？ 8．一种长方体铁皮烟卤，长和宽都是4分米，高为5米，制这样一节烟卤至少需要多少平方分米的铁皮？ 9．一节长方体火车车厢，从里面量长，宽，车厢里装的煤高。每立方米煤重1.2吨，这节车厢里的煤重多少吨？ 10．家具厂订购800根方木，每根方木的横截面的面积是2.4平方分米，长是3米，这些方木一共是多少立方米？ 11．请认真阅读以下内容，选择相关信息解答问题。 “国信1号”是我国制造出的全球首艘深海养鱼船，船长249.9米，排水量13万吨，它是在海上的移动养殖工程，可以养殖大黄鱼、石斑鱼等多种名优鱼种，它是全球设计规模最大，功能最齐全，实用性最好的养鱼船，有15个养殖舱，总养殖水量约是42个标准游泳池的水量，养殖密度是传统网箱的倍，养殖周期可以缩短四分之一左右。 （1）一个标准游泳池的长是50米，宽是21米，深2米。“国信1号”养殖舱的总养殖水量共约多少立方米？ （2）如果一种海鱼在养鱼船中的养殖周期约是12个月，那么这种鱼原来的养殖周期约是多少个月？ 12．如图是一个长方体容器，长、宽，高（数据均为内部测量）。 （1）这个容器能装多少升水？ （2）在这个容器中注入深的水，再将一个棱长是的正方体铁块放入水中（完全浸没）。溢出水的体积是多少毫升？ 13．一个长方体的玻璃容器，从里面量，长是40厘米，宽是30厘米，高是45厘米。向容器里注水，当长方体的水柱第一次出现正方形面时，容器里面有多少升水？ 14．如图，在一块长46厘米、宽26厘米的长方形铁皮的四个角上分别剪掉一个面积相同的正方形后，正好可以折成一个高6厘米的无盖铁盒。求这个铁盒的容积。（铁皮的厚度忽略不计） 15．把一块棱长6厘米的正方体钢坯，锻造成长2.4分米，宽1分米的长方体钢板，这块钢板有多厚？（损耗不计） 16．一根长1米的钢材，沿横截面截成两段后，表面积增加了4平方分米，原来这段长方体钢材的体积是多少立方分米？ 17．用一根60分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，若要在这个框架的表面焊上一层铁皮，至少需要多少平方分米的铁皮？ 18．一根长2米的长方体木料锯成2段后，表面积增加了60平方厘米。这根木料的体积是多少立方厘米？ 19．一个无盖长方体木箱，长2米，宽6分米，高是长的一半，做这样两个木箱至少用木板多少平方米？ 20．一台冰柜，从外面量，长，宽，高；从里面量长，宽，深。这台冰柜的容积是多少？ 21．做一个棱长5分米的正方体无盖玻璃鱼缸，需要多大面积的玻璃？ 22．一个正方体的棱长总和是，它的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 23．小聪正在给好朋友芳芳包装生日礼物（如图，单位：。打结处用了长的丝带，包装这个礼盒至少需要用多少厘米长的丝带？ 24．乐乐参加学校手工制作社团，他用一根铁丝正好制作一个长是，宽是，高是的长方体。他如果想用这根铁丝制作一个正方体，请同学们帮他设计一下，正方体的棱长应该是多少厘米？ 25．笑笑将一个棱长为6厘米的正方体橡皮泥捏成一个长方体，若这个长方体的高是4厘米，宽是3厘米，这个长方体的长是多少分米？ 26．一个长方体的玻璃缸，长9分米，宽8分米，高6分米，水深4.5分米，如果投入一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水会溢出吗？如果溢出，会溢出多少升？ 27．一个长50厘米、宽30厘米、高40厘米的鱼缸中盛有37.5升水，放入几条金鱼后，水面上升了1厘米。这几条金鱼的体积是多少立方分米？ 28．一间教室长，宽、高，门窗和黑板的面积一共是，要粉刷这间教室的四周和房顶，粉刷的面积是多少平方米？ 29．小明要做一个长15厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体形状的纸盒。 （1）做这个纸盒至少需要多少平方厘米的纸板？ （2）这个纸盒体积有多大？ 30．有一个长方体玻璃容器，长，宽，高，向容器内倒水，当容器中的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，水的体积是多少立方厘米？ 31．用12个棱长1厘米的正方体木块摆成不同形状的长方体，有多少种不同的摆法？它们的长、宽、高各是多少？体积各是多少？ 32．一个长方体长为36厘米，宽为18厘米，高为12厘米，可以截成多少个棱长为2厘米的正方体？ 33．如图，这个长方体是用体积为的小正方体拼成的。它的体积是多少立方厘米？ 34．如图，把一个长、宽、高分别为、、的长方体木块沿着一个方向锯开，能够得到两个小一些的长方体木块。怎样锯才能使得到的两个小长方体木块的表面积之和最小？请在图中画一画，并求出锯开后的两个小长方体木块的表面积之和。 35．快乐提升： 把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，一个截面的面积是．如果原来圆锥的高是，那么它的底面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？（得数保留两位小数） 36．文具盒的长、宽、高如图所示．用一张大包装纸将8个这样的文具盒包起来（如图），至少需要多大面积的包装纸？（接头处不计） 37．把24块棱长1厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的长宽高可能是多少？ 38．用棱长是2厘米的正方体，拼成一个正方体，最少需要几个小正方体？拼成的正方体的棱长之和是多少厘米？ 39．一个棱长为1分米的正方体木块，如果把它锯成棱长为1厘米的正方体木块，这些小正方体的表面积的总和是多少？表面积增加多少平方分米？ 40．一块长方形板长15分米，宽是8分米，在它的四个角各切下一个边长是6厘米的正方形，余下的部分用形包边条包起来，需要多长的形包边条？ 41．如图，把一根长18米的长方体木料截成3段，表面积总和比原来增加了2.4 平方米．你知道原来长方体木料的体积是多少立方米吗？ 42．有30个，摆成如图的物体，可以摆多少个？ 43．一个集装箱长12.5米，宽3.2米，高4.5米，往这个集装箱中装1立方米的大正方体木箱，最多能装多少个？ 44．如图是由9个棱长为的小正方体组成的． （1）以“”为单位，用分数表示这个长方体的长是　　，宽是　　． （2）这个长方体上面的面积是后面的面积的几分之几？前面的面积占长方体表面积的几分之几？ （3）在图中涂出长方体体积的． 45．把一个棱长是5厘米的正方体木块锯成棱长为1厘米的小正方体木块，然后把这些小正方体木块排成一行成为长方体．这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 46．用8个完全一样的小正方体可以搭成一个大正方体。现在有79个这样的小正方体，最多可以搭几个大正方体？还剩几个小正方体？ 47．一个长方体木块，长12分米，宽9分米，高7分米，将它锯成棱长3分米的正方体小木块，最多可锯多少块？ 48．把一个正方体切成两个长方体，这两个长方体表面积的和是原来正方体表面积的百分之几？（百分号前保留一位小数） 49．将4个棱长为1厘米的小正方体拼成一个大长方体，怎样摆，露在外面的面积会最大？画一画，算一算，露在外面的面积最大是多少平方厘米？ 50．用2个长5厘米，宽4厘米，高2厘米的长方体拼成一个大长方体， （1）若使拼成的大长方体的表面积最大，最大是多少？ （2）若使拼成的大长方体表面积最小，最小是多少？ （3）用哪种方法包装最省材料． 51．将一个棱长15厘米的正方体木块锯成棱长5厘米的小正方体，锯完后表面积增加了多少？ 52．把棱长为的立方体切割成棱长是的小立方体，把这些小立方体一个挨一个地连起来，可以排多长？ 53．把一个长，宽，高的长方体，切割成两个大小相等的正方体，这个正方体的棱长和是多少？ 54．用边长为，宽为，高为的长方体木块叠成一个正方体，至少需要多少块这种长方体木块？ 55．将两个棱长都是5厘米的正方体小方块拼成一个长方体．这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积呢？ 56．如图，笑笑用8个棱长为的小正方体拼成了一个稍大一些的正方体，淘气看到后拿走了1个小正方体，这时这个立体图形的表面积会怎样变化？现在的表面积是多少？ 参考答案与试题解析 1．“度量衡”包含三个方面：“度”用来计量长短；“量”用来测定容积大小；“衡”用来测量物体轻重。“商鞅变法”的重要物证商鞅方升，负责的就是其中的“量”，全长，内口长约，宽约，深约，容积便是商鞅规定的“一升”。 （1）请将上面有关商鞅方升的尺寸信息标在下面的图片上。 （2）算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的多少升？（得数保留一位小数） 【答案】（1）；（2）0.2升。 【分析】（1）根据题干中数据在图上标注即可解答。 （2）长方体体积长宽高，容积通过根据体积计算公式进行计算，再代入数据计算即可求出容积。 【解答】解：（1）标注如下： （2） （立方厘米） 201.25立方厘米立方分米 0.20125立方分米立方分米 0.2立方分米升 答：商鞅规定的“一升”大约相当于现在的0.2升。 【点评】此题考查长方体体积计算公式的应用。掌握长方体体积计算公式是解答的关键。 2．明明的爸爸利用废旧的木板做了一个一面无门的小鞋柜（如图），制作这样一个小鞋柜，至少需要多少平方分米的木板？ 【答案】142.5平方分米。 【分析】通过观察图形可知，需要木板的面积等于这个长方体的后面、上下、左右5个面的总面积，根据长方体的表面积公式解答。 【解答】解： （平方厘米） 14250平方厘米平方分米 答：至少需要142.5平方分米的木板。 【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活应用，关键是熟记公式。 3．学校要粉刷一间教室的四壁和顶面。已知教室的长是，宽，高是，现在要进行粉刷墙壁。扣除门窗的面积，要粉刷的面积是多少？ 【答案】。 【分析】首先搞清这道题是求长方体的表面积，其次这个长方体的表面由五个长方形组成，缺少下面，最后计算这五个面的面积减去门窗的面积，由此解决问题。 【解答】解： （平方米） 答：要粉刷的面积是。 【点评】关键是掌握长方体表面积求法，长方体表面积（长宽长高宽高）。 4．一个新建的游泳池宽是25米，长是宽的2倍，深2.8米。现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，至少需要贴多少平方米的瓷砖？ 【答案】1670平方米。 【分析】把这个游泳池看成一个长方体，需要贴瓷砖的是其5个面，缺少上面，根据长方体表面积的求法求出这5个面的面积即可。 【解答】解：（米 （平方米） 答：一共需要贴1670平方米的瓷砖。 【点评】此题是长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积。 5．一个长方体的长是，如果将长增加，则体积增加，那么，原来长方体的体积是多少？ 【答案】62.5立方厘米。 【分析】根据长方体的体积底面积高，用增加的体积除以增加的长，求出原来长方体的底面积，然后把数据代入公式求出原来长方体的体积。 【解答】解： （立方厘米） 答：原来长方体的体积是62.5立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 6．一个长方体，如果把它的高减少，长和宽不变，就变成了一个棱长为的正方体。原来的长方体体积是多少立方厘米？ 【答案】1300立方厘米。 【分析】根据题意可知，这个长方体的长和宽都是10厘米，高是厘米，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解： （立方厘米） 答：原来的长方体体积是1300立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 7．如图，81个边长为1的小正方形组成正方形。我们把小正方形的顶点都称为格点。 （1）若在正方形的四个角处都剪掉四个相等的小正方形后，剩余部分恰好能折叠成一个无盖的正方体，求出该正方体的体积。 （2）蚂蚁要沿着小正方形的边从点出发爬到点，只能向右或向上爬。速度是每秒钟爬两个单位，请说明：蚂蚁爬达终点的时间是否会随着爬行路径的不同而发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出这个时间。 （3）真真和诚诚利用该正方形做游戏，规定从点出发，每次只能沿小正方形的边向右或向上走，每次只能走1个或两个单位长度，谁先到达点谁获胜。真真先走，诚诚后走。请问：两个同学中谁有必胜把握？怎样操作才能必胜？ 【答案】（1）27； （2）不会随着爬行路径的不同而发生变化，一共需要9秒。 （3）诚诚必胜；真真先走，如果真真走1个单位，则诚诚走2个单位长度；如果真真走2个单位长度，则诚诚走1个单位长度。无论怎样，最后都是诚诚先到达点。 【分析】（1）根据题意，把大正方形平均分成3份，每一份长就是正方体的棱长，利用正方体体积公式：，计算即可； （2）根据蚂蚁的爬行路线可知，无论哪条路线，都等于的长，据此利用路程速度时间，计算即可； （3）从沿小正方形的边向右或向上走到，一共要走18格，如果真真先走，无论如何走，诚诚比胜。根据“抢30”的游戏原理说明理由即可。 【解答】解：（1）（格 答：正方体的体积是27。 （2）（秒 答：蚂蚁爬达终点的时间不会随着爬行路径的不同而发生变化，一共需要9秒。 （3）（组 答：真真先走，如果真真走1个单位，则诚诚走2个单位长度；如果真真走2个单位长度，则诚诚走1个单位长度。无论怎样，最后都是诚诚先到达点。所以诚诚必胜。 【点评】本题主要考查正方体体积公式的应用及“抢30”游戏规则的应用。 8．一种长方体铁皮烟卤，长和宽都是4分米，高为5米，制这样一节烟卤至少需要多少平方分米的铁皮？ 【答案】800平方分米。 【分析】根据生活经验可知，长方体形状的烟囱只有4个侧面，没有底面，根据长方体的侧面积底面周长高，把数据代入公式解答。 【解答】解：5米分米 （平方分米） 答：制这样一节烟囱至少需要800平方分米的铁皮。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用，长方体的侧面积公式及应用。 9．一节长方体火车车厢，从里面量长，宽，车厢里装的煤高。每立方米煤重1.2吨，这节车厢里的煤重多少吨？ 【答案】72吨。 【分析】根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出煤的体积，然后用煤的体积乘每立方米煤的质量即可。 【解答】解： （吨 答：这节车厢里的煤重72吨。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 10．家具厂订购800根方木，每根方木的横截面的面积是2.4平方分米，长是3米，这些方木一共是多少立方米？ 【答案】57.6立方米。 【分析】根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出这样的一根方木的体积，然后再乘方木的根数即可。 【解答】解：2.4平方分米平方米 （立方米） 答：这些方木一共是57.6立方米。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 11．请认真阅读以下内容，选择相关信息解答问题。 “国信1号”是我国制造出的全球首艘深海养鱼船，船长249.9米，排水量13万吨，它是在海上的移动养殖工程，可以养殖大黄鱼、石斑鱼等多种名优鱼种，它是全球设计规模最大，功能最齐全，实用性最好的养鱼船，有15个养殖舱，总养殖水量约是42个标准游泳池的水量，养殖密度是传统网箱的倍，养殖周期可以缩短四分之一左右。 （1）一个标准游泳池的长是50米，宽是21米，深2米。“国信1号”养殖舱的总养殖水量共约多少立方米？ （2）如果一种海鱼在养鱼船中的养殖周期约是12个月，那么这种鱼原来的养殖周期约是多少个月？ 【答案】（1）88200立方米；（2）9个月。 【分析】（1）先利用长方体的体积，求出一个游泳池养殖水量，然后再乘42即可求解； （2）原来的养殖周期约是12个月，现在养殖周期可以缩短四分之一左右，把原来的养殖周期看成单位“1”，那么现在的养殖周期就占原来养殖周期的，然后根据分数乘法的意义求解。 【解答】解：（1） （立方米） 答：国信1号”的养殖舱的养殖水量共约88200立方米。 （2） （个 答：这种鱼在养鱼船中的养殖周期约是9个月。 【点评】此题主要考查长方体体积的计算方法在实际生活中的应用以及分数乘法的意义，注意计算结果要准确。 12．如图是一个长方体容器，长、宽，高（数据均为内部测量）。 （1）这个容器能装多少升水？ （2）在这个容器中注入深的水，再将一个棱长是的正方体铁块放入水中（完全浸没）。溢出水的体积是多少毫升？ 【答案】（1）0.96升； （2）65毫升。 【分析】（1）根据长方体的体积（容积）公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据题意可知，将铁块放入这个容器中，溢出水的体积等于铁块的体积减去容器中无水部分的体积。根据正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1） （立方厘米） 960立方厘米升 答：这个容器能装0.96升水。 （2） （立方厘米） 65立方厘米毫升 答：溢出水的体积是65毫升。 【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式、正方体的体积公式的灵活应用，关键是熟记公式。 13．一个长方体的玻璃容器，从里面量，长是40厘米，宽是30厘米，高是45厘米。向容器里注水，当长方体的水柱第一次出现正方形面时，容器里面有多少升水？ 【答案】36升。 【分析】根据题意可知，当注水的高度等于30厘米时，第一次出现正方形面，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解： （立方厘米） 36000立方厘米升 答：容器里面有36升水。 【点评】此题主要考查长方体体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 14．如图，在一块长46厘米、宽26厘米的长方形铁皮的四个角上分别剪掉一个面积相同的正方形后，正好可以折成一个高6厘米的无盖铁盒。求这个铁盒的容积。（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】2856立方厘米。 【分析】根据题意，在长方形铁皮的四个角上分别剪掉一个面积相同的正方形后，折成一个高6厘米的无盖铁盒，那么这个正方形的边长是6厘米；则长方形铁皮的长、宽分别减去2个6厘米，即是长方体铁盒的长与宽；根据长方体的体积（容积）公式，求出这个铁盒的容积。 【解答】解：长方体铁盒的长：（厘米） 长方体铁盒的宽：（厘米） （立方厘米） 答：这个铁盒的容积是2856立方厘米。 【点评】本题考查的是长方体体积公式的应用。 15．把一块棱长6厘米的正方体钢坯，锻造成长2.4分米，宽1分米的长方体钢板，这块钢板有多厚？（损耗不计） 【答案】0.9厘米。 【分析】首先求出正方体钢坯体积，用求得的体积除以长方体钢板底面积即可解答。 【解答】解： （立方厘米） （平方分米） 2.4平方分米平方厘米 （厘米） 答：这块钢板厚0.9厘米。 【点评】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 16．一根长1米的钢材，沿横截面截成两段后，表面积增加了4平方分米，原来这段长方体钢材的体积是多少立方分米？ 【答案】20立方分米。 【分析】根据题意可知：把这个长方体钢材横截成两段，表面积增加的是两个截面的面积，由此可以求出底面积，再根据长方体的体积底面积高，把数据代入公式解答即可。 【解答】解：1米分米 （立方分米） 答：原来这段长方体钢材的体积是20立方分米。 【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 17．用一根60分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，若要在这个框架的表面焊上一层铁皮，至少需要多少平方分米的铁皮？ 【答案】150平方分米。 【分析】根据正方体的棱长总和棱长，那么棱长棱长总和，据此求出棱长，再根据正方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：（分米） （平方分米） 答：至少需要150平方分米的铁皮。 【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 18．一根长2米的长方体木料锯成2段后，表面积增加了60平方厘米。这根木料的体积是多少立方厘米？ 【答案】6000立方厘米。 【分析】根据题意可知，把这根长方体木料横截成2段，表面积增加2个截面的面积，据此可以求出一个截面的面积，然后根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：2米厘米 （立方厘米） 答：这根木料的体积是6000立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 19．一个无盖长方体木箱，长2米，宽6分米，高是长的一半，做这样两个木箱至少用木板多少平方米？ 【答案】12.8平方米。 【分析】求木箱的表面积，这是一个无盖的木箱，用4个侧面的面积加一个底面的面积求出一个木箱至少用木板多少平方米，再乘2即可。 【解答】解：6分米米 （米 （平方米） （平方米） 答：做这样两个木箱至少用木板12.8平方米。 【点评】本题考查了长方体表面积计算方法的运用。 20．一台冰柜，从外面量，长，宽，高；从里面量长，宽，深。这台冰柜的容积是多少？ 【答案】324升。 【分析】根据长方体的容积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解： （立方分米） 324立方分米升 答：这台冰柜的容积是324升。 【点评】此题主要考查长方体容积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 21．做一个棱长5分米的正方体无盖玻璃鱼缸，需要多大面积的玻璃？ 【答案】125平方分米。 【分析】由于鱼缸是无盖的，所以需要玻璃的面积就是这个正方体的5个面的总面积，根据正方形的面积公式：，求出一个面的面积，再乘5即可解答。 【解答】解： （平方分米） 答：需要125平方分米的玻璃。 【点评】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 22．一个正方体的棱长总和是，它的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 【答案】150平方分米，125立方分米。 【分析】根据正方体的棱长总和棱长，那么棱长棱长总和，据此求出棱长，再根据正方体的表面积棱长棱长，正方体的体积棱长棱长棱长，把数据代入公式解答。 【解答】解：（分米） （平方分米） （立方分米） 答：它的表面积是150平方分米，体积是125立方分米。 【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 23．小聪正在给好朋友芳芳包装生日礼物（如图，单位：。打结处用了长的丝带，包装这个礼盒至少需要用多少厘米长的丝带？ 【答案】95厘米。 【分析】根据题意和图形可知，所需丝带的长度等于2条长条宽条高结头用的13厘米，由此列式解答。 【解答】解： （厘米） 答：包装这个礼盒至少需要用95厘米长的丝带。 【点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些棱的长度和。 24．乐乐参加学校手工制作社团，他用一根铁丝正好制作一个长是，宽是，高是的长方体。他如果想用这根铁丝制作一个正方体，请同学们帮他设计一下，正方体的棱长应该是多少厘米？ 【答案】8厘米。 【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和（长宽高），因为正方体的棱长总和与长方体的棱长总和相等，所以利用长方体的棱长总和除以12即可。 【解答】解： （厘米） 答：正方体的棱长是8厘米。 【点评】本题考查了长方体和正方体棱长总和公式的应用。 25．笑笑将一个棱长为6厘米的正方体橡皮泥捏成一个长方体，若这个长方体的高是4厘米，宽是3厘米，这个长方体的长是多少分米？ 【答案】1.8分米。 【分析】根据体积的意义可知，把正方体橡皮泥捏成长方体后体积不变，根据正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【解答】解： （厘米） 18厘米分米 答：这个长方体的长是1.8分米。 【点评】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 26．一个长方体的玻璃缸，长9分米，宽8分米，高6分米，水深4.5分米，如果投入一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水会溢出吗？如果溢出，会溢出多少升？ 【答案】会溢出，17。 【分析】根据题意，要想知道把正方体铁块放入玻璃缸中，水会不会溢出，也就是把玻璃缸无水部分的体积与正方体铁块的体积进行比较，如果铁块的体积小于或等于玻璃缸无水部分的体积，说明水不会溢出，如果铁块的体积大于玻璃缸无水部分的体积，说明水会溢出，溢出水的体积等于正方体铁块的体积与玻璃缸无水部分体积的差。 【解答】解： （立方分米） （立方分米） （立方分米） 17立方分米升 答：缸里的水会溢出，溢出17升。 【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 27．一个长50厘米、宽30厘米、高40厘米的鱼缸中盛有37.5升水，放入几条金鱼后，水面上升了1厘米。这几条金鱼的体积是多少立方分米？ 【答案】1.5立方分米。 【分析】根据题意，装有水的鱼缸中放入几条金鱼后水面上升了1厘米，那么这几条金鱼的体积等于水上升部分的体积；水上升部分是一个长50厘米、宽30厘米、高1厘米的长方体，根据“长方体的体积长宽高”，以及进率“1立方分米立方厘米”，即可求出这几条金鱼的体积。 【解答】解：（立方厘米） 1500立方厘米立方分米 答：这几条金鱼的体积是1.5立方分米。 【点评】本题考查了长方体体积公式的应用及体积单位的转化。 28．一间教室长，宽、高，门窗和黑板的面积一共是，要粉刷这间教室的四周和房顶，粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】140平方米。 【分析】根据无底长方体的表面积公式：，把数据代入公式求出这5个面的总面积，然后减去门窗和黑板的面积就是需要粉刷的面积。 【解答】解： （平方米） 答：粉刷的面积是140平方米。 【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 29．小明要做一个长15厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体形状的纸盒。 （1）做这个纸盒至少需要多少平方厘米的纸板？ （2）这个纸盒体积有多大？ 【答案】（1）390平方厘米； （2）450立方厘米。 【分析】（1）根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1） （平方厘米） 答：做这个纸盒至少需要390平方厘米的纸板。 （2） （立方厘米） 答：这个纸盒的体积是450立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 30．有一个长方体玻璃容器，长，宽，高，向容器内倒水，当容器中的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，水的体积是多少立方厘米？ 【分析】已知长方体玻璃容器，长，宽，高，当向这个容器中注水的高为时，第一次出现相对的正方形面；根据长方体的容积公式：，把数据代入公式解答即可． 【解答】解：（立方厘米） 答：水的体积是640立方厘米． 【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）的计算，关键是理解向这个容器中注水的高是几的时候，才会第一次出现相对的面是正方形；再根据长方体的体积公式解答即可． 31．用12个棱长1厘米的正方体木块摆成不同形状的长方体，有多少种不同的摆法？它们的长、宽、高各是多少？体积各是多少？ 【答案】四种摆法： （1）长12厘米，宽1厘米，高1厘米；体积12立方厘米； （2）长6厘米，宽2厘米，高1厘米；体积12立方厘米； （3）长4厘米，宽3厘米，高1厘米；体积12立方厘米； （4）长3厘米，宽2厘米，高1厘米；体积12立方厘米。 【分析】有四种摆法： （1），拼成长12厘米，宽、高都是1厘米的长方体； （2），拼成长6厘米，宽2厘米，高1厘米的长方体； （3），拼成长4厘米，宽3厘米，高1厘米的长方体； （4），拼成长3厘米，宽、高都是2厘米的长方体。 根据长方体的体积计算公式” “即可分别求出拼成的各长方体的体积。 【解答】解：有四种拼法： （1）如图 长12厘米，宽1厘米，高1厘米 体积：（立方厘米）； （2）如图 长6厘米，宽2厘米，高1厘米 体积：（立方厘米）； （3）如图 长4厘米，宽3厘米，高1厘米 体积：（立方厘米）； （4）如图 长3厘米，宽2厘米，高1厘米 体积：（立方厘米）。 【点评】摆法注意不要重复，如摆成长6厘米，宽1厘米，高2厘米的与第二种摆法相同；不论哪种摆法，小正方体块数不变，体积也不变。 32．一个长方体长为36厘米，宽为18厘米，高为12厘米，可以截成多少个棱长为2厘米的正方体？ 【答案】972块。 【分析】以长为边，可以切出（个，以宽为边，可以切出（个，以高为边，可以切出（个，再把这几部分相乘即可求解。 【解答】解：（个 （个 （个 （块 答：可以截成972块棱长2厘米的正方体木块。 【点评】根据题干，得出每条边上可以切出的小正方体的个数，是解决本题的关键。 33．如图，这个长方体是用体积为的小正方体拼成的。它的体积是多少立方厘米？ 【答案】288立方厘米。 【分析】由图可以看出，用体积2立方厘米的小正方体拼成的这个长方体用的小正方体的个数为，根据正方体的体积计算公式“”计算出1个小正方体的体积，再乘就是这个长方体的体积。 【解答】解： 答：它的体积是288立方厘米。 【点评】弄清这个长方体由多少个小正方体拼成是关键。 34．如图，把一个长、宽、高分别为、、的长方体木块沿着一个方向锯开，能够得到两个小一些的长方体木块。怎样锯才能使得到的两个小长方体木块的表面积之和最小？请在图中画一画，并求出锯开后的两个小长方体木块的表面积之和。 【答案】 636平方厘米。 【分析】根据题意，要使表面积之和最小，应该平行长方体的最小面切割，即的面切割，这样表面积增加了2个的面的面积，由此利用长方体的表面积公式，求出原长方体的表面积，再加上增加的这2个面的面积即可。 【解答】解：作图如下： （平方厘米） 答：锯开后的两个小长方体木块的表面积之和是636平方厘米。 【点评】长方体切割成两个小长方体，要使表面积之和增加的最小，应该平行长方体的最小面切割，据此解答即可。 35．快乐提升： 把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，一个截面的面积是．如果原来圆锥的高是，那么它的底面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？（得数保留两位小数） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知：截面是以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形，根据三角形的面积公式：，即可求出三角形的底（圆锥底面直径），再根据圆的面积公式：，把数据代入公式求出底面积，据此解答． 【解答】解：底面直径：（厘米） 底面积： （平方厘米） 体积：（立方厘米） 答：它的底面积是12.56平方厘米，体积是20.93立方厘米． 【点评】此题主要考查三角形的面积公式、圆的面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用． 36．文具盒的长、宽、高如图所示．用一张大包装纸将8个这样的文具盒包起来（如图），至少需要多大面积的包装纸？（接头处不计） 【分析】根据长方体的表面积公式：长方体的表面积（长宽长高宽高），由此代入解答即可． 【解答】解：长为：（厘米） 高为：（厘米） （平方厘米） 答：至少需要2000平方厘米的包装纸． 【点评】此题主要考查长方体的表面积的计算方法的灵活应用． 37．把24块棱长1厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的长宽高可能是多少？ 【分析】把24分解成3个数的乘积，这三个数就是拼成的长方体的长宽高，由此求解． 【解答】解： 所以拼成的长方形的长宽高有以下几种可能： ①长24厘米，宽1厘米，高1厘米；②长12厘米，宽2厘米，高1厘米；③长6厘米，宽4厘米，高1厘米； ④长8厘米，宽3厘米，高1厘米；⑤长4厘米，宽3厘米，高2厘米；⑥长6厘米，宽2厘米，高2厘米． 【点评】解决本题关键是先把24分解成三个数相乘的形式，这三个数就分别是长方体的长宽高． 38．用棱长是2厘米的正方体，拼成一个正方体，最少需要几个小正方体？拼成的正方体的棱长之和是多少厘米？ 【分析】用棱长是2厘米的小正方体，拼成一个较大的正方体，拼成的大正方体的每条棱长上至少有2个小正方体，由此可知至少需要个这样的小正方体；拼成的正方体的棱长是（厘米），用可得棱长之和是多少厘米；由此即可解答． 【解答】解：拼成大正方体至少需要的小正方体的个数为：（个， （厘米）， （厘米） 答：最少需要8个小正方体，拼成的正方体的棱长之和是48厘米． 【点评】此题可得结论：小正方体拼组大正方体至少需要8个同样大小的小正方体． 39．一个棱长为1分米的正方体木块，如果把它锯成棱长为1厘米的正方体木块，这些小正方体的表面积的总和是多少？表面积增加多少平方分米？ 【分析】先求出大正方体的体积，然后再求出大正方体一共可以切成多少个小正方体；然后求出一个小正方体的表面积，用一个小正方体的表面积乘小正方体的个数即可． 【解答】解：1分米厘米 小正方体木块的个数是：（个 大正方体木块的表面积： （平方厘米）（平方分米） 一个小正方体木块的表面积是： （平方分米） 增加的面积： （平方分米） 答：这些小正方体的表面积的总和是60平方分米，表面积增加了54平方分米． 【点评】此题的关键是求出切成小正方体的个数，然后再求所有小正方体的表面积． 40．一块长方形板长15分米，宽是8分米，在它的四个角各切下一个边长是6厘米的正方形，余下的部分用形包边条包起来，需要多长的形包边条？ 【分析】根据题意可知，求包边条的长度，实际是求图形的周长．该图形可以转化为长15分米、宽8分米的长方形，利用长方形周长公式进行计算即可． 【解答】解： （分米） 答：需要46分米的形包边条． 【点评】本题主要考查图形的切拼问题，关键把不规则图形转化为规则图形再计算． 41．如图，把一根长18米的长方体木料截成3段，表面积总和比原来增加了2.4 平方米．你知道原来长方体木料的体积是多少立方米吗？ 【分析】根据题意可知：把这根木料截成3段后，表面积比原来增加了2.4平方米，表面积增加的是4个截面的面积，因此可以求出木料的底面积，再根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答即可． 【解答】解： （立方米） 答：原来长方体木料的体积是10.8立方米． 【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，明确表面积增加的是4个截面的面积，由此求出长方体的底面积（截面的面积），是解答此题的关键． 42．有30个，摆成如图的物体，可以摆多少个？ 【答案】5个。 【分析】根据图示可知，摆1个图示的物体需要6个正方体，求30个正方体可以摆几个物体，用除法计算。 【解答】解：（个 答：可以摆5个。 【点评】本题主要考查图形的切拼问题，关键是数出摆一个物体需要正方体的个数。 43．一个集装箱长12.5米，宽3.2米，高4.5米，往这个集装箱中装1立方米的大正方体木箱，最多能装多少个？ 【分析】先分别求出长方体集装箱的长、宽、高各包含正方体木箱棱长的个数，也就是说看长、宽、高中最多有多少个正方体棱长，再将长、宽、高中包含的正方体的棱长的个数相乘即可． 【解答】解：体积是1立方米的正方体木箱的棱长是1米 （个（米 （个（米 （个（米 则正方体的个数：（个 答：最多能装144个木箱． 【点评】解答此题的关键是先分别求出长方体集装箱的长、宽、高各包含正方体木箱棱长的个数，从而求得木箱的个数． 44．如图是由9个棱长为的小正方体组成的． （1）以“”为单位，用分数表示这个长方体的长是　0.3　，宽是　　． （2）这个长方体上面的面积是后面的面积的几分之几？前面的面积占长方体表面积的几分之几？ （3）在图中涂出长方体体积的． 【分析】（1）观察图可知这个长方体的长是由3条小长方体的棱长组成的，用小长方体的棱长乘3就是这个长方体的长，再化成以分米为单位的数；宽是由1条小正方体的棱长组成的，即1厘米，把它化成以分米为单位的数即可； （2）长方体的上面是一个长方形，它的长是由3条小长方体的棱长组成的，用小长方体的棱长乘3就是这个长方体的长；宽是由1条小正方体的棱长组成的，即1厘米，再根据长方形的长面积长宽求解； 长方形的后面是一个正方形，它的边长是由3条小长方体的棱长组成的，用小长方体的棱长乘3就是这个正方形的边长，再根据正方形的面积边长边长，求出后面的面积，然后用上面的面积除以后面的面积即可求出这个长方体上面的面积是后面的面积的几分之几；再求出右面的面积，然后把长方体上面、后面、右面的面积相加，然后乘2，求出这个长方体的表面积，再用前面的面积除以表面积，即可前面的面积占长方体表面积的几分之几． （3）这个长方体是由一共有9个小正方体组成的，用9乘，即可求出这个长方体的是多少个小正方体，再涂色． 【解答】解：（厘米） 3厘米分米 1厘米分米 答：以“”为单位，用分数表示这个长方体的长是，宽是． （2）长：（厘米） 宽：1厘米 高：（厘米） 上面：（平方厘米） 后面：（平方厘米） 右面：（平方厘米） 表面积： （平方厘米） 答：这个长方体上面的面积是后面的面积的，前面的面积占长方体表面积的． （3）（个 在图中涂出长方体体积的如下： 故答案为：0.3，0.1． 【点评】本题综合性较强，注意观察图先找出长方体的长、宽、高各是多少，再根据长方体的表面积公式，以及求一个数是另一个数的几分之几，以及分数乘法的意义求解． 45．把一个棱长是5厘米的正方体木块锯成棱长为1厘米的小正方体木块，然后把这些小正方体木块排成一行成为长方体．这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【分析】把棱长为5厘米的正方体锯成棱长为1厘米的小正方体可以锯成125个；把这些小正方体排成一行，是一个长125厘米，宽1厘米，高1厘米的长方体．利用长方体表面积公式：，计算其表面积即可． 【解答】解：把棱长为5厘米的正方体锯成棱长为1厘米的小正方体可以锯成： （个 （平方厘米） 答：这个长方体的表面积是502平方厘米． 【点评】本题主要考查立体图形的切拼，关键计算拼成的长方体的长宽高各是多少． 46．用8个完全一样的小正方体可以搭成一个大正方体。现在有79个这样的小正方体，最多可以搭几个大正方体？还剩几个小正方体？ 【答案】9个，7个。 【分析】要求79个这样的小正方体最多可以搭几个大正方体，就是求79里面有几个8，求一个数里面有多少个另一个数，用除法计算。 【解答】解：（个（个 答：最多可以搭9个大正方体，还剩下7个小正方体。 【点评】本题属于“包含除”类型除法应用题，求一个数里面有多少个另一个数，用除法计算。 47．一个长方体木块，长12分米，宽9分米，高7分米，将它锯成棱长3分米的正方体小木块，最多可锯多少块？ 【分析】先求出每条棱长上最多能锯出的块数，再根据长方体的体积公式进行计算即可解答． 【解答】解：以长为边最多锯：（块 以宽为边最多锯：（块 以高为边最多锯：（块（分米） 所以：（块 答：最多可锯24块． 【点评】解答此题时不要用大体积除以小体积来计算块数，因为高还有剩余． 48．把一个正方体切成两个长方体，这两个长方体表面积的和是原来正方体表面积的百分之几？（百分号前保留一位小数） 【分析】根据正方体的特征，正方体的6个面的面积都相等，切成两个长方体后增加了2个正方形的面；再根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法解答． 【解答】解： 答：这两个长方体表面积的和是原来正方体表面积的． 【点评】此题主要考查正方体、长方体的特征和表面积的计算． 49．将4个棱长为1厘米的小正方体拼成一个大长方体，怎样摆，露在外面的面积会最大？画一画，算一算，露在外面的面积最大是多少平方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】要想露在外面的面积最大，则小正方体的拼合点要最少，所以把4个棱长为1厘米的小正方体一字排开摆成一行，露在外面的面积会最大，拼成的是一个长4厘米、宽和高都是1厘米的长方体；根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式分别求出它们的表面积． 【解答】解： 把4个棱长为1厘米的小正方体一字排开摆成一行，露在外面的面积会最大，如图： （平方厘米） 答：露在外面的面积最大是18平方厘米． 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 50．用2个长5厘米，宽4厘米，高2厘米的长方体拼成一个大长方体， （1）若使拼成的大长方体的表面积最大，最大是多少？ （2）若使拼成的大长方体表面积最小，最小是多少？ （3）用哪种方法包装最省材料． 【答案】（1）96平方厘米； （2）72平方厘米； （3）将的面重合在一起最省。 【分析】（1）（2）根据两个长方体拼成一个大长方体的表面积变化规律：大长方体表面积原来两个长方体的面积和重合面的面积可知，要想大长方体表面最大，需要重合面的面积最小，要想大长方体表面积最小，需要重合面的面积最大，据此计算； （3）想要最省包装材料，就是要大长方体的表面积最小。 【解答】解：原来长方体的三对面的面积分别为： （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 表面积为： （平方厘米） （1）大长方体表面积最大，将的面组合在一起： 最大表面积： （平方厘米） 答：大长方体的表面积最大为96平方厘米。 （2）大长方体表面积最小，将的面组合在一起； 最小表面积： （平方厘米） 答：大长方体的表面积最小为72平方厘米。 （3）想要最省包装材料，需要大长方体表面积最小，将的面重合在一起最省。 答：将的面重合在一起最省。 【点评】本题主要考查了简单立方体的切拼问题，把握拼在一起时表面积的变化规律是本题解题的关键。 51．将一个棱长15厘米的正方体木块锯成棱长5厘米的小正方体，锯完后表面积增加了多少？ 【分析】首先根据正方体的体积公式：，求出大小正方体的体积，进而求出锯成小正方体的块数，再根据正方体的表面积公式：，用小正方体的表面积和减去原来大正方体的表面积即可． 【解答】解： （块， （平方厘米） 答：表面积增加2700平方厘米． 【点评】此题主要考查正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用． 52．把棱长为的立方体切割成棱长是的小立方体，把这些小立方体一个挨一个地连起来，可以排多长？ 【分析】1米厘米，棱长是1米的正方体切成棱长是1厘米的正方体，每条棱上都能切下100个小正方体，由此可以求得小正方体的个数，再求把这些小正方体排成一排的总长度即可． 【解答】解：1米厘米，所以可以切成棱长是1厘米的小正方体的块数为： （块 排成一排的长为：（厘米） 1000000厘米千米 答：可以排10千米长． 【点评】抓住正方体切割正方体的特点，先求出每条棱上小正方体的个数和总个数是解答的关键，注意单位的转化． 53．把一个长，宽，高的长方体，切割成两个大小相等的正方体，这个正方体的棱长和是多少？ 【分析】把一个长，宽，高的长方体，切割成两个大小相等的正方体，因为正方体的棱长都相等，该长方体的宽和高都是，所以切成的正方体的棱长为，用0.2乘12就是这个正方体的棱长和． 【解答】解： 答：这个正方体的棱长和是． 【点评】此题考查了正方体的棱长和求法的运用． 54．用边长为，宽为，高为的长方体木块叠成一个正方体，至少需要多少块这种长方体木块？ 【答案】3600块。 【分析】正方体的棱长等于60、48和36的公倍数，60、48和36的最小公倍数是480，正方体的棱长最小是720，据此解答。 【解答】解：60、48和36的最小公倍数是720。 （块 答：至少需要3600块这种长方体木块。 【点评】本题主要考查公因数和公倍数的应用，关键是掌握求3个数的最小公倍数的方法。 55．将两个棱长都是5厘米的正方体小方块拼成一个长方体．这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积呢？ 【分析】（1）两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积减少了两个正方形的面，即原来两个正方体一共有个面，现在只剩下个，然后用一个正方形的面积乘10即是这个长方体的表面积，列式为：，然后解答即可得出答案； （2）由于两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，体积没有发生变化即是两个正方体的体积和，根据公式“”求出一个的体积再乘2即可． 【解答】解：（1） （平方厘米） （2） （立方厘米） 答：这个长方体的表面积是250平方厘米，体积是250立方厘米． 【点评】本题关键要明确当两个正方体拼接时，体积和不变，但表面积变化了，注意：两个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积减少了两个正方形的面而不是一个． 56．如图，笑笑用8个棱长为的小正方体拼成了一个稍大一些的正方体，淘气看到后拿走了1个小正方体，这时这个立体图形的表面积会怎样变化？现在的表面积是多少？ 【答案】不变，。 【分析】拿走了1个小正方体后，减少了3个边长为的正方形面，同时增加了3个边长为的正方形面，因此表面积不变，根据正方体表面积棱长棱长，即可解答。 【解答】解：拿走了1个小正方体后，减少了3个边长为的正方形面，同时增加了3个边长为的正方形面，因此表面积不变。 答：这时这个立体图形的表面积不变，现在的表面积是24平方厘米。 【点评】本题考查的是立方体的切拼问题，知道拿走了1个小正方体后，减少了3个边长为的正方形面，同时增加了3个边长为的正方形面，因此表面积不变是解答关键。 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/29 11:28:06；用户：张学成；邮箱：19955156610；学号：50309849 学科网（北京）股份有限公司 $$