期中培优提升：第一单元长方体和正方体（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学苏教版

长方体和正方体 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．长方体的特征 长方体的特征： 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 2．正方体的特征 正方体的特征： ①8个顶点． ②12条棱，每条棱长度相等． ③相邻的两条棱互相垂直． 3．长方体的展开图 长方体展开图形如下情况： 4．长方形、正方形的面积 长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab 正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢． （2）其他求法可通过分割补，灵活性高． 5．长方体和正方体的表面积 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 6．长方体和正方体的体积 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 第三部分 典型例题 例题1：用一块棱长为的正方体钢坯铸造成一个底面积是的长方体钢坯，铸造成的长方体钢坯的高是多少？ 【答案】。 【分析】根据正方体的体积公式：，求出钢坯的体积，再根据长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【解答】解： 答：铸造成的长方体钢坯的高是。 【点评】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 例题2：挖一个长、宽、深的长方体水池，如果在水池的底面和侧面抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【答案】2160平方米。 【分析】根据无盖长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解： （平方米） 答：抹水泥的面积是2160平方米。 【点评】此题主要考查无盖长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 例题3：手工课上，一名学生将一个棱长的正方体橡皮泥捏成长、宽的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？ 【答案】6厘米。 【分析】据正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【解答】解： （厘米） 答：捏成的长方体的高是6厘米。 【点评】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 例题4：一小包纸巾的长、宽、高如图所示（单位：，用透明的塑料纸将这样的10包纸巾按图中样式包起来（接头处忽略不计），需要多大面积的塑料纸？ 【分析】题干观察图形可知，把这样10包纸巾拼成的大长方体的长是厘米，宽是5厘米，高是7厘米，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：（厘米） （平方厘米） 答：需要790平方厘米的塑料纸。 【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 第四部分 高频真题 1．有一个长方体玻璃容器，长，宽，高，向容器内倒水，当容器中的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，水的体积是多少立方厘米？ 2．明明的爸爸利用废旧的木板做了一个一面无门的小鞋柜（如图），制作这样一个小鞋柜，至少需要多少平方分米的木板？ 3．一辆冷藏货车的车厢尺寸的长为，宽为，高为。如果整个车厢喷画的价格为每平方18元，那么这个车厢的喷画一共要花多少钱？（提示：车厢的底面不喷） 4．儿童节快到了，为了增添节日气氛，工作人员准备在外形是长方体的少年宫科技楼的四周装上彩灯线。大楼长48米，宽30米，高45米，至少要用多少米彩灯线？（底边不装） 5．在如图所示的长方形铁皮四角分别剪去一个边长为的正方形，正好可以折成一个无盖的铁盒．这个铁盒的表面积是多少？ 6．小聪正在给好朋友芳芳包装生日礼物（如图，单位：。打结处用了长的丝带，包装这个礼盒至少需要用多少厘米长的丝带？ 7．一块棱长为4米的正方体钢锭，把它锻造成一块长方体钢锭，长方体的长是64分米，厚是40分米，宽是多少分米？ 8．有一个长10分米，宽10分米，高14分米的长方体鱼缸，里面水深12分米，把一块长6分米，宽5分米的长方体铁块完全浸入水中，溢出10立方分米的水，那么长方体铁块的高是多少分米？ 9．小明要做一个长15厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体形状的纸盒。 （1）做这个纸盒至少需要多少平方厘米的纸板？ （2）这个纸盒体积有多大？ 10．王苼用一根铁丝做了一个体积是42立方厘米的长方体框架，这个长方体的长、宽、高都是整厘米数，且都是质数，如果用这根铁丝做一个正方体，这个正方体的表面积是多少平方厘米？（接头处忽略不计） 11．一节长方体火车车厢，从里面量长，宽，车厢里装的煤高。每立方米煤重1.2吨，这节车厢里的煤重多少吨？ 12．把一根长的长方体木条锯成2段，表面积增加了100平方厘米，原来这根木条的体积是多少立方厘米？ 13．一个长方体容器，从里面量，长5分米，宽4分米，高6分米，给容器内倒入15升水，容器内水深多少分米？ 14．一种液体饮料采用长方体塑封纸盒密封包装。从外面量盒子长6厘米，宽4厘米，高10厘米。盒面注明“净含量：250毫升”。请分析该项说明是否存在虚假。 15．机灵狗不小心把玻璃鱼缸的一个面打碎了，这时需要立刻把鱼缸斜放水才不会流光（如图所示），算一算，用这个坏的鱼缸最多能装多少升水？ 16．一个正方体的表面积是，两个这样的正方体拼成的长方体的表面积是多少平方厘米？ 17．一个长方体水缸长，宽，高，缸内有深的水。放入一个棱长的正方体铁块后，水会溢出多少升？ 18．一个正方体的棱长总和是，它的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 19．端午期间妈妈想装饰一下家里的长方体鱼缸，鱼缸长14分米，宽5分米，高40厘米。 （1）如果给这个鱼缸配上一个底面大小一样，厚5厘米的实心木头垫子，这块垫子的体积有多少立方分米？ （2）妈妈买了一块体积约为35立方分米的假山，放入鱼缸后完全浸没且保证没有水溢出，那么在放入假山前鱼缸里水的高度最多是多少厘米？ 20．一块长方体木块，从上部截去高为的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了，原来长方体木块的体积是多少立方厘米？ 21．有一个正方体水箱，从里面量每边长4分米，如果把一满箱水倒入一个长8分米、宽4分米的长方体水池内，水深多少分米？ 22．有一个正方体化妆品盒，棱长是．做一个化妆晶盒至少需要多少平方厘米的纸板？沿化妆品盒各条棱画金线，金线的长度至少是多少厘米？ 23．一个装满水的长方体容器，长、宽、高分别是、、，把里面的水倒入一个棱长是的正方体容器里，水深多少？（容器厚度忽略不计） 24．一种长方体茶叶盒，长为，宽，高。现在要在四周贴上与长方体等高的商标纸，至少需要多少平方分米的商标纸？ 25．垃圾科学分类，文明你我同行。小成和爸爸决定用四块木板做4个同样大小的长方体垃圾箱（无盖）用来进行垃圾分类，垃圾箱的底面是边长为的正方形，高是，做这些垃圾箱至少要用多少平方分米的木板？ 26．冰壶被称为“冰上国际象棋”，展现的是静动之美和取与舍的智慧。冬奥会冰壶赛场每条赛道长约，宽，通常铺设约厚的冰面。冰壶赛场铺设4条冰壶赛道，共需要用冰约多少立方米？ 27．一个长方体礼品纸盒展开后它的平面图如图，这个长方体礼品盒的表面积是多少平方厘米？ 28．制作一个如图所示的长方体灯笼框架，至少需要多少厘米长的木条？ 29．学校餐厅长，宽，高。除去门窗面积，餐厅的墙壁和房顶都贴上壁纸。平均每平方米壁纸的价钱为5元，购买壁纸至少需要多少元？ 30．科创小组用两根同样长的铁丝分别制作一个长方体和一个正方体框架。制成的长方体框架的长、宽、高分别是、、，正方体框架的棱长是多少厘米？（接头处不计） 31．一个长方体的铁皮通风管，长是9米，横截面为边长3分米的正方形。做一对这样的通风管，至少需要铁皮多少平方米？ 32．一个玻璃厚度比较大的正方体小水缸，从里面量棱长是50厘米，水缸中原有水深46厘米。放入一块长方体铁块后（完全浸没），水面上涨并溢出缸外，经测量，溢出缸外的水正好是。这个铁块的长是40厘米，宽是27厘米，高是多少厘米？ 33．实验小学要建一个长70米，宽50米的长方形足球场，先铺8厘米厚的煤渣，再铺14厘米厚的三合土。一共需要煤渣和三合土多少立方米？ 34．笑笑想把三个长1.5分米、宽1.2分米、高8厘米的礼品盒用包装纸打包寄给贫困地区的小朋友，最少需要多少平方分米的包装纸？（接头处忽略不计） 35．如图，一块长方形铁皮，长35厘米、宽30厘米，从它的四角切掉边长为5厘米的正方形，然后焊接成一个无盖的铁盒，这个无盖铁盒的体积是多少？ 36．一个长方体形状游泳池，长，宽，深，如果向这个游泳池注入的水，游泳池注满水了吗？说说你的理由。 37．小红为妈妈准备了一件生日礼物，如图所示是这件礼物的包装盒，长、宽、高分别是、、。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长。一共需要多少厘米彩带？ 38．一个长方体水块，长10米，宽和高都是3米，把它锯成4段，表面积至少增加多少平方米？ 39．某款长方体礼盒，经测量发现：它的长、宽、高都是质数，且前面和上面的面积之和是，你能求出这个礼盒的体积是多少立方厘米吗？ 40．一个长方体的体积是441立方厘米，如果它的高减少2厘米，它就变成一个正方体。这个正方体的棱长是多少厘米？ 41．一个无盖长方体木箱，长2米，宽6分米，高是长的一半，做这样两个木箱至少用木板多少平方米？ 42．王叔叔要制作一个长方体的玻璃容器，如图所示是这个玻璃容器的展开图。在制作完成的玻璃容器中注入一部分水，将面作为底面放置在水平桌面上时，水面高度是。如果将面作为底面放置在水平桌面上，水面高度是多少分米？（玻璃的厚度和连接处忽略不计） 43．爷爷过生日，妈妈买了两盒“野山参”给爷爷，装“野山参”的盒子是宽6厘米、长22厘米、高1.5厘米的长方体，妈妈把两盒放在一起包装，如果不计接缝处．至少需要多少包装纸？ 44．一个从里面量棱长是4分米的正方体的水箱装满水，现把这些水倒入一个从里面量长是8分米、宽是2.5分米的空长方体水箱里，水深是多少分米？ 45．建筑工人在学校建一个长，宽，深的游泳池，要在游泳池的四周和底部贴上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ 46．一个油箱长，宽，高，如果每升汽油重。这个油箱可装汽油多少千克？ 47．做一个长、宽、高分别是8厘米、5厘米、3厘米的长方体木框，至少需要多少厘米的木条？ 48．一个长方体的许愿池，从里面量长、宽、高。要给这个许愿池的底面和四周贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 49．跳远沙坑建设的标准深度为。学校把的沙子铺在一个长、宽的沙坑里，问：这些沙子铺的厚度是否符合标准？ 50．把28升水倒入一个长4分米，宽2分米，高4分米的空长方体玻璃缸内，这时水面距玻璃缸口多少分米？ 51．王奶奶家新买了一台洗衣机，长，宽，高。她要给这台洗衣机缝制一个布罩（底面和接头处忽略不计），至少需要多少平方米的布料？ 52．用一根60分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，若要在这个框架的表面焊上一层铁皮，至少需要多少平方分米的铁皮？ 53．一辆货车的车厢是长方体，它的长是，宽是，高是，装满一车沙子，卸下后堆成一个高是的圆柱形沙堆，它的底面积是多少平方米？ 54．一个长方体盒子，长、宽，高，给盒子外面包装一层彩纸。至少需要彩纸多少平方分米？ 55．在一条长200米，宽5米的路上铺水泥，水泥厚12分米。 （1）共需多少立方米的水泥？ （2）这条路有多大面积？ 56．外卖行业一定程度上方便了人们的生活。如图是常见的外卖送餐包的示意图。做一个这样的送餐包至少需要多少平方厘米的材料？（舌头部分、重叠部分忽略不计） 参考答案与试题解析 1．有一个长方体玻璃容器，长，宽，高，向容器内倒水，当容器中的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，水的体积是多少立方厘米？ 【分析】已知长方体玻璃容器，长，宽，高，当向这个容器中注水的高为时，第一次出现相对的正方形面；根据长方体的容积公式：，把数据代入公式解答即可． 【解答】解：（立方厘米） 答：水的体积是640立方厘米． 【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）的计算，关键是理解向这个容器中注水的高是几的时候，才会第一次出现相对的面是正方形；再根据长方体的体积公式解答即可． 2．明明的爸爸利用废旧的木板做了一个一面无门的小鞋柜（如图），制作这样一个小鞋柜，至少需要多少平方分米的木板？ 【答案】142.5平方分米。 【分析】通过观察图形可知，需要木板的面积等于这个长方体的后面、上下、左右5个面的总面积，根据长方体的表面积公式解答。 【解答】解： （平方厘米） 14250平方厘米平方分米 答：至少需要142.5平方分米的木板。 【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活应用，关键是熟记公式。 3．一辆冷藏货车的车厢尺寸的长为，宽为，高为。如果整个车厢喷画的价格为每平方18元，那么这个车厢的喷画一共要花多少钱？（提示：车厢的底面不喷） 【答案】1221.48元。 【分析】根据无底长方体的表面积公式：，把数据代入公式求出需要喷画的面积，然后再乘每平方米的费用即可。 【解答】解： （元 答：这个车厢的喷画一共要花1221.48元。 【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，以及单价、数量、总价三者之间的关系及应用，关键是熟记公式。 4．儿童节快到了，为了增添节日气氛，工作人员准备在外形是长方体的少年宫科技楼的四周装上彩灯线。大楼长48米，宽30米，高45米，至少要用多少米彩灯线？（底边不装） 【答案】336米。 【分析】少年宫科技楼是个长方体，要求的是两个长和两个宽和四个高的和；由此解答即可。 【解答】解： （米 答：至少要用336米彩灯线。 【点评】此题应根据题意，结合长方体的棱长总和的计算进行解答即可。 5．在如图所示的长方形铁皮四角分别剪去一个边长为的正方形，正好可以折成一个无盖的铁盒．这个铁盒的表面积是多少？ 【分析】根据题意可知：折成一个无盖的铁盒的长、宽、高发生了变化，长为厘米、宽为厘米、高为4厘米，它的表面积等于长方体铁皮的面积减去4个正方形的面积，据此解答． 【解答】解： （平方厘米） 答：这个铁盒的表面积是1136平方厘米． 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 6．小聪正在给好朋友芳芳包装生日礼物（如图，单位：。打结处用了长的丝带，包装这个礼盒至少需要用多少厘米长的丝带？ 【答案】95厘米。 【分析】根据题意和图形可知，所需丝带的长度等于2条长条宽条高结头用的13厘米，由此列式解答。 【解答】解： （厘米） 答：包装这个礼盒至少需要用95厘米长的丝带。 【点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些棱的长度和。 7．一块棱长为4米的正方体钢锭，把它锻造成一块长方体钢锭，长方体的长是64分米，厚是40分米，宽是多少分米？ 【答案】25分米。 【分析】锻造前后这个钢锭的体积不变，即正方体的体积等于长方体的体积，先根据正方体的体积等于棱长的立方，求出钢锭的体积；然后再用钢锭的体积除以后来锻造成的长方体的长和厚，就是这个长方体的宽，据此解答即可。 【解答】解：（立方米） 64立方米立方分米 （分米） 答：宽是25分米。 【点评】本题考查的是长方体和正方体体积计算公式的运用。 8．有一个长10分米，宽10分米，高14分米的长方体鱼缸，里面水深12分米，把一块长6分米，宽5分米的长方体铁块完全浸入水中，溢出10立方分米的水，那么长方体铁块的高是多少分米？ 【答案】7分米。 【分析】根据题意可知，长方体铁块的体积等于鱼缸内无水部分的体积加上溢出水的体积，根据长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【解答】解： （分米） 答：长方体铁块的高是7分米。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 9．小明要做一个长15厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体形状的纸盒。 （1）做这个纸盒至少需要多少平方厘米的纸板？ （2）这个纸盒体积有多大？ 【答案】（1）390平方厘米； （2）450立方厘米。 【分析】（1）根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1） （平方厘米） 答：做这个纸盒至少需要390平方厘米的纸板。 （2） （立方厘米） 答：这个纸盒的体积是450立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 10．王苼用一根铁丝做了一个体积是42立方厘米的长方体框架，这个长方体的长、宽、高都是整厘米数，且都是质数，如果用这根铁丝做一个正方体，这个正方体的表面积是多少平方厘米？（接头处忽略不计） 【答案】96平方厘米。 【分析】长方体的体积长宽高，这个长方体的长、宽、高都是整厘米数，且都是质数，那么把4（2分）解质因数即可得到长方体的长、宽、高。长方体的棱长之和（长宽高），据此代入数据求出这根铁丝的长度，即正方体的棱长之和。正方体有12条棱，且长度都相等，用棱长之和除以12可以求出正方体的棱长。正方体的表面积棱长棱长，据此代入求得的棱长，求出它的表面积。 【解答】解：，长方体的长、宽、高分别是2厘米、3厘米、7厘米。 （厘米） （厘米） （平方厘米） 答：这个正方体的表面积是96平方厘米。 【点评】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式，体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 11．一节长方体火车车厢，从里面量长，宽，车厢里装的煤高。每立方米煤重1.2吨，这节车厢里的煤重多少吨？ 【答案】72吨。 【分析】根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出煤的体积，然后用煤的体积乘每立方米煤的质量即可。 【解答】解： （吨 答：这节车厢里的煤重72吨。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 12．把一根长的长方体木条锯成2段，表面积增加了100平方厘米，原来这根木条的体积是多少立方厘米？ 【答案】25000立方厘米。 【分析】根据题意可知，把这根长方体木条横截成2段，表面积比原来增加两个截面的面积，据此可以求出一个截面的面积，然后根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：5米厘米 （立方厘米） 答：原来这根木条的体积是25000立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 13．一个长方体容器，从里面量，长5分米，宽4分米，高6分米，给容器内倒入15升水，容器内水深多少分米？ 【答案】0.75分米。 【分析】已知长方体容器的长、宽，以及容器内水的体积，根据长方体的体积长宽高，可知长方体的高体积长宽，代入数据计算即可求出容器内水的深度。注意单位的换算：1升立方分米。 【解答】解：15升立方分米 （分米） 答：容器内水深0.75分米。 【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 14．一种液体饮料采用长方体塑封纸盒密封包装。从外面量盒子长6厘米，宽4厘米，高10厘米。盒面注明“净含量：250毫升”。请分析该项说明是否存在虚假。 【答案】存在虚假。 【分析】要知道是否存在虚假就要知道该纸盒的容积是否等于250毫升，要知道纸盒容积就要算出纸盒的体积，已知纸盒为长方体，且外围的长，宽、高已经量出，可以求出纸盒外围的体积，但是因为纸盒有厚度，所以纸盒容积要小于纸盒体积，据此解答即可。 【解答】解：纸盒体积： 立方厘米 240立方厘米毫升 240毫升毫升 纸盒的容积是小于250毫升的，因此存在虚假。 答：存在虚假。 【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是明确：某容器的体积一定大于它的容积。 15．机灵狗不小心把玻璃鱼缸的一个面打碎了，这时需要立刻把鱼缸斜放水才不会流光（如图所示），算一算，用这个坏的鱼缸最多能装多少升水？ 【答案】20升。 【分析】由图可知，用这个坏的鱼缸，最多能盛水的体积是原来鱼缸容积的一半，利用长方体的体积长宽高，即可求解。 【解答】解： （立方分米） 20立方分米升 答：用这个坏的鱼缸最多能装20升水。 【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 16．一个正方体的表面积是，两个这样的正方体拼成的长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】100平方厘米。 【分析】根据正方体、长方体表面积的意义可知，把两个完全一样正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积把两个正方体的表面积和减少了正方体的2个面的面积，根据正方体的表面积公式：，可以求出正方体的一个面的面积，进而求出长方体的表面积。 【解答】解：（平方厘米） （平方厘米） 答：长方体的表面积是100平方厘米。 【点评】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式及应用，关键是熟记公式。 17．一个长方体水缸长，宽，高，缸内有深的水。放入一个棱长的正方体铁块后，水会溢出多少升？ 【答案】28升。 【分析】先根据长方体的体积公式：，分别求出水的体积、长方体容器的体积，根据正方体的体积公式：，求出正方体铁块的体积，因为正方体的棱长大于水缸的高，所以把正方体铁块放入水缸中，铁块被水浸湿的高是3分米，水的体积正方体的铁块分米高）的体积长方体容器的容积溢出的水的体积。 【解答】解： （立方分米） 28立方分米升 答：水会溢出28升。 【点评】此题主要考查长方体、正方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 18．一个正方体的棱长总和是，它的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 【答案】150平方分米，125立方分米。 【分析】根据正方体的棱长总和棱长，那么棱长棱长总和，据此求出棱长，再根据正方体的表面积棱长棱长，正方体的体积棱长棱长棱长，把数据代入公式解答。 【解答】解：（分米） （平方分米） （立方分米） 答：它的表面积是150平方分米，体积是125立方分米。 【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 19．端午期间妈妈想装饰一下家里的长方体鱼缸，鱼缸长14分米，宽5分米，高40厘米。 （1）如果给这个鱼缸配上一个底面大小一样，厚5厘米的实心木头垫子，这块垫子的体积有多少立方分米？ （2）妈妈买了一块体积约为35立方分米的假山，放入鱼缸后完全浸没且保证没有水溢出，那么在放入假山前鱼缸里水的高度最多是多少厘米？ 【答案】（1）35；（2）35。 【分析】（1）根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的体积公式：，那么，由此代入数据进行求解即可。 【解答】解：（1）5厘米分米 （立方分米） 答：这块垫子的体积有35立方分米。 （2） （分米） 0.5分米厘米 （厘米） 答：在放入假山前鱼缸里水的高度最多是35厘米。 【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 20．一块长方体木块，从上部截去高为的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了，原来长方体木块的体积是多少立方厘米？ 【答案】1200立方厘米。 【分析】根据题意，块长方体木块，从上部截去高为的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了，减少的表面积就是四个侧面的面积，且切割后长方体变成正方体，所以切下的长方体的长和宽相等，所以切下的四个侧面的面积相等，时（平方厘米），高是2厘米，所以长和宽是（厘米），原来的高是（厘米），长方体体积长宽高，据此解答。 【解答】解： （厘米） （立方厘米） 答：原来长方体木块的体积是1200立方厘米。 【点评】本题考查了长方体的和正方体的体积的相关知识，解决本题的关键是熟练运用公式。 21．有一个正方体水箱，从里面量每边长4分米，如果把一满箱水倒入一个长8分米、宽4分米的长方体水池内，水深多少分米？ 【答案】2分米。 【分析】根据正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【解答】解： （分米） 答：水深2分米。 【点评】此题主要考查正方形、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 22．有一个正方体化妆品盒，棱长是．做一个化妆晶盒至少需要多少平方厘米的纸板？沿化妆品盒各条棱画金线，金线的长度至少是多少厘米？ 【分析】根据正方体的表面积公式：，正方体的棱长总和棱长，把数据分别代入公式解答． 【解答】解： （平方厘米）； （厘米）； 答：做一个化妆晶盒至少需要384平方厘米的纸板，金线的长度至少96厘米． 【点评】此题主要考查正方体的表面积公式、棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式． 23．一个装满水的长方体容器，长、宽、高分别是、、，把里面的水倒入一个棱长是的正方体容器里，水深多少？（容器厚度忽略不计） 【答案】2.2厘米。 【分析】根据体积的意义的可知，把长方体容器中的水倒入正方体容器里水的体积不变，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出长方体容器里水的体积，然后用水的体积除以正方体的容器的底面积即可。 【解答】解： （厘米） 答：水深2.2厘米。 【点评】此题主要考查长方体、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 24．一种长方体茶叶盒，长为，宽，高。现在要在四周贴上与长方体等高的商标纸，至少需要多少平方分米的商标纸？ 【答案】112平方分米。 【分析】在它的四周贴上商标纸，商标纸的面积就是这个长方体四个侧面的总面积，根据长方形的面积公式，用长方体的底面周长乘高即可。 【解答】解： （平方分米） 答：至少需要112平方分米的商标纸。 【点评】此题属于长方体的表面积的实际应用，明确：长方体的侧面积等于底面周长乘高。 25．垃圾科学分类，文明你我同行。小成和爸爸决定用四块木板做4个同样大小的长方体垃圾箱（无盖）用来进行垃圾分类，垃圾箱的底面是边长为的正方形，高是，做这些垃圾箱至少要用多少平方分米的木板？ 【答案】144平方分米。 【分析】已知长方体垃圾箱无盖，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式求出长方体垃圾箱的一个底面和4个侧面的总面积，再乘4，即可得做这些垃圾箱至少要用多少平方分米的木板。 【解答】解： （平方分米） 答：做这些垃圾箱至少要用144平方分米的木板。 【点评】此题属于长方体表面积的意义，解答时首先要弄清是哪几个面的总面积缺少的是哪个面，然后根据长方体表面积的计算方法解答。 26．冰壶被称为“冰上国际象棋”，展现的是静动之美和取与舍的智慧。冬奥会冰壶赛场每条赛道长约，宽，通常铺设约厚的冰面。冰壶赛场铺设4条冰壶赛道，共需要用冰约多少立方米？ 【答案】41.4立方米。 【分析】根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解： （立方米） 答：共需要用冰约41.4立方米。 【点评】此题用考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 27．一个长方体礼品纸盒展开后它的平面图如图，这个长方体礼品盒的表面积是多少平方厘米？ 【分析】由展开图得出：长方体的长是（厘米），宽是（厘米），高是6厘米，根据长方体表面积（长宽长高宽高），代数计算即可。 【解答】解：长是（厘米） 宽是（厘米） 高是6厘米 （平方厘米） 答：这个长方体礼品盒的表面积是600平方厘米。 【点评】解决本题的关键是根据长方体展开图得出长方体的长、宽、高，再根据长方体表面积公式计算。 28．制作一个如图所示的长方体灯笼框架，至少需要多少厘米长的木条？ 【分析】求至少需要多少厘米长的木条就是求长方体的棱长和，根据长方体的棱长总和公式：长方体的棱长（长宽高），把数据代入公式解答． 【解答】解： （厘米） 答：至少需要124厘米的木条． 【点评】此题主要考查长方体的棱长总和的应用和计算方法． 29．学校餐厅长，宽，高。除去门窗面积，餐厅的墙壁和房顶都贴上壁纸。平均每平方米壁纸的价钱为5元，购买壁纸至少需要多少元？ 【答案】1208元。 【分析】“要在餐厅的墙壁和房顶都贴上壁纸”，就是贴壁纸的面积是5个面，求出5个面的面积，再减去门窗的面积，就是需要壁纸的面积，求出面积再乘上5，就是需要花的钱数。据此解答。 【解答】解： （平方米） （元 答：购买壁纸至少需要1208元。 【点评】本题的关键是求出要贴壁纸的面积，再根据乘法的意义求出需要的钱数。 30．科创小组用两根同样长的铁丝分别制作一个长方体和一个正方体框架。制成的长方体框架的长、宽、高分别是、、，正方体框架的棱长是多少厘米？（接头处不计） 【答案】厘米。 【分析】首先根据长方体的棱长总和（长宽高），求出这个长方体的棱长总和，再根据正方体的棱长总和棱长，用棱长总和除以12即可求出正方体的棱长。 【解答】解： （厘米） 答：正方体框架的棱长是厘米。 【点评】此题考查的目的是掌握长方体、正方体的特征以及它们的棱长总和公式。 31．一个长方体的铁皮通风管，长是9米，横截面为边长3分米的正方形。做一对这样的通风管，至少需要铁皮多少平方米？ 【答案】21.6。 【分析】由题意可知，通风管是没有底面的，所以只求它的4个侧面的面积，根据长方体的表面积的计算方法，先求出1根通风管需要材料，然后乘2即可。 【解答】解：3分米米 （平方米） 答：至少需要铁皮21.6平方米。 【点评】此题属于长方体的表面积的实际应用，解答关键是搞清求的是哪几个面的面积，再根据长方体的表面积的计算方法进行解答。 32．一个玻璃厚度比较大的正方体小水缸，从里面量棱长是50厘米，水缸中原有水深46厘米。放入一块长方体铁块后（完全浸没），水面上涨并溢出缸外，经测量，溢出缸外的水正好是。这个铁块的长是40厘米，宽是27厘米，高是多少厘米？ 【答案】10厘米。 【分析】根据体积的意义可知，把长方体铁块放入鱼缸中，溢出水的体积加上鱼缸内无水部分的体积就等于铁块的体积，根据长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【解答】解：0.8升立方厘米 （厘米） （厘米） 答：高是10厘米。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 33．实验小学要建一个长70米，宽50米的长方形足球场，先铺8厘米厚的煤渣，再铺14厘米厚的三合土。一共需要煤渣和三合土多少立方米？ 【答案】770立方米。 【分析】已知在一个长方形场地里铺上煤渣和三合土，求煤渣和三合土的体积，就是求长方体的体积。先求出煤渣和三合土的高度和，再根据长方体的体积长宽高，代入数据计算即可求解。注意单位的换算：1米厘米。 【解答】解：（厘米） 22厘米米 （立方米） 答：一共需要煤渣和三合土770立方米。 【点评】此题考查长方体体积的计算。掌握计算公式是解答的关键。 34．笑笑想把三个长1.5分米、宽1.2分米、高8厘米的礼品盒用包装纸打包寄给贫困地区的小朋友，最少需要多少平方分米的包装纸？（接头处忽略不计） 【答案】16.56平方分米。 【分析】要使用的包装纸最少，则重合面积最大，则将长、宽所在的面重合。利用长方体的表面积（长宽长高宽高）计算即可。 【解答】解：将长、宽所在的面重合，即将3个盒子从上到下叠成3层用的包装纸最少。 8厘米分米 （分米） 得到的新长方体的长为1.5分米、宽为1.2分米、高为2.4分米。 （平方分米） 答：最少需要16.56平方分米的包装纸。 【点评】本题是一道有关长方体、正方体表面积的计算的题目，关键是明确三个礼品盒如何排放。 35．如图，一块长方形铁皮，长35厘米、宽30厘米，从它的四角切掉边长为5厘米的正方形，然后焊接成一个无盖的铁盒，这个无盖铁盒的体积是多少？ 【答案】2500立方厘米。 【分析】根据题意可知，焊成的长方体铁盒的长是厘米，宽是厘米，高是5厘米，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解： （立方厘米） 答：这个无盖铁盒的体积是2500立方厘米。 【点评】此题考查的目的是理解座位长方体展开图的特征及应用，长方体的体积公式及应用，关键是熟记公式。 36．一个长方体形状游泳池，长，宽，深，如果向这个游泳池注入的水，游泳池注满水了吗？说说你的理由。 【答案】没有注满；675立方米（水的体积）立方米（游泳池容积） 【分析】先求出注满水时水的体积，也就是这个长方体的容积，根据长方体的容积（体积）的计算公式求出，然后和注入的水的体积比较即可。 【解答】解： （立方米） 675立方米立方米 答：游泳池没有注满。 【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 37．小红为妈妈准备了一件生日礼物，如图所示是这件礼物的包装盒，长、宽、高分别是、、。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长。一共需要多少厘米彩带？ 【答案】107厘米。 【分析】根据题意和图形可知，所需彩带的长度等于2条长棱，2条宽棱，4条高棱，再加打结处用的25厘米；由此列式解答。 【解答】解： （厘米） 答：一共需要107厘米彩带。 【点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些棱的长度和。 38．一个长方体水块，长10米，宽和高都是3米，把它锯成4段，表面积至少增加多少平方米？ 【答案】54平方米。 【分析】根据题意可知，把这根长方体木料锯成4段，需要锯3次，每锯一次增加两个截面的面积，所以锯成4段表面积增加6个截面的面积，根据正方形的面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：（次 （个 （平方米） 答：表面积至少增加54平方米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义，关键是明白：把这根长方体木料锯成4段，需要锯3次，每锯一次增加两个截面的面积。 39．某款长方体礼盒，经测量发现：它的长、宽、高都是质数，且前面和上面的面积之和是，你能求出这个礼盒的体积是多少立方厘米吗？ 【答案】374立方厘米。 【分析】前面和上面的面积之和是209平方厘米，即长宽长高，且长、宽、高都是质数，据此可以求出长、宽、高，然后根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：长宽长高 长（宽高） 要么宽高，要么宽高 ，这样都有一个数是合数，不符合题意； ，只有2和17都是质数。 所以这个长方体的长、宽、高分别11厘米，2厘米，17厘米。 （立方厘米） 答：这个长方体的体积是374立方厘米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握质数的意义及应用，长方体的体积公式及应用，关键是求出长方体的长、宽、高。 40．一个长方体的体积是441立方厘米，如果它的高减少2厘米，它就变成一个正方体。这个正方体的棱长是多少厘米？ 【答案】7厘米。 【分析】长方体的高减少2厘米后是正方体，所以长方体的长和宽相等，而长方体的体积长宽高，所以可以先把长方体的体积分解质因数，只需要有两个数值相等，另一个数值比这两个值小2，那么相等的这个数值就是正方体的棱长。 【解答】解： （厘米） 答：正方体的棱长是7厘米。 【点评】此题主要考查了长方体的体积，牢记公式是关键。 41．一个无盖长方体木箱，长2米，宽6分米，高是长的一半，做这样两个木箱至少用木板多少平方米？ 【答案】12.8平方米。 【分析】求木箱的表面积，这是一个无盖的木箱，用4个侧面的面积加一个底面的面积求出一个木箱至少用木板多少平方米，再乘2即可。 【解答】解：6分米米 （米 （平方米） （平方米） 答：做这样两个木箱至少用木板12.8平方米。 【点评】本题考查了长方体表面积计算方法的运用。 42．王叔叔要制作一个长方体的玻璃容器，如图所示是这个玻璃容器的展开图。在制作完成的玻璃容器中注入一部分水，将面作为底面放置在水平桌面上时，水面高度是。如果将面作为底面放置在水平桌面上，水面高度是多少分米？（玻璃的厚度和连接处忽略不计） 【答案】1.35分米。 【分析】先根据将面作为底面放置在水平桌面上时，水面高度是，求出实际容器内装水的体积，关键是明确，无论该容器如何放置，内装的水的体积是不变的。将面作为底面放置在水平桌面上，用水的体积除以容器这时的底面积即可求出水的高度。 【解答】解： （分米） 答：如果将面作为底面放置在水平桌面上，水面高度是1.35分米。 【点评】本题考查的是长方体的体积公式的应用，同时要明确无论该容器怎么放置，不变的是里面装的水的体积。 43．爷爷过生日，妈妈买了两盒“野山参”给爷爷，装“野山参”的盒子是宽6厘米、长22厘米、高1.5厘米的长方体，妈妈把两盒放在一起包装，如果不计接缝处．至少需要多少包装纸？ 【分析】运算包装纸也就是把两个盒子的最大重合摞在一起包装，两盒摞在一起高是厘米，根据长方体的表面积公式：，倍熟记代入公式解答即可． 【解答】解： （平方厘米）， 答：至少需要432平方厘米的包装纸． 【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 44．一个从里面量棱长是4分米的正方体的水箱装满水，现把这些水倒入一个从里面量长是8分米、宽是2.5分米的空长方体水箱里，水深是多少分米？ 【答案】3.2分米。 【分析】先依据正方体的体积公式求出满箱水的体积，再据水的体积不变，用水的体积除以长方体底的面积，就是水的深度。 【解答】解： （分米） 答：水深是3.2分米。 【点评】此题主要考查长方体和正方体体积的计算方法，关键是明白：水的体积不变。 45．建筑工人在学校建一个长，宽，深的游泳池，要在游泳池的四周和底部贴上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ 【答案】212平方米。 【分析】游泳池底面积侧面积需要铺瓷砖的面积，据此计算即可解答。 【解答】解： （平方米） 答：至少需要212平方米的瓷砖。 【点评】此题考查长方体表面积计算公式的应用。 46．一个油箱长，宽，高，如果每升汽油重。这个油箱可装汽油多少千克？ 【答案】196.8千克。 【分析】利用长方体体积公式：计算油箱的容积，换算单位后再乘0.82即可。 【解答】解：（立方分米） 240立方分米升 （千克） 答：这个油箱可装汽油196.8千克。 【点评】本题主要考查长方体体积公式的应用。 47．做一个长、宽、高分别是8厘米、5厘米、3厘米的长方体木框，至少需要多少厘米的木条？ 【答案】64厘米。 【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等．求至少需要多少厘米的木条，就是求这个长方体的棱长总和．长方体的棱长总和（长宽高），把数据代入公式解答。 【解答】解： （厘米） 答：至少需要64厘米的木条。 【点评】此题考查的目的是掌握长方体的特征和棱长总和的计算方法。 48．一个长方体的许愿池，从里面量长、宽、高。要给这个许愿池的底面和四周贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】400平方米。 【分析】求贴瓷砖的面积就是求长方体五个面的面积，根据长方体五个面的面积公式：，据此代入数值进行计算即可。 【解答】解： 答：贴瓷砖的面积是400平方米。 【点评】本题考查长方体的底面积和表面积，熟记公式是解题的关键。 49．跳远沙坑建设的标准深度为。学校把的沙子铺在一个长、宽的沙坑里，问：这些沙子铺的厚度是否符合标准？ 【答案】符合标准。 【分析】先把化成，由长方体的体积长宽高，可知长方体的高体积（长宽），代入数据计算，然后比较即可。 【解答】解： 答：这个沙坑厚度符合标准。 【点评】熟练掌握长方体的体积的计算方法是解题的关键，解决此题要注意先统一单位。 50．把28升水倒入一个长4分米，宽2分米，高4分米的空长方体玻璃缸内，这时水面距玻璃缸口多少分米？ 【答案】0.5分米。 【分析】根据1升立方分米，换算单位后，再利用长方体的体积公式：，用倒入水的体积除以长方体玻璃缸的底面积，求出此时水面的高度，再用长方体玻璃缸的高度减去水面的高度，即可求出这时水面距玻璃缸口多少分米 【解答】解：28升立方分米 （分米） 答：这时水面距玻璃缸口0.5分米。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 51．王奶奶家新买了一台洗衣机，长，宽，高。她要给这台洗衣机缝制一个布罩（底面和接头处忽略不计），至少需要多少平方米的布料？ 【答案】2.17平方米。 【分析】由题意可知：这个布罩无底，所以只求它的5个面的总面积，根据长方体的表面积的计算方法运用长宽（长高宽高）代入数据计算即可。 【解答】解： 答：至少需要2.17平方米的布料。 【点评】本题主要考查长方体表面积公式的实际应用。 52．用一根60分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，若要在这个框架的表面焊上一层铁皮，至少需要多少平方分米的铁皮？ 【答案】150平方分米。 【分析】根据正方体的棱长总和棱长，那么棱长棱长总和，据此求出棱长，再根据正方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：（分米） （平方分米） 答：至少需要150平方分米的铁皮。 【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 53．一辆货车的车厢是长方体，它的长是，宽是，高是，装满一车沙子，卸下后堆成一个高是的圆柱形沙堆，它的底面积是多少平方米？ 【答案】12平方米。 【分析】因为沙子的体积不变，所以先根据长方体的体积公式求得沙子的体积；然后根据圆柱的体积公式可得：，据此求得底面积。 【解答】解： 沙子的体积： （立方米） 沙堆的底面积： （平方米） 答：沙堆的底面积是12平方米。 【点评】本题考查的是长方体与圆柱的体积公式的应用，关键是掌握长方体和圆柱的体积计算公式。 54．一个长方体盒子，长、宽，高，给盒子外面包装一层彩纸。至少需要彩纸多少平方分米？ 【答案】86平方分米。 【分析】长方体表面积（长宽长高宽高），据此代入数据计算即可求出需要彩纸多少平方分米。 【解答】解： （平方分米） 答：至少需要彩纸86平方分米。 【点评】此题考查长方体表面积计算公式的应用。掌握长方体表面积和体积计算公式是解答的关键。 55．在一条长200米，宽5米的路上铺水泥，水泥厚12分米。 （1）共需多少立方米的水泥？ （2）这条路有多大面积？ 【答案】（1）1200立方米； （2）1000平方米。 【分析】（1）根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据长方形的面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）12分米米 （立方米） 答：共需1200立方米的水泥。 （2）（平方米） 答：这条路有1000平方米。 【点评】此题主要考查长方体的体积公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 56．外卖行业一定程度上方便了人们的生活。如图是常见的外卖送餐包的示意图。做一个这样的送餐包至少需要多少平方厘米的材料？（舌头部分、重叠部分忽略不计） 【答案】10138平方厘米。 【分析】根据长方体的表面积（长宽长高宽高）计算即可。 【解答】解： （平方厘米） 答：做一个这样的送餐包至少需要10138平方厘米的材料。 【点评】本题考查的是长方体表面积计算公式的运用。 学科网（北京）股份有限公司 $$