精品解析：吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第三中学2024-2025学年 上学期九年级数学期中检测试卷

前郭三中2024—2025学年度上学期九年级数学期中检测试题 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列剪纸作品中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线与的形状相同，则的值为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 6或 3. 如图，是内接四边形的一个外角，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 嘉淇准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则被污染的数可能是（ ） A. 7 B. 6 C. 9 D. 8 5. 如图，在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y=﹣x2，当水位线在 AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（ ） A. 3m B. m C. 4m D. 9m 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 的半径为4，圆心到直线的距离为2，则直线与的位置关系是______. 8. 若抛物线的顶点在轴上，则的值为________． 9. 将如图所示的图案围绕它的中心旋转一定角度后与其自身完全重合，则这个旋转角可能是__度（写出一个即可）． 10. 已知扇形的半径为6，弧长为，则它的圆心角为__度． 11. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 12. 如图，是的直径，C，D是上两点．若，则的度数是__________． 13. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________． 14. 对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较大的数，如：．按照这个规定，方程的解为____________． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 用适当的方法解方程：． 16. 已知抛物线．若点在此抛物线上，求此抛物线的解析式． 17. 如图，是的直径，是的弦，过点C作的切线与的延长线交于点D．若，求证：． 18. 如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫作格点），的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图． （1）以点A为旋转中心，将绕点A逆时针旋转得，画出； （2）作出关于点成中心对称的． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图①、图②均为的正方形网格，点在格点（小正方形的顶点）上． （1）在图①中确定一个格点，并画出以为顶点的四边形，使其为中心对称图形； （2）在图②中确定格点，并画出以为顶点的四边形，使其为轴对称图形但不是中心对称图形． 20. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径． 21. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 22. 如图，的两直角边分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，两点的坐标分别为，抛物线经过点，且顶点在直线上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若把沿轴向右平移得到，点的对应点分别是，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由； 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，直线经过点C，且，，交直线于C． （1）求证：直线是的切线； （2）若圆的半径为2，，求阴影部分的面积． 24. 如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，且点的坐标为，将此矩形绕点顺时针旋转得矩形，抛物线经过、两点． （1）求此次抛物线的解析式； （2）将矩形向上平移，设抛物线交线段于点，若当点平分线段时，则平移的距离为____________． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在菱形中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，点从点出发，沿方向，以每秒2个单位长度的速度向点运动，若两点同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动，运动时间为，过点作交于点． （1）当时，求的长； （2）设的面积为，求与的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）当点在上运动时，是否存在，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）经过点和点，点是抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，分别作点关于轴的对称点，构造矩形． （1）求此二次函数的解析式； （2）当抛物线顶点落在矩形的边上时，求矩形的面积； （3）当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前郭三中2024—2025学年度上学期九年级数学期中检测试题 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列剪纸作品中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，解答此题的关键是要明确：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的特征逐项判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，故选项A不符合题意； B、图形是中心对称图形，故选项B符合题意； C、图形不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、图形不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：B． 2. 若抛物线与的形状相同，则的值为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 6或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握当两抛物线的形状相同时，二次函数解析的二次项系数的绝对值相同成为解题的关键． 根据“当两抛物线的形状相同时，二次函数解析的二次项系数的绝对值相同”列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同， ∴，即的值为3或． 故答案为：C． 3. 如图，是内接四边形的一个外角，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质等知识点，灵活运用圆的相关性质成为解题的关键． 由圆周角定理可得，再根据圆的内接四边形的性质可得，最后求出邻补角即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内接四边形， ∴， ∴． 故选：A． 4. 嘉淇准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则被污染的数可能是（ ） A. 7 B. 6 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据方程有实数根得出是解题的关键． 设被污染的数为a，根据一元二次方程根的判别式可得，然后解不等式求得a的取值范围即可解答． 【详解】解：设被污染的数为a， 根据题意可得：，解得：，即B选项符合题意． 故选：B． 5. 如图，在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由旋转的性质可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y=﹣x2，当水位线在 AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（ ） A. 3m B. m C. 4m D. 9m 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得点A、B的横坐标分别为-6和6，然后把点B的横坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】解：由题意及抛物线的对称性得：点A、B的横坐标分别为-6和6， 则有把点B代入解析式得：，所以这时水面离桥顶的高度为9m； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 的半径为4，圆心到直线的距离为2，则直线与的位置关系是______. 【答案】相交 【解析】 【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交． 【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为2， ∵4＞2，即：d＜r， ∴直线L与⊙O的位置关系是相交． 故答案为：相交. 【点睛】本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d＜r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切. 8. 若抛物线的顶点在轴上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据抛物线的顶点在轴上，得到对称轴为0，解方程即得． 【详解】∵抛物线的顶点在轴上， ∴， ∴． 故答案为：． 9. 将如图所示的图案围绕它的中心旋转一定角度后与其自身完全重合，则这个旋转角可能是__度（写出一个即可）． 【答案】60（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的定义，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫作旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫作旋转角． 根据旋转对称的定义即可解答． 【详解】解：将如图所示的围绕它的中心旋转一定角度后与其自身完全重合，则这个旋转角可能是． 故答案为：60（答案不唯一）． 10. 已知扇形的半径为6，弧长为，则它的圆心角为__度． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 把已知数据代入弧长公式计算即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为n， 由题意可得：，解得，． 故答案为：50． 11. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 12. 如图，是的直径，C，D是上两点．若，则的度数是__________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解本题的关键在熟练掌握圆周角定理．根据圆周角定理直接得出的度数即可． 【详解】解：∵对着同一段，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接， 根据中，，，得到，根据，得到，根据旋转得到，，，，得到为等边三角形，得到，得到，推出为等边三角形，得到． 本题主要考查了旋转，含30度角的直角三角形，等边三角形．解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定． 【详解】解：连接，如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵绕点C按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即点与点B之间的距离为． 故答案为：． 14. 对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较大的数，如：．按照这个规定，方程的解为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，根据方程的特点选取适当的方法求解是关键．分与两种情况讨论即可． 【详解】解：当即时，， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当即时，， ∴， ∴， ∴或， ∴，（舍去） 综上所述， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 用适当的方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得： 16. 已知抛物线．若点在此抛物线上，求此抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，掌握函数图象上的点一定满足函数解析式成为解题的关键． 将点代入求出m的值即可． 【详解】解：将点代入可得： ，解得：， 所以抛物线的解析式为． 17. 如图，是的直径，是的弦，过点C作的切线与的延长线交于点D．若，求证：． 【答案】 证明：连接，如下图： ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】连接，由切线的性质可得，由可得，三角形外角的性质可得，可求得，据此即可证明结论成立． 【详解】略 【点睛】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 18. 如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫作格点），的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图． （1）以点A为旋转中心，将绕点A逆时针旋转得，画出； （2）作出关于点成中心对称的． 【答案】（1） 如图：即为所求． （2） 如图：即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换作图、中心对称作图等知识点，根据题意确定对应点成为解题的关键． （1）先根据旋转的性质确定的对应点，然后顺次连接即可； （2）先根据旋转的性质确定的对应点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图①、图②均为的正方形网格，点在格点（小正方形的顶点）上． （1）在图①中确定一个格点，并画出以为顶点的四边形，使其为中心对称图形； （2）在图②中确定格点，并画出以为顶点的四边形，使其为轴对称图形但不是中心对称图形． 【答案】（1） 如图①：四边形即为所求． （2） 如图②：四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形、轴对称图形等知识点，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． （1）根据中心对称图形的定义作图即可； （2）利用中心对称图形和轴对称图形的性质得出符合题意的图形即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 20. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径． 【答案】该门洞的半径为． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为， 根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 解得， 答：该门洞的半径为． 21. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 22. 如图，的两直角边分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，两点的坐标分别为，抛物线经过点，且顶点在直线上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若把沿轴向右平移得到，点的对应点分别是，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由； 【答案】（1） （2） C在抛物线上，D不在抛物线上，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴不在抛物线上，在抛物线上。 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，勾股定理等等： （1）根据对称轴计算公式得到，再利用待定系数法求解即可； （2）先利用勾股定理求出，则由菱形的性质得到，，则，即可推出，再验证C、D是否在抛物线上即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点在直线上， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入中得，， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：略． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，直线经过点C，且，，交直线于C． （1）求证：直线是的切线； （2）若圆的半径为2，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵在中，，， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质． （1）利用等腰三角形的性质证得，利用切线的判定定理即可得到答案； （2）在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据，计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ． 24. 如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，且点的坐标为，将此矩形绕点顺时针旋转得矩形，抛物线经过、两点． （1）求此次抛物线的解析式； （2）将矩形向上平移，设抛物线交线段于点，若当点平分线段时，则平移的距离为____________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得点B的坐标为，结合旋转性质，得，分别代入解析式，解方程组即可求此抛物线的函数关系式． （2）根据题意，得，，设矩形向上平移h个单位，得到新坐标分别为，，其中点坐标为，结合此抛物线平分线段，得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得点B的坐标为，由旋转性质，得，分别代入解析式， 得， 解得， 故抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意，得，，设矩形向上平移h个单位，得到新坐标分别为，， 其中点坐标为， 又抛物线平分线段， 故， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，待定系数法求解析式，中点坐标公式，平移的性质，熟练掌握待定系数法，中点坐标公式，平移性质是解题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在菱形中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，点从点出发，沿方向，以每秒2个单位长度的速度向点运动，若两点同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动，运动时间为，过点作交于点． （1）当时，求的长； （2）设的面积为，求与的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）当点在上运动时，是否存在，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当或或时，为等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的应用等知识点，求得函数解析式成为解题的关键． （1）首先求得的长，由菱形的性质以及等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后运用勾股定理列方程求解即可； （2）当时，N在上，首先求得，则长即可求得，再根据，据此即可求得的面积；当时，再求得的长，进而求得的面积即可解答； （3）分、两种情况，分三种情形进行解答即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∵菱形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴，解得：， ∴当时，． 【小问2详解】 解：由题意得，， 当时，， ∵， ∴， 如图：连接，与相交于点定O，过点Q作于点G， ∴， ，则， ∴在中，， ∴， ∴， 如图：当时，延长，交于，交延长线于H， 则， ， ， ∵， ∴， 同理可得：， 在直角中，， ∴，解得：， ， ∴， 综上，． 【小问3详解】 解：①当时，只有符合条件， 如图：过点作于点E， 则，即， ∵ ∴，解得． ②当时， 由（2）知， 当时，，解得， 当时，，即，解得：． 综上所述，当或或时，为等腰三角形． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）经过点和点，点是抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，分别作点关于轴的对称点，构造矩形． （1）求此二次函数的解析式； （2）当抛物线顶点落在矩形的边上时，求矩形的面积； （3）当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）12或36 （3）或 【解析】 【分析】（1）直接把、代入求得b、c的值即可； （2）分抛物线顶点落在矩形的边和上两种情况，分别求得矩形的长和宽，然后求面积即可； （3）画出动点P的几种情况图，利用数形结合求解即可 【小问1详解】 解：把、代入得： ，解得：， ∴． 【小问2详解】 解： ∵ ∴抛物线顶点坐标为， 当抛物线顶点落在矩形的边上时，如图： ∵P、N是关于y轴的对称点， ∴轴， ∴点P纵坐标为， ∴点P与抛物线的顶点重合，即， ∴点， ∴， ∵过点P作x轴垂线交直线于点Q， ∴Q点横坐标为1， 当时， ∴， ∴， ∴矩形的面积； 当抛物线顶点落在矩形的边上时，如图， 同理可得点Q的纵坐标为， 当时，则，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴P点的横坐标为， 当时，则， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 综上，矩形的面积为12或36． 【小问3详解】 解：由题意得， 如图：当点P在第二象限，点M恰好在抛物线上时， 则， ∴，解得：或（舍）， 此时符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小， 当点P向右运动，此时时，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小，如图： 当点P继续向右运动与点Q重合时，此时矩形不存在，如图： 此时，， 解得：或（舍）， 当点P向右运动，点P在点Q下方时，如图： 此时不符合题意， ∴当，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小； 当点P与点N重合时，矩形不存在， 如图，当点P继续向右运动，在第四象限时，此时，符合题意： 如图：当点P继续向右运动，均符合题意， 当点P与点Q重合时，矩形不存在，此时， 解得：或（舍）， 如图：当点P继续向右运动，在点Q上方时，不符合题意 ， ， ∴当，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小． 综上所述，m的取值范围为：或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象性质、矩形的性质、关于y轴对称点的坐标特征、一次函数图象上的点的坐标特征等知识点，熟练掌握二次函数的图象性质以及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $