3.5 三角形的内切圆 学案 2024--2025学年青岛版九年级数学上册

第13课时 3.5三角形的内切圆 一、温故知新 （1）设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆有几种位置关系？怎样判断？1、 ： 或 ； 2、 ： 或 ； 3、 ： 或 ； （2）切线的判定定理： ； （3）切线的性质定理： ； （4）切线长定理： ； （5）如何用尺规画出三角形的外接圆？ （6）用尺规过一点作已知直线的垂线 二、预习检测 与三角形各边都 的圆叫三角形的内切圆. 叫三角形的内心；这个三角形叫 . 牛刀小试、用尺规作图作的内切圆. 三、学习目标 （1）掌握三角形内切圆的相关概念； （2）会用尺规作图画出三角形的内切圆； （3）会求三角形内切圆的半径. 四、知识精讲 知识点一、三角形内切圆的概念 定义：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 总结：三角形中的各种心： 中线的交点：重心；高的交点：垂心； 角平分线的交点：内心；三边垂直平分线的交点：外心. 练一练、下列关于三角形的内心的说法正确的是（ ） A.内心是三边垂直平分线的交点 B.内心是三条中线的交点 C.内心到三个顶点的距离相等 D.内心到三边的距离相等 知识点二、三角形内切圆的画法 画三角形内切圆的步骤： 1、 作各角角平分线，交点即为内切圆的圆心； 2、 由交点向任意一边作垂线段，线段的长即为半径 3、 画圆 练一练、作出下面三角形的内切圆，观察内心的位置. 总结：三角形的内心一定在三角形的内部. 技巧：由于三角形的三条角平分线交于一点，因此，作内心时，只需作两条角平分线即可. 辨析：三角形外接圆和内切圆 外接圆 内切圆 定义 三个顶点在圆上 三条边与圆相切 圆心名称 外心 内心 圆心特点 到三个顶点距离相等 到三条边的距离相等 圆心作法 三边垂直平分线的交点 三条角平分线的交点 知识点三、三角形内切圆半径的求解 如图，I是的内心，内切圆半径为r，BC,AC,AB的长分别为a,b,c，的面积为S，的周长为l. 则 即 思考：（1）若为直角三角形，，则r=? （2）若为等边三角形，则r=? 练一练、在Rt中，AB=6,BC=8，则这个三角形的内切圆的半径是（ ） A.5 B.2 C.5或2 D.2或 五、典例精练 题型一、与内心相关的角的计算 例1、如图，在中，，点I是内心.求的度数. 变式1、如图，在中，点I是内心.用表示的度数. 变式2、如图所示，点O是的内心，点I为的外心，，则为（ ） A.140° B.125° C.130° D.110° 题型二、内切圆性质的应用 例2、如图，的内心为I，连接AI并延长交的外接圆于点D，则线段DI与DB的关系是 变式、如图，Rt的内切圆切斜边AB于点D，BO的延长线交AC于点E.求证：. 题型三、求内切圆半径的长或线段的长 例3、如图所示，的内切圆O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF,BD,CE的长. 变式1、如图所示，为的内切圆，AC=9,AB=8,BC=10，点D,E分别在BC,AC上的点，且DE为的切线，则的周长为（ ） A.9 B.7 C.11 D.8 例4、已知一个三角形的三边长分别是5,7,8，则其内切圆的半径为？ 变式2、设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h,r,R,试用a表示h,r,R. 变式3、如图，的直径AB为10cm，点E是圆内接的内心，CE的延长线交于点D.求： （1）AD的长； （2）DE的长. 六、课堂小结 七、课后练习 1．下列说法正确的是（       ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形的中心 C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点 D．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上 2．如图，在△ABC中， AG平分∠CAB，使用尺规作射线CD，与AG交于点E，下列判断正确的是（       ）    A．AG平分CD B． C．点E是△ABC的内心 D．点E到点A，B，C的距离相等 3．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（       ） A．2 B．3 C． D． 4．如图，等腰的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，且， ，则的长是(　　) A． B． C． D． 5．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的（       ） A．3倍 B．5倍 C．4倍 D．2倍 6．如图，是的内切圆，，若，则的半径为_________． 7．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是_____________． 8．我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何?”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步?则此问题的答案是__________步． 9．如图，中，，，，则的内切圆半径为________． 10．如图，在中，，点I是内心，求的度数． 11．如图，点E是三角形ABC的内心，AE的延长线和三角形ABC的外接圆相交于点D．求证：DE=DB 12．已知：如图，P是△ABC的内心，过P点作△ABC的外接圆的弦AE，交BC于D点．求证：BE＝PE． 13．如图，在锐角△ABC中，BC＝5，sin∠BAC＝，点I为三角形ABC的内心，AB＝BC，求AI的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$